Xem mẫu
- VÒ bµi to¸n chôp c¾t líp cña m¸y CT-scanner
TS Huúnh L−¬ng NghÜa, Tr−êng §¹i häc Kü thuËt Lª Quý §«n
Tãm t¾t
Bµi b¸o giíi thiÖu c¸ch ®Æt bµi to¸n c¬ b¶n trong kü thuËt chôp c¾t líp m¸y tÝnh X-quang vµ thuËt to¸n
gi¶i quyÕt. §ång thêi chØ ra c¸c ®Æc ®iÓm cña viÖc øng dông thuËt to¸n trong thùc tÕ liªn quan tíi vÊn ®Ò rêi
r¹c ho¸ vµ biÕn ®æi Fourie nhanh ( FFT).
Abstract
The article set up a image reconstruction’s task which is implemented by retrieving the data supplied
from X-ray. Also the problems concerned about solving algorithm are disscused.
Especially attension is paid to digitizing the X-ray data and FFT ( Fast Fourier Transformation )
application in optimizing computerized tomography’ algorithm
1. §Æt bµi to¸n c¬ b¶n cña chôp c¾t líp X-quang.
1.1.§Þnh luËt hÊp thô tæng qu¸t Ber
Tõ viÖc nghiªn cøu c¸c c¬ chÕ hÊp thô tia X cña vËt chÊt, ta cã thÓ x©y dùng biÓu
thøc ®Þnh l−îng biÓu diÔn mèi quan hÖ gi÷a c−êng ®é tia X I(x) vµ ®é suy gi¶m tuyÕn tÝnh
µ(x) nh− sau.
IO
A
I(x) I(x+dx)
X
x x+dx
A,
H×nh 1.: S¬ ®å biÓu diÔn mèi t−¬ng quan I(x) theo µ(x):
Trong qu¸ tr×nh t−¬ng t¸c víi vËt chÊt, c−êng ®é chïm tia R¬nghen trªn mét ®¬n vÞ
diÖn tÝch bÒ mÆt vu«ng gãc víi ph−¬ng truyÒn sÏ gi¶m ®i. Trong nh÷ng ®iÒu kiÖn nhÊt ®Þnh
cã thÓ coi sù suy gi¶m nµy tû lÖ thuËn víi qu·ng ®−êng ®i. §Ó dÉn ra c«ng thøc c¬ b¶n vÒ
sù thay ®æi cña c−êng ®é I, ta xÐt mét chïm tia chiÕu ®Õn víi c−êng ®é kh«ng ®æi Io trªn
mÆt ph©n giíi A- A’ (h×nh 1).
Víi nh÷ng gi¶ thiÕt ban ®Çu nh− trªn h×nh vÏ, ta cã:
→
dI ( x ) = − µ ( x ) I ( x )dx (1)
HÖ sè tû lÖ µ trong (1) ®−îc gäi lµ hÖ sè hÊp thô tuyÕn tÝnh, trong ®ã dÊu trõ lÊy tõ
®iÒu kiÖn µ d−¬ng. HÖ sè nµy lµ hµm sè cña 3 to¹ ®é kh«ng gian (x,y,z)= (x1,x2,x3) t¹o
→
thµnh vect¬ b¸n kÝnh x . HÖ sè µ(x) lµ ®¹i l−îng ®Æc tr−ng c¬ b¶n cho cÊu tróc vËt chÊt,
®−îc x¸c ®Þnh nhê c¸c ph−¬ng ph¸p chôp c¾t líp m¸y tÝnh vµ ®−îc dïng lµm c¬ së trong
viÖc t¸i t¹o h×nh ¶nh chôp c¾t líp.
TiÕn hµnh lÊy tÝch ph©n biÓu thøc (1) ta ®−îc :
x
I ( x ) = I o exp(− ∫ µ ( x )dx ) (2)
0
BiÓu thøc (2) lµ ®Þnh luËt hÊp thô tæng qu¸t Ber. Tõ ®©y cã thÓ rót ra mét sè nhËn xÐt:
Khi x cµng lín (líp vËt chÊt cµng dµy) th× c−êng ®é chïm tia lã cµng nhá, tøc lµ tia
R¬nghen bÞ hÊp thô cµng nhiÒu.
1
- Khi µ cµng lín th× chïm tia R¬nghen còng bÞ hÊp thô cµng nhiÒu.
1.2. Kh¸i niÖm h×nh chiÕu chôp c¾t líp
S¬ ®å ghi chôp th«ng tin vÒ ®èi t−îng do Haunsfield vµ Mac-Cormac ®Ò xuÊt vµ thùc
hiÖn ®Çu tiªn ®−îc chØ ra trªn h×nh 2. Nguån tia R¬nghen tËp trung (d−íi d¹ng chïm hÑp)
di chuyÓn däc theo ®o¹n ®Þnh h−íng AA', cßn phÇn thu th× däc theo ®o¹n BB'. PhÇn ph¸t vµ
phÇn thu chuyÓn dÞch mét c¸ch ®ång bé, viÖc chôp ( lÊy ) th«ng tin - lµ c−êng ®é tia ë ®Çu
ra phÇn ph¸t vµ ®Çu vµo phÇn thu - ®−îc tiÕn hµnh víi c¸c b−íc thiÕt lËp tr−íc. Logarit cña
tØ sè c−êng ®é tia ë ®Çu vµo phÇn thu ®èi víi c−êng ®é ban ®Çu ®−îc gäi lµ h×nh chiÕu.
C¸c ®o¹n ®Þnh h−íng AA' vµ BB' ®−îc cè ®Þnh trªn cïng mét khung; khung nµy cã thÓ
xoay quanh trôc O cè ®Þnh. §èi víi mçi vÞ trÝ cña khung ng−êi ta tiÕn hµnh ®o mét bé c¸c
h×nh chiÕu t−¬ng øng víi tæ hîp c¸c tia song song; bé c¸c h×nh chiÕu nµy ®«i lóc ®−îc gäi
lµ bé h×nh quÐt.
B B’
A A’
H×nh 2. S¬ ®å thu chôp th«ng tin
§Ó kh«i phôc l¹i cÊu tróc bªn trong cña ®èi t−îng ®−îc chiÕu tia X cÇn ph¶i cã tËp hîp
c¸c bé h×nh quÐt cho tÊt c¶ c¸c vÞ trÝ cã thÓ cña khung. Trªn thùc tÕ viÖc chôp ( lÊy ) th«ng
tin ®−îc tiÕn hµnh t−¬ng øng víi mét tËp hîp rêi r¹c c¸c gãc quay cã b−íc nhÊt ®Þnh ∆θ.
C¸c thuËt to¸n kh«i phôc cÊu tróc (t¸i t¹o ¶nh) ®èi víi c¸c s¬ ®å chôp th«ng tin phøc
t¹p còng trë nªn r¾c rèi h¬n, tuy nhiªn tÊt c¶ chóng ®Òu cã thÓ nhËn ®−îc tõ c¸c thuËt to¸n
xö lý th«ng tin ®−îc x©y dùng cho s¬ ®å c¸c tia song song. V× lý do nµy nªn chØ cÇn xÐt s¬
®å quÐt b»ng chïm c¸c tia song song.
§Ó tr×nh bµy tiÕp tôc ta ®−a ra c¸c ®Þnh nghÜa, ký hiÖu vµ gi¶ thuyÕt sau ®©y. Gi¶ sö
r»ng c¸c kÝch th−íc chiÒu ngang cña tia R¬nghen v« cïng nhá vµ cã thÓ bá qua ¶nh h−ëng
cña t¸n x¹. Lóc nµy cã thÓ ®Æc tr−ng tia b»ng c−êng ®é cña nã I ( x ) t¹i ®iÓm x ®· cho
trong tia. Sù thay ®æi c−êng ®é I ( x )däc theo tia sÏ ®−îc x¸c ®Þnh chØ b»ng hÖ sè hÊp thô
tuyÕn tÝnh µ ( x ) phï hîp víi c«ng thøc Ber (2).
Gäi ph©n bè µ ( x ) theo tiÕt diÖn quÐt cho tr−íc lµ cÊu tróc cña ®èi t−îng. Chän trong
mÆt ph¼ng quÐt mét hÖ to¹ ®é §Ò-c¸c cè ®Þnh Oxy víi t©m O trªn trôc quay cña hÖ thèng
(h×nh 3). G¾n v¬Ý khung di chuyÓn ( quay) mét hÖ to¹ ®é §Ò-c¸c di ®éng Oζξ cã trôc Oζ
h−íng tõ phÇn ph¸t ®Õn ®Çu thu däc theo tia trung t©m ( ®i qua trôc quay ). Trôc Oξ ®Þnh
h−íng nh− chØ ra trªn h×nh 3. VÞ trÝ cña hÖ to¹ ®é di ®éng so víi hÖ to¹ ®é cè ®Þnh ®−îc
x¸c ®Þnh bëi gãc θ sao cho:
2
- ζ = xcosθ + ysinθ, ξ = -xsinθ + ycosθ (3)
x = ζcosθ - ξsinθ y = ζsinθ + ξcosθ (4)
T−¬ng øng víi c«ng thøc (2) ta cã d¹ng:
R
I (ξ , θ ) = I 0 exp(− ∫ µ [x, y ]dς ) (5)
−R
, trong ®ã µ[x,y] lµ hÖ sè hÊp thô tuyÕn tÝnh µ ®−îc lÊy trªn tia víi vÞ trÝ hiÖn thêi ®−îc
x¸c ®Þnh b»ng gãc θ vµ kho¶ng c¸ch ξ tÝnh tõ tia hiÖn thêi ®Õn tia trung t©m (xem h×nh 3);
I0 lµ gi¸ trÞ c−êng ®é tia R¬nghen t¹i ®Çu ra phÇn ph¸t, 2R lµ qu·ng ®−êng tia ®i qua.
ξ Y
B ζ
ξ
θ B) X
A O
R
A)
H×nh 3. VÞ trÝ t−¬ng quan cña c¸c hÖ to¹ ®é
TiÕp theo ta gi¶ thiÕt r»ng: bªn ngoµi ®èi t−îng nghiªn cøu ( trong kh«ng khÝ ) µ = 0,
do ®ã tÝch ph©n trong c«ng thøc (5) chØ ®−îc lÊy theo phÇn n»m bªn trong c¬ thÓ bÖnh
nh©n, tuy nhiªn râ rµng lµ cã thÓ coi giíi h¹n cña tÝch ph©n nµy lµ v« cïng vµ ®iÒu nµy sÏ
®−îc sö dông sau ®©y.
Ta chÝnh x¸c ho¸ kh¸i niÖm h×nh chiÕu ®· giíi thiÖu tr−íc ®©y: tÝch ph©n p(ξ, θ) sau
®−îc gäi lµ h×nh chiÕu:
∞
p (ξ , θ ) = − ln[ I (ξ , θ ) I 0 ] = ∫ µ [x, y ]dς
−∞
(6)
1.3. Bµi to¸n c¬ b¶n cña chôp c¾t líp R¬nghen m¸y tÝnh
Bµi to¸n c¬ b¶n cña chôp c¾t líp R¬nghen m¸y tÝnh lµ x¸c ®Þnh ( biÓu diÔn ) ®¹i
l−îng µ (x,y) qua tËp hîp c¸c h×nh chiÕu p(ξ,θ).
HiÓn nhiªn lµ hÖ sè hÊp thô tuyÕn tÝnh µ (x,y) ®Æc tr−ng cho cÊu tróc bªn trong ®èi
t−îng nghiªn cøu, cßn tËp hîp c¸c h×nh chiÕu th× biÕt ®−îc th«ng qua c¸c kÕt qu¶ ®o ®¹c
bªn ngoµi ®èi t−îng. V× vËy bµi to¸n chôp c¾t líp m¸y tÝnh ( CT ) th−êng ®−îc gäi lµ bµi
to¸n kh«i phôc cÊu tróc hoÆc t¸i t¹o h×nh ¶nh.
2. ThuËt to¸n x¸c ®Þnh hÖ sè hÊp thô tuyÕn tÝnh µ(x,y).
2.1. §Þnh lý vÒ tiÕt diÖn trung t©m
3
- Thùc chÊt cña ®Þnh lý nµy lµ ë chç nã liªn hÖ ¶nh Fourier cña c¸c h×nh chiÕu ®o ®−îc
víi ¶nh Fourier cña hÖ sè hÊp thô tuyÕn tÝnh cÇn t×m. §Ó ph¸t biÓu chÝnh x¸c vµ chøng
minh ®Þnh lý cÇn cã c¸c ®Þnh nghÜa sau.
§Þnh lý 1: Gäi f (x) lµ hµm thùc cña biÕn thùc x; biÕn ®æi Fourier cña hµm f (x) ( hay
gäi ng¾n gän lµ ¶nh Fourier ) ®−îc gäi lµ hµm phøc f*(ω) víi biÕn thùc ω ®−îc x¸c ®Þnh
theo c«ng thøc sau ®©y:
∞
f*(ω) = (2π)-1/2
−∞
∫ f ( x) exp(−iωx)dx (7)
BiÕn ®æi ng−îc Fourier cã d¹ng:
∞
f(x) = (2π)-1/2 ∫f (ω ) exp(iωx)dω
*
(8)
−∞
§Þnh lý 2 : Trong kh«ng gian n chiÒu biÕn ®æi Fourier cña hµm f ( x) víi n biÕn thùc
( x) = (x1, x2,...xn) ®−îc x¸c ®Þnh b»ng tÝch ph©n béi n theo c«ng thøc:
∞ ∞
f * ( ω ) = (2π ) ∫ ... ∫ f ( x) exp(−iω x)d x
- n/2
(9)
−∞ −∞
Trong ®ã ω.x = ω1 x 1 + ω 2 x 2 + ... + ω n x n lµ tÝch v« h−íng cña vect¬ ω vµ x ; d x lµ
phÇn tö thÓ tÝch trong kh«ng gian n chiÒu.
BiÕn ®æi ng−îc trong kh«ng gian n chiÒu cã d¹ng:
∞ ∞
f( x) = (2π ) -n/2 ∫ ... ∫ f * (ω ) exp(iω x)d ω (10)
−∞ −∞
¸p dông c¸c c«ng thøc võa nªu cã thÓ chøng minh ®Þnh lý sau :
§Þnh lý tiÕt diÖn trung t©m.
Tån t¹i ®¼ng thøc sau:
µ* (ρ,θ) = (2π)-1/2p*(ρ, θ+π/2) (11)
, trong ®ã ρ , θ lµ to¹ ®é cùc trong mÆt ph¼ng ω = (ω1, ω2) = (u,v)
u = ρcos(θ); v = ρsin(θ), (12)
DÊu * ë vÕ tr¸i c«ng thøc (11) cã nghÜa lµ biÕn ®æi Fourier hai chiÒu, cßn ë vÕ ph¶i - lµ
biÕn ®æi Fourier mét chiÒu (theo ®èi sè thø nhÊt).
Nh− vËy, biÕn ®æi Fourier 2 chiÒu µ*(ρ, θ) cña hÖ sè hÊp thô tuyÕn tÝnh µ(x,y) khi cè
®Þnh gi¸ trÞ θ = ψ b»ng biÕn ®æi Fourier 1 chiÒu cña h×nh chiÕu p t¹i gi¸ trÞ gãc quay θ+π/2
ý nghÜa cña ¶nh Fourier µ*(ρ,θ) khi θ = const chÝnh lµ " mÆt c¾t " ( tiÕt diÖn ) mÆt ph¼ng z
= µ*(ρ,ψ) b»ng mÆt ph¼ng ψ = θ = const vµ ®iÒu nµy gi¶i thÝch tªn cña ®Þnh lý.
2.2. Ph−¬ng ph¸p biÕn ®æi Fourier ng−îc
§¼ng thøc nhËn ®−îc (11) trong ®Þnh lý vÒ tiÕt diÖn trung t©m lµ c¬ së ®Ó gi¶i bµi to¸n
c¬ b¶n ®−îc ®Æt ra trong môc 1.3 - bµi to¸n t×m ph©n bè cña hÖ sè hÊp thô tuyÕn tÝnh bªn
trong ®èi t−îng theo c¸c h×nh chiÕu ®o ®−îc bªn ngoµi ®èi t−îng.
Cã thÓ x¸c ®Þnh lêi gi¶i h×nh thøc cña bµi to¸n trªn c¬ së c«ng thøc biÕn ®æi Fourier
ng−îc ( 11 ) :
∞ ∞
- 3/2
µ ( x, y) = (2π ) ∫ ∫ p * ( ρ ,θ + π / 2) exp(i(ux + vy))dudv (13)
−∞ −∞
Trªn thùc tÕ khi sö dông c«ng thøc ( 13 ) ( ®«i lóc ®−îc gäi lµ ph−¬ng ph¸p Fourier
tæng hîp [ 14 ] ) xuÊt hiÖn mét sè vÊn ®Ò.
4
- H·y ®Ó ý lµ ta chØ biÕt c¸c gÝa trÞ cña hµm d−íi dÊu tÝch ph©n p*(ρ,θ) t¹i c¸c nót cña
l−íi to¹ ®é cùc rêi r¹c ( h×nh 4 ) kh«ng trïng víi c¸c nót cña l−íi to¹ ®é §Ò-c¸c khi rêi r¹c
ho¸ c«ng thøc ( 13 ) ( ë ®©y rêi r¹c ho¸ ®−îc hiÓu lµ viÖc chuyÓn tÝnh to¸n tõ vïng c¸c ®èi
sè vµ hµm sè liªn tôc sang tÝnh to¸n t¹i c¸c ®iÓm riªng biÖt víi sè l−îng h÷u h¹n). Lêi gi¶i
tù nhiªn cña vÊn ®Ò nµy lµ ngo¹i suy c¸c gÝa trÞ cña hµm sè t¹i ®iÓm ch−a biÕt qua c¸c gÝa
trÞ cña nã t¹i c¸c ®iÓm ®· biÕt ( d−íi ®©y sÏ ®−îc nãi kü h¬n ).
V
U
O
H×nh 4. Mèi t−¬ng quan gi÷a hÖ to¹ ®é cùc vµ hÖ to¹ ®é vu«ng gãc
Mét vÊn ®Ò nghiªm träng h¬n lµ trong c«ng thøc ( 13 ) khi c¸c gÝa trÞ (ux+vy) t¨ng,
hµm d−íi dÊu tÝch ph©n sÏ dao ®éng nhanh, dÉn ®Õn c¸c c«ng thøc cÇu ph−¬ng chuÈn
kh«ng cßn ®óng n÷a. Th«ng th−êng sö dông hai c¸ch ®Ó gi¶i quyÕt vÊn ®Ò nµy: trong c¸ch
thø nhÊt ng−êi ta dïng c¸c thuËt to¸n vµ ch−¬ng tr×nh m¸y tÝnh ®Æc biÖt ®Ó lÊy tÝch ph©n
cña c¸c hµm dao ®éng nhanh [4].
C¸ch thø hai liªn quan tíi mét chi tiÕt lµ: trong møc ®é chÝnh x¸c kh«i phôc ¶nh cho
tr−íc, c¸c thµnh phÇn cao tÇn cña lêi gi¶i kh«ng mang th«ng tin h÷u Ých vµ th−êng chØ
chøa nhiÔu ( sai sè ) thiÕt bÞ. V× vËy nÕu vøt bá c¸c thµnh phÇn nµy ( c¸c " ®u«i cao tÇn " )
th× vÉn cã thÓ sö dông c¸c ch−¬ng tr×nh tÝnh to¸n mÉu.
2.3. Ph−¬ng ph¸p chiÕu ng−îc
Ph−¬ng ph¸p nµy còng dùa trªn viÖc biÓu diÔn h×nh chiÕu nh− trong môc trªn, tuy
nhiªn thø tù tÝnh to¸n vµ biÓu thøc cuèi cïng kh¸c víi lêi gi¶i (13).
H×nh chiÕu ng−îc ®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc:
2π
g(x,y) = (2π)-1 ∫ p(−x sin θ + y cos θ, θ)dθ (14)
0
Thùc chÊt ®©y lµ gi¸ trÞ trung b×nh theo gãc cña tËp hîp c¸c h×nh chiÕu ban ®Çu p. L−u
ý r»ng viÖc xö lý s¬ bé th«ng tin ban ®Çu theo c«ng thøc nµy sÏ dÉn ®Õn sù c¶i thiÖn ®¸ng
kÓ kÕt qu¶ cuèi cïng lµ h×nh ¶nh c¾t líp - do tÝnh chÊt läc ( ®èi víi nhiÔu thiÕt bÞ ) cña to¸n
tö chiÕu ng−îc.
Sö dông mét sè phÐp biÕn ®æi trong lý thuyÕt hµm phøc vµ tÝnh chÊt cña ®Þnh lý tÝch
chËp ta cã thÓ x©y dùng lêi gi¶i bµi to¸n c¬ b¶n cña chôp c¾t líp m¸y tÝnh d−íi d¹ng biÕn
®æi ng−îc Fourier cña h×nh chiÐu ng−îc g(x,y) nh− sau:
∞ −1
1
∫ ∫ g (ω )h (ω ) exp(i(ux + vy)dudv
* *
µ(x,y) = (15)
2π −∞
Trong ®ã ω =(ω1, ω2) ≡ (u,v);
5
- −1
h*( ω ) lµ biÕn ®æi ng−îc Fourier cña hµm h(x,y) = r
NÕu biÕt tr−íc gèc hµm cña g * (ω ), h * (ω ) th× cã thÓ nhËn ®−îc ngay lêi gi¶i d−íi
d¹ng tÝch chËp cña c¸c gèc hµm nµy, v× vËy ph−¬ng ph¸p nµy ®−îc gäi lµ ph−¬ng ph¸p
chËp víi h×nh chiÕu ng−îc hay ®¬n gi¶n lµ ph−¬ng ph¸p chËp.
Nh− thùc tÕ chØ ra : c¶ ph−¬ng ph¸p biÕn ®æi Fourier lÉn ph−¬ng ph¸p chËp khi thùc
hiÖn ®Òu cho sai sè lín, ®«i khi ®Õn møc kh«ng cho phÐp do bµi to¸n kh«i phôc cÊu tróc
bªn trong ®−îc ®Æt ra “ kh«ng chuÈn . Trªn thùc tÕ sù “ kh«ng chuÈn “ b¾t ®Çu thÓ hiÖn tõ
mét ng−ìng rêi r¹c ho¸ nhÊt ®Þnh: tøc lµ cµng muèn gi¶i chÝnh x¸c bao nhiªu ( b»ng c¸ch
lµm dÇy c¸c m¾t l−íi rêi r¹c, t¨ng sè l−îng c¸c sè h¹ng trong chuçi triÓn khai cña lêi gi¶i
cÇn t×m ), th× lêi gi¶i nhËn ®−îc l¹i cµng tåi tÖ bÊy nhiªu. §iÒu nµy cã liªn quan tíi c¸c
thµnh phÇn tÇn sè cao ( dao ®éng nhanh ) cña lêi gi¶i vµ ®−îc gi¶i quyÕt dùa trªn c¬ së läc
c¸c thµnh phÇn tÇn sè cao cña lêi gi¶i. Tuy c¸ch tiÕp cËn nµy h¹n chÕ ®é chÝnh x¸c cña viÖc
t¸i lËp cÊu tróc, tuy nhiªn nÕu giíi h¹n cña ®é chÝnh x¸c lµ chÊp nhËn ®−îc trªn thùc tÕ th×
ph−¬ng ph¸p cã hiÖu qu¶.
2.4. Ph−¬ng ph¸p chiÕu ng−îc víi bé läc
BiÓu thøc (13) lµ c¬ së cña ph−¬ng ph¸p nµy. §Ó cô thÓ chóng ta xÐt lêi gi¶i (13) mµ
trong ®ã ta chuyÓn sang c¸c to¹ ®é cùc trªn c¶ mÆt ph¼ng (u,v) lÉn mÆt ph¼ng (x,y).
x=rcosφ, y = rsinφ, u = ρcosθ, v=ρsinθ (16)
KÕt qu¶ cña phÐp thÕ (16) lµ tÝch ph©n ë vÕ ph¶i ®¼ng thøc (13) ®−îc viÕt l¹i d−íi d¹ng
sau:
2π +∞
µ (r,φ) = (2π)-3/2 ∫ dθ ∫ ρp * ( ρ ,θ + π / 2) exp(iρr cos(θ − φ ))dρ (17)
0 0
L−u ý r»ng:
ρcos(θ-φ)=- ρ cos(θ + π − φ), p * (ρ, θ + π / 2) = p * (ρ, θ + 3π / 2) (18)
C«ng thøc thø nhÊt trong (18) lµ ®¼ng thøc l−îng gi¸c c¬ b¶n, c«ng thøc thø 2 rót ra tõ
®iÒu kiÖn thùc hiÖn vËt lý. TÝnh ®Õn c¸c c«ng thøc nµy cã thÓ viÕt tÝch ph©n ë vÕ ph¶i ®¼ng
thøc (17) d−íi d¹ng:
π ∞
µ ( ρ ,φ ) = (2π )− 3 / 2 ∫ dθ ∫ ρ p ( ρ ,θ + π / 2)exp(iρr cos(θ − φ ))dρ
*
(19)
0 −∞
Trªn thùc tÕ khi thùc hiÖn c«ng thøc (19) biÓu thøc d−íi dÊu tÝch ph©n ®−îc nh©n tr−íc
víi mét hµm A (ρ) ®−îc chän mét c¸ch ®Æc biÖt vµ ®−îc gäi lµ hµm apodize cã t¸c dông
c¾t c¸c hµi bËc cao. Theo thuËt ng÷ sö dông trong lý thuyÕt ®iÒu khiÓn tÝch cña h¹t nh©n |ρ|
trong phÐp chËp (19) víi hµm apodize ®−îc gäi lµ bé läc, cßn to¸n tö gi¶i ph−¬ng tr×nh
chËp (19) cã sö dông hµm apodize ®−îc gäi lµ phÐp läc. Do hµm nhËn ®−îc sau khi tÝnh
tÝch ph©n bªn trong cña (19) ®−îc biÕn ®æi theo c«ng thøc t−¬ng tù nh− phÐp chiÕu ng−îc
nªn nãi chung ph−¬ng ph¸p nµy mang tªn lµ ph−¬ng ph¸p chiÕu ng−îc dïng läc.
Trªn thùc tÕ ng−êi ta dïng c¸c hµm apodize d−íi c¸c d¹ng sau:
ρ khi ρ ≤ ρ max
a. A* =
0 khi ρ > ρ max
α + (1 − α ) cos(πρ / ρ max ) khi ρ ≤ ρ max
b. A* =
0 khi ρ > ρ max
6
- cos(πρ / 2 ρ max ) khi ρ ≤ ρ max
c. A*=
0 khi ρ > ρ max
vµ mét sè d¹ng kh¸c n÷a.
3. Rêi r¹c hãa trong chôp c¾t líp m¸y tÝnh
V× chôp c¾t líp sö dông m¸y tÝnh ®Ó ®iÒu khiÓn viÖc ghi nhËn th«ng tin tõ c¸c phÇn tö
c¶m biÕn, sau ®ã l−u gi÷ vµ chuÈn bÞ th«ng tin cho viÖc chÈn ®o¸n, nªn mét trong sè c¸c
vÊn ®Ò c¬ b¶n lµ rêi r¹c hãa - tøc lµ chuyÓn tõ c¸c ph©n bè liªn tôc theo to¹ ®é vµ thêi gian
sang c¸c hµm rêi r¹c víi c¸c ®èi sè rêi r¹c. Nãi chung, c¸c khÝa c¹nh thùc tÕ c¬ b¶n liªn
quan ®Õn vÊn ®Ò rêi r¹c hãa bao gåm:
1. BiÕn ®æi Fourier rêi r¹c
2. ThuËt to¸n biÕn ®æi Fourier nhanh (FFT)
3 .ThiÕt lËp ng−ìng rêi r¹c ho¸ cÇn thiÕt (§Þnh lý Kachenhicop – Sennon)
4. C¸c ph−¬ng ph¸p néi suy
5. C¸c ph−¬ng ph¸p lÆp kh«i phôc cÊu tróc.
Trong sè nµy chØ cã khÝa c¹nh cuèi cïng lµ mang tÝnh ®Æc thï cña bµi to¸n chôp c¾t
líp nªn ta xÐt kü d−íi ®©y.
C¸c ph−¬ng ph¸p lÆp kh«i phôc cÊu tróc.
XÐt l¹i ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n (6) cña chôp c¾t líp m¸y tÝnh vµ gi¶ thiÕt hµm µ( x , y ) ®·
®−îc cho tr−íc mét c¸ch gÇn ®óng trong vïng D b»ng mét sè h÷u h¹n c¸c tham sè, vÝ dô
nh− c¸c gi¸ trÞ µ1 , µ2 ,...µs t¹i c¸c nót cña m¹ng l−íi c¸c phÇn tö h÷u h¹n. Sö dông mét
phÐp néi suy nµo ®ã cho hµm µ( x , y ) trong vïng, cã thÓ tÝnh tÝch ph©n d−íi d¹ng hµm
tuyÕn tÝnh nµo ®ã cña c¸c tham sè µi cho mçi tia víi c¸c tham sè ε, θ :
p (ε , θ) ≈ ∑ A ( i ) (ε , θ)µ i (20)
i
Lóc nµy trong tæng ë vÕ ph¶i chØ hiÖn diÖn c¸c gi¸ trÞ cña hµm µ( x , y ) t¹i c¸c phÇn tö
mµ tia ®ang xÐt ®i qua. TiÕn hµnh ®o cho M s vÞ trÝ cña tia; sau ®ã ký hiÖu h×nh chiÕu
p (ξ , θ ) víi ξ = ξ i ,θ = θ k lµ pik , thõa sè A(i ) víi µ = µi , θ = θ j lµ Aij , ta nhËn
®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh sau:
Ns
∑A µ
i =1
(i )
jk i
= p ik (21)
víi ma trËn hÖ sè ®−îc më réng thµnh ma trËn vu«ng b»ng c¸c trÞ sè 0.
Sö dông d¹ng ghi chuÈn cña hÖ ph−¬ng tr×nh víi ma trËn vu«ng hoÆc ma trËn ch÷ nhËt
thay cho hÖ (21) ta cã:
Ns
∑A µ
i =1
ij j
= pi (22)
§Ó gi¶i hÖ (22) cã thÓ sö dông c¸c thuËt to¸n chuÈn cña ®¹i sè tuyÕn tÝnh, tuy nhiªn
nÕu chó ý r»ng ®Ó ®¹t tíi ®é ph©n gi¶i chÊp nhËn ®−îc cña thiÕt bÞ ph¶i sö dông hµng ngh×n
gi¸ trÞ µ( x , y ) , th× ma trËn Aij sÏ chøa kho¶ng 1010 phÇn tö. §iÒu nµy dÉn ®Õn lµ trªn
thùc tÕ ®Ó gi¶i c¸c hÖ d¹ng (22) ng−êi ta chØ sö dông ph−¬ng ph¸p lÆp. Ngoµi ra c¸c ph−¬ng
ph¸p lÆp cßn ®−îc sö dông ®Ó gi¶i c¸c hÖ v« ®Þnh vµ phiÕm ®Þnh, ®ång thêi chóng còng dÔ
c¶i tiÕn ®Ó kh¾c phôc c¸c vÊn ®Ò liªn quan víi tÝnh kh«ng chuÈn cña bµi to¸n x¸c ®Þnh cÊu
tróc bªn trong theo kÕt qu¶ ®o bªn ngoµi cÊu tróc.
D−íi ®©y liÖt kª mét sè c¸c thuËt to¸n lÆp phæ biÕn nhÊt dïng ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n
chôp c¾t líp m¸y tÝnh [3].
7
- a) Ph−¬ng ph¸p lÆp ®¬n gi¶n. ThuËt to¸n cña ph−¬ng ph¸p nµy lµ:
µ i( k +1) = µ ( k ) + τ k ∑ H ij( k ) ( Pj − ∑ A jl µ l( k ) (2.102)
j l
, trong ®ã k lµ sè vßng lÆp; trong tr−êng hîp ®¬n gi¶n nhÊt H ij = δij , trong ®ã δij lµ
(k )
ký hiÖu Croneker ( tøc H ij lµ ma trËn ®¬n vÞ ). Tham sè τ k vµ ma trËn H ij ®−îc chän tõ
®iÒu kiÖn héi tô tèt nhÊt cña ph−¬ng ph¸p lÆp.
b) Ph−¬ng ph¸p tr−ît nhanh nhÊt.
c) ThuËt to¸n ART (algebraic reconstruction technique).
4. KÕt luËn
Nh− ®· thÊy, chôp c¾t líp m¸y tÝnh X-quang lµ bµi to¸n phøc t¹p c¶ vÒ néi dung to¸n
häc lÉn c¸ch thùc hiÖn vËt lý. Nh−ng chÝnh v× vËy nªn viÖc gi¶i quyÕt nã rÊt ®a d¹ng vµ cho
phÐp c¶i tiÕn b»ng nhiÒu c¸ch kh¸c nhau, trong ®ã viÖc phèi hîp hîp lý phÇn mÒm ( c¸c
thuËt to¸n läc vµ lÆp ) vµ phÇn cøng ( c¸c hÖ thèng ®o l−êng ®iÒu khiÓn ) ®· vµ ®ang mang
l¹i nh÷ng kÕt qu¶ rÊt ®¸ng khÝch lÖ. Hy väng theo h−íng nµy trong t−¬ng lai kh«ng xa sÏ cã
sù ®ãng gãp cña c¸c chuyªn gia ViÖt nam.
5. Tµi liÖu tham kh¶o
[1] Íåðaçð
[2] Ôèçèêa âèçóaëèçaöèè èçîáðaæåíèé â ìåäèöèíå.
Ïåð. ñ aíãë. . Â 2-õ òîìaõ. Ïîä ðåä. Ñ. Óýááa. Ì.,
Ìèð, 1991. Òîì 1 – 407 ñ., òîì 2- 406 ñ.
[3] Ôåäîðî
[4] Áaõâaë
8
nguon tai.lieu . vn
