Xem mẫu
- 1. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
2. Tọa độ cực
TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm
3. Ứng dụng hình học
4. Ứng dụng cơ học
- Nhắc lại
= lim
n→∞
Bài toán: Tìm diện tích.
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 2
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Định nghĩa
Cho hình trụ được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f f ( x, y ) 0 ,
giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song Oz, tựa trên biên D,
giới hạn dưới bởi miền D = [a,b]x[c,d] (đóng, bị chặn).
Bài toán: Tìm thể tích hình trụ.
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 3
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Định nghĩa
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 4
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Định nghĩa
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 5
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Định nghĩa
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 6
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Định nghĩa
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 7
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Định nghĩa
Cho hình trụ được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f ( x, y ) 0 ,
giới hạn dưới bởi miền D = [a,b]x[c,d] (đóng, bị chặn).
giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song Oz, tựa trên biên D.
Bài toán: Tìm thể tích hình trụ.
1) Chia D một cách tùy ý ra thành n hình chữ nhật rời nhau: D1, D2, ..., Dn.
Có diện tích tương ứng là S D1 , S D2 ,..., S Dn .
2) Trên mỗi miền lấy tùy ý một điểm M i ( xi , yi ) Di
n
3) Thể tích của vật thể: V f ( M i ) S D Vn (tổng Riemann)
i
i 1
4) V lim Vn
n
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 8
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Định nghĩa
Cho f = f (x,y) xác định trên miền đóng và bị chặn D (tổng quát).
Do đó, D có thể được bao kín trong một miền chữ nhật C. y
Xác định hàm F(x,y) như sau: D
C
f ( x, y ) ( x, y ) D
F ( x, y )
0 ( x, y ) D x
n
Nếu giới hạn: I lim F ( M i ) SCi tồn tại hữu hạn, thì ta nói hàm f(x,y)
n
i 1
khả tích trên miền D. Ký hiệu:
I f ( x, y )dxdy
D
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 9
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Tính chất
1) Hàm liên tục trên miền đóng, bị chặn thì khả tích trên miền này.
2) S D dxdy
D
3) f ( x, y ) dxdy f ( x, y ) dxdy
D D
4) f ( x, y ) g ( x, y ) dxdy f ( x, y )dxdy g ( x, y )dxdy
D D D
5) Nếu D được chia làm hai miền D1 và D2 rời nhau:
f ( x, y )dxdy f ( x, y )dxdy f ( x, y )dxdy
D D1 D2
6) ( x, y ) D, f ( x, y ) g ( x, y ) fdxdy gdxdy
D D
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 10
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Ví dụ
Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f ( x, y ) 16 x 2 2 y 2
giới hạn dưới bởi hình vuông: R [0,2] [0,2]
giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song Oz, tựa trên biên R.
Ước lượng thể tích của vật thể trong các trường hợp sau:
a) Chia R thành 4 phần bằng nhau;
b) Chia R thành 16 phần bằng nhau;
c) Chia R thành 64 phần bằng nhau;
d) Chia R thành 256 phần bằng nhau;
e) Tính thể tích của vật thể.
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 11
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- 4
V Vn f ( M i ) S Di
i 1
S Di 1,i 1,...,4.
V f (1,1) f (1, 2) f (2,1) f (2, 2)
V 13 7 10 4 34.
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 12
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 13
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 14
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 15
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Cách tính (Định lý Fubini): Cho f liên tục trên miền đóng và bị chặn D.
tích phân lặp
y = y2(x)
y = y1(x)
a b
1) Giả sử D xác định bởi:
a x b b y2 ( x )
I f ( x, y )dxdy dx f ( x, y )dy
y1 ( x) y y2 ( x) D a y1 ( x )
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 16
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Định lý Fubini: tích phân lặp
a xb b g2 ( x )
R: I f ( x, y )dxdy dx f ( x, y )dy
g1 ( x) y g 2 ( x) R a g1 ( x )
y
g2(x)
g1(x)
a b x
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 17
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Cách tính (Định lý Fubini): tích phân lặp x = x1(y)
d
x = x2(y)
c
2) Giả sử D xác định bởi:
c y d d x2 ( y )
I f ( x, y )dxdy dy f ( x, y )dx
x1 ( y ) x x2 ( y ) D c x1 ( y )
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 18
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Định lý Fubini: tích phân lặp
c yd d h2 ( y )
R: I f ( x, y )dxdy dy f ( x, y )dx
h1 ( y ) x h2 ( y ) R c h1 ( y )
y
d
c
h1(y) h2(y)
x
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 19
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Giải câu e) 0 x 2
2
0 y 2
2
2 2
Tính thể tích của vật thể: V 16 x 2 y dxdy dx 16 x 2 2 y 2 dy
2 2
R 0 0
2 3 2
y 2
2 16
(16 x ) y 2 dx 32 2 x dx 48
2
0 3 0 0 3
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 20
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
nguon tai.lieu . vn