Xem mẫu
- 1. Tích phân mặt loại 1
2. Tích phân mặt loại 2
TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm
- Định nghĩa
Cho hàm 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) xác định trên mặt cong 𝑆.
Chia 𝑆 thành 𝑛 mặt con: 𝑆1 , 𝑆2 , ⋯ , 𝑆𝑛 rời nhau (không chồng lên nhau).
Diện tích tương ứng: ∆𝑆1 , ∆𝑆2 , ⋯ , ∆𝑆𝑛 .
Trên mỗi mặt 𝑆𝑖 lấy điểm 𝑀𝑖 (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 ) tùy ý.
Lập tổng Riemann:
𝑛
𝐼𝑛 = 𝑓 𝑀𝑖 . ∆𝑆𝑖
𝑖=1
𝐼 = lim 𝐼𝑛 , không phụ thuộc cách chia mặt cong 𝑆, và cách lấy điểm 𝑀𝑖 .
𝑛→∞
𝐼= 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆
𝑆
được gọi là tích phân mặt loại 1 của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) trên mặt 𝑆.
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 2
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Tính chất
1. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) liên tục trên mặt cong trơn 𝑆 thì khả tích trên 𝑆.
2. Diện tích của mặt 𝑆:
𝑆
𝑑𝑆.
3. 𝑆
𝑘𝑓 + 𝑚𝑔 𝑑𝑆 = 𝑘 𝑆
𝑓𝑑𝑆 + 𝑚 𝑆
𝑔𝑑𝑆
4. Nếu 𝑆 = 𝑆1 ∪ 𝑆2 thì:
𝑆
𝑓𝑑𝑆 = 𝑆1
𝑓𝑑𝑆 + 𝑆2
𝑓𝑑𝑆.
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 3
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Cách tính
Phương trình tham số mặt cong S:
𝑥 = 𝑥 𝑢, 𝑣 , 𝑦 = 𝑦 𝑢, 𝑣 , 𝑧 = 𝑧 𝑢, 𝑣 ; 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐷
Phương trình tham số hàm vector mặt cong S:
𝐫 𝑢, 𝑣 = 𝑥 𝑢, 𝑣 𝐢 + 𝑦 𝑢, 𝑣 𝐣 + 𝑧 𝑢, 𝑣 𝐤 ; 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐷
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 4
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Ví dụ
Xác định mặt cong S biết phương trình tham số hàm vector của mặt S có
dạng: 𝐫 𝑢, 𝑣 = 2𝑐𝑜𝑠𝑢. 𝐢 + 𝑣. 𝐣 + 2𝑠𝑖𝑛𝑢. 𝐤
Phương trình tham số mặt cong S:
𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝑢; 𝑦 = 𝑣; 𝑧 = 2𝑠𝑖𝑛𝑢
Do đó: 𝑥 2 + 𝑧 2 = 4, mặt S là mặt trụ song song với trục Oy.
Nếu thêm điều kiện: 0 ≤ 𝑢 ≤ 𝜋/2,0 ≤ 𝑣 ≤ 3, mặt S có dạng:
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 5
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Ví dụ
Tìm phương trình tham số hàm vector của mặt cong S: 𝑧 = 𝑥 2 + 2𝑦 2
Phương trình tham số mặt cong S:
𝑥 = 𝑥; 𝑦 = 𝑦; 𝑧 = 𝑥 2 + 2𝑦 2
Do đó phương trình tham số hàm vector của mặt cong S:
𝐫 𝑥, 𝒚 = 𝑥. 𝐢 + 𝑦. 𝐣 + (𝑥 2 + 2𝑦 2 ). 𝐤
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 6
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Cách tính
Giả sử mặt cong S có phương trình tham số hàm vector:
𝐫 𝑢, 𝑣 = 𝑥 𝑢, 𝑣 𝐢 + 𝑦 𝑢, 𝑣 𝐣 + 𝑧 𝑢, 𝑣 𝐤 ; 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐷,
khi đó:
f ( x, y, z ) dS f (r(u, v)) | r r
S D
u v | dudv
x y z x y z
trong đó: ru i j k ; rv i j k
u u u v v v
i j k
ru rv xu yu zu
xv yv zv
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 7
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Ví dụ
Tính 𝐼 = 𝑆
𝑥 2 𝑑𝑆 , trong đó S là hình cầu: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑅 2 .
Tham số hóa mặt cầu S bằng hệ tọa độ cầu:
𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑠𝑖𝑛𝜃; 𝑦 = 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑠𝑖𝑛𝜃; 𝑧 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐷 𝜑, 𝜃 = { 𝜑, 𝜃 : 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋}
Tức là: 𝐫 𝜑, 𝜃 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑠𝑖𝑛𝜃𝐢 + 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑠𝑖𝑛𝜃𝐣 + 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃𝐤
r R sin sin i R cos sin j 0.k
r R cos cos i R sin cos j R sin k
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 8
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Ví dụ
i j k
r r R sin sin R cos sin 0
R cos cos R sin cos R sin
R 2 cos sin 2 i R 2 sin sin 2 j R 2 sin cos k
Do đó: | ru rv | R 2 sin
dS ( R cos sin ) 2 r r d d
2
Vậy: x
S D( , )
D( , )
R 4 (cos sin ) 2 sin d d
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 9
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Ví dụ
2
R cos sin d d
4 2 3
0 0
2
R cos d sin 3 d
4 2
0 0
2
1
2 (1 cos 2 ) d (sin sin cos ) d 2
0 0
sin 2 0 cos cos
2
R4
2
1
2
1
3
3
0
4 R 4
3
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 10
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Ví dụ
Tính 𝐼 = 𝑆
𝑥 2 𝑑𝑆 , trong đó S là hình cầu đơn vị: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑅 2 .
Cách 2:
Do các hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn, và mặt cầu đối xứng qua
các mặt phẳng tọa độ.
𝐼= 𝑥 2 𝑑𝑆 = 𝑦 2 𝑑𝑆 = 𝑧 2 𝑑𝑆
𝑆 𝑆 𝑆
1 2 2 2 𝑅2 4𝜋𝑅4
Do đó: 𝐼 = 𝑆
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 )𝑑𝑆 = 𝑆
𝑑𝑆 =
3 3 3
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 11
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Cách tính
Cho hàm 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) xác định trên mặt cong 𝑆: 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦).
Chia 𝑆 thành 𝑛 mặt con: 𝑆1 , 𝑆2 , ⋯ , 𝑆𝑛 rời nhau (không chồng lên nhau).
Diện tích tương ứng: ∆𝑆1 , ∆𝑆2 , ⋯ , ∆𝑆𝑛 .
Trên mỗi mặt 𝑆𝑖 lấy điểm 𝑀𝑖 (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 ) tùy ý.
Lập tổng Riemann:
𝑛
𝐼𝑛 = 𝑓 𝑀𝑖 . ∆𝑆𝑖
𝑖=1
Trong phần ứng dụng tích phân kép (tính diện tích mặt cong), ta có:
zx ( xi , yi )
2
z y ( xi , yi ) 1 S ( Di )
2
Si
zx ( xi , yi )
2
zy ( xi , yi ) 1 xy
2
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 12
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Cách tính
n
Do đó: I n f ( M i ) Si
i 1
n
zx ( xi , yi )
2
z y ( xi , yi ) 1 xy
2
f ( xi , yi , zi )
i 1
n
zx ( xi , yi )
2
z y ( xi , yi ) 1 xy
2
f ( xi , yi , zi ( xi , yi ))
i 1
zx
2
I lim I n hay f ( x, y, z )dS f ( x, y, z ) z y 1 dxdy
2
n S Dxy
zx
2
z y 1 dxdy
2
f ( x, y, z ( x, y ))
Dxy
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 13
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Cách tính
z
1. Chiếu mặt cong 𝑆 lên mp Oxy S z = z(x,y)
Nếu 𝑆 có phương trình 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦)
và 𝑆 có hình chiếu trên mp Oxy là 𝐷𝑥𝑦 :
y
Dxy
O
x
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑥, 𝑦 1 + (𝑧𝑥′ )2 + (𝑧𝑦′ )2 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑆 𝐷𝑥𝑦
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 14
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Cách tính
2. Chiếu mặt cong 𝑆 lên mp Oxz
Nếu 𝑆 có phương trình 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝑧)
và 𝑆 có hình chiếu trên mp Oxz là 𝐷𝑥𝑧 :
𝑆
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆 = 𝐷𝑥𝑧
𝑓 𝑥, 𝑦(𝑥, 𝑧), 𝑧 1 + (𝑦𝑥′ )2 + (𝑦𝑧′ )2 𝑑𝑥𝑑𝑧
3. Chiếu mặt cong 𝑆 lên mp Oyz
Nếu 𝑆 có phương trình 𝑥 = 𝑥(𝑦, 𝑧)
và 𝑆 có hình chiếu trên mp Oyz là 𝐷𝑦𝑧 :
𝑆
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆 = 𝐷𝑦𝑧
𝑓 𝑥(𝑦, 𝑧), 𝑦, 𝑧 1 + (𝑥𝑦′ )2 + (𝑥𝑧′ )2 𝑑𝑦𝑑𝑧
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 15
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Chú ý
Nếu hình chiếu của 𝑆 xuống mặt phẳng Oxy chỉ là một đường cong
(trường hợp này xảy ra khi 𝑆 là một mặt trụ có đường sinh song song
với trục Oz) thì phải chiếu 𝑆 xuống các mặt phẳng tọa độ khác,
không được chiếu xuống mặt phẳng Oxy.
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 16
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Ví dụ
Tính I ( x 2 y 2 z 2 )dS , trong đó S là phần của mặt nón 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2
S
nằm giữa hai mặt phẳng z = 0 và z = 3.
Z=3
𝐷𝑥𝑦 = { 𝑥, 𝑦 : 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 9}
Phương trình mặt nón: 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2
𝜕𝑧 𝑥 𝜕𝑧 𝑦
= =
𝜕𝑥 𝑥2 + 𝑦2 𝜕𝑦 𝑥2 + 𝑦2
Z=0
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 17
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Ví dụ
𝐼= 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑑𝑆 = 2 𝑥2 + 𝑦2 2𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑆 𝐷𝑥𝑦
Chuyển sang hệ tọa độ cực: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
𝐷𝑟𝜑 = { 𝑟, 𝜑 : 0 ≤ 𝑟 ≤ 3,0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋}
2𝜋 3
𝐼=2 2 𝑟 2 . 𝑟. 𝑑𝑟𝑑𝜑 = 2 2 𝑑𝜑 𝑟 3 𝑑𝑟 = 81 2𝜋
𝐷𝑟𝜑 0 0
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 18
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Ví dụ
Tính I ( x 2 y 2 z 2 )dS , trong đó S là phần của mặt nón 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2
S
nằm giữa hai mặt phẳng z = 0 và z = 3.
Cách 2:
Tham số mặt S qua hệ tọa độ cầu:
𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑦 = 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 ; 𝜃 = 𝜋/4
𝜌 𝜌 𝜌
Do đó: 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧 =
2 2 2
𝐷 𝜌, 𝜑 = 𝜌, 𝜑 : 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝜌 ≤ 3 2
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 19
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Ví dụ
i j k
cos sin 1
r r
2 2 2
sin cos
0
2 2
cos sin
i j k
2 2 2
𝜌2 𝜌2 𝜌
Do đó: 𝐫𝜌 × 𝐫𝜑 = + =
4 4 2
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 20
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
nguon tai.lieu . vn
