Bài giảng Giải tích: Chương 6 - Phan Trung Hiếu

Đăng ngày | Thể loại: | Lần tải: 0 | Lần xem: 0 | Page: 4 | FileSize: M | File type: PDF
of x

Bài giảng Giải tích: Chương 6 - Phan Trung Hiếu. Bài giảng Giải tích: Chương 6 Tích phân suy rộng của Phan Trung Hiếu biên soạn kết cấu gồm có 2 bài được trình bày như sau: Các loại tích phân suy rộng, khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng.. Cũng như các tài liệu khác được thành viên chia sẽ hoặc do tìm kiếm lại và giới thiệu lại cho các bạn với mục đích tham khảo , chúng tôi không thu tiền từ người dùng ,nếu phát hiện nội dung phi phạm bản quyền hoặc vi phạm pháp luật xin thông báo cho chúng tôi,Ngoài tài liệu này, bạn có thể tải bài giảng,luận văn mẫu phục vụ học tập Một ít tài liệu download thiếu font chữ không hiển thị đúng, có thể máy tính bạn không hỗ trợ font củ, bạn download các font .vntime củ về cài sẽ xem được.

https://tailieumienphi.vn/doc/bai-giang-giai-tich-chuong-6-phan-trung-hieu-4ksbuq.html

Nội dung


04/12/2017

Chương 6:

Tích phân suy rộng

Ví dụ 1.1: Tích phân nào sau đây là tích phân
suy rộng? Nếu là tích phân suy rộng thì hãy
cho biết nó thuộc loại nào.


1
dx
a )  2 dx
b)  2
x
x 1
1

 /2

GV. Phan Trung Hiếu

§1. Các loại tích phân suy rộng
§2. Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng

c) 
0

sin xdx
cos x

1

dx
x
1

d )

1

dx
.
x
2

e) 
LOG
O

4

§1. Các loại tích phân suy rộng

2

Loại 1: 


a

b

f ( x) dx;







f ( x )dx.



Loại 2:
b

 f ( x)dx trong đó lim f ( x)   với c  [a, b].
a

x c

3

của tích phân suy rộng

5



f ( x) dx;

§2. Khảo sát sự hội tụ

TH1 (Dễ tính nguyên hàm): Ta dùng giới hạn
tại điểm suy rộng của tích phân xác định để
tính tích phân.
TH2 (Khó tính nguyên hàm): Ta dùng tiêu
chuẩn so sánh với tích phân đã có kết quả
hoặc tích phân dễ tính nguyên hàm.
Từ đó, đưa ra kết luận tích phân hội tụ hay
phân kỳ.
6

1

04/12/2017

TH1 (Dễ tính nguyên hàm của f(x)):

 Điểm suy rộng tại c  ( a, b)
b

Phương pháp:
-Chú ý những điểm suy rộng:  , điểm
c  [a, b] mà lim f ( x )  .
x c
-Dùng giới hạn tại điểm suy rộng của tích
phân xác định để tính tích phân.


a

b

c

f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x )dx
a

c

-Trong công thức ,,, nếu giới hạn tồn
tại hữu hạn thì kết luận tích phân hội tụ, ngược
lại là tích phân phân kỳ.
-Trong công thức ,,, nếu cả 2 tích
phân (bên phải) hội tụ thì kết luận tích phân
hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ.

7

10

Chú ý 2.1:

Định lí 2.2:

b

b



  f ( x)dx  alim  f ( x)dx
 



f ( x )dx  lim

b  

a



f ( x )dx




f ( x )dx   f ( x )dx 



a

b

c





f ( x )dx 



f ( x )dx 



f ( x )dx, c   tùy ý



b

b)



x a 



b

f ( x )dx  lim  f ( x)dx

t a



t

x b 



t

b
t b

c



a

c

2

9

c  (a, b)

a

a

11





e) 

f)



0

b

 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx,
a



d )  xe  x dx

g) 

a

 Điểm suy rộng tại a và b
b

a

Ví dụ 2.1: Khảo sát sự hội tụ và tính các tích
phân sau (trong trường hợp hội tụ)

0

dx
ln x
a)  2
b)  e x dx
c) 
dx
x
x
1

1
0
1

f ( x ) dx  lim  f ( x ) dx


a

 g ( x)dx.

f ( x) dx hội tụ và k là một hằng số

a 

a

 Điểm suy rộng tại b lim f ( x )  



a

  k . f ( x) dx hội tụ và k . f ( x) dx  k .  f ( x)dx

 Điểm suy rộng tại a lim f ( x)  

a



f ( x) dx 



8





a

c





  f ( x)  g ( x) dx 

f ( x )dx, b  (0, ) tùy ý




a

a


b

a



 g ( x)dx hội tụ

   f ( x)  g ( x)  dx hội tụ và

a







f ( x) dx hội tụ và



a 

b





a)

a



j) 
2

dx
1  x2

2 xdx
1  x2


 /2

h)


0

sin xdx
1  cos x

dx
1  x2

1

e x dx
ex  1
1

i) 

dx
4  x2
12

2

04/12/2017

TH2 (Khó tính nguyên hàm của f(x)):
Phương pháp:
-Chú ý những điểm suy rộng:  , điểm
c  [a, b] mà lim f ( x )  .

Chú ý 2.4:
 Với 0  a   , ta có




x c

-Dùng tiêu chuẩn so sánh với tích phân đã
có kết quả hoặc tích phân dễ tính nguyên
hàm.

a

1
dx
xn


0

1
dx
xn

13

f ( x )dx,

 g ( x)dx

ii) k  0 :

1
 (b  x)n dx
a

cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.





g ( x)dx hội tụ 

a




f ( x) dx hội tụ.


a

f ( x)dx phân kỳ 



b

1
 ( x  a)n dx
a

a


f ( x )dx hội tụ 

 g ( x)dx hội tụ.

a


a

14

f ( x )  g ( x ) khi x  


a



f ( x)dx và

 g ( x)dx
a

cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Định lý và Hệ quả trên tương tự cho trường hợp trên

[ a, b), (a , b]

15

phân kỳ  n  1

f ( x) dx phân kỳ.
17

a

Hệ quả 2.3: f(x), g(x) dương, liên tục trên [a, ) và



hội tụ  n  1



 g ( x)dx phân kỳ  
a

phân kỳ  n  1

 Với a  b   , ta có

 g ( x)dx phân kỳ.



iii) k   :

hội tụ  n  1



a

thì

b

a



phân kỳ  n  1

 Với a  b   , ta có



a

hội tụ  n  1

16

Định lí 2.2: f(x), g(x) dương trên [a, ) và khả tích
trên mọi đoạn [a,b], b  a.
f ( x)
 k.
Xét xlim
 g ( x )
i) 0  k   :



phân kỳ  n  1

 Với 0  b   , ta có
b



hội tụ  n  1

Ví dụ 2.2: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân


a) 
1


c) 
1



dx
3
x  x 1

b) 
1


( x  5) dx
3

x 1 x

d) 

3

0

2 xdx
x5  x  1
dx
x3

1

dx
sin x
0

1

ln(1  x)dx
x 3/2
0

f )

e) 

18

3

04/12/2017

Ví dụ 2.3: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân


a) 
0

x2
ex

2



b) 

dx

1
1

1
x2

1

ln x
d)
dx
x
0

c )  xe dx
0
2

1

dx

e) 

f )

x2  1

1

x 2  x  5ln x
dx
2 x3  x  1

0

x 3dx
3

(1  x 2 )5

Chú ý 2.7: Trường hợp hàm f(x) đổi dấu
Phương pháp: Lấy trị tuyệt đối và đánh giá theo Định
lý sau
Tích phân suy rộng của f (x) hội tụ

 Tích phân suy rộng của f (x) hội tụ.
Khi đó, ta nói tích phân suy rộng của f(x) hội tụ tuyệt
đối.
Chú ý kết quả: sin X 1; cos X 1, X .

Ví dụ 2.5: Khảo sát sự hội tụ của tích phân



1
19

sin x
dx
x3
22

Định lí 2.5:

0  f ( x) 
Khi đó:


[a,  )
g ( x ) với mọi x trên [a, b), lim f ( x )  
x b

 (a, b], lim f ( x)  

x a

b

b

i)  g ( x )dx hội tụ   f ( x)dx hội tụ.
a

a

b

b

ii)  f ( x)dx phân kỳ   g ( x)dx phân kỳ.
a

a

20

Chú ý 2.6:
 x  1 , ta có x 2  x  x  1.
 x  1, ta có ln x  x  e x .
 x  0, ta có e x  1.
 x  e, ta có ln x  1.
 x  2, ta có ln(1  x )  1.
Ví dụ 2.4: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân


1

e x 1dx
x
0

2

a )  e x dx
1

b) 
6

ln x
dx
( x  3) 4
3

c) 

21

4

1121510

Tài liệu liên quan


Xem thêm