Xem mẫu
- 1. Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba
2. Hệ tọa độ trụ
TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm
3. Hệ tọa độ cầu
4. Ứng dụng hình học
5. Ứng dụng cơ học
- Định nghĩa
f f ( x, y, z ) xác định trên vật thể đóng, bị chặn E .
Chia E một cách tùy ý ra thành n khối hình hộp nhỏ: E1, E2 ,..., En .
Thể tích tương ứng mỗi khối: V ( E1 ),V ( E2 ),...,V ( En ).
Trên mỗi khối Ei lấy tuỳ ý một điểm M i ( xi , yi , zi ).
n
Lập tổng Riemann: I n f ( M i ) V ( Ei )
i 1
I lim I n , không phụ thuộc cách chia E, và cách lấy điểm Mi
n
I f ( x, y, z )dxdydz
E
được gọi là tích phân bội ba của f = f(x,y,z) trên khối E.
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 2
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Tính chất
1) Hàm liên tục trên một khối đóng, bị chặn, thì khả tích trên miền này.
2) VE dxdydz
E
3) f ( x, y, z )dxdydz f ( x, y, z )dxdydz
E E
4) ( f g )dxdydz fdxdydz gdxdydz
E E E
5) Nếu E được chia làm hai khối E1 và E2 rời nhau:
fdxdydz fdxdydz fdxdydz
E E1 E2
6) ( x, y, z ) E , f ( x, y, z ) g ( x, y, z ) fdxdydz gdxdydz
E E
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 3
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Cách tính (Định lý I f ( x, y, z )dxdydz
Fubini): tích phân lặp E z z 2 ( x, y )
Phân tích khối E: Chọn mặt chiếu là 𝑂𝑥𝑦.
Mặt phía dưới: z z1 ( x, y )
Mặt phía trên: z z2 ( x, y )
Hình chiếu: PrOxy E Dxy
z z1 ( x, y )
I f ( x, y, z )dxdydz
E
z2 ( x , y )
dxdy f ( x, y, z )dz
Dxy z1 ( x , y )
Hình chiếu: 𝐷𝑥𝑦
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 4
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Cách tính – Định lý Fubini (tích phân lặp)
Chú ý
• Tương tự ta có 2 công thức tích phân lặp khác, khi chiếu khối E
lên 2 mặt phẳng Oxz, Oyz.
• Thông thường, miền hình chiếu 𝐷𝑥𝑦 sẽ có biên là phương trình
của biên khối E nhưng không chứa 𝑧.
Ta sẽ khử 𝑧 ở trong phương trình của biên khối E, hoặc tìm
phương trình nào không chứa 𝑧 của biên khối E.
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 5
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Tính tích phân bội ba I zdxdydz trong đó E là vật thể:
E
z 2 x y2 , z 0 ; x2 y 2 1
2
Hình chiếu của E xuống Oxy:
D : x2 y 2 1
Mặt phía trên: z2 ( x, y ) 2 x y
2 2
Mặt phía dưới: z1 0
2 x 2 y 2
I zdz dxdy
x 2 y 2 1
0
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 6
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- 2 x 2 y 2
z2
I dxdy
x 2 y 2 1 2 0
(2 x 2 y 2 ) 2
I dxdy . Đổi sang hệ tọa độ cực.
x 2 y 2 1 2
2 r
2
2
2 1
7
I d r dr
0 0 2 6
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 7
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Ví dụ
Tính tích phân bội ba I zdxdydz , trong đó E là vật thể giới hạn bởi:
E
y 1 x, z 1 x 2 , nằm trong góc phần tám thứ nhất.
Hình chiếu của E xuống Oxy:
Tam giác OAB.
Mặt phía trên: z2 ( x, y ) 1 x
2
Mặt phía dưới: z1 0
1
x 2
B
I dxdy zdz
OAB 0 A
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 8
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Ví dụ
1 x 2
I zdz dxdy
OAB 0 A
2 1 x 2
I z dxdy
OAB 2 0
B
2
1 x2 O
I dxdy
OAB 2
1 x
2
2
1 1 x 11
dx dy
0 0 2 60
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 9
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Ví dụ
Tính tích phân I (2 x 3 y )dxdydz , trong đó E là vật thể giới hạn bởi:
E
y x , z 1 y, x 0, z 0.
Mặt phía trên: z 1 y
Mặt phía dưới: z 0
Hình chiếu của E xuống Oxy:
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 10
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Ví dụ
1 y
I 2 x 3 y dz dxdy
D 0
1 y
I (2 x 3 y ) z 0 dxdy
D
I 2 x 3 y (1 y ) dxdy
D
1 1
I dx 2 x 3 y (1 y ) dy
0 x
11
I
60
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 11
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Ví dụ
Tính tích phân I ( z 1)dxdydz , trong đó E là vật thể giới hạn bởi:
E
x y 2 , z x, z 0, x 1.
Mặt phía trên: z x
Mặt phía dưới: z 0
Hình chiếu của E xuống Oxy:
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 12
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Ví dụ
x
I ( z 1)dz dxdy
D 0
2
x
z
I z dxdy
D 2
0
x2
I x dxdy
D 2
1 1 x2
I dy x dx
1 y2 2
38
I
35
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 13
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Đổi biến tổng quát
Định lý:
Giả sử có phép đổi biến: 𝑥 = 𝑥 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑦 = 𝑦 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑤); sao cho
phép đổi biến này là 1-1 (có thể trừ trên biên), và 𝐽 ≠ 0 (có thể 𝐽 = 0 tại một số
điểm hữu hạn), khi đó:
𝐸𝑥𝑦𝑧
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =
𝐸𝑢𝑣𝑤
𝑓(𝑥 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑦 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑤)). 𝐽 . 𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑤
Trong đó:
𝑥′𝑢 𝑥′𝑣 𝑥′𝑤
𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝐽= = 𝑦′𝑢 𝑦′𝑣 𝑦′𝑤
𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤 )
𝑧′𝑢 𝑧′𝑣 𝑧′𝑤
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 14
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Định nghĩa
z Điểm M(x,y,z) trong hệ trục tọa độ Oxyz.
M được xác định duy nhất bởi bộ (r , , z ).
(r , , z ) được gọi là hệ tọa độ trụ của điểm M.
M ( x, y , z ) Công thức đổi biến từ tọa độ Decasters sang
tọa độ trụ:
x r cos
y r sin
z z z
y
xr x xz
r
J yr y yz r
x M1 ( x, y,0)
zr z zz
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 15
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Đổi biến sang tọa độ trụ. I f ( x, y, z )dxdydz
x r cos
E
y r sin Mặt phía dưới: z z1 (r , )
zz
z z2 ( r , ) Mặt phía trên: z z2 (r , )
Hình chiếu: D
Xác định cận r , của D:
1 2
z z1 (r , ) D:
r1 r r2
2 r2 z2 ( r , )
I d dr f (r cos ,r sin , z ) r dz
1 r1 z1 ( r , )
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 16
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Tính tích phân I x 2 y 2 dxdydz , trong đó E là vật thể giới hạn bởi:
E
z 4, z 1 x 2 y 2 , x 2 y 2 1.
Mặt phía trên: z 4
Mặt phía dưới: z 1 r 2
Hình chiếu xuống Oxy: D : x 2 y 2 1
0 2
D:
0 r 1
2 1 4
I d dr r r dz
0 0 1 r 2
2
1
2 4 2 1 12
I d dr r z 2 d (3 r )r dr
2 2
0 0
1 r
0 0 5
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 17
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Tính tích phân I zdxdydz , trong đó E là vật thể giới hạn bởi:
E
z x 2 y 2 , z 2 x 2 y 2 , x 2 y 2 1.
Mặt phía trên: z 2 r 2
Mặt phía dưới: z r 2
Hình chiếu của E xuống O𝑥𝑦:
D : x2 y 2 1
Cận của D:
0 2
D:
0 r 1
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 18
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- 2 r 2
2 1 2 r 2
2 1 2
z
I d dr z r dz d r dr 3
0 2 0 r 0 0 2 r2
Tính tích phân I x 2 z 2 dxdydz , trong đó E: 2 y x 2 z 2 , y 2.
E
Chiếu xuống O𝑥𝑧.
Mặt trên: y 2
r2
Mặt dưới: y
2
Hình chiếu: D : x 2 z 2 4
y
2 2 2 16
I d dr r r dy 2
0 0 r 2 /2 3
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 19
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Định nghĩa
Điểm 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) trong hệ trục tọa độ O𝑥𝑦𝑧.
z M được xác định duy nhất bởi bộ ( , , ).
( , , ) được gọi là hệ tọa độ cầu của điểm M.
M ( x, y , z )
Công thức đổi biến sang tọa độ cầu:
x sin cos
y sin sin
z cos
z cos
y x x x
J y y y J 2 sin
r sin
z z z
x M1 ( x, y,0)
23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 20
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
nguon tai.lieu . vn