Giáo trình Đồ họa máy tính: Phần 2

CHƢƠNGNG III CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ HỌA HAI CHIỀU 3.1 Các phép biến đổi cơ sở Trong lĩnh vực đồ họa máy tính, hình dạng và kìch thước của đối tượng hai chiều đặc trưng bởi một số 2 chiều quan hệ với hệ thống tọa độ Descartes. Một tập hợp các phép biến đổi hình học áp dụng cho đối tượng như: dịch chuyển, thay đổi kìch thước, phương chiều của nó. Các hệ CAD luõn có thao tác như: scale, move, rotate, copy… thực hiện những phép biến đổi hình học cơ sở. 3.1.1 Phép tịnh tiến Khả năng tịnh tiến đối tượng là một đặc điểm cần thiết của mọi hệ thống đồ họa. Phép tịnh tiến làm cho đối tượng dịch chuyển theo một hướng với độ dâi xác định. Dưới dạng toán học, mô tả với hệ x` = x +Tx phươngtrình sau: y`= y + Ty (3-1) Trong đó Tx và Ty là các vectơ tịnh tiến, điểm P(x,y) sau khi tịnh tiến một khoảng [Tx, Ty] sẽ sinh ra điểm P’(x’,y’) với x’ và y’ được tình theo phương trính (3-1) Hình 3.1. Mô tả tịnh tiến tam gíac trong không gian 2 chiều 42 3.1.2 Phép biến đổi tỷ lệ Phép biến đổi tỉ lệ làm thay đổi kìch thước đối tượng. Phép biến đổi tỷ lệ còn được gọi là phép co giãn. Để co hay giãn tọa độ của một điểm P(x,y) theo trục hoành và trục tung lần lượt là Sx và Sy(gọi là các hệ số tỉ lệ), ta nhân Sx và Sy lần lượt cho các tọa độ x` = x.Sx của P. y`= y .Sy (3 - 2) Trong đó Sx là hệ số co giãn theo trục x là Sy là hệ số co giãn theo trục y x` y`=x y Sx  0  y Khi các giá trị Sx, Sy nhỏ hơn 1, phép biển đổi sẽ thu nhỏ đối tượng. Ngược lại, khi các giá trị này lớn hơn 1, phép biến đổi sẽ phóng lớn đối tượng. Khi Sx = Sy, người ta gọi đó là phép đồng dạng (uniform scaling). Đây là phép biến đổi bảo toàn tính cân xứng của đối tượng. Ta gọi là phép phóng đại nếu |S|>1 và là phép thu nhỏ nếu |S|<1. Nếu hai hệ số tỉ lệ khác nhau thì ta gọi là phép không đồng dạng. Trong trường hợp hoặc Sx hoặc Sy có giá trị 1, ta gọi đó là phép căng (strain). Ví dụ: Cho điểm A có tọa độ là A(10,20) sau khi biến đổi tỷ lệ theo trục tung là 5 và theo trục hoành là 10 sẽ sinh ra điểm A’(50, 200) 3.1.3 Phép đối xứng Thuật ngữ đối xứng hiểu như hình ảnh trong gương. Phép đối xứng sử dụng trong việc tạo các hình đối xứng. Ví dụ như một nửa hình được tạo ra, sau đó lấy đối xứng để 43 tạo nguyên hình, hoặc việc tạo khung đỡ mái nhà. Các ứng dụng như CAD luôn có chỉ thị Mirror thực hiện chức năng trên. Phép đối xứng qua điểm hay qua trục nào đó. Ma trận đối xứng sẽ có dạng chung như sau: (3-3) Các trường hợp khác nhau của đối xứng trục X, Y, Z như sau: 3.1.4 Phép quay Phép quay làm thay đổi hướng của đối tượng. Một phép quay đòi hỏi phải có tâm quay, góc quay. Góc quay dương thường được qui ước là chiếu ngược chiều kim đồng hồ. Ta có công thức biến đổi của phép quay điểm P(x,y) quanh gốc tọa độ góc θ tới vị trí P’(x’, y’): Ví dụ: x` = x.cos - y.sin y`= x.sin + y.cos (3-4) Cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là: A(0,40); B(- 37,125); C(40, -81) 44 Hãy tìm tọa độ mới của các điểm trên qua phép quay góc 60o, ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ? 3.2. Kết hợp các phép biến đổi Những phép biến hình 2 chiều đòi hỏi không chỉ một mà là chuỗi thứ tự các phép biến hính cơ sở để cuối cùng thu được mục tiêu mong muốn. 3.2.1. Kết hợp các phép tịnh tiến Nếu ta thực hiện phép tịnh tiến lên điểm P được điểm P`, rồi lại thực hiện tiếp một phép tịnh tiến khác lên P` được điểm Q. Như vậy, điểm Q là ảnh của phép biến đổi kết hợp hai phép tịnh tiến liên Qx = Px +(Tx1+Tx2 ) tiếp. Qy= Py+(Ty1+Ty2) Vậy kết hợp hai phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến. Từ đó, ta có kết hợp của nhiều phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến. T(Tx , Ty ).T(Tx , Ty )=T(Tx +Tx ,Ty +Ty ) 1 1 2 2 1 2 1 2  0 Tx1 0 1 Ty1 0 0 1Tx2 0 0  1 1 0 =  0 Ty2 1 Tx1 +Tx2 0 1 Ty1 +Ty2 0 1 3.2.2 Kết hợp các phép biến đổi tỷ lệ Tương tự như phép tịnh tiến, ta có tọa độ điểm Q là điểm có được sau hai phép tỷ lệ M1(Sx1, Sy1 ), M2 (Sx2, Sy2 ) là : Qx = Px*Sx1 *Sx2 Qy= Py*Sy1*Sy2 Vây kết hợp hai phép tỷ lệ là một phép tỷ lệ. Từ đó, ta có kết hợp của nhiều phép tỷ lệ là một phép tỷ lệ. S(Sx , Sy ).S(Sx , Sy )=S(Sx .Sx , Sy .Sy ) 1 1 2 2 1 2 1 2 45 3.2.3 Kết hợp các phép quay Tương tự, ta có tọa độ điểm Q là điểm kết quả sau khi kết hợp hai phép quay quanh gốc tọa độ MR1(θ1) và MR2(θ2) là : Qx=Px*cos( 1+2)-Py*sin( 1+2) Qy=Px*sin( 1+2)+Py*cos( 1+2) Tổng hợp 2 phép quay như sau: R(θ ).R(θ ) = R(θ +θ ) 1 2 1 2 3.2.4. Một số phép biến đổi khác a. Phép biến dạng Phép biến dạng làm thay đổi hình dạng đối tượng, biến dạng theo trục hoành hay trục tung bằng cách thay đổi tọa độ điểm ban đầu theo cách sau đây: Sx và Sy là các hệ số biến dạng theo trục hoành và trục tung b. Phép đối xứng Phép đối xứng xem như phép quay quanh trục đối xứng góc 46 ... - tailieumienphi.vn