Xem mẫu
- CHƯƠNG V
13/12/2020 TS. NGUYỄN HẢI SƠN 1
-
§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ THỰC
- §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
1.1 Định nghĩa.
Đ/n. Cho V là một R-kgvt, ánh xạ φ: VxV R gọi là
một dạng song tuyến tính trên V nếu nó thỏa mãn
các t/c sau:
(i) ( x1 x2 ; y ) ( x1; y ) ( x2 ; y )
(ii) (x; y ) ( x; y )
(iii) ( x; y1 y2 ) ( x; y1 ) ( x; y2 )
(iv) ( x; y ) ( x; y )
với x, x1 , x2 , y, y1 , y2 V ,
- §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
Chú ý: Nếu cố định một biến thì dạng song tuyến
tính trở thành dạng tuyến tính theo biến còn lại.
VD1. Ánh xạ φ: RxR⟶ R xác định bởi φ(x,y)=x.y là
một dạng song tuyến tính.
VD2. Ánh xạ φ : R2x R2 ⟶ R xác định bởi
φ(u,v)=x1.x2+y1 y2 là một dạng song tuyến tính.
- §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
Chú ý. Ánh xạ tuyến tính f : V ⟶ R với V là một
R-kgvt gọi là dạng tuyến tính trên V.
VD3. Nếu V là kgvt và f, g là hai dạng tuyến tính
trên V thì ánh xạ φ : VxV ⟶ R xác định bởi
φ(u,v)=f(u)g(v) là một dạng song tuyến tính.
- §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
VD4. Ánh xạ φ : R2x R2 ⟶ R xác định bởi
1 3 y1
( x, y ) x1 x2 y
2 4 2
là một dạng song tuyến tính.
Đ/n. Dạng song tuyến tính φ : Vx V ⟶ R gọi là đối
xứng nếu φ(x;y)= φ(y;x) với mọi x,y thuộc V.
VD5. Các dạng song tuyến tính ở VD1, VD2 là các
dạng song tuyến tính đối xứng.
- §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
1.2 Ma trận của dạng song tuyến tính.
a.Đ/n. Cho φ: VxV → R là dạng song tuyến tính
trên V. Gọi B={e1, e2,…, en} là một cơ sở của V.
Đặt φ(ei,ej)=aij với i,j=1,…,n. Khi đó, ma trận
A=[aij] gọi là ma trận của φ đối với cơ sở B.
VD. Cho dạng song tuyến tính φ : R2x R2 ⟶ R xđ
bởi φ(u,v)=x1.x2+y1 y2 . Viết ma trận của đối với cơ
sở chính tắc của R2 và B={v1=(1;1),v2=(1;2)}
- §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
b. Biểu thức tọa độ.
Cho x=x1e1+x2e2+…+xnen và y=y1e1+y2e2+…+ynen.
Khi đó.
n n
t
( x, y ) xi y j (ei , e j ) aij xi y j [x] A[ y ]B
B
i , j 1 i , j 1
t
( x, y) [x] A[ y]BB
- §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
c. Công thức đổi tọa độ
G/s B’={v1, v2,…, vn} là cơ sở khác của V và T là
mtr chuyển cơ sở từ B sang B’.
Gọi A’ là ma trận của φ đối với cơ sở B’.
Ta có [x]B T [x]B ' , [y]B T [y]B '
t
( x, y ) [x]B ' A '[y]B '
t t
Suy ra ( x, y ) [x] A[y]B T [x]B ' A T [y]B '
B
t t
[x] (T AT )[y]B '
B'
- §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
t t t
Do đó [x] (T AT )[y] B ' [x] A '[y] B '
B' B'
t
A ' T AT
ĐL. Hạng của ma trận của dạng song tuyến tính
trên kgvt V không phụ thuộc vào cơ sở được chọn.
Đn. Hạng của dạng song tuyến tính trên kgvt Vlà
hạng của ma trận của dạng song tuyến tính đó đối
với một cơ sở bất kì.
-
§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
- §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
2.1 Định nghĩa
a. Đ/n. Cho dạng song tuyến tính đối xứng φ trên R-
kgvt V. Khi đó ω(x) = φ(x,x) gọi là dạng toàn
phương sinh bởi dạng song tuyến tính φ đã cho.
- Ma trận của dạng toàn phương này theo một cơ sở
nào đó là mtr của dạng song tuyến tính đối xứng
sinh ra nó theo một cơ sở đó.
Chú ý: Ma trận của dạng toàn phương là mtr đối
xứng.
- §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
b. Dạng toàn phương xác định dương, xác định âm.
Cho dạng toàn phương ω(x) =φ(x,x).
+ φ(x,x) gọi là xác định dương nếu ( x; x) 0, x
+ φ(x,x) gọi là xác định âm nếu ( x; x) 0, x
- Nếu φ(x,x) không xác định dương, không xác định âm
thì nó gọi là không xác định dấu.
- Ma trận tương ứng của dạng toàn phương cũng được gọi
là xác định dương, xác định âm và không xác định dấu.
- §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
c. Dạng chính tắc của dạng toàn phương.
Cho dạng toàn phương ω(x) = φ(x,x) của ma trận
A đối với cơ sở B của V.
n
t
Ta có ( x, x) x B A x B aij xi x j
i , j 1
Trong trường hợp A là mtr chéo thì dạng toàn
phương φ(x,x) gọi là có dạng chính tắc
2 2 2
( x, x) a x a x ... a x
11 1 22 2 nn n
- §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
2 2 2
( x, x) a x a x ... a x
11 1 22 2 nn n
NX: φ(x,x) xác định dương khi và chỉ khi aii 0, i
φ(x,x) xác định âm khi và chỉ khi aii 0, i
- §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
→ Bài toán:
“Đưa dạng toàn phương về dạng
chính tắc”
hay “Tìm một cơ sở của V để ma
trận của dạng toàn phương có dạng
chéo”
- §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
2.2. Rút gọn dạng toàn phương
Có 3 phương pháp
Phương pháp Lagrange (SV tự đọc)
Phương pháp Jacobi
Phương pháp chéo hóa trực giao
- §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
2.2.1 Phương pháp Lagrange (SV tự đọc)
VD. Dùng phương pháp Lagrange, đưa các dạng
toàn phương sau về dạng chính tắc.
2 2 2
a) ( x) 2 x x x 3 x1 x2 4 x1 x3
1 2 3
b) ( x) x1 x2 x2 x3 x3 x1
- §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
2.2.2 Phương pháp Jacobi
Cho dạng toàn phương ω(x) có ma trận A=[aij ]
đối với một cơ sở {e1, e2,…, en } nào đó của V.
a11 a12 a1n
a a22 a2 n
A 21
a ann
n1 an 2
- §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
Nếu A có các định thức con chính k 0, k 1, n
a11 a12 a1k
a21 a22 a2 k
k
ak1 ak 2 akk
thì tồn tại một cơ sở B của V sao cho theo cơ sở
đó dạng toàn phương có dạng chính tắc.
1 2 1 2 n1 2
( x) y1 y2 ... yn
1 2 n
nguon tai.lieu . vn
