Xem mẫu
- Giảng viên:
Website: https://sites.google.com/site/huynhvinhbkdn/
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Đà Nẵng, 2018 Lưu hành nội bộ Slide 1
- TÀI LIỆU CẦN THAM KHẢO
1. Nguyễn Văn Đạo, Nguyễn Trọng Chuyền: Cơ học lý thuyết. Nhà xuất bản ĐH
và THCN, năm 1969.
2. Đỗ Sanh, Nguyễn Văn Đình, Nguyễn Văn Khang: Cơ học I Nhà xuất bản giáo
dục, năm 1996.
3. Nguyễn Nhật Lệ, Nguyễn Văn Vượng: Cơ học ứng dụng phần bài tập. NXB
Khoa học kỹ thuật Hà Nội 1998.
4. Giáo trình giản yếu Cơ học lý thuyết – X.M. TARG, NXB Mir & ĐH và
THCN; 1979.
5. Cơ sở cơ học kỹ thuật – Nguyễn Văn Khang, NXBĐHQG Hà Nội; 2003.
6. Bài tập Cơ học (T1 & T2) – Đỗ Sanh (chủ biên), NXB Giáo Dục; 1998.
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 2 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 4
NỘI DUNG MÔN HỌC ĐÔI ĐIỀU VỀ TÀI LIỆU NÀY
Phần I: ĐỘNG HỌC + Để thuận tiện cho việc học, giảng viên soạn ra tài liệu này. Kết cấu mỗi
Chương 1. Động học chất điểm
Chương 2. Hai chuyển động cơ bản của vật rắn phần học bao gồm:
Chương 3. Tổng hợp chuyển động của chất điểm
Chương 4. Chuyển động song phẳng của vật rắn
1. Tóm tắt lý thuyết
Chương 5. Động học cơ cấu 2. Ví dụ minh họa
Phần II: TĨNH HỌC 3. Các bài tập có lời giải sẵn
Chương 6. Các khái niệm cơ bản về hệ tiên đề tĩnh học
Chương 7. Lý thuyết về hệ lực
4. Các bài tập yêu cầu giải
Phần III: ĐỘNG LỰC HỌC
Chương 8. Động lực học chất điểm
+ Sau mỗi nửa học kỳ, có một số bài tập ôn tập
Chương 9. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
Chương 10. Các định lý của động lực học đối với cơ hệ
+ Tài liệu này không phải là tất cả, người học cần kết hợp thêm các tài
Phần IV: CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG liệu đầy đủ khác. Đến nay, có nhiều phiên bản tài liệu này cùng tên. Các
Chương 11. Các khái niệm cơ bản phiên bản trước có một số sai sót mà khi học giảng viên đã điều chỉnh tại
Chương 12. Các trường hợp thanh chịu lực cơ bản
lớp. Đến phiên bản này (V.Au18), những sai sót phát hiện đó đã được
ĐÁNH GIÁ MÔN HỌC sửa chữa. Do đó, giảng viên khuyến khích sinh viên nên sử dụng phiên
Chuyên cần + Bài tập lớn: 20% bản này. Trong quá trình sử dụng tài liệu, nếu sinh viên nào phát hiện ra
Kiểm tra giữa kỳ: 20% điều gì sai sót thì xin phản hồi lại với giảng viên.
Thi cuối kỳ: 60%
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 3 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 5
- Động học nghiên cứu chuyển động về mặt hình học
(không xét nguyên nhân gây ra chuyển động).
(Các công thức trong chương này đã được chứng minh,
người đọc công nhận để vận dụng)
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 6
- 2. Vận tốc của động điểm M
M v = rɺ
§1. Khảo sát chuyển động của điểm bằng Mặt phẳng mật tiếp
phương pháp véc tơ
r
M v = rɺ O
Qũy đạo chuyển động
Cố định
r a = ɺɺ
r Theo phương tiếp tuyến, hướng chuyển động
O
dr (t ) ɺ 1.2
Qũy đạo chuyển động
v Công thức véc tơ: v (t ) = = r (t )
dt
Cố định
Độ lớn: v = rɺ ( t ) (tốc độ) 1.3
+ Đơn vị: (m/s)
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 7 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 9
1. Phương trình chuyển động 3. Gia tốc của động điểm M
+ Chọn O là gốc cố định M v = rɺ
+ M: động điểm
Mặt phẳng mật tiếp
+ OM = r = r (t ) : phương trình chuyển động 1.1
r a = ɺɺ
r
M O
Qũy đạo chuyển động
Cố định
Trong mp mật tiếp, hướng về phía lõm của quỹ đạo tại M
r
drɺ (t ) d 2 r (t ) ɺɺ
a Công thức véc tơ: a (t ) = = = r (t ) 1.4
O dt dt 2
Qũy đạo chuyển động
Độ lớn: a = ɺɺ
r (t ) 1.5
Cố định
+ Đơn vị: (m/s2)
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 8 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 10
- * Mối quan hệ phương của vận tốc và phương của gia tốc
+ Trường hợp quỹ đạo tại M là cong
M
v §2. Khảo sát chuyển động của điểm bằng
Quỹ đạo
phương pháp tọa độ Descartes
z
a
(Không cùng phương với nhau) z (t )
M v = rɺ
+ Trường hợp quỹ đạo tại M là thẳng
M
v
k r a = ɺɺ
r
a
j y (t )
i y
x (t ) O Qũy đạo chuyển động
(Cùng phương với nhau – theo phương quỹ đạo)
x
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 11 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 13
4. Tính chất chuyển động 1. Phương trình chuyển động của M trong hệ trục Oxyz
z * Véc tơ định vị M:
+ Quỹ đạo chuyển động tại M là thẳng hay cong
z (t ) C
. v ∧ a = 0 : Quỹ đạo tại M là thẳng 1.6a OM = r = OA + OB + OC
M
1.6b
. v ∧ a ≠ 0: Quỹ đạo tại M là cong = x (t ).i + y (t ). j + z (t ).k
+ Chuyển động nhanh dần, chậm dần hay đều: phụ thuộc vào tính
đơn điệu của tốc độ v của vận tốc. Tính đơn điệu của v cũng chính là tính k r
đơn điệu của v2. Để khảo sát tính đơn điệu của v2 ta xét dấu đạo hàm cấp j y (t )
i y
dv 2 d ( v 2 ) dv O B Qũy đạo chuyển động
2
1 của v theo thời gian t: = = 2v = 2v .a 1.7 x (t )
dt dt dt
x A
. v .a = 0 : M chuyển động đều 1.7a
* Phương trình chuyển động theo 3 phương:
. v .a > 0 : M chuyển động nhanh dần 1.7b
x = x (t ), y = y (t ), z = z (t ) 1.8
. v.a < 0 : M chuyển động chậm dần 1.7c
Khử t trong phương trình chuyển động thì được phương trình quỹ đạo
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 12 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 14
- 2. Vận tốc của động điểm M 4. Tính chất chuyển động
+ Véc tơ vận tốc và tọa độ của nó + Quỹ đạo chuyển động tại M là thẳng hay cong:
v (t ) = rɺ (t ) = xɺ (t ).i + yɺ (t ). j + zɺ (t ).k 1.9
v x = xɺ (t ) i j k
v = ( v x , v y , v z ) , với v y = yɺ (t )
1.11
1.9a v ∧ a = xɺ yɺ zɺ = C x i + C y j + C z k
ɺɺ
x ɺɺ
y ɺɺ
z
v z = zɺ (t )
+ Độ lớn của vận tốc
⋅ C x2 + C y2 + C z2 = 0 ⇒ v ∧ a = 0
v = v x2 + v y2 + v z2 1.9b vx
cos ( Ox , v ) = cosα = ⋅ C x2 + C y2 + C z2 ≠ 0 ⇒ v ∧ a ≠ 0
v
v
+ Các cosin chỉ phương của vận tốc cos (Oy , v ) = cos β = y 1.9c . v ∧ a = 0 : Quỹ đạo tại M là thẳng 1.11a
v
vz
cos (Oz , v ) = cosγ = v . v ∧ a ≠ 0 : Quỹ đạo tại M là cong 1.11b
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 15 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 17
3. Gia tốc của động điểm M + Chuyển động nhanh dần, chậm dần hay đều:
+ Véc tơ gia tốc và tọa độ của nó
v .a = xɺ.ɺɺ
x + yɺ . ɺɺ
y + zɺ.ɺɺ
z 1.12
a (t ) = ɺɺ
r (t ) = ɺɺ
x (t ).i + ɺɺ
y (t ). j + ɺɺ
z (t ).k 1.10
a x = ɺɺ
x (t )
. v .a = 0 : M chuyển động đều 1.12a
a = ( a x , a y , a z ) , với a y = ɺɺ
y (t ) 1.10a
a = ɺɺ . v .a > 0 : M chuyển động nhanh dần 1.12b
z z (t )
. v .a < 0 : M chuyển động chậm dần 1.12c
+ Độ lớn của gia tốc
a = a x2 + a y2 + a z2 1.10b * ax
cos (Ox , a ) = cosα = a
+ Các cosin chỉ phương của gia tốc cos (Oy , a ) = cos β * = y
a
1.10c
a
* az
cos ( Oz , a ) = cosγ =
a
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 16 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 18
- τ : Tiếp tuyến theo chiều dương của quỹ đạo
M τ nb n : Pháp tuyến hướng vào bề mặt lõm của quỹ đạo
b : Trùng pháp tuyến của quỹ đạo
§3. Khảo sát chuyển động của điểm bằng phương
pháp tọa độ tự nhiên (Trùng pháp tuyến)
b
Phương pháp tọa độ tự nhiên được áp dụng khi biết trước
− n (Pháp tuyến)
quỹ đạo chuyển động. O
(Trùng pháp tuyến)
+
I
b b
− n (Pháp tuyến) n Mặt phẳng mật tiếp
+O M Quỹ đạo chuyển động
τ
I
b
τ (Tiếp tuyến)
n Mặt phẳng mật tiếp
M
τ Quỹ đạo chuyển động + I là tâm cong quỹ đạo tại M
+ IM = ρ là bán kính cong của quỹ đạo tại M
τ (Tiếp tuyến)
+ 1/ρ là độ cong
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 19 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 21
1. Hệ trục tọa độ tự nhiên: 2. Phương trình chuyển động của động điểm M
+ Chọn O là gốc cố định trên quỹ đạo xác định trước.
+ Tại động điểm M, dựng hệ trục tam diện thuận (Mτnb). Trong đó = s (t )
OM 1.13
mp(Mτn) thuộc mặt phẳng mật tiếp của quỹ đạo tại M. Quỹ đạo chuyển động
(Trùng pháp tuyến) b
b
− n (Pháp tuyến) τ O
s
M (s > 0)
+O
I n
b
Quỹ đạo chuyển động
n Mặt phẳng mật tiếp
M s
M τ Quỹ đạo chuyển động
τ (Tiếp tuyến)
O (s < 0)
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 20 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 22
- 3. Vận tốc của động điểm M 4. Gia tốc của động điểm M
− n (Pháp tuyến) − n (Pháp tuyến)
+O O
+ a
I n I Mặt phẳng mật tiếp
Mặt phẳng mật tiếp n
n Quỹ đạo chuyển a
M động M Quỹ đạo chuyển động
τ τ
v aτ
v = sɺ (t ).τ = v (t ).τ = vτ (t ).τ τ τ
( vτ > 0) (Tiếp tuyến) (Tiếp tuyến)
Hàm số: v ( t ) = vτ ( t ) = sɺ ( t ) 1.14
Phân gia tốc thành 2 thành phần:
Theo phương tiếp tuyến τ, hướng theo chiều chuyển động
Thành phần gia tốc tiếp tuyến aτ
Nếu vτ > 0 : v theo chiều trục τ. Thành phần gia tốc pháp tuyến an
Nếu vτ < 0 : v ngược chiều trục τ. a = aτ + an 1.16
Độ lớn: v = sɺ ( t ) = vτ 1.15 a = aτ2 + an2 1.17
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 23 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 25
+ Thành phần gia tốc tiếp tuyến
Chứng minh công thức véc tơ vận tốc
− n (Pháp tuyến)
* Vận tốc theo phương tiếp tuyến nên có thể viết: v (t ) = vτ (t ).τ (t ) +O
I
dr (t ) dr (t ) ds (t ) n
* Ta có: v (t ) = = . Mặt phẳng mật tiếp
dt ds (t ) dt Quỹ đạo chuyển
dr (t ) M động
Theo toán hình học vi phân: = τ (t ) τ
ds (t )
ds (t ) aτ
Do đó: v (t ) = .τ (t ) = sɺ(t ).τ (t ) s (t ).τ = aτ (t ).τ
aτ = ɺɺ τ
dt ( aτ > 0) (Tiếp tuyến)
Vì vậy: vτ (t ) = v (t ) = sɺ (t )
Hàm số: aτ ( t ) = ɺɺ
s (t ) 1.18
Theo phương tiếp tuyến τ
Nếu aτ > 0 : aτ theo chiều trục τ.
Nếu aτ < 0 : aτ ngược chiều trục τ.
Độ lớn: aτ = ɺɺ
s ( t ) = aτ 1.19
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 24 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 26
- + Thành phần gia tốc pháp tuyến 5. Phán đoán tính chất chuyển động của động điểm M
− n (Pháp tuyến) + Chuyển động đều: aτ = vɺτ = 0
O
+ an Do đó: v = vτ = v0 = const , khi đó: s (t ) = s0 + v0 .t 1.22
I
n Mặt phẳng mật tiếp
+ Chuyển động biến đổi đều: aτ = const
M 1
τ Quỹ đạo chuyển động Khi đó: s (t ) = s0 + v0 .t + aτ .t 2 1.23
v 2
2
an = n = an .n Trong đó: v0 là vận tốc đầu của động điểm
ρ τ
(Tiếp tuyến)
s0 là tọa độ tự nhiên ban đầu của động điểm
v 2 (t )
Hàm số: a n ( t ) = 1.20 + Chuyển động biến đổi khi: v .a = ( vτ .τ ).( aτ .τ + an .n ) = vτ .aτ ≠ 0
ρ (t )
1.24
Theo chiều trục n
. vτ .aτ > 0 : chuyển động nhanh dần 1.24a
v2
Độ lớn: a n = 1.21
1.24b
ρ . vτ .aτ < 0 : chuyển động chậm dần
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 27 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 29
Chứng minh công thức véc tơ gia tốc
dv (t )
* Ta có: a (t ) =
dt
s (t ).τ (t ) + sɺ (t ).τɺ (t )
Mà v (t ) = sɺ(t ).τ (t ) nên a (t ) = ɺɺ
dτ ( t ) n ( t )
Trong hình học vi phân, người ta chứng minh được: =
ds (t ) ρ (t )
ɺ dτ (t ) dτ (t ) ds (t ) n (t )
Do đó: τ (t ) = = . = .sɺ(t )
dt ds (t ) dt ρ (t )
sɺ 2 (t ) v 2 (t )
s (t ).τ (t ) + .
Vì vậy: a (t ) = ɺɺ s (t ).τ (t ) + .
n (t ) = ɺɺ n (t )
ρ (t ) ρ (t )
v 2 (t ) BÀI TẬP CHƯƠNG 1 SINH VIÊN CẦN GIẢI QUYẾT
Đặt aτ (t ) = ɺɺ
s (t ), an (t ) = , ta có: a (t ) = aτ (t ).τ (t ) + an (t ).n (t )
ρ (t ) Động học điểm có hai dạng bài toán
⇒ a (t ) = aτ (t ) + an (t ) - Bài toán thứ nhất: Tìm phương trình chuyển động, phương trình quỹ đạo, vận tốc,
gia tốc, bán kính cong của quỹ đạo.
- Bài toán thứ hai: Khảo sát tính chất chuyển động (nhanh dần, chậm dần hay đều)
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 28 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 30
- Bài tập 1.1 2. Gán hệ trục tọa độ
Cho chất điểm M di chuyển trên cung tròn cố định theo phương trình:
M
= s (t ) = π .(2t 2 + t − 2) (m)
OM τ
Biết R = 2 (m), tìm vận tốc và gia tốc của điểm M khi t = 1(s) theo 2 s
phương pháp: tọa độ Descartes và tọa độ tự nhiên. π /2
O
M O1 R
n
O O1
τ : Tiếp tuyến quỹ đạo của M
R theo chiều quỹ đạo dương
Mτ n
n : Hướng về tâm cong quỹ đạo của M
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 31 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 33
I. Giải theo phương pháp tọa độ tự nhiên: 3. Vận tốc điểm M b
vM τ
M τ +
1. Định vị trí của M
s (1) = π (m) > 0 s
M n
s (1) π O
⇒ϕ = = (rad) s
R 2 O1
R
π /2 n
Vị trí xác định như hình vẽ O
O1 R
v (t ) = sɺ(t ) = π (4t + 1) (m/s)
vM (1) = 5π (m/s) > 0
vM
Theo chiều trục τ (theo chiều dương của quỹ đạo)
vM = 5π (m/s)
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 32 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 34
- 4. Gia tốc điểm M * Gia tốc toàn phần
y
* Thành phần gia tốc tiếp b b
aτ vM τ aτ vM τ
M τ + M +
τ
s s
n β n
an a
O O x
O1 O1 R
R
n n
s (t ) = 4π (m/s 2 )
aτ (t ) = ɺɺ
2
a (1) = 4π (m/s ) > 0 25π 2 2
aτ τ 2 2
a = aτ + a = (4π ) + (
n
2
) = 124 (m/s 2 )
Theo chiều trục τ (theo chiều dương của quỹ đạo) 2
aτ = 4π (m/s 2 ) β = 5,816 0
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 35 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 37
* Thành phần gia tốc pháp II. Giải theo phương pháp tọa độ Descartes:
b * Gán hệ trục cố định O1xy. Phương trình chuyển động của M theo
các phương của hệ trục
M aτ vM + τ
τ y
xM (t ) = − R.cos ϕ
s
an
n y M (t ) = R.sin ϕ M
yM
O R
s (t )
ϕ =
O1 ϕ O1
R R O x
n
sɺ (t ) xM
ϕɺ =
R
ɺɺ ɺɺ
s (t ) π
trục n (hướng về tâm cong của quỹ đạo) ϕ = ϕ (1) = 2 (rad)
Theo chiều R
an vM2 25π 2
an = = (m/s 2 ) sɺ (1) = v (1) = 5π (m/s)
R 2 ɺɺ
s (1) = aτ (1) = 4π (m/s 2 )
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 36 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 38
- * Định vị y * Gia tốc
xM (t ) = − R.cos ϕ M sɺ 2
yM s .sin ϕ + sɺ.ϕɺ .cos ϕ = ɺɺ
a x (t ) = ɺɺ s .sin ϕ + .cos ϕ
y M (t ) = R.sin ϕ
R
R sɺ 2
a (t ) = ɺɺs .cos ϕ − sɺ.ϕɺ .sin ϕ = ɺɺ
s .cos ϕ − .sin ϕ
ϕ O1 x y
O R
y xM
a x (1) = ɺɺ
s (1) = 4π (m/s 2 )
M
=1( s ) xM (1) = 0 =1( s )
t → v 2 (1) 25π 2
t → = − = − (m/s 2 )
ϕ=
π
y M (1) = R y
a (1)
2 R 2
O O1 x
xM R
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 39 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 41
* Vận tốc 25π 2 2
a M (1) = 4π , − (m/s )
v x (t ) = ϕɺ R.sin ϕ = sɺ.sin ϕ v x (1) = s (1) = 5π (m/s) 2
=1( s )
t →
v y (t ) = ϕɺ R.cos ϕ = sɺ.cos ϕ v y (1) = 0 (m/s)
a M (1) = a xM (1) + a yM (1)
y
M vM (1) 25π 2 2
vM (1) = ( 5π , 0 ) (m/s) a M (1) = (4π ) 2 + ( ) = 124 (m/s 2 ) y
a M (1) 2
M
α = 5,816 0 a xM (1)
O O1 x
α
xM a yM (1)
R O a M (1) x
xM O1
R
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 40 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 42
- Bài tập 1.2 * Vận tốc của M:
B
Chất điểm M chuyển động trên đoạn thẳng cố định AB = 20 (cm) với 5π π τ
phương trình: vM (t ) = sɺ(t ) = .cos t (cm/s)
3 6
π vM
AM = s (t ) = 10.(1 + sin t ) (cm) 5 3π
6 v (1) = (cm/s) > 0
Khi t = 1 (s), xác định: vM M 6 M
+ Vị trí của M. B Theo chiều trục τ
+ Vận tốc của M. 5 3π
+ Gia tốc của M. vM = (c m/s)
M 6
600
600 * Gia tốc của M: a M = aτ + an
A
Vì quỹ đạo thẳng nên: an = 0
A
Do đó: a M = aτ
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 43 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 45
Khi t = 1 (s):
τ 5π 2 π B
* Vị trí của M: aτ (t ) = ɺɺ
s (t ) = − .sin t (cm/s 2 )
π 18 6 τ
s (1) = 10.(1 + sin ) = 15 (cm) > 0 2
6 5π
aτ (1) = − (cm/s 2 ) < 0 vM
Vị trí của M được xác định như hình vẽ aτ 36
B
Ngược chiều trục τ M
M 5π 2
aτ = (cm/s 2 ) aM
36
600
600
A
A
* Gán trục M τ
M τ : Trùng quỹ đạo thẳng của M theo chiều dương
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 44 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 46
-
Bài tập 1.3 * Gia tốc của M: a = aτ + an
Hình phẳng (D) cố định. Chất điểm M chuyển động trên cung tròn của aτ (t ) = ɺɺ
s (t ) = 5π (cm/s 2 ) τ
2 A
aτ (1) = 5π (cm/s ) > 0 v
= s (t ) = 5π t 2 (cm)
(D) với phương trình OM aτ
2 Theo chiều trục τ
aτ
a = 5π (cm/s 2 )
Khi t = 1 (s), xác định: τ M
A α a
+ Vị trí của M
+ Vận tốc của M an
Theo chiều trục n
( D) n
+ Gia tốc của M an 5π 2 450
( D) (cm/s 2 )
an = O C
R 2 l
Biết R = 2l = 10 (cm) M
B
2 2 5 2 2
a = aτ + an = π 4 + π (cm/s )
O C a 2
l 0
B α = 32, 48
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 47 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 49
Khi t = 1(s): Bài tập 1.4
* Định vị trí M trên cung tròn: Tấm phẳng mảnh (D) hình vuông có cạnh R = 1(m) nằm cố định trong
τ
5π π A
s (1) = (cm) > 0 ⇒ α = (rad) v mặt phẳng thẳng đứng. Động điểm M chuyển động trên cung tròn với
2 4
π
* Gán hệ trục tọa độ Mτn: phương trình: s (t ) = (1 + sin π t ) (m)
M 4
Khi t = 1 (s), xác định:
τ : Tiếp tuyến quỹ đạo của M
R + Vị trí của M.
M τ n theo chiều dương của quỹ đạo + Vận tốc của M.
n : Hướng về tâm cong quỹ đạo của M n
( D) 450 + Gia tốc của M. O
l O C s (t ) M
* Vận tốc của M:
B
v(t ) = sɺ(t ) = 5π t (cm/s) D
v (1) = 5π (cm/s) > 0
v
Theo chiều trục τ
v = 5π (cm/s)
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 48 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 50
- Khi t = 1 (s):
* Gia tốc của M: a = aτ + an
* Vị trí của M:
π π3
Theo chiều trục n
2
s (1) = (m) > 0 aτ (t ) = vɺ(t ) = − 4 .sin π t (m/s )
4 a = an π4
Vị trí của M được xác định như hình vẽ aτ aτ (1) = 0 (m/s 2 ) =
n 16 (cm/s )
a 2
2
O
aτ = 0 (m/s )
M
v
D O
M
D
n a
τ
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 51 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 53
* Gán hệ trục tọa độ Mτn: Bài tập 1.5
τ : Tiếp tuyến quỹ đạo của M Xác định quỹ đạo, vận tốc và gia tốc của điểm M nằm chính giữa tay
biên AB của cơ cấu biên tay quay OAB. Biết OA = AB = 2l, thời điểm
M τ n theo chiều dương của quỹ đạo
n : Hướng về tâm cong quỹ đạo của M khảo sát ứng với góc quay ϕ của cơ cấu, với ϕ = ωt.
y
A
* Vận tốc của M:
π2 M
v(t ) = s (t ) = 4 .cos π t (m/s) O
ɺ v
ϕ = ωt
π2 M O x
v (1) = − (m/s) < 0
v 4 B
D
Ngược chiều trục τ Bài giải: Chọn hệ trục Oxy nằm trong mặt phẳng cơ cấu như hình vẽ.
π
2
n Phương trình chuyển động của động điểm M trong hệ trục Oxy:
v = 4 (m/s) τ
xM = 3l .cos ϕ = 3l .cos ω t
y M = l .sin ϕ = l .sin ω t
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 52 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 54
- 1. Phương trình quỹ đạo của động điểm M trong hệ trục Oxy: từ * Phương trình tiếp tuyến của Elip tại M
phương trình chuyển động, ta có: xM yM xM
x + y = 1 ⇒ y = − x +1
xM (3l ) 2 l2 9 yM
cos ω t =
3l xM2 y M2
⇒ + =1 * Các thành phần vận tốc
sin ω t = y M (3l ) 2 l 2
l v x = − 3lω .sin ω t = − 3ω . y M
Qũy đạo chuyển động là một Elip có hai trục đối xứng x và y.
ω
y v y = lω .cos ω t = 3 . xM
A
+ Hệ số góc của véc tơ vận tốc đối với chiều trục x:
M
l vy xM
=− , bằng hệ số góc của tiếp tuyến tại O. Điều này
ϕ = ωt vx 9 yM
O x
khẳng định rằng véc tơ vận tốc có phương tiếp tuyến với quỹ đạo.
B
3l
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 55 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 57
2. Vận tốc của động điểm M
v x = xɺ M v x = − 3lω .sin ω t + Các vận tốc cực trị:
⇒ y
Tiếp tuyến của Elip tại M
v y = yɺ M v y = lω .cos ω t A
⇒ vM = v x2 + v y2 = lω 9.sin 2 ω t + cos 2 ω t = lω 1 + 8.sin 2 ω t
M
v
Phương chiều của vM như hình vẽ l
y Tiếp tuyến của Elip tại M ϕ = ωt
O x
A
B
M 3l
v
l
ϕ = ωt vmin = lω : đạt được khi ϕ = ( k − 1)π ⇒ t = ( k − 1)π / ω , ( k ∈ Z + )
O x
π π
B vmax = 3lω : đạt được khi ϕ = − + kπ ⇒ t = ( − + kπ ) / ω , ( k ∈ Z + )
3l 2 2
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 56 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 58
- 3. Gia tốc của động điểm M Bài tập 1.6
Xác định quỹ đạo, vận tốc và gia tốc của điểm M. Biết phương trình
y Tiếp tuyến của Elip tại M chuyển động của M trong mặt phẳng Oxy là:
A x = v0 t
1 2
v M y = h − 2 gt
l
ϕ = ωt a Trong đó: v0, h, g là những hằng số dương
O x y
B M ( x, y )
3l
a x = vɺx a x = − 3lω 2 .cos ω t = −ω 2 xM
⇒ x
O
a y = vɺ y
2 2
a y = − lω .sin ω t = −ω y M
⇒ a = a x2 + a y2 = ω 2 .OM = ω 2 r
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 59 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 61
Bài giải:
Phương chiều của gia tốc được xác định nhờ các cosin chỉ phương
1. Quỹ đạo chuyển động của động điểm M
cos(Ox , a M ) = a x / a = − xM / r
⇒ a luôn hướng từ M về O. x = v0 t
g 2
cos(Oy , a M ) = a y / a = − y M / r 1 2 ⇒ y = h− 2 x
y = h − 2 gt 2 v0
+ Gia tốc cực trị
Quỹ đạo chuyển động là nhánh Parabol.
π π
amin = ω 2 rmin = lω 2 khi ϕ = − + kπ ⇒ t = ( − + kπ ) / ω , ( k ∈ Z + )
2 2 y
amax = ω 2 rmax = 3lω 2 khi ϕ = ( k − 1)π ⇒ t = ( k − 1)π / ω , ( k ∈ Z + ) h M ( x, y )
x
O
2h
v0
g
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 60 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 62
- 2. Vận tốc của động điểm M * Thành phần gia tốc tiếp
v x = xɺ M v x = v0 Phương y
⇒ ⇒ v = v x2 + v y2 = v02 + ( gt ) 2 y
v y = yɺ M v y = − gt
h
M aτ
Phương chiều như hình vẽ
Tiếp tuyến
an
y của Parabol tại M
h a
M ( x, y ) x
O
v Tiếp tuyến
2h
v0
của Parabol tại M g
x
O dv g 2t g 2t
2h aτ = ⇒ aτ = =
v0 dt v02 + ( gt ) 2 v
g
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 63 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 65
3. Gia tốc chuyển động của động điểm M
Có thể viết lại kết quả gia tốc tiếp theo vận tốc như sau:
a x = vɺx ax = 0
⇒ ⇒a=g v02
a y = vɺ y a y = − g aτ = g 1 −
v2
y Phương y + Tại thời điểm ban đầu: v = v0
Do đó: aτ = 0
h M ( x, y )
v
Tiếp tuyến 2h
+ Tại thời điểm t = (y = 0): v = v02 + 2 gh
a của Parabol tại M g
x
O v02
2h Do đó: aτ = g 1 −
v0 v02 + 2 gh
g
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 64 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 66
- * Thành phần gia tốc pháp Bài tập 1.7
v0 Xác định quỹ đạo, vận tốc và gia tốc của điểm M. Biết phương trình
an = a 2 − aτ2 = g chuyển động của M trong hệ trục Oxyz là:
v
x = R.sin ω t
+ Tại thời điểm ban đầu: v = v0 y = R.cos ω t
z = u.t
Do đó: an = g
Trong đó: R, u, ω là những hằng số dương
2h z
+ Tại thời điểm t = (y = 0): v = v02 + 2 gh
g
M ( x, y , z )
v0
Do đó: an = g
v02 + 2 gh z
O y
x
x y
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 67 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 69
* Bán kính cong của quỹ đạo Bài giải:
v2 v2 v2 v3 1. Quỹ đạo chuyển động của động điểm M
an = ⇒ρ= = =
ρ a n g v0 gv0 Từ 2 phương trình đầu: x 2 + y 2 = R 2 (1)
v Kết hợp (1) với phương trình z = u.t, ta thấy động điểm chuyển động
trên mặt trụ có bán kính R, trục là Oz.
+ Tại thời điểm ban đầu: v = v0
z
v02 R
Do đó: ρ =
g
2h
+ Tại thời điểm t = (y = 0): v = v02 + 2 gh
g M ( x, y , z )
3
( v02 + 2 gh ) v02 + 2 gh ( v02 + 2 gh ) 2 O
Do đó: ρ = = y
gv0 gv0
ωt
x
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 68 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 70
- Từ z = u.t ⇒ t = z / u . Do đó: 2. Vận tốc chuyển động của động điểm M trong Oxyz
ω v x = xɺ = Rω .cos ω t
x = R.sin u z
v y = yɺ = − Rω .sin ω t ⇒ v = v x + v y + v z = u + R ω
2 2 2 2 2 2
v = zɺ = u
ω z
y = R.cos z
u z
Vận tốc là hằng số, phương tiếp tuyến
z = u.t
với quỹ đạo.
R
Quỹ đạo là một đường vít có trục Oz
+ Chu kỳ đường vít: thời gian quay 1 vòng quanh trục Oz
2π
T=
ω
+ Sau chu kỳ T, động điểm chuyển động theo phương Oz đoạn: v
M y
O ωt
x
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 71 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 73
+ Sau chu kỳ T, động điểm chuyển động theo phương Oz đoạn: 3. Gia tốc chuyển động của động điểm M trong Oxyz
2uπ a x = vɺx = − Rω 2 .sin ω t
zT = u.T = : gọi là bước của vít
ω
a y = vɺ y = − Rω .cos ω t ⇒ a = a x + a y + a z = Rω
2 2 2 2 2
z a z = vɺz = 0
Gia tốc là hằng số, phương chiều được xác định bằng các côsin chỉ
R phương:
x
cos(Ox , a ) = a x / a = − sin ω t = − R
y
cos(Oy , a ) = a y / a = − cos ω t = −
R
cos(Oz , a ) = a z / a = 0
M y
O ωt
x
GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 72 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 74
nguon tai.lieu . vn
