1. Trang Chủ
  2. Tự động hoá
  3. Xác định thành phần phụ thuộc thời gian trong vế phải phương trình parabolic tuyến tính với điều kiện biên Robin từ quan sát trên biên

Xác định thành phần phụ thuộc thời gian trong vế phải phương trình parabolic tuyến tính với điều kiện biên Robin từ quan sát trên biên

Bài viết trình bày việc đề xuất phương pháp biến phân cho bài toán xác định thành phần phụ thuộc thời gian trong vế phải phương trình parabolic với điều kiện biên Robin từ quan sát trên biên. Bài toán thuận được rời rạc bằng phương pháp sai phân hữu hạn, bài toán biến phân được giải bằng phương pháp gradient liên hợp kết hợp với phương pháp chỉnh Tikhonov. TNU Journal of Science and Technology 227(02): 178 - 185 DETERMINATION OF A TIME - DEPENDENT TERM IN THE RIGHT HAND SIDE OF LINEAR PARABOLIC

Thể loại Tài liệu miễn phí Tự động hoá

Số trang 8

Ngày tạo 4/7/2023 1:08:39 AM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 0.53 M

Tên tệp

Tải Xác định thành phần phụ thuộc thời gian trong vế p... (.pdf)

Xem mẫu

  1. TNU Journal of Science and Technology 227(02): 178 - 185 DETERMINATION OF A TIME - DEPENDENT TERM IN THE RIGHT HAND SIDE OF LINEAR PARABOLIC EQUATIO NS WITH ROBIN BOUNDARY CONDITION FROM BOUNDARY OBSERVATIONS Bui Viet Huong* University of Transport and Communications ARTICLE INFO ABSTRACT Received: 08/12/2021 We propose a variational method for determining a time-dependent term in the right hand side of parabolic equations with Robin Revised: 28/02/2022 boundary condition from boundary observations. We have shown the Published: 28/02/2022 formula for functional to be minimized gradient via an adjoint problem. The direct problem is discretized by the finite difference KEYWORDS methods and the variational problem is solved by the conjugate gradient method and Tikhonov regularization. Inverse problems Ill-posed problems Boundary observations Finite difference methods Conjugate gradient methods XÁC ĐỊNH THÀNH PHẦN PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRONG VẾ PHẢI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN TỪ QUAN SÁT TRÊN BIÊN Bùi Việt Hương Trường Đại học Giao thông Vận tải, Hà Nội THÔNG TIN BÀI BÁO TÓM TẮT Ngày nhận bài: 08/12/2021 Chúng tôi đề xuất phương pháp biến phân cho bài toán xác Ngày hoàn thiện: 28/02/2022 định thành phần phụ thuộc thời gian trong vế phải phương trình parabolic với điều kiện biên Robin từ quan sát trên biên. Ngày đăng: 28/02/2022 Chúng tôi đưa ra công thức tính gradient của phiếm hàm cần cực tiểu hóa dựa trên bài toán liên hợp. Bài toán thuận được rời TỪ KHÓA rạc bằng phương pháp sai phân hữu hạn, bài toán biến phân Bài toàn ngược được giải bằng phương pháp gradient liên hợp kết hợp với Bài toán đặt không chỉnh phương pháp chỉnh Tikhonov. Quan sát biên Phương pháp sai phân hữu hạn Phương pháp gradient liên hợp DOI: https://doi.org/10.34238/tnu-jst.5334 * Corresponding author. Email: huongbv@utc.edu.vn http://jst.tnu.edu.vn 178 Email: jst@tnu.edu.vn
  2. TNU Journal o f Science and Technology 227(02): 178 - 185 1 Giîi thi»u b i to¡n B i to¡n x¡c ành nguçn trong qu¡ tr¼nh truy·n nhi»t ÷ñc nhi·u nh  khoa håc nghi¶n cùu trong váng 50 n«m qua. M°c dò câ kh¡ nhi·u k¸t qu£ v· t½nh tçn t¤i, duy nh§t v  ¡nh gi¡ ên ành cho cho b i to¡n, nh÷ng do t½nh °t khæng ch¿nh v  câ thº phi tuy¸n cõa b i to¡n, n¶n trong thíi gian g¦n ¥y câ r§t nhi·u c¡c nh  to¡n håc v  kÿ s÷ °t l¤i v§n · nghi¶n cùu chóng (xem [1], [2], [3], [4]). Gi£ sû Ω l  mët mi·n Lipschitz, giîi nëi trong khæng gian Rn . Ta k½ hi»u ∂Ω l  bi¶n cõa Ω, Q := Ω × (0, T ] v  S := ∂Ω × (0, T ], vîi T > 0. X²t b i to¡n gi¡ trà bi¶n ban ¦u vîi i·u ki»n bi¶n Robin ut − ∆u = f (t)h(x, t) + g(x, t), (x, t) ∈ Q (1.1) u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω (1.2) ∂u + σu = ψ(x, t), (x, t) ∈ S (1.3) ∂ν Ð ¥y, ν l  v²c tì ph¡p tuy¸n ìn và ngo i tr¶n S . V  f (t), h(x, t), g(x, t), u0 (x), ψ(x, t) l  c¡c h m l¦n l÷ñt thuëc c¡c khæng gian L2 (0, T ), L2 (Q), L2 (Ω), L2 (S). V  σ l  h m n¬m trong khæng gian L∞ (S) ÷ñc gi£ thi¸t l  khæng ¥m h¦u kh­p nìi tr¶n S . B i to¡n thuªn l  b i to¡n x¡c ành u khi c¡c h» sè cõa ph÷ìng tr¼nh (1.1) v  c¡c dú ki»n u0 , ψ công nh÷ f, h, g ¢ bi¸t. B i to¡n ng÷ñc l  b i to¡n x¡c ành v¸ ph£i khi mët sè i·u ki»n bê sung tr¶n líi gi£i u ÷ñc cho th¶m v o. Trong b i b¡o n y, chóng tæi x²t b i to¡n ng÷ñc: X¥y düng l¤i th nh ph¦n phö thuëc thíi gian f (t) trong v¸ ph£i cõa ph÷ìng tr¼nh parabolic tuy¸n t½nh (1.1)  (1.3) tø dú ki»n quan s¡t tr¶n bi¶n u|S = ϕ, (1.4) vîi gi£ thi¸t r¬ng to¡n tû quan s¡t ϕ thuëc khæng gian L2 (S). º gi£i b i to¡n ng÷ñc, chóng tæi sû döng ph÷ìng ph¡p b¼nh ph÷ìng tèi thiºu b¬ng c¡ch cüc tiºu ho¡ phi¸m h m 1 γ Jγ (f ) = ||u(f ) − ϕ||2L2 (S) + ||f − f ∗ ||2L2 (0,T ) , 2 2 vîi γ > 0 l  tham sè hi»u ch¿nh Tikhonov, f ∗ ∈ L2 (0, T ) l  mët dü o¡n ban ¦u cõa f . Chóng tæi muèn nh§n m¤nh r¬ng ph÷ìng ph¡p bi¸n ph¥n d¤ng n y ¢ ÷ñc sû döng º gi£i c¡c b i to¡n truy·n nhi»t ng÷ñc (xem [2], [5], [6]) v  chùng tä nâ r§t húu hi»u. º l m ÷ñc i·u â, chóng tæi chùng minh, phi¸m h m (2.4) kh£ vi Fr²chet v  ÷a ra cæng thùc cho gradient cõa phi¸m h m thæng qua mët b i to¡n li¶n hñp. Sau â, chóng tæi ríi r¤c ho¡ b i to¡n b¬ng ph÷ìng ph¡p sai ph¥n húu h¤n, rçi gi£i b i to¡n tèi ÷u ríi r¤c b¬ng ph÷ìng ph¡p gradient li¶n hñp. C¡c k¸t qu£ sè cho th§y c¡ch ti¸p cªn cõa chóng tæi l  óng ­n v  ph÷ìng ph¡p gi£i sè l  húu hi»u. http://jst.tnu.edu.vn 179 Email: jst@tnu.edu.vn
  3. TNU Journal o f Science and Technology 227(02): 178 - 185 2 K¸t qu£ ch½nh 2.1 B i to¡n thuªn Tr÷îc khi ÷a ra cæng thùc nghi»m y¸u cõa b i to¡n (1.1)  (1.3), chóng tæi b­t ¦u b¬ng vi»c nh­c l¤i khæng gian h m th÷íng xuy¶n ÷ñc sû döng trong b i to¡n gi¡ trà bi¶n ban ¦u trong ph÷ìng tr¼nh parabolic. ành ngh¾a 2.1. Cho V l  mët khæng gian Hilbert. K½ hi»u W (0, T ) l  khæng gian tuy¸n t½nh gçm t§t c£ c¡c h m y ∈ L2 (0, T ; V ), câ ¤o h m (theo ngh¾a ph¥n bè) y 0 ∈ L2 (0, T ; V ∗ ) vîi chu©n x¡c ành bði Z T  1/2 kykW (0,T ) = ky(t)k2V + ky 0 (t)k2V ∗ dt . 0 Khæng gian W (0, T ) = {y : y ∈ L2 (0, T ; V ), y 0 ∈ L2 (0, T ; V ∗ )} l  khæng gian Hilbert vîi t½ch væ h÷îng Z T Z T hu, viW (0,T ) = hu(t), v(t)iV + hu0 (t), v 0 (t)iV ∗ dt. 0 0 º ÷a ra ¡nh gi¡ cho nghi»m y¸u cõa b i to¡n (1.1)  (1.3), tr÷îc ti¶n chóng tæi ành ngh¾a nghi»m y¸u cõa b i to¡n trong khæng gian W (0, T ) ành ngh¾a 2.2. H m u ∈ W (0, T ) ÷ñc gåi l  nghi»m y¸u cõa b i to¡n (1.1) - (1.3) n¸u vîi måi h m thû η ∈ L2 (0, T ; H 1 (Ω)) ta ·u câ ¯ng thùc Z T ZZ ZZ hut , ηiH 1 (Ω))0 ,H 1 (Ω) + ∇u∇ηdxdt +σuηdsdt 0 Q S ZZ ZZ = (f h + g)ηdxdt + ψηdsdt (2.1) Q S v  u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Q. Ta câ ¡nh gi¡ sau: ành lþ 2.1. ([7]) Cho y ∈ W 1,0 2 (Q) l  nghi»m y¸u cõa b i to¡n (1.1) - (1.3). Khi â nghi»m y thuëc khæng gian W (0, T ). ành lþ 2.2. ([7]) Nghi»m y¸u y cõa b i to¡n (1.1) - (1.3) thäa m¢n ¡nh gi¡ d¤ng (2.2)  kykW (0,T ) ≤ cw kf hkL2 (Q) + kgkL2 (Q) + kψkL2 (S) + ku0 kL2 (Ω) , vîi h¬ng sè cw > 0 khæng phö thuëc v o (f, g, u0 ). Hay nâi c¡ch kh¡c, ¡nh x¤ (f, g, u0 ) 7→ y x¡c ành to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc tø khæng gian L2 (Q) × L2 (Σ) × L2 (Ω) v o khæng gian W (0, T ) v  trong tr÷íng hñp ri¶ng ¡nh x¤ â v o khæng gian C([0, T ]; L2 (Ω)). http://jst.tnu.edu.vn 180 Email: jst@tnu.edu.vn
  4. TNU Journal o f Science and Technology 227(02): 178 - 185 2.2 Ph÷ìng ph¡p bi¸n ph¥n X²t b i to¡n (1.1) - (1.3). V¼ nghi»m cõa b i to¡n u(x, t) phö thuëc v o h m f (t) n¶n thay v¼ k½ hi»u u(x, t, f ) ta k½ hi»u l  u(f ) ho°c u(f, u0 , ψ) º nh§n m¤nh sü phö thuëc v o h m f cõa nghi»m u. º x¡c ành f , ta t¼m cüc tiºu ho¡ cõa phi¸m h m 1 J0 (f ) = ku(f ) − ϕk2L2 (S) (2.3) 2 trong khæng gian L2 (S). V¼ b i to¡n t¼m cüc tiºu cõa phi¸m h m J0 (f ) khæng ên ành v  câ thº câ nhi·u nghi»m n¶n chóng tæi sû döng ph÷ìng ph¡p ch¿nh Tikhonov, t¼m cüc tiºu cõa phi¸m h m Tikhonov 1 γ Jγ (f ) = ku(f ) − ϕk2L2 (S) + kf − f ∗ k2L2 (0,T ) (2.4) 2 2 vîi γ > 0 l  tham sè hi»u ch¿nh Tikhonov, f ∗ ∈ L2 (0, T ) l  mët dü o¡n ban ¦u cõa f . Ta th§y, n¸u f > 0 th¼ b i to¡n t¼m cüc tiºu cõa phi¸m h m Jγ (f ) câ nghi»m duy nh§t. X²t b i to¡n li¶n hñp cõa b i to¡n (1.1)  (1.3) x¡c ành nh÷ sau −pt − ∆p = 0, (x, t) ∈ Q (2.5) p(x, T ) = 0, x ∈ Ω (2.6) ∂p + σu = u(f ) − ϕ, (x, t) ∈ S (2.7) ∂ν B¬ng c¡ch êi chi·u thíi gian, b i to¡n li¶n hñp (2.5)  (2.7) câ nghi»m duy nh§t trong khæng gian W (0, T ). ành lþ 2.3. Phi¸m h m J γ kh£ vi Fr²chet v  ¤o h m cõa nâ ∇Jγ (f ) câ d¤ng Z ∇Jγ (f ) = h(x, t)p(x, t)dx + γ(f (t) − f ∗ (t)), (2.8) Ω vîi p(x, t) l  nghi»m cõa b i to¡n li¶n hñp (2.5)  (2.7). Chùng minh: Tr÷îc ti¶n, chóng tæi ÷a v o to¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n S : L2 (0, T ) → L2 (S) x¡c ành bði S(f ) = u(f, 0, 0)|S . Vîi bi¸n ph¥n δf ∈ L2 (0, T ) cõa f õ nhä, ta câ 1 1 J0 (f + δf ) − J0 (f ) = ku(f + δf ) − ϕk2L2 (S) − ku(f ) − ϕk2L2 (S) 2 2 1 1 = ku(f + δf ) − u(f ) + u(f ) − ϕk2L2 (S) − ku(f ) − ϕk2L2 (S) 2 2 http://jst.tnu.edu.vn 181 Email: jst@tnu.edu.vn
  5. TNU Journal o f Science and Technology 227(02): 178 - 185 1 1 = kS(δf ) + u(f ) − ϕk2L2 (S) − ku(f ) − ϕk2L2 (S) 2 2 1 = hS(δf ), u(f ) − ϕiL2 (S) + kS(δf )k2L2 (S) 2  = hS(δf ), u(f ) − ϕiL2 (S) + o kδf kL2 (0,T ) trong â, δu(f ) l  nghi»m b i to¡n δut − ∆δu = δf (t)h(x, t), (x, t) ∈ Q (2.9) δu(x, 0) = 0, x ∈ Ω (2.10) ∂δu + σu = 0, (x, t) ∈ S (2.11) ∂ν Sû döng cæng thùc Green (xem [[7] ành lþ 3.18]) cho nghi»m cõa hai b i to¡n (2.5)  (2.7) v  (2.9)  (2.11) ta câ Z Z  δf h(x, t)p(x, t)dxdt = u(δf, 0, 0) u(f ) − ϕ dsdt Q ZS  = S(δf ) u(f ) − ϕ dsdt S = hS(δf ), u(f ) − ϕh2L (S) + o kδf kL2 (0,T )  Do â ta câ Z J0 (f + δf ) − J0 (f ) = δf h(x, t)p(x, t)dxdt Q Z   = h(x, t)p(x, t)dx, δf + o kδf kL2 (0,T ) Ω L2 (0,T ) Vªy J0 (f ) kh£ vi Fr²chet v  gradient cõa nâ câ d¤ng Z ∇J0 (f ) = h(x, t)p(x, t)dx Ω vîi p(x, t) l  ngi»m cõa b i to¡n li¶n hñp (2.5)  (2.7). Do â, ta câ cæng thùc (2.8) mæ t£ gradient cõa phi¸m h m Tikhonov Jγ (f ). B i to¡n thuªn v  b i to¡n li¶n hñp ÷ñc gi£i b¬ng ph÷ìng ph¡p sai ph¥n húu h¤n. B i to¡n bi¸n ph¥n ÷ñc gi£i b¬ng ph÷ìng ph¡p gradient li¶n hñp. 2.3 Ph÷ìng ph¡p gradient li¶n hñp Chóng tæi giîi thi»u ph÷ìng ph¡p gradient li¶n hñp º gi£i b i to¡n bi¸n ph¥n: http://jst.tnu.edu.vn 182 Email: jst@tnu.edu.vn
  6. TNU Journal o f Science and Technology 227(02): 178 - 185 B÷îc 1: 1.1. Cho k = 0 v  cho tr÷îc x§p x¿ ban ¦u f 0 . 1.2. T½nh U 0 (f 0 ) l  nghi»m cõa b i to¡n thuªn     Ut0 − ∆U 0 = f 0 (t)h(x, t) + g(x, t), (x, t) ∈ Q,   0 U (x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω, ∂U 0    + σU 0 = ψ(x, t), (x, t) ∈ S.   ∂ν 1.3. T½nh r˜0 = U 0 (f 0 ) − ϕ = U 0 x, t; f 0 ) − ϕ vîi ϕ = uex (x, t; f 0 ), trong â uex l  nghi»m ch½nh x¡c cõa b i to¡n (1.1)  (1.3). 1.4.T½nh r0 = −∇Jγ (f 0 ) cho bði cæng thùc (2.8), ÷ñc x¡c ành b¬ng c¡ch gi£i b i to¡n li¶n hñp.     −p0t − ∆p0 = 0, (x, t) ∈ Q,   0 p (x, T ) = 0, x ∈ Ω, ∂p0    + σu = u(x, t; f 0 ) − ϕ, (x, t) ∈ S.   ∂ν 1.5. °t d0 = r0 . B÷îc 2: Cho n = 0, 1, 2, ... 2.1. T½nh Adn = U n (dn ) = U n (x, t; dn ), trong â U n (x, t; dn ) l  nghi»m cõa b i to¡n thuªn vîi f = dn . || rk ||2L2 (0,T ) 2.2. T½nh αn = . ||Adn ||2L2 (0,T ) + λ ||dn ||2L2 (0,T ) 2.3. Cªp nhªt fn+1 = fn + αn dn . 2.4. T½nh r˜n+1 = r˜n + αn Adn . 2.5. T½nh gradient rn+1 trong cæng thùc (2.8) b¬ng c¡ch gi£i b i to¡n li¶n hñp.     −pn+1t − ∆pn+1 = 0, (x, t) ∈ Q   n+1 p (x, T ) = 0, x ∈ Ω, ∂pn+1    + σu = u(x, t; f n ) − ϕ, (x, t) ∈ S.   ∂ν ||rn+1 ||2L2 (0,T ) 2.6. T½nh βn = . ||rn ||2L2 (0,T ) 2.7. Cªp nhªt dn+1 = rn + βn dn . Qu¡ tr¼nh l°p ð tr¶n ÷ñc vi¸t cho b i to¡n li¶n töc. º t¼m cüc tiºu cõa phi¸m h m Jγ (f ), chóng tæi ti¸n h nh ríi r¤c b i to¡n thuªn (1.1)  (1.3), ríi r¤c phi¸m h m Jγ (f ), sau â x¥y düng b i to¡n li¶n hñp t÷ìng ùng º t½nh ¤o h m cho phi¸m h m ríi r¤c n y. B i to¡n thuªn ÷ñc ríi r¤c b¬ng ph÷ìng ph¡p sai ph¥n húu h¤n. http://jst.tnu.edu.vn 183 Email: jst@tnu.edu.vn
  7. TNU Journal o f Science and Technology 227(02): 178 - 185 2.4 V½ dö sè minh ho¤ Chóng tæi lªp tr¼nh v½ dö sè minh håa cho thuªt to¡n trong tr÷íng hñp mët chi·u. X²t mi·n Ω = (0, 1) v  T > 0, ph÷ìng tr¼nh truy·n nhi»t mët chi·u câ d¤ng ut − uxx = f (t)h(x, t) + g(x, t), (x, t) ∈ (0, 1) × [0, T ) u(x, 0) = u0 (x), x ∈ (0, 1) −ux (0, t) + u(0, t) = g1 (t), t ∈ [0, T ) ux (1, t) + u(1, t) = g2 (t), t ∈ [0, T ) Chóng tæi t¼m l¤i h m f (t) trong tr÷íng hñp f (t) l  mët h m kh£ vi tr¶n (0, 1) v  f (t) l  mët h m khæng kh£ vi tr¶n (0, 1). Trong c£ hai tr÷íng hñp, nghi»m ch½nh x¡c Uex , i·u ki»n ban ¦u u0 (x) v  i·u ki»n bi¶n g1 (t), g2 (t) ÷ñc x¡c ành nh÷ sau Uex = sin(πt) cos(x − t) (x, t) ∈ (0, 1) × [0, T ) u(x, 0) = 0, x ∈ (0, 1)   g1 (t) = sin(πt) sin(−t) + cos(−t) , t ∈ [0, T )   g2 (t) = − sin(πt) sin(1 − t) + cos(1 − t) , t ∈ [0, T ) ˆ Tr÷íng hñp f (t) = sin(t) l  h m trìn. Ta câ k¸t qu£ sè H¼nh 1: Nghi»m ch½nh x¡c v  nghi»m gi£i sè vîi nhi¹u 10%.  2t n¸u t ≤ 0.5 ˆ Tr÷íng hñp f (t) = l  h m khæng kh£ vi. Ta câ k¸t qu£ sè 2(1 − t) n¸u t > 0.5 http://jst.tnu.edu.vn 184 Email: jst@tnu.edu.vn
  8. TNU Journal of Science and Technology 227(02): 178 - 185 Hình 2. Nghiệm chính xác với nghiệm giải số với nhiễu 10% Lời cảm ơn Nghiên cứu này được tài trợ bởi Trường Đại học Giao thông Vận tải trong đề tài mã số T2021 – CB – 007. TÀI LIỆU THAM KHẢO/ REFERENCES [1] J. R. Cannon, The One-dimensional Heat Equation. Addison-Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, Reading, MA, 1984. [2] N. H. Dinh, Methods for Inverse Heat Conduction Problems. Peter Lang Verlag, Frankfurt/Main, Bern, New York, Paris, 1998. [3] M. Hinze, "A variational discretization concept in control constrained optimization: The linear- quadratic case," Computat. Optimiz. Appl., vol. 30, pp. 45-61, 2005. [4] A. I. Prilepko and D. S. Tkachenko, "The Fredholm property and the wellposedness of the inverse source problem with integral overdetermination," Comput. Math. Math. Phys., vol. 43, pp. 1338-1347, 2003. [5] N. H. Dinh, "A noncharacteristic Cauchy problem for linear parabolic equations II: A variational method", Numer. Funct. Anal. Optim., vol. 13, pp. 541-564, 1992. [6] N. H. Dinh, "A noncharacteristic Cauchy problem for linear parabolic equations III: A variational method and its approximation schemes," Numer. Funct. Anal. Optim., vol. 13, pp. 565-583, 1992. [7] F. Troltzsh, Optimal Control of Partial Differential Equations: Theory, Methods and Applications, Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 2010. http://jst.tnu.edu.vn 185 Email: jst@tnu.edu.vn
nguon tai.lieu . vn
Kiến trúc - Xây dựng Tự động hoá Điện - Điện tử Kĩ thuật Viễn thông Cơ khí - Chế tạo máy Năng lượng Hoá dầu Hoá học Sinh học