Xem mẫu
Journal of Science – 2014, Vol. 4 (3), 23 – 26
An Giang University
SỬ DỤNG PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHPAD HỖ TRỢ DẠY VÀ HỌC MÔN HÌNH
HỌC XẠ ẢNH
Trần Lê Nam1, Phan Thị Hiệp2
1
ThS. Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp
ThS. Khoa Giáo dục Tiểu học - Mầm non, Trường Đại học Đồng Tháp
2
Thông tin chung:
Ngày nhận bài: 22/03/14
Ngày nhận kết quả bình duyệt:
29/08/14
Ngày chấp nhận đăng:
22/10/14
Title:
Using the geometer’s
sketchpad software for
supporting teaching and
learning in projective
geometry
Từ khóa:
GSP, projective geometry,
drawing, infinite point
Keywords:
GSP, hình học xạ ảnh, vẽ hình,
điểm vô tận
ABSTRACT
In this article we present: using the removing infinite point tool to change
projective results into affine results; using the constructing conjugate point pair
tool to draw images of problems about harmonic conjugates; using the
constructing polar of a line tool and pole of a point tool to illustrate problems of
pole and polar; drawing an oval through 5 points and tangent line of an oval
through a point; using the tangent tool to construct a tangent line of an oval at a
tangent point. The article also proposes a method to explore these tools to
illustrate the degenerative cases of the Pascal’s Theorem and the Briangchon’s
Theorem.
TÓM TẮT
Chúng tôi trình bày cách sử dụng các công cụ loại bỏ điểm vô tận để chuyển các
kết quả xạ ảnh về kết quả afin, dựng cặp điểm liên hợp để vẽ hình cho các bài
toán về liên hợp điều hòa, dựng cực điểm của một đường thẳng và đường thẳng
đối cực của một điểm đối với một đường oval để vẽ hình cho các bài toán về cực
và đối cực, vẽ đường conic qua 5 điểm và tiếp tuyến của đường oval qua một
điểm, dựng tiếp tuyến của một đường oval tại tiếp điểm. Bài báo cũng đề xuất
cách khai thác các công cụ này để minh họa trường hợp suy biến của Định lý
Pascal và Định lý Briangchon.
xạ ảnh trên mặt phẳng. Để thực hiện điều đó, các
hình vẽ cần được chính xác, dễ quan sát và nhìn
được nhiều góc độ khác nhau. Tuy nhiên, việc vẽ
hình trong môn hình học xạ ảnh với các phương
tiện truyền thống là rất khó và phức tạp.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Geometer’s Sketchpad (GSP) là một phần mềm
hình học phẳng và động. Ngoài các công cụ vẽ đối
tượng cơ bản như: đoạn thẳng, tia, đường thẳng,
đường tròn, cung, đường phân giác,…nó còn hỗ
trợ dựng ảnh qua các phép biến hình, thực hiện
các phép lặp, đo đạc, hoạt hình. Đặc biệt, nó hỗ
trợ tốt trong việc tạo ra các công cụ theo ý đồ của
người sử dụng (Rasmussen, 2003).
Để khắc phục các hạn chế và khó khăn đó, chúng
tôi sử dụng các chức năng tạo công cụ, tạo hình
động của phần mềm GSP tạo ra một số công cụ hỗ
trợ cho việc vẽ hình trong môn hình học xạ ảnh.
Các công cụ này sẽ giúp cho người sử dụng vẽ
được các hình nhanh chóng, chính xác.
Một trong các mục tiêu chính của môn hình học
xạ ảnh trong chương trình đào tạo Sư phạm Toán
học là sử dụng hình học xạ ảnh soi sáng, sáng tạo
và tìm lời giải các bài toán hình học sơ cấp, đặc
biệt là các bài toán hình học phẳng (Văn Như
Cương, 1999; Hartshorne, 1967). Do đó, sinh viên
cần phải tìm hiểu thật kỹ các kết quả của hình học
2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1 Sử dụng công cụ trong Geometer’s
Sketchpad
Download tệp Congcuxaang.gsp tại địa chỉ:
https://drive.google.com/file/d/0B5zGtvvq1D5YR
23
Journal of Science – 2014, Vol. 4 (3), 23 – 26
An Giang University
Ví dụ: Để vẽ 1 đường oval qua 5 điểm. Chọn nút
Conic và click 5 điểm sao cho không có 3 điểm
nào trong 5 điểm đó thẳng hàng (Hình 1).
mNPeWxabFFlRTg/edit?usp=sharing
Mở tệp Congcuxaang.gsp, click vào nút
chọn công cụ cần sử dụng.
,
Hình 1. Sử dụng công cụ conic vẽ đường oval
2.2 Công cụ loại bỏ điểm vô tận
BC’ với B’C thẳng hàng (
Như chúng ta đã biết, nếu 2 đường thẳng AB và
BC cắt nhau tại điểm vô tận B trên mặt phẳng xạ
ảnh thì chúng sẽ trở thành 2 đường thẳng song
song qua A và C trên mặt phẳng afin. Để thực
hiện trên GSP, chúng ta click vào nút
VotanDuongthang. Sau đó lần lượt click vào các
điểm A, C và B. Khi đó, GSP sẽ vẽ ra 2 đường
thẳng song song qua A và C, cùng với 2 điểm
phụ. Các bạn đặt tên cho 2 điểm này để dễ nhớ.
Chọn đường thẳng CC’ làm đường thẳng vô tận.
Để thể hiện kết quả loại bỏ CC’ trên GSP, chúng
ta chọn công cụ VotanDuongthang, click vào 3
điểm A’, A và C. Tiếp tục, click vào điểm B’, A
và C. Khi đó, hai đường thẳng A’C, B’C lần lượt
trở thành hai đường thẳng qua A’, B’ song song
với AB (
Hình 3).
Thực hiện tương tự đối với điểm C’, chúng ta
được kết quả như
Hình 4. Ẩn đi các
đối tượng ban đầu, dựng lại các giao điểm Q, R sẽ
được một kết quả trong mặt phẳng afin như
Hình
5.
Ví dụ: Từ định lý Pappus: Trên mặt phẳng xạ ảnh,
cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng và A’, B’, C’
thẳng hàng, sao cho AB khác với A’B’. Khi đó,
các giao điểm của AB’ với A’B, AC’ với A’C và
24
Hình 2).
Journal of Science – 2014, Vol. 4 (3), 23 – 26
An Giang University
Hình 2. Định lý Pappus
Hình 4. Loại bỏ điểm C’
Hình 3. Loại bỏ điểm C
Hình 5. Dạng định lý Pappus trên mặt phẳng afin
tiếp tuyến qua một điểm của một đường oval
(Hình 7).
2.3 Công cụ dựng điểm liên hợp
Cho 3 điểm A, B, C phân biệt, thẳng hàng. Để
dựng điểm D liên hợp với điểm B đối với 2 điểm
A, C. Chúng ta chọn công cụ Diemlienhop, lần
lượt click vào các điểm A, C và B. Khi đó, GSP
sẽ vẽ ra điểm D.
Ví dụ: Chúng ta chuyển kết quả ba đường trung
tuyến trong một tam giác đồng quy về kết quả xạ
ảnh.
(O)
Hình 7. Hai tiếp tuyến AA1 và AA2 của (O)
- Dựng tam giác ABC và một đường thẳng (d)
không đi qua các điểm đã cho. Dựng các giao
điểm A’, B’, C’ của các đường thẳng BC, AC, AB
với (d).
2.5 Công cụ dựng cực điểm của 1 đường thẳng
Để dựng cực điểm của đường thẳng (a) đối với
đường oval (O). Chúng ta lấy 2 điểm A, B trên
đường thẳng (a), 2 điểm C, D trên đường oval
(O). Chọn công cụ Doicuccuaduongthang. Lần
lượt click vào 3 điểm A, C, D và oval (O), tiếp tục
click tiếp 3 điểm B, C, D và (O). Khi đó, GSP sẽ
vẽ ra cực điểm của đường thẳng (a).
- Chọn công cụ Diemlienhop, click vào 3 điểm A,
B, C’ được điểm C1, click vào 3 điểm B, C, A’
được điểm A1, click vào 3 điểm A, C, B’ được
điểm B1. Dựng các đường thẳng AA1, BB1, CC1.
Chúng ta thấy chúng đồng quy (Hình 6).
2.6 Công cụ dựng tiếp tuyến của đường oval
tại tiếp điểm
Để dựng tiếp tuyến tại điểm A của đường oval
(O), chúng ta dựng 4 điểm phân biệt khác A trên
(O). Chọn công cụ Tieptuyen, lần lượt click vào
điểm A và 4 điểm vừa dựng. Khi đó, GSP sẽ vẽ
tiếp tuyến (a) của (O) (Hình 8).
Hình 6. Ba đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy
2.4 Công cụ dựng đường thẳng đối cực
Để dựng đường thẳng đối cực (a) của điểm A đối
với đường oval (O). Chúng ta lấy 2 điểm B, C
phân biệt trên (O). Chọn công cụ
Duongthangdoicuc, click 3 điểm A, B, C và
đường oval (O). Khi đó, GSP sẽ vẽ ra đường
thẳng (a).
Hình 8. Dựng tiếp tuyến của đường Oval tại tiếp
điểm
Nhận xét: Để minh họa cho các trường hợp suy
biến của Định lý Pascal, chúng ta có thể dựng tiếp
tuyến tại điểm A của đường oval (O) và đường
Nhận xét: Sử dụng công cụ này, chúng ta vẽ được
25
Journal of Science – 2014, Vol. 4 (3), 23 – 26
An Giang University
thẳng AB. Cho điểm B chạy về điểm A, đường
thẳng AB sẽ chạy về tiếp tuyến (a) (Hình 9). Do
đó, khi 2 đỉnh của một hình 6 đỉnh toàn phần
trùng nhau thì một cạnh trở thành tiếp tuyến.
của đường oval (O). Dựng giao điểm I của 2 tiếp
tuyến. Cho điểm B chạy về điểm A, chúng ta sẽ
thấy 2 điểm B, I tiến về điểm A (Hình 10). Do đó,
khi 2 cạnh của một hình 6 cạnh toàn phần trùng
nhau thì tiếp điểm của cạnh trở thành đỉnh của nó.
Để minh họa các trường hợp suy biến của Định lý
Briangchon, chúng ta dựng 2 tiếp tuyến tại A và B
Hình 9. Đường thẳng AB dần về (a)
Hình 10. Hai điểm B, I dần về điểm A
cho các minh họa có tính chất động, sự di chuyển
của các điểm, tiếp tuyến. Đó là một điều khó thực
hiện với các phương tiện dạy học truyền thống.
Nhờ vào tính năng động này, người học có thể
phát hiện các yếu tố, các mối quan hệ bất biến xạ
ảnh, sáng tạo được các bài toán mới.
3. KẾT LUẬN
Bài báo đã giới thiệu 6 công cụ trên phầm mềm
GSP hỗ trợ cho việc vẽ hình trong môn hình học
xạ ảnh. Cụ thể là các công cụ vẽ đường oval qua 5
điểm, công cụ loại bỏ điểm vô tận để chuyển các
kết quả xạ ảnh về các kết quả afin. Công cụ vẽ
điểm liên hợp của một điểm đối với một cặp
điểm, công cụ vẽ đường thẳng đối cực và điểm
đối cực, công cụ vẽ tiếp tuyến tại tiếp điểm của
một đường oval. Đối với mỗi công cụ, chúng tôi
trình bày cách sử dụng, ví dụ minh họa và cách
khai thác chức năng của công cụ đối với môn học.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Hartshorne, R. (1967). Foundations of Projective
Geometry. Lecture in Harvard university. The
United States.
Rasmussen, S. (2003). Discovering Geometry
Dynamically with The Geometer's Sketchpad.
http://www.dynamicgeometry.com/General_Resour
ces /Recent_Talks.html
Văn Như Cương. (1999). Hình học xạ ảnh. Hà Nội:
Nhà xuất bản Đại học sư phạm.
Với các tính năng ưu việt của phần mềm GSP và
sự hỗ trợ của các công cụ, người sử dụng sẽ vẽ
được các hình minh họa nhanh chóng và chính
xác, có được nhiều góc nhìn khác nhau đối với
một bài toán. Hơn nữa, các công cụ còn hỗ trợ tốt
26
nguon tai.lieu . vn
An Giang University
SỬ DỤNG PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHPAD HỖ TRỢ DẠY VÀ HỌC MÔN HÌNH
HỌC XẠ ẢNH
Trần Lê Nam1, Phan Thị Hiệp2
1
ThS. Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp
ThS. Khoa Giáo dục Tiểu học - Mầm non, Trường Đại học Đồng Tháp
2
Thông tin chung:
Ngày nhận bài: 22/03/14
Ngày nhận kết quả bình duyệt:
29/08/14
Ngày chấp nhận đăng:
22/10/14
Title:
Using the geometer’s
sketchpad software for
supporting teaching and
learning in projective
geometry
Từ khóa:
GSP, projective geometry,
drawing, infinite point
Keywords:
GSP, hình học xạ ảnh, vẽ hình,
điểm vô tận
ABSTRACT
In this article we present: using the removing infinite point tool to change
projective results into affine results; using the constructing conjugate point pair
tool to draw images of problems about harmonic conjugates; using the
constructing polar of a line tool and pole of a point tool to illustrate problems of
pole and polar; drawing an oval through 5 points and tangent line of an oval
through a point; using the tangent tool to construct a tangent line of an oval at a
tangent point. The article also proposes a method to explore these tools to
illustrate the degenerative cases of the Pascal’s Theorem and the Briangchon’s
Theorem.
TÓM TẮT
Chúng tôi trình bày cách sử dụng các công cụ loại bỏ điểm vô tận để chuyển các
kết quả xạ ảnh về kết quả afin, dựng cặp điểm liên hợp để vẽ hình cho các bài
toán về liên hợp điều hòa, dựng cực điểm của một đường thẳng và đường thẳng
đối cực của một điểm đối với một đường oval để vẽ hình cho các bài toán về cực
và đối cực, vẽ đường conic qua 5 điểm và tiếp tuyến của đường oval qua một
điểm, dựng tiếp tuyến của một đường oval tại tiếp điểm. Bài báo cũng đề xuất
cách khai thác các công cụ này để minh họa trường hợp suy biến của Định lý
Pascal và Định lý Briangchon.
xạ ảnh trên mặt phẳng. Để thực hiện điều đó, các
hình vẽ cần được chính xác, dễ quan sát và nhìn
được nhiều góc độ khác nhau. Tuy nhiên, việc vẽ
hình trong môn hình học xạ ảnh với các phương
tiện truyền thống là rất khó và phức tạp.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Geometer’s Sketchpad (GSP) là một phần mềm
hình học phẳng và động. Ngoài các công cụ vẽ đối
tượng cơ bản như: đoạn thẳng, tia, đường thẳng,
đường tròn, cung, đường phân giác,…nó còn hỗ
trợ dựng ảnh qua các phép biến hình, thực hiện
các phép lặp, đo đạc, hoạt hình. Đặc biệt, nó hỗ
trợ tốt trong việc tạo ra các công cụ theo ý đồ của
người sử dụng (Rasmussen, 2003).
Để khắc phục các hạn chế và khó khăn đó, chúng
tôi sử dụng các chức năng tạo công cụ, tạo hình
động của phần mềm GSP tạo ra một số công cụ hỗ
trợ cho việc vẽ hình trong môn hình học xạ ảnh.
Các công cụ này sẽ giúp cho người sử dụng vẽ
được các hình nhanh chóng, chính xác.
Một trong các mục tiêu chính của môn hình học
xạ ảnh trong chương trình đào tạo Sư phạm Toán
học là sử dụng hình học xạ ảnh soi sáng, sáng tạo
và tìm lời giải các bài toán hình học sơ cấp, đặc
biệt là các bài toán hình học phẳng (Văn Như
Cương, 1999; Hartshorne, 1967). Do đó, sinh viên
cần phải tìm hiểu thật kỹ các kết quả của hình học
2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1 Sử dụng công cụ trong Geometer’s
Sketchpad
Download tệp Congcuxaang.gsp tại địa chỉ:
https://drive.google.com/file/d/0B5zGtvvq1D5YR
23
Journal of Science – 2014, Vol. 4 (3), 23 – 26
An Giang University
Ví dụ: Để vẽ 1 đường oval qua 5 điểm. Chọn nút
Conic và click 5 điểm sao cho không có 3 điểm
nào trong 5 điểm đó thẳng hàng (Hình 1).
mNPeWxabFFlRTg/edit?usp=sharing
Mở tệp Congcuxaang.gsp, click vào nút
chọn công cụ cần sử dụng.
,
Hình 1. Sử dụng công cụ conic vẽ đường oval
2.2 Công cụ loại bỏ điểm vô tận
BC’ với B’C thẳng hàng (
Như chúng ta đã biết, nếu 2 đường thẳng AB và
BC cắt nhau tại điểm vô tận B trên mặt phẳng xạ
ảnh thì chúng sẽ trở thành 2 đường thẳng song
song qua A và C trên mặt phẳng afin. Để thực
hiện trên GSP, chúng ta click vào nút
VotanDuongthang. Sau đó lần lượt click vào các
điểm A, C và B. Khi đó, GSP sẽ vẽ ra 2 đường
thẳng song song qua A và C, cùng với 2 điểm
phụ. Các bạn đặt tên cho 2 điểm này để dễ nhớ.
Chọn đường thẳng CC’ làm đường thẳng vô tận.
Để thể hiện kết quả loại bỏ CC’ trên GSP, chúng
ta chọn công cụ VotanDuongthang, click vào 3
điểm A’, A và C. Tiếp tục, click vào điểm B’, A
và C. Khi đó, hai đường thẳng A’C, B’C lần lượt
trở thành hai đường thẳng qua A’, B’ song song
với AB (
Hình 3).
Thực hiện tương tự đối với điểm C’, chúng ta
được kết quả như
Hình 4. Ẩn đi các
đối tượng ban đầu, dựng lại các giao điểm Q, R sẽ
được một kết quả trong mặt phẳng afin như
Hình
5.
Ví dụ: Từ định lý Pappus: Trên mặt phẳng xạ ảnh,
cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng và A’, B’, C’
thẳng hàng, sao cho AB khác với A’B’. Khi đó,
các giao điểm của AB’ với A’B, AC’ với A’C và
24
Hình 2).
Journal of Science – 2014, Vol. 4 (3), 23 – 26
An Giang University
Hình 2. Định lý Pappus
Hình 4. Loại bỏ điểm C’
Hình 3. Loại bỏ điểm C
Hình 5. Dạng định lý Pappus trên mặt phẳng afin
tiếp tuyến qua một điểm của một đường oval
(Hình 7).
2.3 Công cụ dựng điểm liên hợp
Cho 3 điểm A, B, C phân biệt, thẳng hàng. Để
dựng điểm D liên hợp với điểm B đối với 2 điểm
A, C. Chúng ta chọn công cụ Diemlienhop, lần
lượt click vào các điểm A, C và B. Khi đó, GSP
sẽ vẽ ra điểm D.
Ví dụ: Chúng ta chuyển kết quả ba đường trung
tuyến trong một tam giác đồng quy về kết quả xạ
ảnh.
(O)
Hình 7. Hai tiếp tuyến AA1 và AA2 của (O)
- Dựng tam giác ABC và một đường thẳng (d)
không đi qua các điểm đã cho. Dựng các giao
điểm A’, B’, C’ của các đường thẳng BC, AC, AB
với (d).
2.5 Công cụ dựng cực điểm của 1 đường thẳng
Để dựng cực điểm của đường thẳng (a) đối với
đường oval (O). Chúng ta lấy 2 điểm A, B trên
đường thẳng (a), 2 điểm C, D trên đường oval
(O). Chọn công cụ Doicuccuaduongthang. Lần
lượt click vào 3 điểm A, C, D và oval (O), tiếp tục
click tiếp 3 điểm B, C, D và (O). Khi đó, GSP sẽ
vẽ ra cực điểm của đường thẳng (a).
- Chọn công cụ Diemlienhop, click vào 3 điểm A,
B, C’ được điểm C1, click vào 3 điểm B, C, A’
được điểm A1, click vào 3 điểm A, C, B’ được
điểm B1. Dựng các đường thẳng AA1, BB1, CC1.
Chúng ta thấy chúng đồng quy (Hình 6).
2.6 Công cụ dựng tiếp tuyến của đường oval
tại tiếp điểm
Để dựng tiếp tuyến tại điểm A của đường oval
(O), chúng ta dựng 4 điểm phân biệt khác A trên
(O). Chọn công cụ Tieptuyen, lần lượt click vào
điểm A và 4 điểm vừa dựng. Khi đó, GSP sẽ vẽ
tiếp tuyến (a) của (O) (Hình 8).
Hình 6. Ba đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy
2.4 Công cụ dựng đường thẳng đối cực
Để dựng đường thẳng đối cực (a) của điểm A đối
với đường oval (O). Chúng ta lấy 2 điểm B, C
phân biệt trên (O). Chọn công cụ
Duongthangdoicuc, click 3 điểm A, B, C và
đường oval (O). Khi đó, GSP sẽ vẽ ra đường
thẳng (a).
Hình 8. Dựng tiếp tuyến của đường Oval tại tiếp
điểm
Nhận xét: Để minh họa cho các trường hợp suy
biến của Định lý Pascal, chúng ta có thể dựng tiếp
tuyến tại điểm A của đường oval (O) và đường
Nhận xét: Sử dụng công cụ này, chúng ta vẽ được
25
Journal of Science – 2014, Vol. 4 (3), 23 – 26
An Giang University
thẳng AB. Cho điểm B chạy về điểm A, đường
thẳng AB sẽ chạy về tiếp tuyến (a) (Hình 9). Do
đó, khi 2 đỉnh của một hình 6 đỉnh toàn phần
trùng nhau thì một cạnh trở thành tiếp tuyến.
của đường oval (O). Dựng giao điểm I của 2 tiếp
tuyến. Cho điểm B chạy về điểm A, chúng ta sẽ
thấy 2 điểm B, I tiến về điểm A (Hình 10). Do đó,
khi 2 cạnh của một hình 6 cạnh toàn phần trùng
nhau thì tiếp điểm của cạnh trở thành đỉnh của nó.
Để minh họa các trường hợp suy biến của Định lý
Briangchon, chúng ta dựng 2 tiếp tuyến tại A và B
Hình 9. Đường thẳng AB dần về (a)
Hình 10. Hai điểm B, I dần về điểm A
cho các minh họa có tính chất động, sự di chuyển
của các điểm, tiếp tuyến. Đó là một điều khó thực
hiện với các phương tiện dạy học truyền thống.
Nhờ vào tính năng động này, người học có thể
phát hiện các yếu tố, các mối quan hệ bất biến xạ
ảnh, sáng tạo được các bài toán mới.
3. KẾT LUẬN
Bài báo đã giới thiệu 6 công cụ trên phầm mềm
GSP hỗ trợ cho việc vẽ hình trong môn hình học
xạ ảnh. Cụ thể là các công cụ vẽ đường oval qua 5
điểm, công cụ loại bỏ điểm vô tận để chuyển các
kết quả xạ ảnh về các kết quả afin. Công cụ vẽ
điểm liên hợp của một điểm đối với một cặp
điểm, công cụ vẽ đường thẳng đối cực và điểm
đối cực, công cụ vẽ tiếp tuyến tại tiếp điểm của
một đường oval. Đối với mỗi công cụ, chúng tôi
trình bày cách sử dụng, ví dụ minh họa và cách
khai thác chức năng của công cụ đối với môn học.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Hartshorne, R. (1967). Foundations of Projective
Geometry. Lecture in Harvard university. The
United States.
Rasmussen, S. (2003). Discovering Geometry
Dynamically with The Geometer's Sketchpad.
http://www.dynamicgeometry.com/General_Resour
ces /Recent_Talks.html
Văn Như Cương. (1999). Hình học xạ ảnh. Hà Nội:
Nhà xuất bản Đại học sư phạm.
Với các tính năng ưu việt của phần mềm GSP và
sự hỗ trợ của các công cụ, người sử dụng sẽ vẽ
được các hình minh họa nhanh chóng và chính
xác, có được nhiều góc nhìn khác nhau đối với
một bài toán. Hơn nữa, các công cụ còn hỗ trợ tốt
26