1. Trang Chủ
  2. Toán học
  3. Bài giảng Giải tích 2: Chương 2 - TS. Nguyễn Văn Quang

Bài giảng Giải tích 2: Chương 2 - TS. Nguyễn Văn Quang

Bài giảng Giải tích 2: Chương 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Đạo hàm riêng, vi phân; Đạo hàm riêng, vi phân của hàm hợp; Đạo hàm riêng, vi phân của hàm ẩn; Đạo hàm theo hướng; Công thức Taylor, Maclaurint; Cực trị hàm nhiều biến. Mời các bạn cùng tham khảo! 1. Đạo hàm riêng, vi phân 2. Đạo hàm riêng, vi phân của hàm hợp 3. Đạo hàm riêng, vi phân của hàm ẩn 4. Đạo hàm theo hướng TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm 5. Công thức Taylor, Maclaurint 6. Cực trị hàm nhiều biến Định nghĩa đ

Thể loại Tài liệu miễn phí Toán học

Số trang 136

Ngày tạo 10/4/2021 6:44:42 PM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 5.91 M

Tên tệp

Tải Bài giảng Giải tích 2: Chương 2 - TS. Nguyễn Văn Q... (.pdf)

Xem mẫu

  1. 1. Đạo hàm riêng, vi phân 2. Đạo hàm riêng, vi phân của hàm hợp 3. Đạo hàm riêng, vi phân của hàm ẩn 4. Đạo hàm theo hướng TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm 5. Công thức Taylor, Maclaurint 6. Cực trị hàm nhiều biến
  2. Định nghĩa đạo hàm riêng theo biến 𝒙 Cho hàm hai biến 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) với điểm 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) cố định. Xét hàm một biến 𝐹 𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦0 ) theo biến 𝑥. Đạo hàm của hàm một biến 𝐹(𝑥) tại 𝑥0 được gọi là đạo hàm riêng theo biến 𝑥 của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) tại 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ), ký hiệu: f ( x0 , y0 ) F ( x0  x)  F ( x0 )  f x ( x0 , y0 )  lim x x 0 x f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 )  lim x 0 x 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 2 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  3. Định nghĩa đạo hàm riêng theo biến 𝒚 Cho hàm hai biến 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) với điểm 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) cố định. Xét hàm một biến 𝐹 𝑦 = 𝑓(𝑥0 , 𝑦) theo biến 𝑦. Đạo hàm của hàm một biến 𝐹(𝑦) tại 𝑦0 được gọi là đạo hàm riêng theo biến 𝑦 của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) tại 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ), ký hiệu: f ( x0 , y0 ) F ( y0  y )  F ( y0 )  f y ( x0 , y0 )  lim y y 0 y f ( x0 , y0  y )  f ( x0 , y0 )  lim y 0 y 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 3 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  4. Ghi nhớ Đạo hàm riêng của 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) tại 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) theo 𝑥 là đạo hàm của hàm một biến 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦0 ). Đạo hàm riêng của 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) tại 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) theo 𝑦 là đạo hàm của hàm một biến 𝑓 = 𝑓(𝑥0 , 𝑦). Qui tắc tìm đạo hàm riêng Để tìm đạo hàm riêng của 𝑓 theo biến 𝑥, ta coi 𝑓 là hàm một biến 𝑥, biến còn lại 𝑦 là hằng số. 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 4 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  5. 𝑓(𝑥, 𝑦) biễu diễn bởi mặt 𝑆 (màu xanh). Giả sử 𝑓 𝑎, 𝑏 = 𝑐, nên điểm 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈ 𝑆. Cố định 𝑦 = 𝑏. Đường cong 𝐶1 là giao của 𝑆 và mặt phẳng 𝑦 = 𝑏. Phương trình của đường cong 𝐶1 là 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑏). Hệ số góc của tiếp tuyến 𝑇1 với đường cong 𝐶1 là: 𝑔′ 𝑎 = 𝑓𝑥′ (𝑎, 𝑏) Đạo hàm riêng theo 𝑥 của 𝑓(𝑥, 𝑦) là hệ số góc của tiếp tuyến 𝑇1 với đường cong 𝐶1 tại 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐). Tương tự, đạo hàm riêng theo 𝑦 của 𝑓(𝑥, 𝑦) là hệ số góc của tiếp tuyến 𝑇2 với đường cong 𝐶2 tại 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐). 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 5 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  6. Ví dụ Cho hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 = 4 − 𝑥 2 − 2𝑦 2 . Tìm 𝑓𝑥′ (1,1) và biễu diễn hình học của đạo hàm riêng này. 𝑓𝑥′ 𝑥, 𝑦 = −2𝑥 → 𝑓𝑥′ 1,1 = −2 Mặt bậc hai 𝑓(𝑥, 𝑦). Mặt phẳng 𝑦 = 1 cắt ngang được đường cong 𝐶1 . Tiếp tuyến với 𝐶1 tại (1,1,1) là đường thẳng màu hồng. Hệ số góc của tiếp tuyến với 𝐶1 tại (1,1,1) là đạo hàm riêng cần tìm. 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 6 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  7. Ví dụ Biễu diễn hình học của 𝑓𝑥′ (1,1): 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 7 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  8. Tính chất của đạo hàm riêng Vì đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm một biến nên tính chất của đạo hàm riêng cũng có tính chất của đạo hàm của hàm một biến. 1) ( f )x   f x 2) ( f  g )x  f x  g x 3)  f  g  x  f x  g  f  g x  f  gf x  fg x 4)    2  x g g Hàm một biến: hàm có đạo hàm cấp 1 tại 𝑥0 thì hàm liên tục tại 𝑥0 . Hàm nhiều biến: tồn tại hàm có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (x0,y0) nhưng chưa chắc hàm đã liên tục tại điểm này. 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 8 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  9. Ví dụ Tìm đạo hàm riêng f x (1, 2), f y (1, 2) , biết f ( x, y )  ln( x 2  2 y 2 )  f x ( x, y )  ln( x 2  2 y 2 ) x  2x 2 f x ( x, y )   f x (1, 2)  x2  2 y 2 9  f y ( x, y )  ln( x 2  2 y 2 ) y  4y 8 f y ( x, y )  2  f y (1, 2)  x  2 y2 9 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 9 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  10. Ví dụ Tìm đạo hàm riêng f x (1, 2), f y (1, 2) , biết f ( x, y )  ( x  2 y ) y  f x ( x, y )  ( x  2 y ) y x  f x ( x, y )  y ( x  2 y ) y 1  f x (1, 2)  10 ln f  y ln( x  2 y ) f y 2 Đạo hàm riêng hai vế theo y, ta có:  ln( x  2 y )  y  f x  2y y 2   f y ( x, y )  ( x  2 y ) ln( x  2 y )  y   x  2 y  4   f y ( x, y )  25(ln 5  ) 5 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 10 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  11. Ví dụ Cho f ( x, y )  x 2  y 3 1) Tìm f x (1,1) 2) Tìm f x (0,0) 3) Tìm f y (0,0) 1) f x ( x, y )   x y 2 3   x  x x2  y3  f x (1,1)  1 2 2) Không thể thay (0,0) vào công thức để tìm f x (0,0) . Ta sử dụng định nghĩa: f (0  x,0)  f (0,0) (x) 2  0  0 | x |  f x (0,0)  lim  lim  lim x 0 x x0 x x0 x Không tồn tại giới hạn này vì giới hạn trái và giới hạn phải không bằng nhau. f (0,0  y )  f (0,0) ( y ) 3  0 3) Tương tự: f y (0,0)  lim  lim khong  y 0 y y  0 y 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 11 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  12. Ví dụ x2  y 2 t2 Cho f ( x, y )   e dt 1 Tìm f x ( x, y ), f y ( x, y ).       2 x y  2 2 t2 x y 2 2 x2  y 2 x f x ( x, y )    e dt   e  x y 2 2 e    x x2  y 2  1 x Vì biểu thức đối xứng đối với x và y nên, đổi chỗ x và y cho nhau ta được đạo hàm riêng theo y. x2  y 2 y  f y ( x, y )  e  x2  y 2 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 12 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  13. Ví dụ e 1/( x 2  y 2 ) , x 2  y 2  0 Cho f ( x, y )    0, x2  y 2  0 Tìm f x (0,0). 1/( x )2 f (0  x,0)  f (0,0) e f x (0,0)  lim  lim x 0 x x0 x 1 Đặt t  , suy ra t   x t 2  f x (0,0)  lim te 0 (sử dụng qui tắc Lopital) t  30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 13 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  14. Đạo hàm riêng cấp cao Cho hàm hai biến 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦). Đạo hàm riêng theo 𝑥 và theo 𝑦 là những hàm hai biến 𝑥 và 𝑦. Ta có thể lấy đạo hàm riêng của hàm 𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦):  f 2   2 f  x f  ( x , y )   x xx  f  ( x , y )  ( x, y )  f x ( x, y )  y  f xy ( x, y )  ( x, y ) x 2 yx Tương tự, có thể lấy đạo hàm riêng của hàm 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦):   2  f  f y ( x, y)  y  f yy ( x, y)  y 2 ( x, y) 2 f   f y ( x, y)  x  f yx ( x, y)  xy ( x, y)   Tiếp tục quá trình, ta có khái niệm các đạo hàm cấp cao. Vì đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm một biến nên việc tính đạo hàm riêng cấp cao cũng tương tự tính đạo hàm cấp cao của hàm một biến: dùng công thức Leibnitz và các đạo hàm cấp cao thông dụng. 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 14 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  15. Chú ý Nói chung 𝜕2𝑓 𝜕2𝑓 (𝑥0 , 𝑦0 ) ≠ (𝑥0 , 𝑦0 ) 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑥 nên khi lấy đạo hàm riêng cấp cao ta phải chú ý đến thứ tự lấy đạo hàm. Định lý Cho hàm f(x,y) và các đạo hàm riêng f x, f y , f xy , f yx xác định trong lân cận của ( x0 , y0 ) và liên tục tại điểm này. Khi đó: 2 f 2 f ( x0 , y0 )  ( x0 , y0 ) xy yx 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 15 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  16. Ví dụ Chứng tỏ rằng hàm f ( x, y )  e x sin y thỏa phương trình Laplace: 2 f 2 f  2 0 x 2 y f x ( x, y )  e x sin y f xx  e x sin y f y ( x, y )  e x cos y   e x sin y f yy 2 f 2 f  2  2  e x sin y  e x sin y  0. x y Hàm 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) thỏa phương trình Laplace được gọi là hàm điều hòa. Hàm điều hòa đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết fluid flow, heat conduction, electric potential,…. 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 16 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  17. Ví dụ Chứng tỏ rằng hàm 𝑢 𝑥, 𝑡 = sin⁡(𝑥 − 𝑎𝑡) thỏa phương trình sóng:  2u  2 u a 2 t 2 x 2 ut ( x, t )  a cos( x  at ) utt   a 2 sin( x  at ) ux ( x, t )  cos( x  at ) uxx   sin( x  at )  2u  2 u  2 a 2   a 2 sin( x  at ) t x 2 Phương trình sóng mô tả sự chuyển động của các loại sóng: sóng biển, sóng âm thanh hay sóng chuyển động dọc theo một sợi dây rung. 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 17 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  18. Ví dụ 1 𝑥2 Chứng tỏ rằng 𝑢 𝑡, 𝑥 = 𝑒𝑥𝑝 − 2 thỏa phương trình 2𝑎 𝜋𝑡 4𝑎 𝑡 truyền nhiệt: u  2 u a 2 t x 2 1  x 2 /(4 a 2t )  2 x  x 2  2a 2t  x 2 /(4 a 2t ) ux ( x, t )  e  2   uxx ( x, t )  5 2 e 2a  t  4a t )  8a t  t u  1 2   2 2  x /(4 a t ) 2 x 2 a t  x 2 /(4 a 2t )  e   32 e t  2a  t  t 8a t  t u  2 u  a 2 t x 2 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 18 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  19. Ví dụ  xy , x 2  y 2  0  x2  y 2 Cho f ( x, y )    0, 2  2 0  x y Tìm f xx (0,0). f (0  x,0)  f (0,0) 00 f x (0,0)  lim  lim 0 x 0 x x0 x  y 3  yx 2  2 , x 2  y 2 0   2  h( x, y )  f x ( x, y )   x  y 2   0, x 2  y 2 0 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 19 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  20. Ví dụ Tìm đạo hàm riêng cấp hai: h(0  x,0)  h(0,0) f xx (0,0)  hx (0,0)  lim x 0 x 00   f xx (0,0)  lim 0 x 0 x Tương tự tìm được f yy (0,0)  0 và f xy (0,0); f yx (0,0) Chú ý: Để tìm đạo hàm riêng cấp hai tại (𝑥0, 𝑦0) ta phải tìm đạo hàm riêng cấp một f x ( x, y ) tại mọi điểm (tức là tìm hàm f x ( x, y ) ). Hàm này có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (0,0) nhưng không liên tục tại đây. 30-Jan-21 TS. Nguyễn Văn Quang 20 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
nguon tai.lieu . vn
Toán học Môi trường Vật lý Sinh học Địa Lý Hoá học Nông - Lâm - Ngư Cơ khí - Chế tạo máy Tiếng Anh phổ thông Khoa học ứng dụng Nông - Lâm Kiến thức tổng hợp Giáo dục học Xã hội học