Xem mẫu
- 1. Tích phân đường loại 1
2. Tích phân đường loại 2
TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm
- Định nghĩa
An
Mn
A2
An1
M2
A1
M1
A0
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 2
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Định nghĩa
Xét hàm f f ( x, y ) xác định trên đường cong C.
Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởi các điểm A0 , A1,..., An .
Độ dài tương ứng L1, L2 ,..., Ln .
Trên mỗi cung Ai 1 Ai lấy tuỳ ý một điểm M i ( xi , yi ).
n
Lập tổng Riemann: I n f ( M i ) Li
i 1
I lim I n , không phụ thuộc cách chia C, và cách lấy điểm Mi
n
I f ( x, y )dl
C
được gọi là tích phân đường loại một của f = f(x,y) trên cung C.
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 3
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Tính chất
1) Hàm f(x,y) liên tục trên cung C thì khả tích trên C.
2) L(C ) dl 3) fdl fdl 4) ( f g )dl fdl gdl
C C C C C C
5) Tích phân đường loại một không phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C.
6) Nếu C được chia làm hai cung C1 và C2 rời nhau:
fdl fdl fdl
C C1 C2
7) ( x, y ) C , f ( x, y ) g ( x, y ) fdl gdl
C C
8) Định lý giá trị trung bình: Nếu f(x,y) liên tục trên cung trơn C có độ dài
L. Khi đó tồn tại điểm M0 thuộc cung C, sao cho:
fdl f ( M 0 ) L
C
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 4
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Cách tính
f f ( x, y ) xác định trên đường cong C có phương trình: y y ( x), a x b.
Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởi các điểm A0 , A1,..., An .
Độ dài tương ứng L1, L2 ,..., Ln .
Li Ai 1 Ai ( xi xi 1 ) 2 ( yi yi 1 ) 2
(xi ) 2 (yi ) 2
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 5
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Cách tính
Theo công thức Lagrange (Định lý giá trị trung bình) đối với y(x) trong đoạn
[xi–1, xi], ta tìm được một giá trị 𝑥𝑖∗ ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] sao cho:
y ( xi ) y ( xi 1 ) y( xi* ) ( xi xi 1 )
yi y( xi* ) xi
Li (xi ) 2 (yi ) 2
2
(xi ) y( x ) xi
2 *
i
2 2
1 y( x ) (xi ) 1 y( x ) xi
*
i
2 *
i (do xi 0)
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 6
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Cách tính
Sau khi thực hiện phép chia đường cong C, khi đó:
Trên mỗi cung Ai 1 Ai lấy một điểm M i ( xi* , y ( xi* )).
n
Lập tổng Riemann: I n f ( M i ) Li
i 1
n 2
f ( xi , y ( xi ))
* *
1 y( xi )
*
xi
i 1
Do đó:
n 2
I lim I n I f ( x, y )dl lim f ( xi , y ( xi )) 1 y( xi ) xi
* * *
n C n i 1
b
f ( x, y ( x)) 1 y( x) dx
2
a
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 7
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Cách tính
Cung C cho bởi phương trình: y y ( x ) , a xb
b
f ( x, y )dl f ( x, y ( x)) 1 y( x) dx
2
C a
Tương tự, cung C cho bởi phương trình: x x( y ) , c yd
d
f ( x, y )dl f ( x( y ), y ) 1 x( y ) dy
2
C c
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 8
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Cách tính
Cung C cho bởi phương trình tham số: x x(t ) , y y (t ) , t1 t t2
Khi đó:
y(t ) x(t ) y(t )
2 2
y( x) ; dx x(t )dt ; 1 y( x)
2
x(t ) x(t )
t2
f ( x, y )dl f ( x(t ), y (t )) x(t ) y(t )
2 2
dt
C t1
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 9
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Cách tính
Cung C cho trong hệ tọa độ cực: r r ( ) , 1 2
Khi đó, phương trình tham số của cung C: x r ( ) cos , y r ( )sin
x( ) y( ) r 2 ( ) r ( )
2 2 2
2
f ( x, y )dl f r ( ) cos , r ( )sin r ( ) r ( ) d
2 2
C 1
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 10
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Định nghĩa
Tương tự , ta có định nghĩa tích phân đường trong không gian.
f f ( x, y, z ) xác định trên đường cong C trong không gian.
x x(t )
C cho bởi phương trình tham số: y y (t ), t1 t t2
z z (t )
I f ( x, y, z )dl
C
t2
f ( x, y, z )dl f ( x(t ), y (t ), z (t )) x(t ) y(t ) z (t )
2 2 2
dt
C t1
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 11
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Ví dụ
2
x
Tính I x3dl , trong đó C là cung parabol y , 0 x 3
C 2
b
I f ( x, y ( x)) 1 y( x) dx
2
a
3
1 y( x) dx
2
x 3
0
3 58
x 3
1 x dx
2
0 15
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 12
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Ví dụ
Tính I 2 xdl , trong đó C = C1 U C2 , với C1: y = x2, từ (0,0) đến (1,1) và
C
C2 là đường thẳng từ (1,1) đến (1,2).
1
I 2 xdl 2 xdl 2 xdl 2 x 1 y( x) dx
2
C C1 C2 0
2
2.1. 1 x( y ) dy
2
1
1 2 5 5 1
2 x 1 4 x dx 2 1 1 0
2
2
dy 2
0 1 6
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 13
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Tính I (2 x 2 y )dl , với C là nửa trên đường tròn x 2 y 2 1
C
b
Có thể dùng công thức I f ( x, y ( x)) 1 y( x) dx
2
a
nhưng việc tính toán phức tạp.
Viết phương trình tham số cung C.
Đặt: x r cos t ; y r sin t
Vì x 2 y 2 1, nên r = 1.
x cos t
Phương trình tham số của nửa trên đường tròn: ; 0t
y sin t
2
I (2 cos t sin t ) x(t ) y(t ) dt (2 cos t sin t ) dt 2
2 2 2 2
0 0 3
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 14
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Tính I xy 4dl , với C là nửa bên phải đường tròn x 2 y 2 16; x 0.
C
Viết phương trình tham số cung C.
x r cos t
Đặt
y r sin t
Vì x 2 y 2 16 , nên r 4
x 4 cos t
Phương trình tham số của C: ; t
y 4 sin t 2 2
/2 /2 2 6
I 4cos t 4 sin t ( 4sin t ) (4cos t ) dt 4 cos t sin tdt 4
4 4 2 2 6 4
/2 /2 5
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 15
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Tính I ( x 2 y 2 )dl , với C là nửa đường tròn x 2 y 2 2 x; x 1.
C
Viết phương trình tham số cung C.
x r cos t
Đặt
y r sin t
Vì x 2 y 2 2 x , nên r 2cos t
Phương trình tham số của C:
x 2cos t cos t 1 cos 2t
; - t
y 2cos t sin t sin 2t 4 4
/4
I (2 2cos 2t ) ( 2sin 2t ) 2 (2cos 2t ) 2 dt 4 2
/4
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 16
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Tính I 2 xdl , với C là giao của 2 mặt: x 2 y 2 4 ; x z 4.
C
x r cos t
Đặt: y r sin t
z 4 r cos t
Vì x 2 y 2 4, nên r 2
Phương trình tham số của C:
x 2cos t
y 2sin t ; 0 t 2
z 4 2cos t
2
I 4cos t (2sin t ) 2 (2cos t ) 2 (2sin t ) 2 dt 0.
0
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 17
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Tính I ( x y )dl , với C là đường tròn: x 2 y 2 z 2 4; y x.
C
Đường tròn 𝐶 = 𝐶1 ∪ 𝐶2 . Trong đó, 𝐶1 là nửa đường tròn nằm ở phần nửa
mặt cầu bên phải. Tham số đường cong 𝐶1 qua hệ tọa độ cầu.
1
x y r sin t
Đặt 2
z r cos t
Vì x 2 y 2 z 2 4, y x , nên r 2
Phương trình tham số của 𝐶1 :
x y 2 sin t
; 0t
z 2cos t
I1 2 2 sin t 2cos 2 t 2cos 2 t 4( sin t ) 2 dt 8 2
0
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 18
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Tính I ( x y )dl , với C là đường tròn: x 2 y 2 z 2 4; y x.
C
𝐶2 là nửa đường tròn nằm ở phần nửa mặt cầu bên trái. Tham số đường cong
𝐶2 qua hệ tọa độ cầu.
1
x y r sin t
Đặt 2
z r cos t
Vì x 2 y 2 z 2 4, y x , nên r 2
Phương trình tham số của 𝐶2 :
x y 2 sin t
; 0t
z 2cos t
I 2 2 2 sin t 2cos 2 t 2cos 2 t 4( sin t ) 2 dt 8 2 I I1 I 2 0
0
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 19
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Tính I x 2 dl , với C là đường tròn: x y z 4; x y z 0.
2 2 2
C
Viết phương trình tham số đường tròn C (qua hệ tọa độ trụ) phức tạp.
Nhận xét: do đường tròn C đối xứng qua gốc O, hàm dưới dấu tích phân là
hàm chẵn nên:
I x 2dl y 2dl z 2dl
C C C
1
3C
2 2 2
4
I x y z dl dl
3C
4
độ dài đường tròn C (chu vi đường tròn R=2 ).
3
4 16
4
3 3
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 20
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
nguon tai.lieu . vn
