Xem mẫu
- Ch¬ng 16
KHÔI PHỤC ẢNH
16.1. GIỚI THIỆU
Trong lịch sử, lĩnh vực hoạt động rộng lớn của xử lý ảnh số đã dành hết cho việc
khôi phục ảnh. Công việc này bao gồm cả nghiên cứu phát triển thuật giải lẫn
chương trình, xử lý ảnh có mục đích. Nhiều đóng góp đáng chú ý trong xử lý ảnh số
đã được thực hiện trước kia cũng như sau này.
Dựa vào khôi phục ảnh, chúng ta muốn loại bỏ hay làm giảm những suy giảm gặp
phải trong khi thu nhận ảnh số. Sự suy giảm bao gồm sự mờ do hệ thống quang học,
di chuyển đối tượng và cả nhiễu từ điện tử hay nguồn quang trắc. Trong khi khôi
phục ảnh có thể được định nghĩa bao gồm nhiều kỹ thuật đã đề cập trong Phần 1, ta
coi nó là biểu hiện của lớp các thao tác bị hạn chế nhiều hơn.
Tiêu chí cho việc khôi phục ảnh là mang lại một ảnh tương đối giống ảnh ban đầu
khi ảnh số thu được bị suy giảm. Mỗi phần tử trong chuỗi thu nhận ảnh (thấu kính,
film, bộ số hoá,...) đều có thể tạo ra suy giảm. Khôi phục từng phần ảnh bị mất chất
lượng có thể thoả mãn một khía cạnh thẩm mỹ nào đó, tuỳ thuộc vào từng ứng dụng
cụ thể. Một ví dụ cho trường hợp sau là các nhiệm vụ thu thập ảnh mặt trăng và hành
tinh trong chương trình không gian.
Trong chương này, chúng ta xem xét một vài phương pháp tiếp cận khôi phục
ảnh. Ta cũng xem xét các bài toán nhận biết hệ thống và mô phỏng nhiễu. Đối với
những tin tức chi tiết về các đối tượng, độc giả nên tham khảo tài liệu hay nghiên cứu
về lĩnh vực này.
16.1.1. Tiếp cận và mô phỏng
Tiến trình khôi phục ảnh bị suy giảm có thể tiếp cận theo một trong hai cách cơ
bản. Nếu không biết nhiều về ảnh, ta có thể cố gắng để mô phỏng và mô tả đặc điểm
các nguồn suy giảm (mờ và nhiễu) và thực hiện quá trình loại bỏ và giảm bớt ảnh
hưởng của chúng. Đây là cách tiếp cận ước đoán, vì ta thử ước đoán ảnh như thế nào
trước khi bị suy giảm thông qua xử lý các đặc tính liên quan còn lại.
Nói cách khác, rất nhiều nhận thức trước đây về ảnh đã có sẵn, có thể thành công
hơn để phát triển mô hình toán học của ảnh ban đầu và điều chỉnh mô hình ảnh quan
sát. Một ví dụ cho trường hợp này, giả sử rằng ảnh đã biết chỉ chứa các đối tượng
hình tròn có kích thước cố định (các vì sao, các hạt, các tế bào,…). Ở đây, công việc
là sự phát hiện, vì chỉ một vài thông số của ảnh ban đầu là chưa biết (số lượng, vị trí,
biên độ,…).
Việc tiếp cận bài toán khôi phục ảnh cũng thể hiện ở một vài lựa chọn khác. Thứ
nhất, việc phát triển có thể sử dụng các phép toán rời rạc hay liên tục. Thứ hai, việc
phát triển có thể thực hiện trong miền không gian hay miền tần số. Cuối cùng, trong
khi việc thực hiện phải là số (digitally) thì khôi phục có thể thực hiện trong miền
không gian (qua tích chập) hay miền tần số (qua phép nhân).
Thật may mắn, bây giờ ta đã xác định đượ tập điều kiện mà, nếu được bảo toàn,
làm cho các phương pháp tiếp cận khác nhau đều cần thiết ngang nhau. Vì thế, chúng
312
- ta có thể sử dụng bất cứ cách tiếp cận nào phù hợp với yêu cầu và ràng buộc của ta
nhất, miễn là chúng ta quan tâm đến những giả thiết cơ bản.
Thường thường, có hai hay nhiều cách tiếp cận đều dẫn đến cùng một kỹ thuật
khôi phục. Các phương pháp tiến hành tốt trong thực tiễn là cơ sở cho bài toán này.
Một trong số chúng luôn luôn có vẻ như chờ đợi ta cuối hành trình, không quan tâm
đến hướng ta xuất phát hay loại bản đồ và la bàn mà ta sử dụng.
Trong chương này, chúng ta xem xét một vài kỹ thuật khôi phục ảnh quan trọng.
Chúng ta bắt đầu bằng cách tiếp cận trong miền tần số liên tục theo thứ tự phát triển
và ứng dụng của chúng đối với ảnh số. Sau đó ta sẽ nghiên cứu trong miền không
gian rời rạc để thống nhất các kết quả có trước thành cơ cấu chung. Tiếp theo, chúng
ta sẽ xem xét khía cạnh thực tiễn của việc xử lý mờ biến thiên và nhiễu không cố
định. Sau khi xác định các tham số suy giảm ta tiến hành khôi phục ảnh.
16.2. CÁC BỘ LỌC KHÔI PHỤC ẢNH KINH ĐIỂN
Trong phần này, chúng ta sử dụng hệ thống trong Hình 16-1 để mô phỏng sự suy
giảm và khôi phục ảnh. Ảnh f(x,y) được làm mờ bằng phép toán tuyến tính h(x,y) và
nhiễu n(x,y) được thêm vào để tạo thành ảnh suy giảm w(x,y). Ảnh này được nhân
chập với bộ lọc khôi phục g(x,y) để cho ảnh khôi phục f^(x,y).
f ( x, y ) w( x , y ) f ^ ( x, y )
h ( x, y ) + g ( x, y )
n( x, y )
Hình 16-1 Mô hình khôi phục ảnh liên tục
Lý thuyết hệ thống tuyến tính đã được sử dụng để thiết kế các bộ lọc điện tử trong
nhiều năm trước khi xử lý ảnh trở nên phổ biến. Nó được ứng dụng rộng rãi trong
quang học, xử lý tín hiệu số và các lĩnh vực khác. Ví dụ, giải chập được biết đến
trong thiết kế bộ lọc điện tử và phân tích chuỗi thời gian. Thậm chí ước lượng sai số
bình phương trung bình (MSE) tối thiểu được Norbert Wienner trình bày vào năm
1948. Vì thế, nhiều kỹ thuật ứng dụng trong khôi phục ảnh là sự tổng hợp từ các
phương pháp một chiều đã sử dụng trong xử lý tín hiệu tương tự và tín hiệu số. Thậm
chí khi trở thành đặc trưng, các kỹ thuật mới đã được trình bày, chúng tập trung vào
cách tiếp cận miền tần số kinh điển
16.2.1. Giải chập (Deconvolution)
Vào giữa thập niên 60, giải chập (lọc ngược) đã bắt đầu được ứng dụng rộng rãi
để khôi phục ảnh số. Nathan đã sử dụng giải chập hai chiều để khôi phục ảnh từ các
nhiệm vụ thám hiểm hành tinh Ranger, Surveyor và Mariner. Vì phổ tín hiệu thường
tắt dần nhanh hơn nhiễu ở cùng tần số, nên các thành phần tần số cao thường bị
nhiễu tác động. Phương pháp tiếp cận của Nathan đã hạn chế hàm truyền đạt giải
chập xuống một giá trị tối đa nào đó (Hình 16-2).
Trong suốt chu kỳ lấy mẫu, Harris đã giải chập vệt mờ do sự hỗn loạn của bầu khí
quyển trong ảnh thiên văn sử dụng một mô hình phân tích đối với PSF và
McGlamery đã giải chập sự hỗn loạn khía quyển sử dụng một PSF xác định qua thực
nghiệm. Do đó, giải chập đã trở thành kỹ thuật tiêu chuẩn cho vấn đề khôi phục ảnh.
313
- Hình 16-3 minh hoạ sự cải tiến có thể có trên ảnh khi kỹ thuật này được thực hiện
cẩn thận.
1 1
0.2
h h
(a) §¸p øng lý thuyÕt (b) §¸p øng thùc tÕ
5 1
1 0
h h
(c) §¸p øng ®¶o (d) §¸p øng ®· hiÖu chØnh
Hình 16-2 Giải chập
HÌNH 16-3
Hình 16-3 Giải chập ảnh Surveyor: (a)trước; (b) sau
16.2.2. Giải chập Wienner
Trong đa số các ảnh, các điểm ảnh liền kề rất tương quan với nhau, trong khi các
mức xám của các điểm ảnh riêng biệt chỉ tương quan lỏng lẻo. Từ đó, chúng ta có thể
chứng tỏ rằng hàm tự tương quan của ảnh đặc thù nói chung là suy giảm nhiều so với
ban đầu. Vì phổ năng lượng của ảnh là biến đổi Fourier (thực và chẵn) hàm tự tương
quan của nó nên chúng ta có thể chứng tỏ được rằng phổ năng lượng của một ảnh nói
chung suy giảm theo tần số.
Các nguồn nhiễu đặc trưng có phổ năng lượng bằng phẳng hoặc suy giảm theo tần
số chậm hơn so với phổ năng lượng của ảnh. Vì thế, trạng thái mong muốn là sao cho
314
- phổ tín hiệu ở tần số thấp còn nhiễu chiếm các tần số cao. Bởi vì kích thước bộ lọc
giải chập thường tăng theo tần số nên bộ lọc sẽ tăng cường nhiễu tần số cao. Những
cố gắng vận dung giải chập bài toán nhiễu bằng các phương pháp đặc biệt và trực
quan.
Helstrom đã chấp nhận thủ tục ước lượng sai số bình phương trung bình và đã
trình bày bộ lọc giải chập Wienner, có hàm truyền đạt hai chiều
H * (u, v ) Pf (u , v)
G (u , v ) 2
(1)
H (u , v) Pf (u, v ) Pn (u, v )
và có thể viết lại như sau:
H * (u , v)
G (u , v ) 2
(2)
H (u , v) Pn (u , v) / Pf (u , v)
trong đó Pf và Pn là phổ năng lượng của tín hiệu và nhiễu. Bộ lọc này được trình
bày trong chương 11 cho trường hợp một chiều.
R f ( ) Pn (s )
s
Hµm tù t¬ng quan Phæ n¨ng lîng nhiÔu
Pf (s ) Pf ( s)
Pn (s )
s s
Phæ n¨ng lîng Tû lÖ tÝn hiÖu/nhiÔu (SNR)
F (s ) 1
H (s)
s s
Phæ biªn ®é Bé läc gi¶i chËp
Hình 16-4 Vấn đề nhiễu trong giải chập
Slepian đã mở rộng giải chập Wienner để giải thích PSF suy biến (ví dụ do nhiễu
loạn khí quyển). Sau đó, Pratt và Habibi đã phát triển công cụ để tăng hiệu quả tính
toán của giải chập Wienner.
315
- Giải chập Wienner tạo ra một phương pháp tối ưu cho việc thực hiện hàm truyền
đạt giải chập trong sự hiện diện của nhiễu, nhưng nó bị vướng mắc với ba vấn đề hạn
chế tính hiệu quả của nó. Thứ nhất, tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình (MSE)
của sự tối ưu không đặc biết tốt nếu ảnh đang được khôi phục trong mắt người. Vấn
đề là ở chỗ tiêu chuẩn MSE xử lý mọi sai số như nhau, bất chấp vị trí của chúng
trong ảnh, trong khi mắt phải chịu đựng các sai số trong vùng tối và vùng gradient
cao nhiều hơn các hệ thống khác. rong việc tối thiểu hoá sai số bình phương trung
bình, bộ lọc Wienner cũng có xu hướng làm trơn ảnh nhiều hơn những gì mà mắt ưa
thích.
Thứ hai, giải chập Wienner cổ điển không thể vận dụng PSF có biến làm mờ
thuộc không gian. Điều này xuất hiện với sự hôn mê, chứng loạn thị, sự uốn cong
của trường thể hiện và với vệt mờ di chuyển trong khi quay.
Cuối cùng, kỹ thuật không thể vận dụng cho các trường hợp phổ biến của tín hiệu
và nhiễu dừng. Đa số các ảnh là không dừng, có các khu vực bằng phẳng rộng phân
biệt bởi sự chuyển tiếp dễ nhận thấy (biên). Hơn nữa, một vài nguồn nhiễu quan
trọng tuỳ thuộc rất nhiều vào mức xám cục bộ. Trong hai phần tiếp theo, ta sẽ xem
xét những cách thức thực hiện và cải tiến giải chập Wienner.
16.2.3. Cân bằng phổ năng lượng
Canon đã chứng minh bộ lọc khôi phục phổ năng lượng của ảnh bị suy giảm thành
biên độ ban đầu là
1/ 2
Pf (u , v)
G (u , v ) 2
(3)
H (u , v) Pf (u , v) Pn (u , v)
Giống như bộ lọc Wienner, bộ lọc cân bằng phổ năng lượng (Power Spectrum
Equalization-PSE) này không có pha (thực và chẵn). Nó thích hợp cho các hàm làm
mờ không pha hay pha được xác định bởi các phương pháp khác.
Điểm tương đồng giữa bộ lọc PSE (biểu thức (3)) và bộ lọc giải chập Wienner
(biểu thức (1)) là quá rõ ràng. Cả hai bộ lọc đều giảm xuống còn giải chập trực tiếp
trong tình trạng không nhiễu và cả hai cắt hoàn toàn trong tình trạng không có tín
hiệu. Tuy nhiên, bộ lọc PSE không cắt tại các vị trí 0 trong hàm truyền đạt làm mờ
F(u, v).
Khả năng khôi phục ảnh của bộ lọc PSE rất tốt và trong vài trường hợp bộ lọc
PSE có thể được ưa thích hơn giải chập Wienner. Đôi khi bộ lọc PSE còn được gọi là
bộ lọc đồng hình (homomorphic filter).
16.2.4. Các bộ lọc trung bình hình học
Xét hàm truyền đạt bộ lọc khôi phục được cho bởi
1
H * (u , v) H * (u , v )
G (u , v ) 2
2
(4)
H (u , v) H (u , v) Pn (u , v) / Pf (u , v)
trong đó và là các hằng số thực dương. Bộ lọc này là sự khái quát của các bộ
lọc đã đề cập trước đây. Hàm truyền đạt được tham số hoá theo và . Chú ý, nếu
= 1 thì biểu thức (4) rút gọn thành bộ lọc giải chập. Hơn nữa, nếu = 1/2 và = 1,
thì nó sẽ trở thành bộ lọc PSE trong biểu thức (3).
316
- Cần lưu ý thêm rằng, nếu = 1/2 thì biểu thức (4) sẽ xác định bộ lọc trung bình
hình học giữa giải chập bình thường và giải chập Wienner. Vì thế biểu thức (3) còn
có một tên gọi nữa là bộ lọc trung bình hình học. Tuy nhiên, thực tế thì tên gọi này
thường dùng cho bộ lọc tổng quát hơn trong biểu thức (4).
Nếu trong biểu thức (4), = 0 thì nó trở thành bộ lọc tham số Wienner
H * (u , v )
G (u , v ) 2
(5)
H (u , v) Pn (u , v) / Pf (u, v )
Nếu = 1 biểu thức này sẽ trở thành bộ lọc giải chập Wienner của biểu thức (2),
ngược lại = 0 sẽ rút gọn thành giải chập trực tiếp. Nói chung, có thể được chọn để
có được bộ lọc làm trơn kiểu Wienner mong muốn.
Biểu thức (4) trình bày một lớp các bộ lọc khôi phục rất phổ biến thường dùng
trong các hàm làm mờ tuyến tính, bất biến không gian và nhiễu cộng không tương
quan. Andrews và Hunt đã nghiên cứu khả năng khôi phục của bộ lọc trong biểu thức
(4) dưới các điều kiện hơi mờ và nhiễu vừa phải. Chúng chứng tỏ rằng, dưới những
điều kiện này, giải chập trực tiếp ít mong muốn nhất và giải chập Wienner tạo ra hiệu
quả lọc thông thấp khắt khe hơn mà mắt người mong muốn. Bộ lọc tham số Wienner
< 1 và bộ lọc trung bình hình học cùng một ràng buộc có vẻ như tạo ra các kết quả
dễ chịu hơn.
16.3. SỰ KHÔI PHỤC ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Andrews và Hunt đã đề xuất một phương pháp tiếp cận bài toán khôi phục ảnh
dựa trên cơ sở đại số tuyến tính. Tiếp cận này có thể lôi cuốn những người thích
dùng đại số ma trận hơn phép tính tích phân và toán học rời rạc để phân tích các hàm
liên tục. Nó đưa ra một sự trình bày thống nhất về các bộ lọc khôi phục, kể cả những
bộ lọc đã đề cập trước đây và nó mang lại những hiểu biết về khía cạnh bằng số của
bài toán khôi phục ảnh.
Bởi vì kích thước các vec tơ và cả các ma trận nên phương pháp tiếp cận đại số
tuyến tính có thể không mang lại hiệu quả. Thay vào đó, một kỹ thuật khôi phục phát
triển theo phương pháp tiếp cận này có thể được thực hiện hiệu quả hơn bằng
phương pháp khác.
16.3.1. Mô hình khôi phục rời rạc
Hình 16-5 trình bày một mô hình mad ta sẽ sử dụng trong việc phát triển các kỹ
thuật khôi phục không gian rời rạc. Hàng trên đỉnh biểu thị trạng thái mong muốn
(nhưng không có khả năng), đó là một bộ số hoá lý tưởng hoạt động trên f(x, y), là
hàm liên tục không sy biến biểu diễn cho cảnh vật lý tạo ra ảnh. Bộ số hoá này tạo ra
một vec tơ cột f N2 1, đệm thêm và xếp chồng theo hàng, chứa ảnh số mong muốn.
Khuôn dạng vec tơ cột này đối với việc lưu trữ ảmh số đã được đề cập trong phần
9.3.4.
Hàng thứ hai của mô hình mô phỏng điều sẽ xảy ra khi một ảnh được số hoá và
được khôi phục. Hàm f(x, y) bị mờ bởi một phép toán tuyến tính h(x, y) và sau đó
một ảnh nhiễu hai chiều n(x, y) được thêm vào, tạo thành g(x, y). Một bộ số hoá lý
tưởng tạo ra một vec tơ cột g đệm thêm, sắp xếp theo hàng, chứa ảnh số N N quan
sát được. Điều này tuỳ thuộc vào phép toán khôi phục tạo ra f , xấp xỉ với kết quả
mong muốn, f.
317
- Hàm mờ là tuyến tính, nhưng nó có thể là bất biến dịc hoặc không. Nếu nó là bất
biến dịch thì nó chẳng qua là tích chập của f(x, y) với PSF h(x, y). Nếu thực tế có
nhiều hơn một toán tử làm mờ trong chuỗi mô phỏng, thì các toán tử này được giả
định là kết hợp với nhau thành h(x, y). Cũng như vậy, nhiều nguồn nhiễu được giả
thiết là kết hợp thành một nguồn n(x, y). Mô hình này vẫn chưa hoàn thiện, vì nó
không tính đến nhiễu phi tuyến và nhiễu phụ thuộc tín hiệu.
Hàng thứ ba của hình cho thấy mô hình mà chúng ta phân tích ở đây. Một bộ số
hoá lý tưởng tạo ra f, như trước, nhưng điều này tuỳ thuộc vào phép toàn tuyến tính
rời rác H. Một ảnh nhiễu rời rạc, mã hoá theo vec tơ cột n, được thêm vào để tạo ra
ảnh quan sát g, cũng có dạng vec tơ. Một phép toán khôi phục rời rạc lại tạo ra ước
lượng f .
Khuôn dạng của vec tơ ảnh quan sát bây giờ có thể được biểu diễn dưới dạng đầy
đủ như sau
g = Hf + n (6)
trong đó g, f và n là các vec tơ cột N2 1 và H là ma trận N2 N2. Nếu hàm mờ là
bất biến dịch thì H là ma trận khối vòng tròn. Ngoài ra, các ảnh số mà ta quan tâm
đều là N N sau khi đệm thêm các giá trị 0 cần thiết.
Lưu ý rằng bây giờ, bằng các phép toán rời rạc, chúng ta đang mô phỏng các suy
biến nhận được trước khi ảnh được chuyển đổi sang dạng số. Mô phỏng này có hai
nhánh. Đầu tiên, ta có thể tạo các ví dụ mô phỏng rất ấn tượng bằng mô hình này, vì
ta có thể thiết kế quá trình suy biến và thực hiện nó chính xác. Sự khôi phục trở
thành một bài tập bằng số đơn thuần, nếu ta chọn một quá trình suy biến có thể đảo
ngược. Ta thực hiện điều đó, ta xoa bỏ nó, và ta khôi phục lại nguên mẫu trong phạm
vi sai số làm tròn.
Thứ hai, bây giờ ta tiến hành mô phỏng các quá trình (liên tục) bằng các phép
toán rời rạc. Điều này tương tự như tình huống trước đây mà chúng ta đã phải bảo
đảm rằng quá trình xử lý rời rạc dữ liệu lấy mẫu bảo toàn nguyên vẹn các hàm liên
tục cơ bản. Hiệu lực của khôi phục ảnh cố gắng xoay quanh sự mô phỏng chính xác
quá trình suy biến ảnh.
16.3.2. Khôi phục không ràng buộc
Nếu n = 0 hoặc nếu ta không biết một tí gì về nhiễu, ta có thể thiết lập sự khôi
phục như bài toán tối thiểu hoá bình phương nhỏ nhất theo cách dưới đây. Cho e(f ) là
một vec tơ sai số thặng dư thu được từ việc sử dụng f như một xấp xỉ của f. Khi đó
biểu thức (6) trở thành
g Hf H f e(f ) hay e(f ) g H f (7)
và ta tối thiểu hoá hàm mục tiêu
2
2 t
W f e f g Hf g Hf g hf (8)
trong đó a a t a ký hiệu cho tiêu chuẩn Ơ clit của một vec tơ, tức là, câưn bậc
hai của tổng bình phương các phần tử của nó.
318
-
Nghĩa là ta chọn f sao cho nếu nó bị H làm mờ thì kết quả sẽ khác ảnh quan sát g
càng ít càng tốt theo nghĩa bình phương trung bình. Vì bản thân g là f đơn giản bị
làm mờ bởi H, nên đây là cách tiếp cận tốt nhất. Nếu f và f , cả hai đều bị H làm mờ,
gần giống nhau thì f có thể là xấp xỉ tốt nhất đối với f.
Chú ý rằng công thức này có phần khác với công thức đã sử dụng trong phần trình
bày bộ lọc Wienner trong phần 11.5.2. Ở đó, ta đã cố gắng tối thiểu hoá sự khác nhau
giữa tín hiệu khôi phục và tín hiệu ban đầu. Ở đây, ta đã hoàn thành việc tối thiểu
hoá sự khác nhau giữa ảnh mờ ban đầu và ước lượng mờ của ảnh ban đầu. Chúng ta
không thể mong đợi hai công thức này cho kết quả như nhau.
Cho đạo hàm của W (f ) theo f bằng 0, ta được
W (f )
2H t g H f 0 (9)
f
và giải theo f ta được
f (H t H ) 1 H t g H 1g (10)
trong đó dấu bằng thứ hai là đúng vì H là ma trận vuông.
Biểu thức (10) giống như bộ lọc đảo. Với hàm mờ bất biến dịch, H sẽ là ma trận
khối vòng tròn và nó có thể được dùng để xác định giải chập, cho trong miền tần số
bởi
G u , v
F u , v (11)
H u , v
Nếu H(u, v) có các giá trị 0 thì H là duy nhất và H-1 hay (HtH)-1 không tồn tại.
16.3.3. Khôi phục ràng buộc bình phương nhỏ nhất
Ta có thể sắp xếp biểu thức (6) lại như sau
g - Hf = n (12)
Một cách để đưa thành phần nhiễu vào ràng buộc tối thiểu mà các tiêu chuẩn của
mỗi vế trong biểu thức (12) là như nhau; tức là,
2
2
g Hf n (13)
Bây giờ chúng ta có thể thiết lập bài toán như tối thiểu hoá của
2 2
2
W (f ) Q f g H f n (14)
trong đó Q là một ma trận mà ta chọn để định nghĩa một toán tử tuyến tính nào đó
trên f và là một hằng số gọi là số nhân Lagrăng. Khả năng xác định Q cho ta tính
linh hoạt khi thiết lập mục đích khôi phục.
319
-
Như trước, ta đặt đạo hàm W( f ) theo f bằng 0:
W (f )
2Q t Q f 2H t (g H f ) 0 (15)
f
Sau đó giải với f ta được
f (H t H Q t Q) 1 H t g (16)
trong đó = 1/ là hằng số mà phải được điều chỉnh sao cho ràng buộc của biểu
thức (13) thoả mãn. Đây là biểu thức tổng quát cho giải pháp khôi phục ràng buộc
bình phương nhỏ nhất.
16.3.3.1. Bộ lọc giả ngược
Nếu ta đặt Q = I, ma trận đồng nhất, thì ta sẽ tối thiểu hoá được tiêu chuẩn f tuỳ
thuộc vào ràng buộc nhiễu của biểu thức (13). Khi đó biểu thức (16) trở thành
f H t H I 1
Ht g (17)
Chú ý rằng nếu ta đặt = 0 thì biểu thức này rút rọn thành bộ lọc đảo như biểu
thức (10).
16.3.3.2. Bộ lọc tham số Wienner
Chúng ta có thể coi f và n như các vec tơ ngẫu nhiên và chọn Q bằng tỷ số nhiễu-
tín hiệu
Q R f 1 / 2 R 1n/ 2 (18)
Trong đó Rf = {fft} và Rn = {nnt} là các ma trận hiệp biến của tín hiệu và nhiễu
tương ứng. Khi đó biểu thức (16) trở thành
f (H t H R f1R n ) 1 H t g (19)
Bằng cách giả thiết tính dừng và bất biến dịch, và bằng cách sử dụng ma trận biến
đổi Fourier, ta có thể dễ dàng chứng minh rằng biểu thức này dẫn đến bộ lọc tham số
Wienner của biểu thức (5). Trong khi là một tham số có thể điều chỉnh, chú ý rằng
với = 1, ta có bộ lọc Wienner cổ điển đã đề cập trong phần 11.5.2 để tối thiểu hoá
độ lệch bình phương trung bình giữa ảnh ban đầu và ảnh khôi phục.
Trình bày về đại số tuyến tính trước đây, sử dụng sự tối thiểu hoá của biểu thức
(14) với tiêu chuẩn của biểu thức (18) đối với trường hợp hàm mờ bất biến dịch, đã
dẫn ta trở lại cùng xác định miền tần số đối với bộ lọc Wienner đã trình bày trong
chương 11. Tuy nhiên, lưu ý rằng nó phát triển dễ dàng hơn, nhưng không dễ dàng
đối với bộ lọc đang đề cập, chứng tỏ bộ lọc này làm cho ảnh khôi phục trông giống
ảnh ban đầu nhất (theo nghĩa bình phương trung bình). Mặc dù sự phát triển sau
mang lại cùng một câu trả lời với thời gian nhanh hơn, nhưng nó không có nghĩa là
bộ lọc tối ưu.
16.3.3.3. Các ràng buộc làm trơn
Sự khôi phục bao gồm cả lọc ngược một ảnh bị nhiễu, mờ. Lọc ngược thường làm
nổi bật các chi tiết nhỏ. Thường thường, ma trận mờ phải chịu đựng điều kiện tồi và
320
- thậm chí có thể khác thường. Việc tối thiểu hoá tạo ra một ảnh khôi phục khi đã mờ
giống với ảnh ban đầu bị nhiễu, mờ. Vì những lý do này, ảnh khôi phục có thể phải
chịu đựng các tác động lớn do con người tạo ra. Một phương pháp khắc phục vấn đề
này là chọn Q để áp đặt mọt mức độ làm trơn nào đó lên ảnh khôi phục. Sau đó biểu
thức (14) sẽ cố gắng đạt đến một sự đánh giá về làm trơn, khử mờ và khử nhiễu.
Đặt Q tương ứng với phép lọc tích chập thông cao, ví dụ như Laplace, là đạo hàm
bậc hai; tức là,
2 2
2 f x, y 2 2 f x, y (20)
x y
Trong biểu thức (14), số hạng
2
Qf f t Qt Q f (21)
Là trung bình của ước lượng lọc thông cao bình phương. Ma trận vòng tròn khối
Q là biểu hiện gần đúng của hạt nhân tích chập thông cao, chẳng hạn như
0 1 0
p x, y 1 4 1 (22)
0 1 0
Là một xấp xỉ rời rạc với ma trận Laplace. Từ biểu thức (16), sự định rõ miền tần
số của phép toán khôi phục (bất biến dịch) là
H * u, v
F u , v 2 2
G u , v (23)
H u, v P u , v
Trong đó P(u, v) là hàm truyền đạt của bộ lọc thông cao được thực hiện bởi Q.
Đối với Laplace, biểu thức này là
Pu , v 4 2 u 2 v 2 (24)
Nhưng cũng có thể sử dụng các hàm truyền đạt thông cao khác. Giá trị của kiểm
tra mức độ ràng buộc của sự làm trơn lên trên sự ước lượng và hình dạng của P(u, v)
định nghĩa các tần số khác nhau bị ảnh hưởng như thế nào bởi ràng buộc làm trơn.
16.4. KHÔI PHỤC CÁC PHẦN ÍT SUY GIẢM
Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét các tình huống không hạn chế đối với quá
trình làm mờ bất biến dịch, tín hiệu và nhiễu dừng.
16.4.1. Hàm mờ biến thiên không gian
Trong khi phân tán và mờ chuyển động tuyến tính là các phép toán tuyến tính bất
biến không gian, thì chứng loạn thị, sự hôn mê, sự cong trường và mờ do chuyển
động quay là biến thiên không gian. Một phương pháp khôi phục trực tiếp và hiệu
quả đối với việc sửa chữa những suy giảm này là phép khôi phục biến đổi toạ độ.
Phương pháp tiếp cận này bao gồm việc sử dụng một biến đổi hình học lêm trên ảnh
suy giảm tạo ra hàm mờ bất biến không gian tổng hợp. Tiếp theo là một kỹ thuật khôi
321
- phục bất biến không gian ban đầu và sau đó bằng một biến đổi hình học đảo ngược
phép toán trên và đưa ảnh về lại khuôn dạng ban đầu của nó.
Robbins và Huang đã áp dụng kỹ thuật này vào sự hôn mê và Sawchuk đã áp
dụng nó vào sự mờ do chuyển động phi tuyến và vào chứng loạn thị và sự cong
trường. Đối với các nguồn suy giảm biến thiên không gian này, các biến đổi hình học
yêu cầu là đã biết và sự khôi phục là rất hiệu quả.
16.4.2. Hàm mờ biến thiên thời gian
Độ phân giải giới hạn nhiễu xạ của một kính thiên văn 200 inch là xấp xỉ 0.05
giây cung. Tuy nhiên, dưới những điều kiện không thuận lợi, sự nhiễu loạn khí quyển
có thể làm giảm độ phân giải xuống còn khoảng 2 giây cung. Quan sát các ngôi sao
qua bầu khí quyển nhiễu loạn trương tự như việc xem một nguồn ánh sáng điểm
chuyển động qua cửa kính dưới trời mưa.
Với sự phơi sáng trong thời gian ngắn, sự nhiễu loạn khí quyển tạo ra một mẫu
lốm đốm do sự méo pha trong bầu không khí đa dạng bên trên kính thiên văn. với sự
phơi sáng lâu hơn, sự hỗn loạn khí quyển sẽ gây ra mẫu lốm đốm “nhảy nhót” khi
không khí thay đổi. Vì thế, phơi sáng lâu tích hợp những mẫu lốm đốm nhảy lung
tung để tạo ra vết mờ lớn, lớn hơn nhiều so với PSF giới hạn nhiễu xạ của kính thiên
văn.
Thời gian trung bình trong miền không gian tương đương với việc lấy trung bình
phổ phức trong miền tần số. Hàm truyền đạt trung bình thời gian thu được tiến tới 0
tại các tần số bên dưới giới hạn nhiễu xạ của kính thiên văn. vì thế, trong sự hiện
diện của sự méo pha ngẫu nhiên, lấy trung bình theo thời gian có hại nhiều hơn có
lợi.
Labeyrie đã chứng minh theo kinh nghiệm rằng phổ nămg lượng trung bình theo
thời gian của ảnh một ngôi sao vượt ra ngoài giới hạn nhiễu xạ. Nghĩa là sự thay đổi
pha ngẫu nhiên trong không khí tính trung bình vượt ra ngoài phổ nămg lượng ảnh.
Kỹ thuật khôi phục của ông ta (đo giao thoa vết lốm đốm) bao gồm cả việc đạt được
phổ năng lượng của cả đối tượng vũ trụ đang xét lẫn ngôi sao tham khảo. Ông ta thực
hiện giải chập bằng cách chia phổ năng lượng của đối tượng cho phổ năng lượng của
ngôi sao. Kết quả là thu được một ước lượng phổ năng lượng giới hạn nhiễu xạ của
đối tượng chưa biết. Kết quả này có thể biến đổi ngược để đượchàm tự tương quan
của đối tượng. Bởi vì thông tin pha không có trong phổ năng lượng nên không thể
khôi phục đối tượng một cách chính xác, nhưng hàm tự tương quan là đủ để nhận
biết các ngôi sao lớn gấp đôi và một vài vật thể khác cũng có thể được quan tâm.
Knox đã mở rộng kỹ thuật Labeyrie để khôi phục thông tin pha và thu được các
ảnh giới hạn nhiễu xạ ngay cả với những điều kiện tương đối tồi tệ. Giống như
Labeyrie, ông ta lấy trung bình toàn bộ phổ phơi sáng thời gian ngắn để xác định phổ
năng lượng của đối tượng. Thông tin pha thu được từ sự tự tương quan của phổ năng
lượng tức thời.
16.4.3. Nhiễu và tín hiệu không dừng
Các bộ lọc đã nói đến ở trên đều liên quan đến tín hiệu và nhiễu dừng. Đối với
một ảnh dừng, việc tính toán phổ trong một vùng hoàn toàn giống như (hoặc xấp xỉ)
trong toàn bộ ảnh. Đáng tiếc, điều này thường không đúng như thế. Thực tế hầu hết
các ảnh là không dừng. Ví dụ, xem xét bức ảnh khuôn mặt một người. Phổ năng
lượng tại vùng trán sẽ có năng lượng tần số cao ít hơn nhiều so với phổ năng lượng
vùng mắt. Một lớp lớn các ảnh có thể được mô phỏng như một tập hợp các vùng có
322
- mức xám tương đối không thay đổi, tách biệt bởi các đường biên có gradient khá
cao. Các ảnh một cánh đồng chụp trên không là một ví dụ.
Quá trình ngẫu nhiên dừng không thể mô phỏng chính xác một vài nguồn nhiễu
phổ biến. Ví dụ nhiễu hạt film hầu như không tồn tại trên các vùng mật độ thấp của
một ảnh âm bản, nhưng mức nhiễu sẽ gia tăng theo mật độ. Mật độ các bộ số hoá,
theo sau bộ phát hiện cường độ với bộ khuếch đại logarit, sẽ tạo ra mức nhiễu cao
hơn tại các vùng tối, trong đó các hạt tín hiệu nhỏ của bộ khuếch đại logarit là lớn
nhất.
Rõ ràng là bộ lọc Wienner giải chập trực tiếp tốt hơn, nhưng nó không thể hiện
một giới hạn chính xác hơn trong khôi phục ảnh.
16.4.3.1. Công thức ma trận
Trong chương 9, việc lợi dụng sự ràng buộc của tính bất biến dịch cho phép ta rút
gọn tích phân chồng xuống còn một tích chập đơn giản. Nếu ta không lợi dụngtính
bất biến dịch thì sự chồng mô phỏng ảnh suy giảm có thể viết lại bằng ký hiệu ma
trận như sau
W = FS + N (25)
Trong đó mo hình của hình 16-1 đã được rời rạc hoá. Đối với các ảnh số N N
điểm ảnh thì các ma trận W, S và N là các vec tơ cột N2 1 được tạo ra bằng cách
thêm và xếp thành hàng (phần 9.3.4). Ma trận suy biến F là N2 N2. Nó là một ma
trận khối N N tổng hợp từ các hàm làm mờ N N. Nghĩa là mỗi điểm ảnh của
S(i,k) bị suy giảm bởi nhân chập với một hàm làm mờ N N riêng biệt. Nếu hàm làm
mờ là bất biến dịch thì F là ma trận vòng tròn khối.
Một đánh giá bình phương trung bình tối thiểu có thể bắt nguồn từ công thức ma
trận này. Đối với bộ lọc trung hình học tổng quát, ảnh khôi phục được cho bởi
Z F *t F
1
F *t F * F
t
s
1
n
1
F *t
1
W (26)
Trong đó s và n là các ma trận hiệp biến của tín hiệu và nhiễu.
Lứu ý rằng biểu thức (26) là ma trận đại số tương đương với biểu thức (4). Cũng
nên chú ý rằng nếu N = 1000, thì ma trận F có một nghìn tỷ (1012) phần tử. Hơn nữa,
nếu hàm suy biến có những giá trị 0 thì F sẽ là duy nhất. Rõ ràng, biểu thức (26) thể
hiện một lượng công việc tính toán kinh khủng. Dưới giả thiết đơn giản hoá nào đó,
có thể rút gọn công thức này xuống còn các phép tính dễ sử dụng và tạo ra các ví dụ
gây ấn tượng. Tuy nhiên, khả năng đầy đủ của công thức này chưa được dùng trong
các ứng dụng hàng ngày.
16.4.3.2. Tính dừng cục bộ
Một ảnh hiếm khi là dừng trong một cảnh tổng thể, chúng thường chỉ có thể được
giả thiết là dừng cục bộ mà thôi. Nghĩa là phổ năng lượng tại chỗ (tính trong một cửa
sổ nhỏ) thay đổi chậm khi di chuyển cửa sổ trong phạm vi ảnh. Trong một ảnh cụ
thể, giả thiết này phải đúng, nhưng nó thể hiện một bước tiến quan trọng đối với giả
thiết về tính dừng tổng thể.
Trong đa số các ứng dụng khôi phục ảnh thực tế, việc khôi phục PSF có liên quan
đến việc so sánh kích thước ảnh. Nếu ảnh nói chung là dừng tại các vùng che phủ
trong phạm vi PSF này thì giả thiết dừng cục bộ có thể được điều chỉnh.
Một cách thực hiện khôi phục dưới chế độ dừng cục bộ là sử dụng bộ lọc Wienner
hay sự khái quát hoá của nó (biểu thức (4)), trong đó phổ năng lượng của tín hiệu
323
- và/hoặc nhiễu là các hàm vị trí trong ảnh. Tuy nhiên, chi phí cho tính toán tương đối
cao, trừ phi các phổ này có thể được mô phỏng bởi các công thức của một vài tham
số đơn giản. Hơn nữa, cần thiết phải xác định phổ năng lượng cục bộ trên toàn ảnh
trước khi tham số hoá không gian bộ lọc.
Một cách tiếp cận đơn giản là sử dụng bộ lọc trung bình hình học tổng quát trong
biểu thức (4), trong đó các tham số và là biến thiên không gian có được từ ảnh.
Tuy nhiên, biểu thức này thực hiện trong miền tần số. Nếu quá trình khôi phục được
thực hiện bằng tích chập thì và không xuất hiện như các tham số đơn giản trong
ma trận tích chập.
Một phương pháp đơn giản hơn là xác định ma trận tích chập có một hay nhiều
tham số. Phương pháp này thể hiện quá trình đơn giản hoá việc tính toán, vì chỉ cần
tính ma trận tích chập mới tại từng vị trí điểm ảnh.
16.4.3.3. Các tham số phổ năng lượng
Bây giờ chúng ta mô phỏng tín hiệu và nhiễu như biến không gian dừng cục bộ.
Bằng cách này, ta thấy rằng có hai phạm vi trong ảnh: trên phạm vi nhỏ thì ảnh là
dừng, còn trên phạm vi lớn thì không.
Để minh hoạ, giả sử ta ước lượng phổ năng lượng cục bộ của ảnh tại điểm (x1,y1)
bằng cách tính độ lớn bình phương biến đổi Fourier hai chiều của vùng ảnh tương
đối nhỏ có tâm tại (x1,y1). Sau đó ta thực hiện tương tự với một cửa sổ khác có tâm
tại điểm (x2,y2). Nếu hai điểm này khá gần nhau thì phổ năng lượng phải xấp xỉ bằng
nhau, thậm chí ngay cả khi hai cửa sổ không chờm lên nhau. Nói cách khác, nếu hai
điểm này nằm tách biệt trong ảnh, phổ năng lượng tất yếu sẽ không còn phù hợp.
Nếu tín hiệu và nhiễu là không tương quan thì biến cục bộ của ảnh quan sát là
tổng các biến thành phần nhiễu và tín hiệu; tức là,
w2 ( x, y ) s2 ( x, y ) n2 ( x, y ) (27)
trong đó các biến được tính trên các cửa sổ cục bộ khá nhỏ tâm tại (x,y).
Giả sử nhiễu là trắng và có năng lượng (biên độ bình phương trung bình) tỷ lệ với
mức xám trung bình tại đó. Phổ năng lượng nhiễu
Pn (u, v, x, y ) Pn (0,0, x, y ) n2 ( x, y ) N 0 w ( x, y ) (28)
trong đó N0 là một hằng số và w(x,y) là mức xám trung bình được tính trên một
vài cửa sổ có tâm tại (x,y).
Chúng ta cũng giả thiết rằng phổ năng lượng tín hiệu có thể tách thành phổ năng
lượng nguyên thuỷ P0 (u,v) nhân với hệ số biến đổi không gian; tức là,
Pn (u, v, x, y ) f ( x, y ) P0 (0,0, x, y ) (29)
Sự thay đổi tín hiệu là
s2 ( x, y ) Rs (0,0, x, y ) f ( x, y ) P0 (u , v)dudv f ( x, y ) R0 (30)
trong đó R0 là khối lượng dưới phổ năng lượng nguyên thuỷ.
Giải bài toán hệ số biến đổi không gian, ta được
s2 ( x, y ) w2 ( x, y ) N 0 w ( x, y )
f ( x, y ) (31)
R0 R0
324
- trong đó có sử dụng biểu thức (27) và (28). Bây giờ phổ phổ năng lượng tín hiệu
có thể được viết dưới dạng trung bình và biến thiên cục bộ của ảnh quan sát:
P0 (u , v) 2
Pn (u, v, x, y )
R0
w ( x, y ) N 0 w ( x, y ) (32)
Bây giờ ta có thể viết một biến không gian phụ thuộc tín hiệu tổng quát hoá bộ lọc
Wienner bằng cách thay thế biểu thức (28) và (32) vào
1
F * (u , v) F * u , v P
s
G (u , v , x , y ) 2
2
(33)
F u , v F u , v Ps Pn
Các tham số biến thiên không gian w(x, y) và 2 w(x, y) phải được tính từ ảnh vào.
Nghĩa là sự khôi phục ảnh phải được tiến hành theo bước tính ảnh trung gian và ảnh
biến thiên từ ảnh vào.
16.4.3.4. Phân chia ảnh
Một giải pháp thực tế hơn là tạo ra một lược đồ hai chiều của w(x, y) và 2 w(x, y)
và tìm kiếm những nhóm các điểm ảnh trong không gian trung gian và không gian
biến thiên. Sau đó không gian có thể được chia thành nhiều vùng chứa các nhóm này.
Các vùng được tạo ra có thể ánh xạ ngược lại để xác định các vùng trung gian ít thay
đổi và các vùng biến thiên. một bộ lọc khôi phục có thể được thiết kế và thực hiện
trên từng vùng như vậy. Trong phương pháp này, sự khôi phục biến thiên không gian
chỉ đắt hơn một vài lần so với khôi phục thống kê.
Ví dụ, ta có thể phân chia ảnh suy biến thành các vùng tách rời nhau có bốn kiểu
nội dung. Bốn vùng tương ứng với bốn khả năng kết hợp các mức xám trung gian
cao và thấp với sự biến thiên tín hiệu cao và thấp. Sử dụng bốn bộ lọc khôi phục ảnh
cho mỗi vùng. Nếu các đáp ứng tần số 0 của các bộ lọc bằng nhau thì các đường biên
giữa các vùng không thể nhìn thấy rõ trong quá trình xử lý ảnh.
Tại những vùng cần khôi phcụ chính xác hơn, ta có thể chia vùng trung gian và sự
biến thiên tín hiệu thành những khoảng nhỏ hơn. Mặc dù kỹ thuật này bị loại bỏ
nhiều bước từ sự khôi phục biến thiên không gian đủ mạnh, nhưng nó có thể tạo ra
một sự cải tiến đáng kể nhờ sử dụng giả thiết về tính dừng tổng thể.
16.4.3.5. Tỷ số năng lượng nhiễu (NPR-Noise Power Ratio)
Biểu thức (4) đã chỉ ra rằng bộ lọc Wienner tổng quát chỉ đáp lại tỷ số năng lượng
tín hiệu trên nhiễu. Phổ năng lượng tín hiệu và nhiễu không xuất hiện độc lập trong
biểu thức bộ lọc. Một thủ tục khôi phục ảnh sẽ đơn giản hơn nếu ta giả thiết rằng,
khắp toàn bộ ảnh, phổ năng lượng tín hiệu và nhiễu thay đổi theo biên độ mà không
theo dạng hàm. Nghĩa là hàm SNR (của tần số không gian) cũng chỉ thay đổi theo
biên độ trong từ đầu đến cuối ảnh.
Nếu nhiễu là trắng và biên độ phụ thuộc tín hiệu của nó cho trong biểu thức (28),
ta có thể viết tỷ số phổ năng lượng nhiễu trên tín hiệu như sau
Pn (u , v, x, y ) R N w ( x, y ) R0 N 0
0 0 2 NPR ( x, y ) (34)
Ps (u, v, x, y ) P0 (u , v) n ( x, y ) N 0 w ( x, y ) P0 (u , v)
trong đó NPR(x,y), số hạng trong dấu ngoặc, được gọi là tỷ số năng lượng nhiễu.
Nó biểu diễn khả năng biến thiên không gian của tỷ số phổ năng lượng và dễ dàng
325
- tính từ ảnh trung gian và ảnh biến thiên của ảnh suy biến. Lưu ý rằng biểu thức (34)
được viết dưới dạng tích các số hạng phụ thuộc tần số và phụ thuộc vị trí.
Hàm NPR(x,y) có thể được xem như một ảnh. Mức xám của nó biểu diễn khả
năng biến đổi không gian của tỷ số năng lượng nhiễu trên tín hiệu. Điều này đủ để
xác định biến đổi không gian của một bộ lọc khôi phục. Người ta có thể sử dụng các
ngưỡng trên NPR(x,y) tại vài mức xám để chia ảnh bị suy giảm thành những vùng
SNR gần giống nhau. Một bộ lọc khôi phục khác cũng có thể được sử dụng cho từng
vùng.
16.4.3.6. Các bộ lọc kết hợp tuyến tính
Có một cách khác sử dụng ảnh NPR để khôi phục biến đổi không gian. Kỹ thuật
này tương đối rẻ và thực hiện sự khôi phục biến đổi không gian PSF một cách trôi
chảy. Giả sử ta tạo ra một hàm mặt nạ m(x,y) bằng cách đơn giản hoá NPR(x,y) trong
đoạn [0,1]. Giá trị 0 tương ứng với tỷ số cực tiểu, 1 tương ứng với tỷ số cực đại năng
lượng nhiễu trên tín hiệu trong ảnh. Tiếp theo ta sẽ thiết kế hai bộ lọc khôi phục
g1(x,y) và g2(x,y) tương ứng với các trường hợp NPR thấp và cao.
Nhân chập ảnh với hai bộ lọc khôi phục này. Các phép toán thực hiện là
z1 ( x, y ) w( x, y ) g1 ( x, y ) (35)
và
z 2 ( x, y ) w( x, y ) g 2 ( x, y ) (36)
trong đó g1(x,y) và g2(x,y) là các bộ lọc khôi phục tĩnh có được từ biểu thức (4)
dưới các điều kiện nhiễu cao và nhiễu thấp. Ảnh được khôi phục là
z ( x, y ) m( x, y ) z1 ( x, y ) [1 m( x, y )]z 2 ( x, y ) (37)
Cuối cùng bước khôi phục cũng có thể được viết như sau
z ( x, y ) w( x, y ) m( x, y ) g1 ( x, y ) [1 m( x, y )]g 2 ( x, y ) (38)
Nếu m(x,y) biến đổi chậm so với phạm vi đáp ứng xung của bộ lọc khôi phục, thì
ta giả sử nó là hằng số. Với giả thiết này, phép nhân thay thế gần đúng cho tích chập
và biểu thức khôi phục biến đổi không gian PSF là
g ( x, y ) m( x, y )g1 ( x, y ) g 2 ( x, y ) g 2 ( x, y ) (39)
Khôi phục kết hợp tuyến tính bao gồm các bước sau: thứ nhất, ảnh suy giảm được
xử lý để rút ra ảnh mức xám trung bình cục bộ và ảnh biến đổi cục bộ. Tiếp theo,
hàm mặt nạ m(x,y) được tạo thành bằng cách đơn giản hoá NPR(x,y). Sau đó các bộ
lọc tĩnh g1(x,y) và g2(x,y) được thiết kế cho hai trường hợp tương ứng với SNR thấp
nhất và cao nhất tồn tại trong ảnh. Hai ảnh được khôi phục từng phần z1(x,y) và
z2(x,y) được tạo thành bằng cách nhân chập ảnh vào với từng bộ lọc khôi phục. Cuối
cùng đầu ra khôi phục được tạo thành bởi
z ( x, y ) m( x, y )z1 ( x, y ) z 2 ( x, y ) z 2 ( x, y ) (40)
Khôi phục kết hợp tuyến tính thực hiện đáp ứng xung biến đổi không gian của
biểu thức (39) một cách trôi chảy và tránh được sự việc phân chia ảnh. Có phần phức
tạp hơn việc khôi phục dừng tổng thể, khôi phục kết hợp tuyến tính bao gồm bốn
phép toán cục bộ (tính trung bình, tính biến đổi và hai tích chập) và các phép toán đại
số trong biểu thức (34) và (40). Mặc dù không phải là bộ lọc tối ưu, nhưng bộ lọc
326
- khôi phục kết hợp tuyến cũng thoả mãn một số yêu cầu khôi phục ảnh. Tức là nó làm
trơn hầu hết các vùng có tỷ số SNR thấp và để lại các vùng có SNR cao.
16.5. SIÊU PHÂN GIẢI (SUPERRESOLUTION)
Trong chương 15, chúng ta đã biết rằng hàm truyền đạt không cố kết (incoherent)
của một hệ thống quang học là hàm tự tương quan của của hàm con ngươi. điều này
chứng tỏ rằng hàm truyền đạt thực sự phải được giới hạn dải; tức là, nó tiến đến 0 với
mọi tần số lớn hơn một tần số cắt nào đó được thiếtc lập bởi giới hạn nhiễu xạ của độ
phân giải.
Rõ ràng, có thể hy vọng giải chập sẽ khôi phục phổ của một đối tượng bên ngoài,
nhưng quá xa, giới hạn nhiễu xạ. Năng lượng tại những tần số vượt quá giới hạn
nhiễu xạ bị mất một cách vô ích. Độ phân giải vượt quá giới hạn nhiễu xạ có thể là
không thực tế nhờ có tính chất hữu ích của biến đổi Fourier. Các thủ tục khôi phục
mà tìm cách khôi phục thông tin vượt quá giới hạn nhiễu xạ đợc coi như các kỹ thuật
siêu phân giải (superresolution). Phương pháp mà chúng sử dụng cũng được gọi là
ngoại suy các hàm giới hạn dải.
16.5.1. Mở rộng phân tích
Nếu một hàm f(x) bị gới hạn không gian (tức là, bằng 0 bên ngoài khoảng hữu hạn
nào đó), thì phổ F(s) của nó là một hàm phân tích. Phân tích áp đặt một ràng buộc
khắt khe lên cách mà một hàm có thể là “lượn sóng”. Một tính chất phổ biến của các
hàm phân tích là nếu đã biết một hàm như vậy trên một khoảng hữu hạn, thì nó được
biết ở mọi nơi. Nghĩa là hai hàm phân tích có cùng độ chính xác trên khoảng đã cho
bất kỳ thì chúng phải thích hợp ở mọi nơi và phải có cùng một hàm. Còn một phát
cách biểu nữa, cho trước một đường cong xác định trên một khoảng nào đó, không
có nhiều hơn một hàm phân tích có thể được điều chỉnh chính xác với đường cong đã
cho trên khoảng đó. Quá trình khôi phục một hàm phân tích trong miền xác định của
nó, cho trước các giá trị của hàm trên khoảng đã định, được gọi là mở rộng phân tích.
Bởi vì một ảnh cần thiết phải được giới hạn không gian, nên phổ của nó phải phân
tích được. Bây giờ bỏ qua nhiễu, phổ của một ảnh có thể xác định trên khoảng từ 0
đến giới hạn nhiễu xạ. Vì thế, có thể không thực tế để khôi phục phổ phân tích ở mọi
nơi, hay ít rs cũng ở một vài tần số lớn hơn giới hạn nhiễu xạ.
Trong chương 12, nó được chỉ ra rằng một hàm bị cắt (giới hạn không gian)
không thể bị giới hạn dải. Tuy nhiên, các hệ thống quang học giới hạn dải cố gắng áp
đặt sự giới hạn dải lên trên các hàm bị cắt. Đây chính là tính không tương hợp giữa
giới hạn không gian và giới hạn dải mà các kỹ thuật siêu phân giải cố gắng sử dụng.
16.5.2. Kỹ thuật Harris
Harris đã xem xét có phải sự giới hạn nhiễu xạ có tính chất lý thuyết gới hạn cao
hơn về độ phân giải hay đơn thuần chỉ là một sự giới hạn thực tế. Ông ta đã chứng
minh rằng không có hai đối tượng giới hạn không gian nào cùng tạo ra các ảnh giống
hệt nhau trừ phi chính đối tượng là giống hệt nhau. Từ đó, ông ta cho rằng, với điều
kiện không nhiễu, một ảnh đợc thu nhận bất kỳ có thể tương ứng với một và chỉ một
đối tượng. Vì vậy, nó phải có khả năng khôi phục đối tượng từ ảnh giới hạn nhiễu xạ
của nó.
Trong phần này, ta sẽ thẻ hiện kỹ thuật siêu phân giải được Harris cải tiến. Và
được Goodman làm lại. Kỹ thuật này bao gồm việc áp dụng định lý lấy mẫu, với việc
đảo miền, để đạt được một hệ phương trình tuyến tính có thể giải đối với mọi giá trị
327
- của phổ tín hiệu bên ngoài dải thông giới hạn dải. Nó cũng mang lại hiểu biết thêm
về các kết quả lấy mẫu và cắt.
Hình 16-6 cho thấy một hàm và phổ của nó. Vì f(x) bị giới hạn không gian nên ta
có thể áp dụng định lý lấy mẫu như trước, nhưng với miền thời gian và miền tần số
đảo ngược. định lý lấy mẫu phát biểu rằng có thể khôi phục F(s) hoàn toàn từ một
loạt các điểm mẫu cách đều nhau chứng tỏ rằng chúng được chia không quá 1/2T
phần. Sự tái tạo lại có thể biểu diễn như sau
sin 2sT
F s III 2 sT F s (41)
2sT
Cho biết việc lấy mẫu F(s) từng khoảng 1/2T và sau đó nội suy để khôi phục lại
hàm.
Viết lại hàm Shah dưới dạng tổng vô hạn các xung, ta được
sin 2sT
F s s 2nT F s (42)
n 2sT
Và sử dụng tính chất chọn lọc của các xung để tạo ra
sin 2sT 2nT
F s F 2nT (43)
n 2sT 2nT
Giả sử f(x) đi qua một hệ thống tuyến tính mà hệ thống này không cho năng lượng
lớn hơn tần số sm nào đó đi qua. Giải chập có thể khôi phục tín hiệu đã biết chính xác
phổ của nó bên ngoài sm. Vì thế, sự xác định trực tiếp sau khi giải chập (nếu cần
thiết) sẽ khôi phục phổ tín hiệu đối với các tần số nhỏ hơn sm.
HÌNH 16-6
Hình 16-6 Hàm giới hạn không gian và phổ của nó
Giả sử rằng F(s) được lấy mẫu sao cho M điểm mẫu nằm trong phạm vi dải thông
-sm s +sm (hình 16-7). Giả thiết thêm là chúng ta muốn xác định F(s) trên khoảng
-sn đến sn, trong đó n hàm ý là một lượng N lớn các điểm mẫu. Thì một đánh giá phổ,
giới hạn dải tại sn (> sm) có thể tính từ
N
sin 2sT 2nT
F s F s F 2nT (44)
n N 2sT 2nT
328
-
Nếu ta tính F s , ta đã mở rộng thành công giới hạn của hàm từ sm ra đến sn.
HÌNH 16-7
Hình 16-7 Biểu diễn phổ lấy mẫu
Có thể coi biểu thức (44) như một phương trình tuyến tính có 2N +1 ẩn. Các ẩn là
các giá trị của F(2nT) tại các điểm mẫu. vì đã biết phổ với |s| sm, nên ta có thể tạo
ra một hệ 2N +1 phương trình 2N + 1 ẩn bằng cách chọn 2N + 1 tần số trong phạm
vi dải thông và thay thế các giá trị đã biết của F(s) vào biểu thức (44).
Có thể sử dụng các kỹ thuật cổ điển để giải hệ phương trình tuyến tính với ẩn là
các giá trị của phổ. Sau đó các giá trị này có thể được thay vào biểu thức (44) để tạo
ra một đánh giá của phổ bị giới hạn dải tại một tần số cao hơn giới hạn nhiễu xạ của
hệ thống ảnh.
Trong các trường hợp thực tiễn, N có thể tương đối lớn và việc giải quyết một
phương trình tuyến tính rất tốn kém về mặt tính toán. Bởi vì phổ của các hàm thực là
hàm Hermite (nửa trái là liên hợp phức của nửa phải; xem chương10), nên nó loại bỏ
bớt đi một nửa số phương trình. Hơn thế nữa, vì phổ đã biết thấp hơn giới hạn nhiễu
xạ nên chỉ các điểm nằm giữa sm và sn mới phải tính.
16.5.3. Giảm năng lượng liên tiếp
Có một sự nhắc lại và có thể thực tế hơn, cách tiếp cận với việc khôi phục phần
phổ tần số cao của ảnh giới hạn không gian. Kể cả việc áp đặt thành công sự giới hạn
không gian lên trên ảnh, trong vẫn giữ không đụng chạm đến phần phổ tần số thấp đã
biết.
Hình 16-8 minh hoạ quá trình một chiều. Chúng ta bắt đầu với f(x), một xung tam
giác (a) biểu diễn đối tượng thực sự và (b) phổ F(s) của nó bên ngoài tần số sn nào
đó. Trong (d) G0(s) là phổ của F(s) sau khi nó đã được lọc thông thấp bừng hàm
truyền đạt của hệ thống ảnh, hệ thống bị giới hạn dải tại sm > sn. Với ví dụ này,
chúng ta giả định một hàm truyền đạt thông thấp lý tưởng. Hình 16-8c cho thấy g0(x),
tương ứng với ảnh đã thu nhận. Duy nhất một điều mà ta biết rõ với mức độ chính
xác cao đó lầ G0(s) trong phạm vi dải thông |s| < sm.
329
- HÌNH 16-8
Hình 16-8 Giảm năng lượng liên tiếp: (a) đối tượng thực sự và (b) phổ của nó;
(c) ảnh thu nhận được với (d) phổ bị giới hạn dải bởi hệ thống ảnh; (e) ảnh giới hạn
không gian; (f) phổ được khôi phục để phù hợp với (d) trong phạm vi dải thông;
(i) ảnh và (j) phổ của nó sau khi lặp lại năm lần các bước 1 và 2
Lưu ý rằng việc giới hạn dải phổ khiến cho g0(x) bị giới hạn không gian nữa.
Bước đầu tiên của quá trình khôi phục là áp đặt sự giới hạn không gian lên trên g0(x)
bằng cách đặt nó bằng 0 bên ngoài miền xác định của xung. Điều này tạo ra g1(x),
hình 16-8e, và G1(s) là phổ của nó (f). G1(s) trông giống F(s) hơn, nhưng không phù
hợp với G0(s) trong phạm vi dải thông nữa.
Bước thứ hai bao gồm việc đặt các giá trị của G1(s) bằng các giá trị của G0(s) bên
trong dải phổ để tạo ra G2(s), cho trong (h). Điều này cải thiện thêm sự xấp xỉ. Một
biến đổi ngược mang lại g2(x), cho trong (g), là một xấp xỉ tốt hơn cho f(x), nhưng
không còn giới hạn dải nữa.
Hai bước (1) áp đặt sự giới hạn không gian lên gi(x) và sau đó (2) khôi phục các
giá trị chính xác với Gi+1(s) trong phạm vi dải thông (sử dụng G0(s)lặp lại liên tục).
Hình 16-8(i) và (j) cho thấy các kết quả sau năm lần lặp. Mỗi bước tạo ra nămh
lượng sai số cho bởi
2
E f x g i x dx (45)
Hình 16-9 trình bày cách mà gi(x) và Gi(s) hội tụ về phía f(x) và F(s). Sự hội tụ
thường trở nên chậm hơn sau vài bước đầu tiên.
HÌNH 16-9
Hình 16-9 Sự hội tụ của quá trình giảm năng lượng liên tiếp: gi(x) và Gi(s) hội tụ
về phía f(x) và F(s), với việc tăng i
330
- 16.5.4. Nghiên cứu thực tế
Một sự thực hiện số bất kỳ của phép ngoại suy một hàm phân tích phải được làm
cẩn thận. Ảnh ban đầu phải được số hoá với một mức nhiễu rất thấp. Nó cũng phải
được lấy mẫu chồng theo hệ số ít nhất là sao cho độ rộng dải (băng thông) của nó có
thể mở rộng và mức độ chắc chắn đáng kể hơn. Để tính phổ với độ phân giải tốt hơn,
ta phải tính biến đổi Fourier trên một miền rộng hơn phạm vi ảnh. Cuối cùng, để
tránh việc tích luỹ sai số trong nhiều biến đổi xuôi và biến đổi ngược, ta phải dùng
một tính chất chính xác mức độ cao.
Có nhiều phương pháp tiếp cận khác để khôi phục một đối tượng ảnh với độ phân
giải vượt quá giới hạn nhiễu xạ. Các phương pháp bao gồm cách dùng các hàm sóng
phỏng cầu dài, ngoại suy bình phương trung bình tuyến tính và các mặt nạ điều hoà
thêm vào. Một vài nghiên cứu đã thừa nhận tác động của nhiễu lên quá trình khôi
phục.
Trong khi một vài tác giả biểu thị các mô phỏng về các kỹ thuật này một cách ấn
tượng, thì các ví dụ thực tế là rất hiếm. Nhưng ngược lại chỉ một hàm phân tích có
thể phù hợp chính xác với một hàm đã cho trên một khoảng đã định rõ, nhiều hàm
phân tích khác nhau có thể rất giống hàm đã cho trong khoảng xác định và sau đó
phân kỳ ra ngoài khoảng. Andrews và Hunt đã đề cập đến “chuyện hoang đường về
siêu phân giải” và chứng tỏ rằng các ràng buộc nhiễu ngăn ngừa sự giãn rộng độ
phân giải thực tế nào đó vượt quá giới hạn nhiễu xạ. Chỉ bằng sự số hoá ảnh chất
lượng cao (nhiễu thấp) và tính toán cẩn thận mới có thể cải thiện đáng kể ảnh mong
muốn.
16.6. NHẬN BIẾT HỆ THỐNG
Trước khi hoàn thành việc khôi phục ảnh, phải biết được PSF của hàm làm mờ.
Trong một vài trường hợp, nó được biết trước, nhưng trong các trường hợp khác nó
phải được xác định qua thực nghiệm từ ảnh suy biến. Trong phần này, chúng ta sẽ
xem xét các phương pháp xác định PSF và MTF của một hệ thống ảnh.
16.6.1. Nhận biết hệ thống bằng các đích điều chỉnh
Trong nhiều trường hợp, hàm truyền đạt của một hệ thống có đượ xác định trực
tiếp, một lần cho tất cả, trước khi sử dụng hệ thống. Giả thiết rằng đối với hệ thống
trong hình 16-10, đáp ứng xung h(x, y) là chưa biết và phải được xác định. Ta có thể
tìm hàm truyền đạt trực tiếp từ
G u, v
H u , v (46)
F u , v
Nếu f(x, y) phù hợp với tín hiệu kiểm tra. Theo lý thưởng, F(u, v) sẽ không có các
giá trị 0. Nếu nó có và nếu H(u, v) có thể giả thiết là khá trơn, ta vẫn có thể giải được
biểu thức (46) bằng các kỹ thuật về con số
HÌNH 16-10
331
nguon tai.lieu . vn
