Xem mẫu
- BÀI 5
1
- §5: Hệ phương trình tuyến tính
5.1 Dạng tổng quát và dạng ma trận của hệ
phương trình tuyến tính.
5.1.1. Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n
ẩn số có dạng:
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21x1 a22 x2 ... a2 n xn b2
(*)
...
am1x1 am 2 x2 ... amn xn bm
trong đó aij là hệ số của pt thứ i của ẩn xj , bi là hệ số tự do của
phương trình thứ i, xj là các ẩn số (i=1,..,m, j=1,..,n).
2
- §5: Hệ phương trình tuyến
tính
- Nếu bi = 0 với mọi i=1,2,…,m thì hệ được gọi là hệ
tuyến tính thuần nhất.
Ví dụ 2 x1 3x2 5 x3 x4 2
x 2 x 3x 4 x 0 Hệ 4 phương trình 4 ẩn
1 2 3 4
3x1 8 x2 5 x3 3x4 2 Là hệ không thuần nhất
4 x2 2 x3 7 x4 9
3
- §5: Hệ phương trình tuyến
tính
+ Ma trận A [aij ]mn gọi là ma trận hệ số của phương trình (*).
b1
b
+ Ma trận b 2 gọi là ma trận hệ số tự do của phương trình (*).
...
bm
x1
x
+ Ma trận x gọi là ma trận ẩn số của phương trình (*).
2
...
xn
4
- §5: Hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ: Cho hệ phương trình
2 x1 3 x2 5 x3 x4 2
x 2 x 3x 4 x 0
1 2 3 4
3 x1 8 x2 5 x3 3 x4 2
4 x2 2 x3 7 x4 9
2 3 5 1 2 x1
1 2 3 4 0 x
A ,b ,x 2
3 8 5 3 2 x3
0 4 2 7 9 x4
5
- §5: Hệ phương trình tuyến tính
Ma trận bổ sung của hệ (*):
A bs
A A |b
Ví dụ: Cho hệ phương trình
2x1 3x2 5x3 x4 2 2 3 5 1 2
x 2x 3x 4x 0
1 2 3 4 bs 1 2 3 4 0
A A [A|b]
3x1 8x2 5x3 3x4 2 3 8 5 3 2
4x2 2x3 7x4 9
0 4 2 7 9
Nhận xét: Các hệ số của phương trình thứ i là các phần tử ở hàng thứ
i của Abs và ngược lại. 6
- §5: Hệ phương trình tuyến tính
Với các kí hiệu đó, hệ (*) được đưa về dạng
Ax b (**)
gọi là dạng ma trận của hệ (*).
Ví dụ:
2 x 7 y z 9 2 7 1 x 9
3 x y 4 z 0 3 1 4 y 0
5 x 9 y 2 z 5 5 9 2 z 5
7
- §5: Hệ phương trình tuyến tính
5.2. Hệ Cramer
Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính n pt, n
ẩn số mà ma trận hệ số không suy biến được
gọi là hệ Cramer
Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
8
- 5.2 Hệ Crame
Định lý: Mọi hệ Cramer n pt đều có nghiệm duy
nhất (x1, x2, …,xn) được xác định bởi công
thức
Dj
xj
D
9
- 5.2 Hệ Crame
10
- 5.2 Hệ Crame
Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
11
- 5.2 Hệ Crame
12
- 5.2 Hệ Crame
13
- 5.2 Hệ Crame
14
- 5.2 Hệ Crame
Bài tập: Giải hệ phương trình sau:
1 1 2
x1 x2 2 x3 1
D1 5 1 3 = -19
2 x1 x2 3 x3 5 1 2 1
3x 2 x x 1 1 1 2
1 2 3
D2 2 5 3 = -29
1 1 2
3 1 1
D 2 13 = -8
1 1 1
3 2 1
D3 2 1 5 = -9
3 2 1 15
- 5.2 Hệ Crame
D1
x1 19
D 8
D2
x2 29
D 8
D3
x3 9
D 8
16
- §5: Hệ phương trình tuyến tính
5.3. Giải hệ phương trình bằng PP Gauss
5.3.1. Các phép biến đổi tương đương hệ phương trình
Nhân một số ( 0 ) vào 2 vế của 1 PT của hệ.
Đổi chỗ hai PT của hệ.
Nhân một số (
0 ) vào một PT rồi cộng vào
PT khác của hệ.
x y z 1 pt 32 x y z 1
2 x y 3 z 2 2 x y 3 z 2
x 2y z 5 2 x 4 y 2 z 10
17
- 5. Giải hệ PT bằng PP Gauss
Như vậy các phép biến đổi tương đương hệ
PT chính là các phép BĐSC trên dòng của
ma trận bổ sung tương ứng.
VD x y z 1 x y z 1 x y z 1
pt 2(2) pt1
2x y 3z 2
pt 3(1) pt1
3 y 5z 0 pt 3pt 2
3y 4
x 2y z 5 3y 4
3y 5z 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
h2 ( 2) h1 h3 h2
A 2 1 3 2
h3 ( 1) h1
0 3 5 0 0 3 0 4
1 2 1 5 0 3 0 4 0 3 5 0
18
- 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss
5.3.2. Định lí Kronecker-Capelli
a. ĐL: Cho hệ phương trình Ax=b
Hệ có nghiệm r( A) r( A)
Cụ thể hơn, ta có kết quả sau: Nếu Ax=b là hệ n ẩn số, ta có
+ r( A) r( A) hệ vô nghiệm
+ r( A) r( A) n hệ có nghiệm duy nhất
+ r( A) r( A) r n hệ có vô số nghiệm phụ thuộc (n-r)
tham số
19
- 5.3. Giải hệ PT bằng PP Gauss
Chứng minh.
Xét hệ phương trình tổng quát sau:
Giả sử A có hạng là r
20
nguon tai.lieu . vn
