Xem mẫu
- CHƯƠNG 4
13/12/2020 TS. NGUYỄN HẢI SƠN - ĐHBK 1
- §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1.1 Định nghĩa.
a.Định nghĩa. Cho V và W là 2 KGVT trên trường
K. Ánh xạ f :V→W là một ánh xạ tuyến tính nếu
thỏa mãn 2 tính chất:
(i ) f (u v) f (u) f (v)
(ii ) f (ku) kf (u)
với u,v V , k K
+ Ánh xạ tuyến tính f :V→V gọi là toán tử tuyến
tính hay phép biến đổi tuyến tính trên V.
- §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
NX: Ta có thể gộp (i) và (ii) thành
(iii ) f (ku lv ) kf (u) lf (v )
với u,v V , k ,l K
b. Các ví dụ.
VD1. Ánh xạ không f : V W , f (v ) W , v V
là ánh xạ tuyến tính.
VD2. Ánh xạ đồng nhất IdV : V V
v IdV (v ) v
là một toán tử tuyến tính.
- §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
VD3. Ánh xạ đạo hàm D : Pn [x] Pn1 [x]
p D( p ) p'
là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy, với f , g Pn [x], k,l ta có
D(k . f l.g ) (k . f l.g )' k . f ' l.g ' kD( f ) lD( g )
- §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
VD4. Ánh xạ f : 3 2
f (x1 , x2 , x3 ) (x1 2 x2 ,x2 x3 )
là ánh xạ tuyến tính.
- §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Thật vậy, với x ( x1 , x2 , x3 ), y ( y1 , y2 , y3 ) 3 , k
ta có
f ( x y ) f ( x1 y1 , x2 y2 , x3 y3 )
(( x1 y1 ) 2( x2 y2 ),( x2 y2 ) ( x3 y3 ))
(( x1 2 x2 ) ( y1 2 y2 ),( x2 x3 ) ( y2 y3 ))
( x1 2 x2 , x2 x3 ) ( y1 2 y2 , y2 y3 )
f ( x) f ( y )
f (kx) f (kx1 , kx2 , kx3 ) (kx1 2kx2 , kx2 kx3 )
(k ( x1 2 x2 ), k ( x2 x3 )) k ( x1 2 x2 , x2 x3 )
kf ( x)
- §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
VD5. Với A là một ma trận cỡ mxn bất kì, ánh xạ
f : Mn p ( K ) Mm p ( K )
X AX
là ánh xạ tuyến tính.
- §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1.2. Các phép toán
a. ĐL1. Cho các ánh xạ tuyến tính f,g: V→ W. Khi đó,
các ánh xạ ψ, :V→W xác định bởi
ψ(x)=(f+g)(x)=f(x)+g(x),
(x)=(kf)(x)=k.f(x) , k∊K.
cũng là ánh xạ tuyến tính.
b. ĐL2. Cho các ánh xạ tuyến tính giữa các K-kgvt
f: V → W, g:W → U. Khi đó, các ánh xạ h: V → U,
h(x)=g(f(x)) hợp thành của f và g cũng là ánh xạ
tuyến tính.
- §1. KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1.3 Đơn cấu - toàn cấu - đẳng cấu.
a.Định nghĩa. Ánh xạ tuyến tính f:V → W gọi là
đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là đơn ánh
(toàn ánh, song ánh).
Trường hợp f là đẳng cấu, ta nói V và W là đẳng
cấu với nhau, kí hiệu: V W
b. Định lý. Mọi không gian vectơ n chiều trên
trường K đều đẳng cấu với Kn .
- §1. Ánh xạ tuyến tính
1.4 Hạt nhân-Ảnh-Hạng của ánh xạ tuyến tính.
Đn1. Cho ánh xạ tuyến tính f:V → W giữa các
không gian vectơ.
- Hạt nhân của f , kí hiệu là Ker(f) xác định bởi
1
Ker(f)={v V|f(v)=W}=f ({W})
- Ảnh của f, kí hiệu Im(f) xác định bởi
Im(f)={f(u)|u V}=f(V)
- §1: Ánh xạ tuyến tính
Mđ 1. Ker(f) là không gian con của V
Im(f) là không gian con của W.
c/m:….
Đn2: Hạng của ánh xạ tuyến tính f, kí hiệu r(f)
hay rank(f), là số chiều của Im(f)
r(f) = dimIm(f)
Mđ 2. Nếu f: V →W là ánh xạ tuyến tính và
V=span(S) thì f(V)=span(f(S)).
c/m: ….
- §1: Ánh xạ tuyến tính
Mđ 3. Axtt f: V → W là đơn cấu khi và chỉ khi
Ker(f)={θ}
c/m:….
Mđ 4. Nếu f: V → W là ánh xạ tuyến tính và
dimV=n thì
dimIm(f) + dimKer(f) = dimV=n
c/m: ….
Hq. Hai không gian hữu hạn chiều trên trường
K đẳng cấu khi và chỉ khi số chiều của chúng
bằng nhau
- §1: Ánh xạ tuyến tính
VD 1. Cho ánh xạ tuyến tính f : 3
3
xác
định bởi f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 2 x2 , x2 x3 , x1 x2 x3 )
a) Chứng minh f là toán tử tuyến tính.
b) Tìm số chiều và một cơ sở của Im(f ) và
Ker(f )
-
§2: MA TRẬN CỦA
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
- §2: MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
2.1 Định nghĩa
Cho ánh xạ tuyến tính giữa các không gian
vec tơ hữu hạn chiều f: V → W. G/s BV = {v1,
v2, …,vm} và BW= {u1, u2,…, un } lần lượt là cơ
sở của V và W (dimV=m, dimW=n).
Ma trận A có cột j là ma trận tọa độ của
vectơ f(vj) đối với cơ sở BW gọi là ma trận của
ánh xạ f đối với cặp cơ sở BV và BW:
A [f(v1 )]BW [f(v2 )]BW ... [f(v m )]BW
- §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
NX: i) A là ma trận cỡ nxm.
ii) [ u1 u2 ... un ]A=[ f (v1 ) f (v2 ) ... f (vm )]
MĐ 1. r(A)=r(f)=dimIm(f)
- §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
VD1. Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 2 xđ bởi
f (x1 , x2 , x3 ) (x1 2 x2 ,x2 x3 )
a)Tìm mtr của f đối với cặp cơ sở chính tắc.
b)Tìm mtr của f đối với cặp cơ sở B={v1=(1;0;0),
v2=(1;1;2), v3=(1;2;3)} và B’={u1=(1;0), u2=(1;1)}
VD2. Tìm ma trận của ánh xạ D:P3[x] → P2[x],
D(p)=p’ đối với cặp cơ sở chính tắc E={1, x, x2,
x3} và E’={1, x , x2}
- §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
VD 3. Cho ánh xạ tuyến tính f : P3 [x] P2 [x]
có ma trận đối với cặp cơ sở chính tắc là
1 3 4 5
A 2 4 0 1
3 5 1 2
a) Xác định f (a bx cx 2 dx 3 )
b) Xác định cơ sở và số chiều của Im(f) và Kerf
- §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
2.2 Công thức tọa độ.
Cho f: V → W là ánh xạ tuyến tính có ma trận
A đối với cặp cơ sở BV và BW. Khi đó, với mọi
vecto u V , ta có
[f (u )]BW A[u ]BV
VD1. Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 P2 [x]
Xác định f(v) với v=(1;2;3) biết f có ma trận
đối với cặp cơ sở chính tắc là 1 0 1
A 2 1 2
3 2 1
- §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
VD2. (Đề 1_ Hè 2009)
Cho toán tử tuyến tính f : 3 3 thỏa mãn:
f (1;2;0) (1;4;7), f (0;1;2) (1;3;7), f (1;1;1) (0;4;6)
a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của 3
b) Tìm vecto v 3 sao cho f (v) = (-1;7;13)
VD3. (Đề 2_ Hè 2009)
Tương tự VD2 với
f (1;2;0) (1;5;5), f (0;1;2) (1;4;5), f (1;1;1) (0;4;6)
nguon tai.lieu . vn
