Bài giảng Giải tích: Chương 5 - Phan Trung Hiếu

30/10/2017

Chương 5:

Ứng dụng của tích phân
GV. Phan Trung Hiếu

§1. Tính diện tích hình phẳng

§1. Tính diện tích hình phẳng
§2. Tính thể tích vật thể
§3. Tính độ dài của cung
§4. Tính diện tích mặt tròn xoay
LOG
O
2

I. Hình thang cong trong tọa độ Descartes:

Chia S một cách tùy ý ra làm n miền con S1 , S2 ,..., Sn

Bài toán: Tính diện tích hình thang cong abBA
giới hạn bởi trục hoành, đồ thị hàm y = f(x) và
hai đường thẳng x = a, x = b.
Xấp xỉ mỗi miền con bằng các hình chữ nhật

3

Hình dưới là các trường hợp chia thành 2 phần, 4 phần,
8 phần và 12 phần

4

Trên mỗi miền S1 , S2 ,..., Sn lấy một điểm tùy ý

Ta có S  S1  S2  ...  Sn

5

6

1

30/10/2017

Ví dụ 1.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đường cong y  x 2 , trục hoành, hai đường
thẳng x = 0 và x = 1.
Giải
Cách 1 (Dùng định lý 1.1): Vì y  x 2  0, x  [0,1]
nên
1
S   x 2 dx 
0

1
 0,3333.
3

Định lý 1.1: Tích phân của một hàm không âm f liên tục
trên [a,b] cũng có thể coi như là diện tích S của hình
thang cong abBA giới hạn bởi trục hoành, đồ thị hàm
y = f(x) và hai đường thẳng x = a, x = b, nghĩa là
b

S   f ( x )dx , f ( x )  0, x  [a, b].
a

7

8

-Nếu chia S thành 30 miền

Cách 2 (Dùng tổng):

-Nếu chia S thành 4 miền

9

-Nếu chia S thành 50 miền

10

Hệ quả 1.2: Nếu f liên tục trên [a,b] thì
b

S   f ( x ) dx
a

Ví dụ 1.2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi y = sinx, trục Ox, x = 0 và x = 2
Hệ quả 1.3: Nếu hình phẳng giới hạn bởi hai
đường cong y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng
x = a và x = b thì
b

S   f ( x )  g( x ) dx
a

11

12

2

30/10/2017

Ví dụ 1.3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi y  x 3 và y  x trên [-1;1].
Hệ quả 1.4: Nếu hình phẳng giới hạn bởi hai
đường cong x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng
y = c và y = d thì
d

S   f ( y )  g( y ) dy
c

Ví dụ 1.4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi parabol y 2  2 x  6 và đường thẳng y  x 1.

13

III. Hệ tọa độ cực:
O: cực
Ox: trục cực
r: bán kính cực
 : góc cực
(r , ) : tọa độ cực

Ta quy ước góc   0 nếu Ox quay theo hướng ngược
chiều kim đồng hồ.
15

Nếu ta chọn hệ tọa độ Descartes vuông góc sao cho
gốc O trùng với cực, trục Ox trùng với trục cực thì giữa
hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ cực có công thức liên
hệ sau
 x  r cos ,

 y  r sin  .

II. Hình thang cong cho bởi hàm phụ thuộc tham số:

Hệ quả 1.5: Hình thang cong cho bởi

 x  x(t )
, t  [ ,  ]

 y  y (t )
có diện tích là


S   y (t ). x (t ) dt


Ví dụ 1.5: Tính diện tích của hình elip giới hạn
2
2
bởi đường elip x  y  1.
a2

b2

14

Chú ý rằng, có nhiều hơn một cặp giá trị (r , ) cùng

xác định vị trí của một điểm P. Ví dụ, các cặp số
 

 3,  n2  , n  
 6

đều xác định vị trí của một điểm P trong hệ tọa độ
cực.

Do đó, nếu quy ước 0  r  , 0    2 thì mỗi điểm
P trong mặt phẳng sẽ ứng với một cặp số (r , ) duy
nhất. Đặc biệt, khi r = 0 thì P trùng O.
16

IV. Đường cong trong hệ tọa độ cực:
Xét hàm số r  r ( ) . Khi góc cực  biến thiên từ 
đến  thì điểm P với tọa độ cực  r ( ),  vạch nên
một đường cong C trong mặt phẳng. Ta nói đường
cong C trong hệ tọa độ cực có phương trình

r  r ( )
Ví dụ 1.6: Phương trình tọa độ cực của đường tròn tâm
I(a;0), bán kính r = a (a > 0) là r  2 a cos  .
Giả sử cho a = 1, ta được phương trình đường tròn
tâm I(1,0), bán kính r = 1 là r  2 cos  và ta có thể

vẽ đường tròn đó trong hệ tọa độ cực như sau
17

18

3

30/10/2017

Ví dụ 1.7: Một số hình vẽ đường cong trong hệ tọa độ
cực

19

20

V. Hình thang cong trong tọa độ cực:

Hệ quả 1.6: Trong hệ tọa độ cực (r , ) , cho hình
quạt cong giới hạn bởi r  r ( ),   [ ,  ]. Khi đó,
diện tích của quạt cong là

§2. Tính thể tích vật thể



1
S   r 2 ( )d
2
Ví dụ 1.7: Tìm diện tích của hình quạt cong


r  cos2 ,
  .
4
4
21

I. Vật thể V bất kỳ:
Cho một vật thể V xác định bởi một mặt kín với
thiết diện phụ thuộc biến x [a, b] là S(x). Thể
tích của vật thể V sẽ là

22

II. Vật thể tròn xoay:
Loại 1: Có thể quay hình thang cong
y  f ( x )  0, x  [a, b]
quanh trục Ox nhận được vật thể tròn xoay. Vật tròn
xoay có diện tích thiết diện S( x )   f 2 ( x ).
Vì vậy, thể tích là

b
b

V   S ( x )dx

V    f 2 ( x )dx

a

a

Ví dụ 2.1: Tính thể tích khối cầu bán kính R.
23

Ví dụ 2.2: Tính thể tích vật tròn xoay sinh ra
khi quay đường tròn x 2  y 2  R 2 quanh trục Ox
24

4

30/10/2017

Loại 2: Cho miền D giới hạn bởi cung y  f ( x ), x  [a, b]
và Ox nằm trong phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ
quay quanh Oy thì
b

V  2  xf ( x )dx

§3. Tính độ dài của cung

a

Ví dụ 2.3: Cho miền D giới hạn bởi y  5 x 3 , x  1,
x  3 và Ox quay quanh Oy. Tính thể tích hình
đó.

25

I. Cung cho bởi đường cong y = f(x):

Đường cong y  f ( x ), x  [a, b], xác định một cung AB
với độ dài là
b

2

l   1   f ( x )  dx



26

II. Cung cho bởi hàm phụ thuộc tham số:
Đường cong cho bởi

 x  x(t )
, t  [ ,  ]

 y  y (t )

Khi đó AB có độ dài

a

Ví dụ 3.1: Tính độ dài của cung parabol

y  x,
với 1  x  4.



2

2

l    x(t )    y(t )  dt

 



3
Ví dụ 3.2: Tính độ dài cung x  t 2 , y  t , 0  t  4.

27

28


Cung AB định bởi hàm y  f ( x ), x  [a, b], quay
xác
quanh trục Ox sẽ tạo nên mặt tròn xoay có diện tích
b

2

S AB  2  f ( x ) 1   f ( x )  dx


a


Trường hợp cung AB cho bởi phương trình tham số

§4. Tính diện tích mặt tròn xoay

 x  x(t )
, t  [ ,  ]

 y  y (t )

thì mặt tròn xoay có diện tích


2

2

SAB  2  y(t )  x (t )    y(t )  dt

 



29

Ví dụ 4.1: Quay miền D giới hạn bởi y 2  12 x , 0  x  3
và quay quanh Ox ta được mặt tròn xoay. Tính
diện tích mặt đó.
30

5