1. Trang Chủ
  2. Toán học
  3. Bài giảng Giải tích 1 - ĐH Phạm Văn Đồng

Bài giảng Giải tích 1 - ĐH Phạm Văn Đồng

Bài giảng Giải tích 1 có nội dung bao gồm các khái niệm nền tảng của toán học như: Giới hạn của hàm số; Hàm số liên tục; Phép tính vi phân, tích phân của hàm số một biến; Hàm số nhiều biến số; Ứng dụng phép tính vi phân vào hình học. Đây là phần kiến thức toán học cần thiết cho sinh các ngành: Kinh tế, Kỹ thuật,...của các trường Đại học. UBND TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Dành cho sinh viên ngành Kinh tế, Kỹ thuật Biên soạn: ThS. PHAN BÁ TRÌNH Quảng Ngãi, Thá

Thể loại Tài liệu miễn phí Toán học

Số trang 181

Ngày tạo 10/16/2021 3:08:46 AM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 2.63 M

Tên tệp

Tải Bài giảng Giải tích 1 - ĐH Phạm Văn Đồng (.pdf)

Xem mẫu

  1. UBND TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Dành cho sinh viên ngành Kinh tế, Kỹ thuật Biên soạn: ThS. PHAN BÁ TRÌNH Quảng Ngãi, Tháng 7 - 2021 1
  2. LỜI NÓI ĐẦU "Bài giảng Giải tích 1" có nội dung bao gồm các khái niệm nền tảng của toán học như: Giới hạn cuả hàm số; Hàm số liên tục; Phép tính vi phân, tích phân của hàm số một biến; Hàm số nhiều biến số; Ứng dụng phép tính vi phân vào hình học. Đây là phần kiến thức toán học cần thiết cho sinh các ngành: Kinh tế, Kỹ thuật,...của các trường Đại học. Với mục đích và ý nghĩa trên, chúng tôi biên soạn và giới thiệu tài liệu: "Bài giảng tích 1" nhằm giúp cho sinh viên, giáo viên giảng dạy và các bạn yêu thích bộ môn Toán làm tài liệu học tập hoặc tham khảo. Tài liệu này được chia làm 6 chương: Chương 1: Giới hạn và tính liên tục Chương 2: Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến số. Chương 3: Nguyên hàm và tích phân bất định Chương 4: Tích phân xác định. Chương 5: Hàm số nhiều biến số Chương 6: Ứng dụng phép tính vi phân vào hình học Chương 1. Chúng tôi trình bày về hàm số một biến số thực; giới hạn của hàm số và hàm số liên tục. Chương 2. Chúng tôi trình bày về đạo hàm và vi phân của hàm số một biến; Đạo hàm và vi phân cấp cao. Khai triển Taylor; Sử dụng quy tắc L'Hôpital để tính giới hạn hàm số; Khảo sát hàm số, hàm số cho bởi phương trình tham số và phương trình cho bởi hệ tọa độ cực. Chương 3. Chúng tôi trình bày về nguyên hàm và tích phân bất định. Tích phân bất định của các hàm số hữu tỉ; Tích phân của các hàm số lượng giác; Tích phân của các hàm số vô tỉ. Chương 4. Chúng tôi trình bày về Tích phân xác định; Các phương pháp tính tích phân xác định; Ứng dụng của tích phân xác định. Tích phân suy rộng. Chương 5. Chúng tôi trình bày về Định nghĩa hàm số nhiều biến; Đạo hàm và vi phân; Cực trị hàm số nhiều biến số. 2
  3. Chương 6. Chúng tôi trình bày về Ứng dụng phép tính vi phân vào hình học phẳng; Tiếp tuyến của đường cong; Độ cong của đường cong phẳng; Đường tròn chính khúc -Khúc tâm; Đường cong phụ thuộc tham số. Đường túc bế, thân khai. Hàm vectơ; Độ cong trong không gian; Mặt trong không gian. Sau mỗi chương chúng tôi có giới thiệu một hệ thống bài tập phù hợp với nội dung kiến thức vừa trình bày, nhằm giúp cho sinh viên luyện tập, củng cố và khắc sâu kiến thức. Chúng tôi hy vọng rằng, đây là một tài liệu học tập bổ ích cho sinh viên, là nguồn tư liệu phong phú cho quý Thầy, Cô giáo tham khảo, nghiên cứu. Đây là lần viết đầu tiên, chắc chắn tài liệu này còn nhiều thiếu sót. Chúng tôi hết sức chân thành cảm ơn sự góp ý, nhận xét của bạn đọc về mọi phương diện để nội dung tài liệu ngày càng được tốt hơn. ThS. Phan Bá Trình 3
  4. MỤC LỤC Lời nói đầu .............................................................................................................2 Mục lục...................................................................................................................4 Chương 1.Giới hạn và tính liên Bài 1. Hàm số một biến số ....................................................................................6 Bài 2.Giới hạn hàm .............................................................................................17 Bài 3. Hàm số liên tục .........................................................................................25 Bài tập chương 1 .................................................................................................36 Chương 2. Đạo hàm và vi phân của hàm số một Bài 1. Khái niệm đạo hàm ...................................................................................39 Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm .........................................................................45 Bài 3. Vi phân ......................................................................................................49 Bài 4. Các định lý cơ bản về hàm khả vi ............................................................54 Bài 5. Công thức Taylor ......................................................................................58 Bài 6. Một số ứng dụng của đạo hàm và vi phân ................................................63 Bài tập chương 2. .................................................................................................90 Chương 3. Nguyên hàm và tích phân bất định Bài 1. Nguyên hàm và tích phân bất định ...........................................................93 Bài 2.Các phương pháp tính tích phân bất định ..................................................96 Bài tập chương 3 ...............................................................................................108 Chương 4. Tích phân xác định Bài 1. Khái niệm về tích phân xác định ............................................................109 Bài 2.Phương pháp tính tích phân xác định ......................................................117 Bài 3.Ứng dụng của tính tích phân xác định .....................................................123 Bài 4.Tích phân suy rộng ..................................................................................131 Bài tập chương 4. ...............................................................................................139 Chương 5. Hàm số nhiều biến số Bài 1. Định nghĩa hàm số nhiều biến số ...........................................................141 Bài 2. Giới hạn và sự liên tục hàm số nhiều biến số .........................................147 Bài 3. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần ......................................................151 Bài 4. Cực trị của hàm số nhiều biến số ............................................................163 Bài tập chương 5 ...............................................................................................169 4
  5. Chương 6. Ứng dụng của phép tính vi phân vào hình học Bài 1. Ứng dụng của phép tính vi phân vào hình học phẳng ............................171 Bài 2. Ứng dụng của phép tính vi phân vào hình học không gian ....................177 Tài liệu tham khảo .............................................................................................181 5
  6. Bài giảng Giải tích 1 Chương 1. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC Bài 1: HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC 1.1. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ, ĐỒ THỊ HÀM SỐ. 1.1.1 ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ 1.1.1.1 ĐỊNH NGHĨA. Hàm số là một ánh xạ f đi từ tập D  R vào tập R. Người ta thường viết gọn một hàm số: f :DR x  y  f ( x) Trong đó: x được gọi là biến số (đối số). y  f (x) : được gọi là giá trị của hàm số tại x. D: được gọi là miền xác định của hàm số f (x). (Tập tất cả các giá trị của x sao cho hàm số có nghĩa) f ( D)  y  R : x  D; y  f ( x)  R là miền giá trị của hàm số. Nếu x  x0  D thì y0  f ( x0 ) gọi là giá trị của hàm số tại x0 . Ví dụ 1.1 1 a. Hàm số y  có miền xác định D  R \ 0 . x b. Hàm số y  2 x 2  3x  1 là hàm bậc hai, có miền xác định D  R . c. Hàm số y  1  x 2 có miền xác định   D  x  R : 1  x 2  0  x  R : 1  x  1 . d. Hàm số y  f ( x)  x là hàm đồng nhất, thường ký hiệu: id(x). e. Hàm số y  f ( x)  E ( x) là hàm số phần nguyên của x. (nghĩa là E(x) là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x. Chẳng hạn: E (2,8)  3; E(0)  0; E(3)  3; E(2,4)  2...... Ví dụ 1.2 Cho hàm số y  f ( x)  4  x 2  ln( x 2  3x  2) i. Tìm miền xác định của hàm số. ii. Tìm giá trị của hàm số tại x  1; x  0 . Giải. i. Hàm số xác định khi và chỉ khi: 4  x 2  0  2  x  2  2   2  x  1 .  x  3x  2  0 ( x  1)  (x  2) 6 ThS. Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng
  7. Bài giảng Giải tích 1 Vậy miền xác định của hàm số đã cho là tập: D   2; 1 . ii. Tại x  1 , ta có y  f (1)  4  (1) 2  ln (1) 2  3(1)  2  3  ln 6 . Tại x  0 , ta có y  f (0)  4  0 2  ln 0 2  3.0  2   2  ln 2 . 1.1.1.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHO HÀM SỐ (1) Phương pháp giải tích: Cho hàm số bởi biểu thức giải tích a. Cho bởi một biểu thức Ví dụ 1.3 i. y  f ( x)  2 x 2  3x  1 ii. y  f ( x)  sin 2 x. cos x y b. Cho bởi nhiều biểu thức  x 2  1 ; khi x  0 1 Ví dụ 1.4 i. y  f ( x)   2 x  3 ; khi x  0 x 0  1 ; khi x  0 -1 ii. y  f (x)   0 ; khi x  0  1 ; khi x  0  Đây là hàm dấu của x (Hình 1.1). Hình 1.1 Ký hiệu: sign x. Đọc là: signum x. (2) Phương pháp cho theo bảng: Phương pháp giải tích thường được dùng trong những nghiên cứu lý thuyết, nhưng nhiều khi nó không tiện lợi trong thực hành vì phải tính đủ mọi phép toán khi tính giá trị của hàm số. Để tránh điều đó, người ta thường dùng phương pháp cho theo bảng như sau. Cho một dãy các giá trị tương ứng của x và một dãy các giá trị tương ứng của y. Ví dụ 1.5 Cho hàm số f(x) theo bảng giá trị sau: x 1 2 3 4 ........ f(x) 1 4 9 16 ........ (3) Phương pháp đồ thị. Đồ thị của hàm số cho ta có một hình ảnh hình học nhận biết dễ dàng nhiều tính chất của hàm số đó. Vì thế, trong kinh tế và kỹ thuật người ta cho hàm số bằng cách cho đồ thị của nó. Nhược điểm của phương pháp cho theo bảng và phương pháp cho hàm số bằng đồ thị là thiếu chính xác. 1.1.1.3 PHÉP TOÁN TRÊN CÁC HÀM SỐ. Cho hàm số y  f (x) có miền xác định là D1 và g  g (x) có miền xác định là D2 . Đặt D  D1  D2 , hàm số F xác định trên D được gọi là tổng (hiệu, tích, thương) của các hàm số f và g nếu với mỗi x  D ta có: 7 ThS. Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng
  8. Bài giảng Giải tích 1 f ( x) F ( x)  f ( x)  g ( x); ( f ( x)  g ( x); f ( x).g ( x); với g ( x)  0) . g ( x) 1.1.2 ĐỒ THỊ HÀM SỐ Cho hàm số y  f (x) có miền xác định là D. Tập hợp các điểm M ( x; y ) với x  D trong mặt phẳng Oxy thoả mãn đẳng thức y  f (x) được gọi là đồ thị của hàm số y  f (x) . Chú ý 1.1 Đồ thị của hàm số có thể là một tập điểm rời rạc hữu hạn hoặc vô hạn, có thể là tập những mảnh cung đứt đoạn và cũng có thể là một cung liền. Ví dụ 1.6 i. Đồ thị hàm số y   x  1 là đường thẳng (Hình 1.2). ii. Đồ thị hàm số y  x 2  1 là một parabol (Hình 1.3). y y 1 y  x  1 2 y  x 1 x 1 0 1 0 x -1 1 Hình 1.2 Hình 1.3 1.2 HÀM SỐ HỢP - HÀM SỐ NGƯỢC. 1.2.1 Hàm số hợp: Giả sử X  R; Y  f ( X )  R và Z  R . Cho hàm số f : X  Y và g : Y  Z . Xét hàm số h : X  Z được xác định h( x)  g  f ( x); x  X . Khi đó, h được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và g. Ký hiệu: g 0 f hay g. f . Vậy: h( x)   g 0 f ( x)  g  f ( x) . Ví dụ 1.7 Cho hai hàm số f ( x)  3 x và g ( x)  cos x . Khi đó: i. g 0 f ( x)  g  f ( x)  g (3 x )  cos 3 x ii. f 0 g ( x)  f g ( x)  f (cos x)  3cos x iii. g 0 g ( x)  g g ( x)  g (cos x)  cos(cos x) . 1.2.2 Hàm số ngược: Cho hàm số: f : X Y  R x  y  f (x) Nếu tồn tại hàm số: g :Y  X  R y  g ( y)  x thì hàm số g là hàm số ngược của hàm số f. Ký hiệu: g  f 1 . Ta có: g ( y )  f 1 ( y )  f 1  f ( x)   x . 8 ThS. Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng
  9. Bài giảng Giải tích 1 Đồ thị của hàm số ngược f 1 đối xứng với đồ thị hàm số f qua đường phân giác thứ nhất. Ví dụ 1.8 i. Cho hàm số f : R  R x  y  f ( x)  x f có hàm số ngược là: 1 f : R  R y  x  f 1 ( y )  y 2 (Thường viết lại là: y  f 1 ( x)  x 2 ). ii. Cho hàm số: f : R \ 1  R 3x x  y  f ( x)  x 1 3x y Ta có: y  f ( x)  y  x ; ( y  3) . x 1 y 3 x Vậy hàm ngược là: y  f 1 ( x)  , có miền xác định là: R \ 3 . x3 iii. Cho hàm số: y  a x ; (a  0; a  1) . Khi đó, thì hàm số là: y  log a x . Vì f 1 ( y )  log a (a x )  x . 1.3 CÁC LOẠI HÀM ĐẶC BIỆT 1.3.1 Hàm số bị chặn (hàm giới nội). a. Hàm số y  f (x) được gọi là bị chặn trên (dưới) trong tập X  D (D là miền xác định), nếu tồn tại k  R sao cho mọi x  X , ta có: f ( x)  k ;  f ( x)  k  . b. Hàm số y  f (x) được gọi là bị chặn trong tập X nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. Nghĩa là: tồn tại k  0 sao cho f ( x)  k ; x  X . Ví dụ 1.9 Hàm số y  sin x; y  cos x là các hàm số bị chặn trong R. Vì sin x  1; cos x  1; x  R . 1.3.2 Hàm số đơn điệu (tăng: đồng biến; giảm: nghịch biến). a. Hàm số y  f (x) được gọi là đơn điệu tăng (giảm) trên miền xác định D, nếu x1 ; x2  D : x1  x2 thì f ( x1 )  f ( x2 );  f ( x1 )  f ( x2 )  . b. Hàm số y  f (x) được gọi là tăng nghiêm ngặt (giảm nghiêm ngặt) trên miền xác định D, nếu x1 ; x 2  D : x1  x 2 thì f ( x1 )  f ( x 2 );  f ( x1 )  f ( x 2 )  . 1 Ví dụ 1.10 i. Hàm số y  là đơn điệu giảm trên từng khoảng (;0) ; (0;) . x 9 ThS. Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng
  10. Bài giảng Giải tích 1 ii. Hàm số y  x 2 giảm trong khoảng (;0) và tăng trong khoảng (0;) . iii. Hàm số y  ax  b đơn điệu tăng với a  0 ; đơn điệu giảm với a  0 và bằng hằng số với a  0 . 1.3.3 Hàm số chẵn, lẻ. Cho hàm số y  f (x) xác định trên tập D đối xứng, nghĩa là  x, x  D , x  D a. Hàm số y  f (x) được gọi là hàm số chẵn trên tập D đối xứng nếu: f ( x)  f ( x) , x  D b. Hàm số y  f (x) được gọi là hàm số lẻ trên tập D đối xứng nếu: f ( x)   f ( x) , x  D Nhận xét 1.2 i. Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. ii. Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. Ví dụ 1.11 i. Hàm số y  f ( x)  x 2  1 là hàm số chẵn trên R. Vì x  R ta có:  x  R và f ( x)  ( x) 2  1  x 2  1  f ( x) . ii. Hàm số y  f ( x)  2 x 3 là hàm số lẻ trên R. Vì x  R ta có:  x  R và f ( x)  2( x) 3  2 x 3   f ( x) . Tính chất của các hàm chẵn, lẻ. i. Tổng, hiệu của hai hàm số chẵn (lẻ) là một hàm số chẵn (lẻ). ii. Tích của hai hàm số cùng chẵn (hoặc cùng lẻ) là một hàm số chẵn. iii. Tích của một hàm số lẻ với một hàm số chẵn là một hàm số lẻ. iv. Mọi hàm số f(x) đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của một hàm số chẵn và f ( x)  f ( x) f ( x)  f ( x) một hàm số lẻ. Cụ thể: f ( x)   . 2 2 1.3.4 Hàm số tuần hoàn. a. Định nghĩa. Cho hàm số y  f (x) xác định trên tập D. Hàm số y  f (x) được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu x  D;  L  0 sao cho x  L  D và f ( x  L)  f ( x) . b. Chu kỳ của hàm tuần hoàn. Giả sử y  f (x) là hàm số tuần hoàn. Nếu tồn tại số dương T nhỏ nhất sao cho: f ( x  kT )  f ( x); x  X ; k  Z thì được gọi là chu kỳ của hàm tuần hoàn y  f (x) . Ví dụ 1.12 i. Hàm số y  f ( x)  sin x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T  2 . ii. Hàm số y  f ( x)  x  x  x (phần thập phân của x), được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T=1. Đồ thị hàm số y  f ( x)  x  x  x (Hình 1.4). 10 ThS. Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng
  11. Bài giảng Giải tích 1 y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x (Hình 1.4) 1.4 CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN. 1.4.1 Hàm số hằng. Hàm số có dạng y  f ( x)  C ; (C là hằng số) x  R . Đồ thị của hàm số hằng y  f ( x)  C là đường thẳng song song với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm (0; C). 1.4.2 Hàm số luỹ thừa. Hàm số có dạng y  f ( x)  x  ;   R;  0 . Miền xác định của hàm số lũy thừa phụ thuộc vào  .  Đồ thị của hàm số y  x luôn đi qua điểm (1;1) và qua gốc toạ độ O(0;0). Các công thức về hàm lũy thừa: 1  i. x   ; ii.  x   x  ; iii. x  .x   x    ; iv. ( x  )   x  .  . x 1.4.3 Hàm số mũ. Hàm số có dạng y  f ( x)  a x ; (0  a  1; a  R ). y Hàm số mũ có miền xác định D  (;)  R và có miền giá trị V  (0;) . a>1 0
  12. Bài giảng Giải tích 1 ii. Nếu a  e  2,71818 (cơ số Néper) thì ta viết log e x  ln x . Các công thức về hàm logarit. Với x, y  0; 0  a, b, c  1 , ta có: x i. log a xy  log a x  log a y ; log a  log a x  log a y . y 1 ii. log a x    log a x ; log a x   log a x .  iii. a log x  x a ; log a c  log a b. log b c . 1.4.5 Các hàm số lượng giác (hay hàm tròn). a. Hàm số y  f ( x)  sin x và hàm số y  f ( x)  cos x Miền xác định D  R và có miền giá trị V   1;1 Hàm số y  f ( x)  sin x và y  f ( x)  cos x là các hàm bị chặn, tuần hoàn với chu kỳ T  2 . Hàm số y  f ( x)  sin x là hàm lẻ; hàm số y  f ( x)  cos x là hàm chẵn. Đồ thị (Hình 1.7): y  cos x y  sin x y  3    2 2 . 3 0 x  2 2 y Hình 1.7 b. Hàm số y  f ( x)  tan x và hàm số y  f ( x)  cot x .  Miền xác định:Hàm số y  f ( x)  tan x có miền xác định D   x    k ; k  Z .  2  Hàm số y  f ( x)  cot x có miền xác định D  x  k ; k  Z . y  3  2 2 x 3     0 2 2 Hình 1.8 12 ThS. Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng
  13. Bài giảng Giải tích 1 Miền giá trị V  R . Hàm số y  f ( x)  tan x và y  f ( x)  cot x là các hàm không bị chặn, tuần hoàn với chu kỳ T   , và đều là hàm số lẻ. Đồ thị (Hình 1.8). 1.4.6 Các hàm số lượng giác ngược (hay hàm tròn ngược). a. Hàm số y  f ( x)  arcsin x .   Miền xác định D   1;1 và có miền giá trị V   ;  .  2 2 Hàm số y  f ( x)  arcsin x là hàm lẻ và bị chặn.   Hàm số y  f ( x)  arcsin x là hàm ngược của hàm số y  f ( x)  sin x trên  ;   2 2   Tức là y  f ( x)  arcsin x  x  sin y; x  - 1;1; y   ;  .  2 2 Đồ thị hàm số y  f ( x)  arcsin x (Hình 1.9). b. Hàm số y  f ( x)  arccos x . Miền xác định D   1;1 và có miền giá trị V  0;  . Hàm số y  f ( x)  arccos x là hàm bị chặn; không chẵn, không lẻ. Hàm số y  f ( x)  arccos x là hàm ngược của hàm số y  f ( x)  cos x trên 0;  . Tức là y  f ( x)  arccos x  x  cos y; x  - 1;1; y  0;   . Đồ thị hàm số y  f ( x)  arccos x (Hình 1.10).  Tính chất: arcsin x  arccos x  . y 2 y y  y 2 y=arcsinx y=arccosx  2 -1 0 1 x y y   -1 0 1 x 2 y y y Hình 1.9 Hình 1.10 c. Hàm số y  f ( x)  arctan x .   Miền xác định D  R và có miền giá trị V    ;  .  2 2 13 ThS. Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng
  14. Bài giảng Giải tích 1 Hàm số y  f ( x)  arctan x là hàm lẻ và bị chặn.   Hàm số y  f ( x)  arctan x là hàm ngược của hàm số y  f ( x)  tan x trên   ;  .  2 2   Tức là y  f ( x)  arctan x  x  tan y; x  R; y    ;  .  2 2 d. Hàm số y  f ( x)  arc cot x Miền xác định D  R và có miền giá trị V  0;  . Hàm số y  f ( x)  arc cot x là hàm bị chặn; không chẵn, không lẻ. Hàm số y  f ( x)  arc cot x là hàm ngược của hàm số y  f ( x)  cot x trên 0;   . Tức là y  f ( x)  arc cot x  x  cot y; x  R; y  0;   . Đồ thị hàm số y  f ( x)  arctan x và y  f ( x)  arc cot x (Hình 1.11).  Tính chất: arctan x  arc cot anx  ; x  R . 2 y  y y=arccotx  2 y=arctanx x   2 Hình 1.11 y 1.4.7 Các hàm hypebolic. e x  ex a. Hàm y  f ( x)  y=sinhx 2 Hàm sin hypebolic. Ký hiệu: sinh(x). x 0 Miền xác định D  R và có miền giá trị V  R . Hàm số y  sinh x là hàm lẻ và là hàm tăng trên R. Đồ thị hàm sin hypebolic (Hình 1.12). Hình 1.12 e x  ex y b. Hàm y  f ( x)  2 Hàm cosin hypebolic. Ký hiệu: cosh(x). y=coshx Miền xác định D  R và có miền giá trị V  1;  . 1 0 x Hàm số y  cosh x là hàm chẵn. Đồ thị hàm cosin hypebolic (Hình 1.13). Hình 1.13 14 ThS. Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng
  15. Bài giảng Giải tích 1 e x  ex c. Hàm y  f ( x)  x  x y e e y=tanhx Hàm tang hypebolic. Ký hiệu: tanh(x). 1 Miền xác định D  R và có miền giá trị V   1;1 . 0 x Hàm số y  tanh x là hàm lẻ và và bị chặn; -1 là hàm tăng trên R. Hình 1.14 Đồ thị hàm tang hypebolic (Hình 1.14). y y=cothx x x e e d. Hàm y  f ( x)  e x  ex 1 (Hàm cotanghypebolic. Ký hiệu: cothx). Miền xác định D  R và có miền giá trị 0 x V   ;1  1;  . -1 Hàm số y  coth x là hàm lẻ, không bị chặn. Đồ thị hàm cotang hypebolic (Hình 1.15). Hình 1.15 Các tính chất của hàm số hypebolic 1 1 i. cosh 2 x  sinh 2 x  1 ii. tanh 2 x  2  1 iii. coth 2 x  1 cosh x sinh 2 x sinh x sinh x iv. tanh x  v. coth x  vi. sinh( x  y )  sinh x cosh y  cosh x sinh y cosh x cosh x vii. sinh 2 x  2 sinh x cosh x viii. cosh 2 x  cosh 2 x  sinh 2 x ix. cosh( x  y )  cosh x cosh y  sinh x sinh y 1.5 HÀM SỐ SƠ CẤP 1.5.1 Hàm số sơ cấp: hàm số y  f (x) được gọi là hàm số sơ cấp nếu trong miền xác định của nó, hàm số y  f (x) được cho bởi duy nhất một công thức và được thành lập từ hữu hạn các hàm số sơ cấp cơ bản bằng các phép tính tổng, hiệu, tích, thương, lũy thừa, căn số và phép lấy hàm hợp..... Ví dụ 1.13 i. Những hàm số sau đây là những hàm số sơ cấp cơ bản: y  f ( x)  2 x 2  3x  1 ; y  f ( x)  cos 2 x  lg( x 2  3) ; x 2  2x  5 y  f ( x)  ; y  f ( x)  2 sin x  cot gx . x 1 15 ThS. Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng
  16. Bài giảng Giải tích 1 ii. Hàm số sau không phải là hàm sơ cấp.  x 2  5 ; khi x  2 y  g ( x)   2x  1 ; khi x  2 1.5.2 Hàm đa thức: Hàm đa thức bậc n là hàm sơ cấp có dạng: y  f ( x)  a n x n  a n 1 x n 1  ...  a1 x  a0 với n  N ; a n  0; a i  R; i  0, n . Hàm đa thức bậc n thừng ký hiệu: Pn (x) hay Qn (x) . 1.5.3 Hàm hữu tỷ (hàm phân thức): Hàm hữu tỷ là hàm số có dạng thương của hai hàm đa thức: Pn ( x) f ( x)  . Qm ( x ) 16 ThS. Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng
  17. Bài giảng Giải tích 1 Bài 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ ( Limit of Function) 2.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN 2.1.1 Định nghĩa lân cận của một điểm. Cho điểm x0  R và   0 . Lân cận của điểm x0 là tập tất cả các điểm x  R sao cho x  x0   . Ký hiệu: U ( x0 ) . Vậy: U ( x0 )  x  R : x  x0     x  R : x0    x  x0    . Do đó, lân cận của điểm x0 chính là khoảng số thực dạng x0    x  x0    . 2.1.2 Định nghĩa giới hạn của hàm số. Định nghĩa 2.1 (Theo ngôn ngữ    ). Cho hàm số y  f (x) xác định trong lân cận U ( x0 ) , (có thể trừ x0 ). Số L được gọi là giới hạn của hàm số f (x) khi x dần về x0 ; ( x  x0 ) nếu   0 cho trước,    ( ) ; (  phụ thuộc  ) sao cho x  U ( x0 );0  x  x0   thì f ( x)  L   . Ký hiệu: lim f ( x)  L , (hay f ( x)  L khi x  x0 ). x  x0 Dùng ký hiệu logic, định nghĩa trên có thể phát biểu: lim f ( x)  L    0 ,  ( )  0 : x  U ( x0 );0  x  x0   ( )  f ( x)  L   . x  x0 Định nghĩa 2.2 (Theo ngôn ngữ dãy). Cho hàm số y  f (x) xác định trong lân cận U ( x0 ) , (có thể trừ x0 ). Số L được gọi là giới hạn của hàm số f (x) khi x dần về x0 ; ( x  x0 ) nếu bất kỳ dãy x n  dần đến x0 khi n   thì  f ( x n ) dần đến L. Ký hiệu: lim f ( x)  L . x  x0 Ví dụ 2.1. i. Dùng định nghĩa chứng minh lim x 1 (2 x  1)  3 . Giải. Ta có: 2 x  1  3  2 x  2  2 x  1  2 x  1   3    2 x 1    x 1  . 2  Khi đó:   0 , ta chọn   0. 2  Thế thì, nếu 0  x  1    thì 2 x  1    2 x  1  3   . 2 Vậy: lim x 1 (2 x  1)  3 . 17 ThS. Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng
  18. Bài giảng Giải tích 1 1 ii. Xét hàm y  f ( x)  x. cos . Hàm này xác định ở lân cận điểm 0, x 1 nhưng không xác định tại 0. Ta sẽ chứng minh lim x. cos  0 . x 0 x 1 Thật vậy, nếu xn  0, xn  0 thì 0  xn . cos  x n . Vì lim x n  0 nên lim f ( x n )  0 . xn n  n  1 iii. Xét hàm y  f ( x)  sin trong lân cận điểm 0. Hàm chỉ không x xác định tại 0. Ta sẽ chỉ ra khi x  0 nó không có giới hạn. 2 n Thật vậy, chọn x n   0 , nhưng f ( x n )  sin là dãy phân kỳ: -1,1,-1,1,..... n 2 iv. Chứng minh lim x 0 sin x  0 (Bằng ngôn ngữ    ).  Vì x  0 , có thể coi x  . Ta có sin x  x . Khi đó,   0 , ta chọn    . Thế 2 thì, x  0    sin x  0   . Vậy: lim x 0 sin x  0 . Định nghĩa 2.3 ( Giới hạn một phía) i. Cho hàm số y  f (x) xác định trong nửa khoảng (a; x0 ] , (có thể trừ x0 ). Số L được gọi là giới hạn trái của hàm số f (x) khi x  (a; x0 ] và x biến thiên dần về x0 từ bên trái x  x  , 0  nếu   0 ,   0 ; sao cho x  (a; x0 ]; 0  x  x 0   thì f ( x)  L   . Ký hiệu: lim f ( x)  L , (hay f ( x)  L khi x  x0  ). x  x0  ii. Cho hàm số y  f (x) xác định trong nửa khoảng [ x0 ; b) , (có thể trừ x0 ). Số L được gọi là giới hạn phải của hàm số f (x) khi x  [ x0 ; b) và x biến thiên dần về x0 từ bên phải x  x0   , nếu   0 ,   0 ; sao cho x  [ x0 ; b); 0  x  x 0   thì f ( x)  L   . Ký hiệu: lim f ( x)  L , (hay f ( x)  L khi x  x0  ). x  x0  Nhận xét 2.1i. lim f ( x) có thể khác lim f ( x) . x  x0  x  x0  ii. Điều kiện cần và đủ để lim f ( x)  L là lim f ( x)  xlim f ( x)  L . x  x0 x  x0  x  0 Định nghĩa 2.4 ( Giới hạn tại vô cùng). 18 ThS. Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng
  19. Bài giảng Giải tích 1 Cho hàm số y  f (x) xác định tại mọi x có x khá lớn. Số L được gọi là giới hạn của hàm số f (x) khi x  () , nếu   0 cho trước, tồn tại số M  0 khá lớn sao cho khi x  M ; ( x  M ) thì f ( x)  L   . Ký hiệu: xlim    f ( x)  L; lim f ( x)  L . x    Chú ý 2.1 Nếu xlim   f ( x)  lim f ( x)  L thì ta viết lim f ( x)  L . x   x 1 Ví dụ 2.2 i. Chứng minh rằng lim 2  0. x  x 1 1 1 1 Với   0 nếu muốn có 2 0   2    x2 1  thì ta chỉ cần x 1 x 1  1 1 1 x2  (lúc đó x 2  1  ) hay x  nếu x  0; ( x  ) ;    1 x nếu x  0; ( x  ) .  1 Do đó   0 cho trước nhỏ tuỳ ý ta chọn: M ( )  khi đó x; x  M hay  1 1 1 1 x   M . Ta có x 2  M   x2 1   2   2 0  .   x 1 x 1 1 Vậy lim 2  0. x  x 1 1 ii. Chứng minh tương tự ta cũng có lim  0 với   0 . x  x Định nghĩa 2.5 ( Hàm số dần đến vô cùng). Cho hàm số y  f (x) xác định trong lân cận U ( x0 ) trừ x0 . Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là:  () khi x  x0 , nếu với mỗi số A  0 khá lớn tuỳ ý luôn luôn  ( A)  0 sao cho x  U ( x0 ) ; 0  x  x0   thì f ( x)  A( f ( x)   A) . Ký hiệu: lim f ( x)  () . x  x0 1 Ví dụ 2.3 Chứng minh lim   . x 1 ( x  1) 2 1 Với mỗi số A  0 cho trước lớn tùy ý nếu muốn có  A  0 thì ( x  1) 2 1 1 1 0  ( x  1) 2  hay 0  x  1  . Do đó chỉ cần chọn  ( A)   0 . Khi đó A A A 1 1 1 1 x thoả 0  x  1    thì ( x  1) 2   2  A . Vậy lim x 1 ( x  1) 2   . A A ( x  1) 19 ThS. Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng
  20. Bài giảng Giải tích 1 Chú ý 2.2 Đối với các hàm số dần đến vô cùng cũng có giới hạn một phía. Định nghĩa 2.6 ( Giới hạn vô cùng tại vô cùng). Cho hàm số y  f (x) xác định với mọi x có x khá lớn. Ta nói hàm số f (x) có giới hạn vô cùng () khi x  () , nếu với mỗi số A  0 lớn tùy ý, tồn tại số M  0 (M phụ thuộc A) sao cho x thoả x  M thì f ( x)  A;  f ( x)   A . Ký hiệu: xlim   f ( x)   (). . Ví dụ 2.4 Chứng minh xlim x 2   .   Với mỗi số A  0 cho trước lớn tùy ý, ta có x 2  A  x  A . Do đó, nếu chọn M ( A)  A . Khi đó: x thoả x  M ta suy ra x 2  M 2  A. . Vậy lim x 2   . x   2.2 CÁC TÍNH CHẤT VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1. Nếu f ( x)  C (hằng số) thì xlim x () f ( x)  lim C  C . x x ( ) 0 0 2. Nếu f (x) có giới hạn khi x  x0 (hay x   ) thì giới hạn đó là duy nhất . 3. Nếu lim f ( x)  L và L  0 ; (L  0) thì tồn tại một lân cận U ( x0 ) sao cho x  x0 x  U ( x0 ); x  x 0 , ta có f ( x)  0;  f ( x)  0. 4. Nếu lim f ( x)  L và nếu tồn tại một lân cận U ( x0 ) thoả f ( x)  0;  f ( x)  0 x  x0 x  U ( x0 ); x  x 0 thì L  0 ; (L  0) . 5. Nếu lim f ( x)  L ; lim g ( x)  M và L  M thì tồn tại một lân cận U ( x0 ) ; x  x0 x  x0 x  U ( x0 ); x  x 0 ; f ( x)  g ( x) . 6. Nếu lim f ( x)  L thì xlim x f ( x)  lim f ( x)  L . x x x  x0 0 0 7. Nếu lim f ( x)  L ; (L hữu hạn) thì tồn tại một lân cận U ( x0 ) sao cho f (x) bị x  x0 chặn trong lân cận đó (có thể trừ x0 ). 2.3 CÁC PHÉP TOÁN VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Từ phần này trở về sau, khi viết lim f ( x)  L thì ta hiểu L là hữu hạn còn x0 có x  x0 thể là hữu hạn hoặc vô hạn. Định lý 2.1 Giả sử trong cùng quá trình nào đó ta có lim f ( x)  L và x  x0 lim g ( x)  M . Khi đó: x  x0 a. lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)  L  M x  x0 x  x0 x  x0 20 ThS. Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng
nguon tai.lieu . vn
Toán học Môi trường Vật lý Sinh học Địa Lý Hoá học Nông - Lâm - Ngư Cơ khí - Chế tạo máy Tiếng Anh phổ thông Khoa học ứng dụng Nông - Lâm Kiến thức tổng hợp Giáo dục học Xã hội học