Xem mẫu
- TẠP CHÍ KHOA HỌC – ĐẠI HỌC TÂY BẮC Mai Anh Đức và nnk (2020)
Khoa học Tự nhiên và Công nghệ (20): 42 - 46
ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ CAYLEY - HAMILTON
VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN
Mai Anh Đức, Nguyễn Đình Yên, Trần Hữu La
Trường Đại học Tây Bắc - TBU
Tóm tắt: Trong đại số tuyến tính, định lý Cayley - Hamilton chỉ ra rằng mọi ma trận vuông trên vành giao hoán
đều thỏa mãn phương trình đặc trưng của nó. Định lý này là một trong những kết quả nền tảng của đại số tuyến
tính và nó cũng là công cụ nghiên cứu của nhiều môn toán học cũng như các ngành khoa học khác. Trong bài báo
này, chúng tôi sẽ đưa thêm một ứng dụng khác của nó, đó là sử dụng định lý Cayley - Hamilton để giải một lớp
các phương trình ma trận.
Từ khóa: Định lý Cayley - Hamilton; Phương pháp giải phương trình ma trận.
I. Đặt vấn đề ra những “phương pháp riêng” để giải một lớp
Xét phương trình ma trận có dạng càng rộng càng tốt những phương trình ma trận
f ( X ) = B (1), ở đây f ( t ) là đa thức bậc m ( bậc cao, xem [1], [2]. Trong bài báo này chúng
m ≥ 1 ) một biến t với ai ∈ , dạng tôi đưa ra một phương pháp giải cho một lớp
các phương trình dạng (1) bằng cách sử dụng
f ( t )= am t m + am −1t m −1 + + a1t + a0
định lý Cayley - Hamilton.
và X là ma trận ẩn, cấp n, B là ma trận thực
Chúng ta đã rất quen thuộc với định lý
vuông cho trước cùng cấp với X.
Cayley - Hamilton trong đại số tuyến tính. Định
Kí hiệu In là ma trận đơn vị cấp n. Ta có lý này được đặt tên bởi nhà toán học người Anh
am X m + am −1 X m −1 + + a1 X + a0 I n =
B Arthur Cayley (1821 - 1895) và nhà toán học
người Ireland William Rowan Hamilton (1805
⇔ am X m + am −1 X m −1 + + a1 X = B − a0 I n .
- 1865). Định lý khẳng định rằng tất cả ma trận
Đặt B=' B − a0 I n ta được phương trình vuông A trên một vành giao hoán (như trường
B ', do đó trong
am X m + am −1 X m −1 + + a1 X = số thực hoặc trường số phức) luôn thỏa mãn
toàn bộ bài báo này chúng ta xét phương trình phương trình đặc trưng của nó. Điều này cho
(1) với f ( t ) là một đa thức bậc m thỏa mãn thấy, định lý Cayley - Hamilton cung cấp cho
f ( 0 ) = 0 . Giải phương trình (1) là tìm tất cả các chúng ta mối liên hệ giữa các lũy thừa của ma
ma trận thực vuông X thỏa mãn phương trình trận A. Đây chính là cơ sở giúp cho chúng tôi
(1). nghĩ đến việc giải các phương trình ma trận dựa
Khi m = 1 , lời giải bài toán là tầm thường. vào định lý này. Nói thêm rằng, định lý Cayley
Tuy nhiên câu chuyện trở nên khó khăn hơn - Hamilton được áp dụng rộng rãi trong nhiều
rất nhiều khi m ≥ 2 . Về lý thuyết, ta cũng có lĩnh vực không chỉ liên quan đến toán học, mà
thể đưa việc giải một phương trình ma trận bậc còn trong các lĩnh vực khoa học khác như Vật
m về giải n2 phương trình n2 ẩn bậc m. Trong lý, Công nghệ thông tin [5]. Định lý này được
trường hợp tổng quát điều này là không thể vì sử dụng khá phổ biến trong nhiều vấn đề của đại
các phương trình ma trận bậc cao ( m ≥ 2 ) là số tuyến tính như tính định thức của ma trận,
các hệ phương trình phi tuyến, mà hệ phi tuyến tìm ma trận nghịch đảo của một ma trận, tính
chưa hề có một phương pháp giải tổng quát lũy thừa bậc m của ma trận... Nó cũng đóng một
nào. Chính vì vậy mà chúng ta thường dựa vào vai trò quan trọng trong việc giải các phương
đặc điểm riêng của từng phương trình mà đưa trình vi phân thường hay trong Lý thuyết số [6].
ra lời giải phù hợp. Do đó, một việc làm có ý
II. Nội dung
nghĩa không kém việc tìm ra lời giải tổng quát
đối với các phương trình ma trận bậc cao là tìm 1. Nhắc lại kiến thức cơ sở
42
- Giả sử A là ma trận thực vuông cấp n, ta kí
hiệu det A là định thức của ma trận A. Ta gọi đa Bước 4: Gọi p X ( t ) là đa thức đặc trưng của
thức đặc trưng của A là đa thức được xác định X. Từ các bộ giá trị riêng của X trong Bước 3 ta
bởi công thức xác định được các đa thức p X ( t ) .
Bước 5: Giả sử
A (λ )
p= det ( A − λ I n ) .
Định lý 1: (Cayley-Hamilton) Giả sử A là =f ( t ) p X ( t ) .h ( t ) + r ( t ) .
ma trận thực vuông cấp n và p A ( λ ) là đa thức Áp dụng Định lý 2 ta có f ( X ) = r ( X ) . Tính
đặc trưng của A. Khi đó p A ( A ) = 0. ma trận X từ phương trình r ( X ) = B. Thử lại kết
Bạn đọc có thể xem chứng minh định lý này quả tìm được, ma trận nào thỏa mãn phương trình
trong [3], [4], [6]. đã cho hoặc trùng bộ giá trị riêng là nghiệm cần tìm.
Định lý 2: (Hệ quả của định lý Cayley - Nhận xét: - Số ma trận X tìm được không
Hamilton) Giả sử A là ma trận thực vuông cấp phụ thuộc vào bậc của phương trình hay cấp của
n và p A ( λ ) là đa thức đặc trưng của A. Giả sử ma trận mà nó phụ thuộc vào số bộ giá trị riêng
f ( t ) là một đa thức tùy ý có bậc lớn hơn hoặc
ở Bước 3.
bằng n và - Việc chia phương pháp giải thành 5 bước như
trên là từ kinh nghiệm của nhóm tác giả. Do đó,
=f ( t ) p A ( t ) .h ( t ) + r ( t ) ,
khi đã thành thạo và hiểu rõ bản chất, chúng ta có
ở đó deg r (t ) < n. Khi đó f ( A ) = r ( A ) . thể chia phương pháp giải với số bước ít hơn.
Định lý 3: Nếu λ là giá trị riêng của ma trận - Việc tìm ma trận X từ phương trình
vuông A thì λ n là giá trị riêng của ma trận An . r ( X ) = B cũng không dễ dàng khi deg r ( X ) > 1.
Hệ quả: Nếu λ là giá trị riêng của ma trận Trong trường hợp này, như đã nói trong phần
vuông A và f ( t ) là một đa thức với f ( 0 ) = 0 đặt vấn đề, ta chỉ giải được một số ít phương
thì f ( λ ) là giá trị riêng của ma trận f ( A ) . trình trong trường hợp đặc biệt.
Việc chứng minh các tính chất này có thể 3. Một số ví dụ minh họa
xem trong trong [3], [4], [6]. Sau đây là một số ví dụ minh họa cho phương
2. Phương pháp giải phương trình ma trận pháp giải phương trình ma trận đã trình bày ở
mục 2.
Áp dụng Định lý Cayley - Hamilton cùng
một số kết quả của đại số tuyến tính được nêu Ví dụ 1. Tìm ma trận thực cấp hai X sao cho
trong mục 1, ta xây dựng phương pháp giải −1 0 .
X 2 + 2X =
phương trình ma trận dạng (1) như sau: 4 3
Bước 1: Tìm tất cả các giá trị riêng của ma Lời giải: Trước hết ta thấy rằng, ta có thể sử
trận B, giả sử là các giá trị a1 ,..., an , các giá trị dụng đồng nhất thức để tìm ma trận X (bạn đọc
riêng này có thể trùng nhau. có thể tự kiểm tra). Tuy nhiên lời giải theo cách
Bước 2: Gọi λ là một giá trị riêng của ma này khá dài. Ở đây chúng ta sẽ sử dụng phương
trận X. Khi đó theo Hệ quả của Định lý 3 ta pháp giải trong mục 2.
có f ( λ ) là giá trị riêng của ma trận f ( X ) . Bước 1: Tìm giá trị riêng của ma trận
Do f ( X ) = B nên f ( λ ) cũng là giá trị riêng
của ma trận B. Từ đó thiết lập các phương −1 0 .
B=
trình f ( λ ) = ai với các ai đôi một phân biệt, 4 3
i = 1, 2,..., r. Dễ thấy ma trận B có hai trị riêng là −1 và 3.
Bước 3: Giải các phương trình f ( λ ) = ai Bước 2: Đặt f (t=
) t 2 + 2t . Ta có các
ta được nghiệm là các bộ giá trị riêng phương trình:
λi1 , λi 2 ,..., λip . Ta suy ra các bộ ( λ1 , λ2 ,..., λr ) với
t 2 + 2t =
−1 (1)
λi ∈ {λi1 , λi 2 ,..., λip } là các giá trị riêng của ma
i
i
trận X và f ( λi ) = ai với i = 1, 2,..., r. 2
t + 2t =
3 (2)
43
- Bước 3: Giải các phương trình (1), (2).
trị riêng là là 3, −1, và 0.
Với phương trình (1) ta được nghiệm kép
Bước 2: Đặt f ( t ) = t 3 + t 2 + t . Ta có các
λ = −1.
phương trình:
Với phương trình (2) ta được hai nghiệm
t3 + t2 + t =3 (1)
λ = 1, λ = −3.
t 3 + t 2 + t =−1 (2)
Như vậy có 2 khả năng về cặp giá trị riêng
của X là ( −1;1) ; ( −1; −3) . t3 + t2 + t =0 (3)
Bước 4: Gọi p X ( t ) là đa thức đặc trương Bước 3: Giải phương trình (1) ta được các
của X. Ta có các trường hợp sau: nghiệm 1 và −1 ± i 2.
Trường hợp 1: Nếu X có hai giá trị riêng là Giải phương trình (2) ta được các nghiệm −1
−1 và 1 thì X có đa thức đặc trưng là và ±i.
Giải phương trình (3) ta được các nghiệm 0
p X ( t ) = ( t − 1)( t + 1) = t 2 − 1.
Trường hợp 2: Nếu X có hai giá trị riêng là và −1 ± i 3 .
2
−1 và −3 thì X có đa thức đặc trưng là
Do X là ma trận vuông cấp 3 với các phần
p X ( t ) = ( t + 1)( t + 3) = t 2 + 4t + 3. tử thực, nên chỉ có hai khả năng sau: hoặc là
Bước 5: X có ba giá trị riêng đều thực, hoặc là có một
giá trị riêng thực và hai giá trị riêng phức liên
Trường hợp 1: Ta có
hợp. Ngoài ra các trị riêng của X tương ứng là
t 2 + 2t = t 2 − 1 + 2t + 1 . nghiệm của các phương trình (1), (2), (3) và
Do đó X 2 + 2 X = 2 X + I hay ta có phương không có hai giá trị riêng nào cùng là nghiệm
trình 2 X + I = B. Từ đó ta tìm được ma trận X của một phương trình trong các phương trình
1 trên. Từ các bộ nghiệm trên suy ra không có hai
là= X ( B − I ) . Dễ dàng kiểm tra được X thỏa giá trị riêng nào thuộc hai phương trình khác
2
mãn phương trình đã cho. nhau là các số phức liên hợp.
Trường hợp 2: Ta có Như vậy chỉ có một khả năng về bộ giá trị
t + 2t = t + 4t + 3 − 2t − 3 .
2 2 riêng của X là (1; −1;0 ) .
Do đó X 2 + 2 X =−2 X − 3I hay ta có phương Bước 4: Gọi p X ( t ) là đa thức đặc trương
trình −2 X − 3I = B. Từ đó ta tìm được ma trận của X. Ta có đa thức đặc trưng là
1 p X ( t ) = t (t − 1)(t + 1) =
t 3 − t.
X là X =− ( B + 3I ) . Dễ dàng kiểm tra được X
2 Bước 5:
thỏa mãn phương trình đã cho.
Như vậy có hai ma trận thỏa mãn yêu cầu Ta có t 3 + t 2 + t = t 3 − t + t 2 + 2t. Do đó được
bài toán là X + X 2 + X = X 2 + 2 X hay ta có phương trình
3
X 2 + 2X = B.
−1 0 −1 0
X = và X = . Gọi X là một nghiệm của phương trình
2 1 −2 −3 2
X + 2X =B ta luôn có BX = XB.
Ví dụ 2. Tìm tất cả các ma trận X ∈ Mat3 ()
thỏa mãn phương trình a1 a2 a3
3 0 0 Giả sử X = b1 b2 b3 ta có
3 2 c c c
X + X + X = 0 −1 0 1 2 3
0 0 0 3
1a 3a 3a3
2
Lời giải:
BX = −b1 −b2 −b3 ;
Bước 1: Tìm các giá trị riêng của ma trận 0 0 0
3 0 0
=B 0 −1 0 . Dễ thấy ma trận B có ba giá
0 0 0
44
- 3a1 −a2 0 f M (t ) = t 2 nên M có giá trị riêng duy nhất bằng
0. Dễ thấy rằng không gian con riêng ứng với
XB 3b1
= −b2 0 .
3c −c2 0 trị riêng 0 có chiều bằng 1 nên M không chéo
1
hóa được.
Từ BX = XB ta suy ra
a2= a= b= b= c= c2= 0.
( t ) t 2016 − t 2010 . Ta có một
Bước 2: Đặt f =
3 1 3 1
phương trình duy nhất t 2016 − t 2012 =
0.
Vậy X là ma trận chéo dạng
a1 0 0 Bước 3: Giải phương trình
t 2016 − t 2010 =
0
X = 0 b2 0 .
0 0 c
3 ta được các nghiệm λ = 0, λ = ±1 và
Thay vào phương trình X + 2 X = 2
B ta thu hai phương trình t 2 ± t + 1 =0. Do ma trận
được đẳng thức: X 2016 − X 2010 không chéo hóa được nên X
g (a1 ) 0 0 3 0 0 cũng không chéo hóa được và do đó X chỉ có
một giá trị riêng duy nhất. Từ đó suy ra trường
0 g (b2 ) 0= 0 −1 0 ,
0 0 g (c3 ) 0 0 0 hợp t 2 ± t + 1 =0 bị loại. Vậy X có các giá trị
riêng là λ = 0, λ = ±1.
trong đó g ( x=
) x 2 + 2 x. Từ đó ta có các
phương trình: Bước 4: Gọi p X ( t ) là đa thức đặc trương
a12 + 2a1 =3 của X. Ta có ba trường hợp ứng với ba giá trị
2
b2 + 2b2 = −1 riêng trên.
c 2 + 2c = 0
3 3 Trường hợp 1: p X ( t ) = t 2 .
Giải các phương trình trên ta được a1 = 1 Trường hợp 2: p X ( t =
) ( t − 1) .
2
hoặc a1 = −3 ; b2 = −1 và c3 = 0 hoặc c3 = −2.
pX ( t =
) ( t + 1) .
2
Như vậy ta có các trường hợp của ma trận X là: Trường hợp 3:
1 0 0 1 0 0 Bước 5:
X =− 0 1 0 ; X =− 0 1 0 ; Trường hợp 1: Ta có
0 0 0 0 0 −2
= t 2t 2008 ( t 6 − 1) .
t 2016 − t 2010
−3 0 0 −3 0 0
0 . Điều này không
Do đó X 2016 − X 2010 =
X= 0 −1 0 ; X = 0 −1 0 .
0 0 0 0 0 −2 xảy ra.
Do ma trận X có duy nhất một bộ giá trị riêng Trường hợp 2: Giả sử
và không kể đến thứ tự là (1; −1;0 ) nên chỉ có t 2016 − t 2010 = (t − 1) 2 q (t ) + at + b.
1 0 0
Cho t = 1 suy ra a + b = 0. Lại lấy đạo hàm
ma trận=X 0 −1 0 thỏa mãn. hai vế tại t = 1 suy ra a = 6. Từ đó ta có
0 0 0
t 2016 − t 2010 = (t − 1) 2 q (t ) + 6t − 6.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là
1 0 0 Do đó X 2016 − X 2010 = 6 X − 6 I hay ta có
phương trình 6 X − 6 I =6 M . Từ đó ta tìm được
X 0 −1 0 .
=
0 0 0 ma trận X là X= M + I . Dễ dàng kiểm tra được
X thỏa mãn phương trình đã cho.
Ví dụ 3 (Quyển kỷ yếu Olympic Toán Sinh Trường hợp 3: Thực hiện tương tự trường
viên 2016, bài đề xuất của Trường ĐH GTVT). hợp 2 ta được X = − M − I . Dễ dàng kiểm tra
1 −1 được X thỏa mãn phương trình đã cho.
Cho ma trận M = . Tìm ma trận thực
1 −1 4. Bài tập đề nghị
vuông cấp hai X sao cho X 2016 − X 2010 =
6M .
Bài tập 1. Tìm tất cả các ma trận thực vuông
Bước 1: . Đa thức đặc trưng của M là cấp 2 có lập phương bằng ma trận đơn vị.
45
- Bài tập 2. Giải phương trình TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 1
X2 + X = . [1]. Lê Tuấn Hoa (2005), Đại số tuyến tính:
1 1 Qua các ví dụ và bài tập, NXB Đại học
Bài tập 3. (Olympic sinh viên 2009) Tìm các
Quốc Gia Hà Nội.
ma trận thực X thỏa mãn:
[2]. Hội Toán học Việt Nam, Kỷ Yếu
1 1
3
X − 3X = 2
−2 . Olympic Toán học sinh viên Toàn quốc
1 1 qua các năm.
Bài tập 4. Tìm tất cả các ma trận X ∈ Mat3 () [3]. Nguyễn Hữu Việt Hưng (2011), Đại số
thỏa mãn phương trình tuyến tính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội.
2017 0 0 [4]. Ngô Việt Trung (2001), Đại số tuyến tính,
X2017
+ 2016 X = 0 −2017 0 . (Bộ sách Toán cao cấp - Viện Toán học),
0 0 0 NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội.
III. Kết luận
[5]. Vasile Pop Ovidiu Furdui (2017),
Bài báo đã chỉ ra được phương pháp giải Square Matrices of Order 2: Theory,
cho một lớp các phương trình ma trận. Mặc dù Applications, and Problems, Springer
phương pháp trong bài báo không đưa ra được International Publishin.
công thức nghiệm cụ thể và không áp dụng được
[6]. Teguia, Alberto Mokak (2005),
trong trường hợp tổng quát nhưng phương pháp
Extensions of the Cayley-Hamilton
này đã giúp định hướng một cách khá tường
Theorem with Applications to Elliptic
minh việc tìm ra lời giải một lớp đủ rộng các
Operators and Frames. Electronic Theses
phương trình ma trận.
and Dissertations.
AN APPLICATION OF THE CAYLEY-HAMILTON THEOREM
TO SOLVE MATRIX EQUATIONS
Mai Anh Duc, Nguyen Dinh Yen, Tran Huu La
Tay Bac University
Abstract: In linear algebra, the Cayley - Hamilton theorem states that every square
matrix over a commutative ring satisfies its own characteristic equation. The theorem is one of
foundational results of linear algebra and it is also the research tool of many mathematical subjects
as well as other sciences. In this paper, we will propose another application of the theorem that is
using the theorem to solve a class of matrix equations.
Keywords: The Cayley - Hamilton theorem; Method for solving matrix equations.
_____________________________________________
Ngày nhận bài: 6/3/2020. Ngày nhận đăng: 2/5/2020
Liên lạc: maianhduc@utb.edu.vn
46
nguon tai.lieu . vn
