Xem mẫu
- Chương 2
TÍCH PHÂN CÁC PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL
2.1. Phương trình sóng đối với các vector cường độ trường
Lưu ý:
- ε là độ điện thẩm tỉ đối đối với môi trường
- μ là độ từ thẩm tỉ đối đối với môi trường
Đặt ε’ = εε0 và μ’ = μμ0
- ε’ là độ điện thẩm tuyệt đối
- μ’ là độ từ thẩm tuyệt đối
Hệ phương trình Maxwell trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có cả
nguồn điện và từ ngoài
r
r r r ∂E
∇ × H = σE + J E + εε 0 (1)
∂t
r
r r ∂H
∇ × E = − J M − μμ 0 (2) (2.1)
∂t
r ρ
∇.E = (3)
εε 0
r ρ
∇.H = M (4)
μμ 0
r r
Nhận xét: Các phương trình (1) và (2) bao gồm E , H và các nguồn điện và từ
nên khó giải. Vì vậy cần đưa chúng về dạng đơn giản hơn.
Lấy rot 2 vế của các phương trình (1) và (2)
( ) ( ) ( ) ( )
r r r r r ∂ r
∇ × ∇ × H = ∇ ∇.H − ∇ 2 H = σ ∇ × E + ∇ × J E + εε 0 ∇×E (1)
∂t
( ) ( ) ( )
r r r r ∂ r (2.2)
∇ × ∇ × E = ∇ ∇.E − ∇ 2 E = −∇ × J M − μμ 0 ∇×H (2)
∂t
- Suy ra
r r r
r ∂2H ∂H r 1 ∂J M r
∇ 2 H − εε 0 μμ 0 2 − μμ 0 σ = −∇ × J E + ∇ρ M + εε 0 + σJ M (1)
∂t ∂t μμ 0 ∂t
r r r
r ∂2E ∂E r 1 ∂J E
∇ 2 E − εε 0 μμ 0 2 − μμ 0 σ = ∇ × JM + ∇ρ + μμ 0 (2)
∂t ∂t εε 0 ∂t
r
Nhận xét: Vế trái của các phương trình (1) và (2) trong (2.3) chỉ còn E hoặc
r
H . Đây là các phương trình vi phân cấp 2 có vế phải. Rất khó giải vì vế phải là các
hàm rất phức tạp. Thường chỉ giải trong trường hợp không có nguồn và điện môi lí
tưởng σ = 0, ta có
r
r ∂ 2H
∇ H − εε 0μμ0 2 = 0
2
(1)
∂t
r
r ∂ 2E (2.4)
∇ E − εε 0μμ 0 2 = 0
2
(2)
∂t
2.2. Phương trình cho các thế điện động
Nhận xét: hệ phương trình Maxwell (2.1) là tuyến tính, các nguồn điện và từ
thường được kích thích riêng rẽ và độc lập với nhau.
2.2.1. Đối với nguồn điện
Để đơn giản xét trường trong điện môi lí tưởng σ = 0 hệ phương trình
Maxwell (2.1) được viết lại
r
r r ∂E
∇ × H = J E + εε 0 (1)
∂t
r
r ∂H (2.5)
∇ × E = −μμ0 (2)
∂t
r ρ
∇.E = (3)
εε 0
r
∇.H = 0 (4)
Đặt:
- ( )
r 1 r (2.6)
H= ∇ × AE
μμ0
r
A E gọi là thế vector điện
( )
r 1 r
Dễ thấy rằng: ∇.H = ∇. ∇ × A E = 0
μμ0
Đưa (2.6) vào (2) của hệ phương trình (2.5) ta được
r
⎛ r ∂A E ⎞ (2.7)
∇×⎜E +
⎜
⎟=0
⎝ ∂t ⎟⎠
Suy ra
r
r ∂A E (2.8)
E=− − ∇ϕ E
∂t
Lưu ý
∇ × ∇ϕE = 0 (2.9)
ϕE là thế vô hướng điện
r
A E và ϕE được gọi chung là các thế điện động của nguồn điện
r r r
Như vậy: H và E được biểu diễn qua A E và ϕE theo các công thức (2.6) và
(2.8) tương ứng.
r
Tìm A E và ϕE ?
r r
Từ các công thức (2.6) và (2.8) thay H và E vào (1) của (2.5) ta có
r
r ∂ 2AE ⎛ r ∂ϕ ⎞ r (2.10)
∇ 2 A E − εε0μμ0 − ∇⎜ ∇.A E + εε 0μμ0 E ⎟ = −μμ0 J E
∂t 2 ⎝ ∂t ⎠
r
A E và ϕE được chọn tuỳ ý. Vì vậy để đơn giản ta có thể chọn điều kiện phụ
r ∂ϕ (2.11)
∇.A E + εε 0μμ 0 E = 0
∂t
(2.11) còn gọi là hệ thức chuẩn
Phương trình sóng (2.10) được viết lại
- r
r ∂ 2A E r (2.12)
∇ 2 A E − εε 0μμ 0 = −μμ 0 J E
∂t 2
r
Từ công thức (2.8) thay E vào (3) của (2.5) và áp dụng (2.11) ta có
∂ 2 ϕE ρ (2.13)
∇ ϕE − εε0μμ0 2 = −
2
∂t εε0
Các phương trình (2.12) và (2.13) gọi là các phương trình sóng không thuần
nhất hay các phương trình d’Alambert cho các thế điện động của trường điện từ đối
r
với nguồn điện. A E và ϕE
2.2.2. Đối với nguồn từ
Hệ phương trình Maxwell (2.1) đối với nguồn từ trong điện môi lí tưởng σ =
0 có dạng
r
r ∂E
∇ × H = εε 0 (1)
∂t
r
r r ∂H (2.14)
∇ × E = − J M − μμ 0 (2)
∂t
r
∇.E = 0 (3)
r ρ
∇.H = M (4)
μμ 0
Cách làm tương tự như đối với nguồn điện ta có
( )
r 1 r
E=− ∇ × AM
εε 0
r
r ∂A M (2.15)
H=− − ∇ϕ M
∂t
r
r ∂ 2AM r
∇ 2 A M − εε 0μμ 0 = −εε 0 J M
∂t 2
∂ 2 ϕM ρ (2.16)
∇ 2 ϕM − εε 0μμ0 =− M
∂t 2
μμ0
- r ∂ϕ (2.17)
∇.A M + εε 0μμ 0 M = 0
∂t
r
A M và ϕM là các thế điện động đối với nguồn từ
Nếu trong môi trường điện môi lí tưởng tồn tại đồng thời cả nguồn điện và
nguồn từ thì trường điện từ tổng hợp bằng chồng chất trường của nguồn điện và
nguồn từ, có nghĩa là
r
( )
r ∂A E 1 r
E=− − ∇ × A M − ∇ϕ E
∂t εε 0
r
(2.18)
( )
r 1 r ∂A M
H= ∇ × AE − − ∇ϕM
μμ0 ∂t
r r r r
Nhận xét: E và H được biểu diễn qua A E và ϕE hoặc A M và ϕM làm cho hệ
phương trình Maxwell đơn giản hơn. Đây chính là ưu điểm của phương pháp dùng
các thế điện động.
2.2.3. Đối với trường điều hoà
Nếu các nguồn của trường biến thiên điều hoà theo thời gian với tần số góc ω
thì các phương trình sóng d’Alambert (2.12), (2.13) và (2.16) viết dưới dạng biên
độ phức như sau
r
•
r
•
∂ 2 A Em r
•
∇ 2 A Em − k 2 = −μμ 0 J Em
∂t 2
•
∂ 2 ϕEm
•
ρ
∇ ϕEm − k
2
=− m2
∂t 2
εε 0
r
•
(2.19)
r
•
∂ 2 A Mm r
•
∇ 2 A Mm − k 2 = −εε 0 J Mm
∂t 2
•
∂ 2 ϕMm
•
ρ
∇ ϕMm − k
2
= − Mm
2
∂t 2
μμ0
Trong đó: k = ω εε 0μμ 0 là số sóng trong môi trường
- (2.19) là các phương trình không thuần nhất, còn gọi là phương trình
Hemholtz
r r
Biểu thức của E và H có dạng
r r
•
1 ⎛ r ⎞
• • (2.20)
E = −iω A Em − ⎜ ∇ × A Mm ⎟ − ∇ ϕ Em
εε 0 ⎜
⎝
⎟
⎠
r
•
r 1 ⎛ r ⎞ ∂ A Mm
• •
H= ⎜ ∇ × A Em ⎟ − − ∇ ϕ Mm
μμ 0 ⎜
⎝
⎟
⎠ ∂t
Giữa thế vector và thế vô hướng có mối quan hệ sau
•
1 r
•
(2.21)
ϕEm = ∇. A Em
ωεε0μμ0
•
1 r
•
ϕMm = ∇. A Mm
ωεε0μμ0
Nhận xét: Theo (2.20) và (2.21) cho thấy rằng đối với trường điện từ điều hoà
r
•
chỉ cần tìm nghiệm của hai phương trình Hemholtz đối với các thế vector A Em và
r
•
A Mm
2.3. Phương trình sóng cho các vector Hertz
2.3.1 Vector Hertz điện
Đặt
r
r ∂ΓE (2.22)
A E = εε0μμ0
∂t
r
Trong đó: ΓE gọi là vector Hertz điện
Thay (2.22) vào (2.6) ta được
( )
r
( )
r 1 ∂ r (2.23)
H= ∇ × A E = εε 0 ∇ × ΓE
μμ 0 ∂t
Thay (2.22) vào hệ thức chuẩn (2.11) ta được
- ∂
( )
r (2.24)
∇.ΓE + ϕ E = 0
∂t
Suy ra
r
ϕE = −∇.ΓE (2.25)
Thay (2.22) và (2.25) vào (2.8) ta được
r r
(2.26)
( )
r ∂A E r ∂ 2 ΓE
E=− − ∇ϕE = ∇ ∇.ΓE − εε 0μμ0 2
∂t ∂t
r r r
Nhận xét: E và H đươc biểu diễn qua vector Hertz điện ΓE
r
Tìm ΓE ?
Thay (2.22) vào (2.12) ta được
r r
r ∂ 2A E ∂ ⎛ 2r ∂ 2 ΓE ⎞ r (2.27)
∇ 2 A E − εε 0μμ 0 = εε 0μμ 0 ⎜ ∇ ΓE − εε 0μμ 0 2 ⎟ = −μμ 0 J E
∂t 2 ∂t ⎜
⎝ ∂t ⎟ ⎠
Hay
r
∂ ⎛ 2r ∂ 2 ΓE ⎞ 1 r (2.28)
⎜ ∇ ΓE − εε 0μμ 0 2 ⎟ = − JE
∂t ⎜
⎝ ∂t ⎟ ⎠ εε 0
Lấy tích phân 2 vế của (2.28) từ 0 đến t ta được
r
r ∂ 2 ΓE 1 tr (2.29)
εε 0 ∫
∇ ΓE − εε 0μμ0 2 = −
2
J E dt
∂t 0
Đặt
r t r
(2.30)
PE = ∫ J E dt
0
r
PE gọi là vector phân cực của nguồn điện
Phương trình (2.29) được viết lại
r r
r ∂ 2ΓE PE (2.31)
∇ 2 ΓE − εε 0μμ0 2 = −
∂t εε0
- r r r
Như vậy: vector phân cực PE là nguồn tạo ra vector Hertz điện ΓE . Do đó ΓE
còn gọi là thế vector phân cực điện.
2.3.2 Vector Hertz từ
Tương tự cách làm của vector Hertz điện hoặc áp dụng nguyên lí đối lẫn của
hệ phương trình Maxwell ta có
r
r ∂ΓM (2.32)
A M = εε 0μμ 0
∂t
r
Trong đó: ΓM gọi là vector Hertz từ
r
ϕM = −∇.ΓM (2.33)
r
( )
∂ r (2.34)
E = −μμ 0 ∇ × ΓM
∂t
r
(2.35)
( )
r r ∂ 2 ΓM
H = ∇ ∇.ΓM − εε 0μμ0
∂t 2
r r r
Nhận xét: E và H đươc biểu diễn qua vector Hertz từ ΓM
r
Tìm ΓM ?
r
∂ ⎛ 2r ∂ 2 ΓM ⎞ 1 r (2.36)
⎜ ∇ ΓM − εε 0μμ 0 ⎟=− JM
∂t ⎜
⎝ ∂t 2 ⎟⎠ μμ 0
Lấy tích phân 2 vế của (2.28) từ 0 đến t ta được
r
r ∂ 2 ΓM 1 tr (2.37)
μμ0 ∫
∇ ΓM − εε 0μμ0
2
=− J M dt
∂t 2 0
Đặt
r t r
(2.38)
PM = ∫ J M dt
0
r
PM gọi là vector từ hoá của nguồn từ
(2.37) được viết lại
- r r
r ∂ 2 ΓM PM (2.39)
∇ 2 ΓM − εε 0μμ0 =−
∂t 2
μμ0
r r r
Như vậy: vector từ hoá PM là nguồn tạo ra vector Hertz từ ΓM . Do đó ΓM còn
gọi là thế vector từ hoá.
r r r
Nhận xét: E và H được biểu diễn qua vector Hertz điện ΓE hoặc vector Hertz
r
từ ΓM đơn giản hơn phương pháp dùng các thế điện động.
2.3.2 Trường loại điện và trường loại từ
r r
Trường hợp các vector Hertz điện ΓE và vector Hertz từ ΓM chỉ có một thành
r r
phần. Trong hệ toạ độ Decac các vector Hertz điện ΓE và vector Hertz từ ΓM theo
phương z là
r r
ΓE = kΓE (2.40)
r r
ΓM = kΓM (2.41)
r
- Trường của nguồn điện (ứng với vector Hertz điện ΓE một thành phần) sẽ có
r r
H theo phương z bằng 0 (Hz = 0), còn các thành phần khác của H nói chung khác
0. Trường điện từ loại này gọi là trường loại điện dọc E hay từ ngang TM
r r
- Trường của nguồn từ (ứng với vector Hertz từ ΓM một thành phần) sẽ có E
r
theo phương z bằng 0 (Ez = 0), còn các thành phần khác của E nói chung khác 0.
Trường điện từ loại này gọi là trường loại từ dọc H hay điện ngang TE
Như vậy: trong trường hợp tổng quát và điều kiện biên nhất định, trường điện
từ có thể xem như tổng hợp của 2 loại trường: loại điện và loại từ
2.4. Tìm nghiệm của phương trình sóng
Nhận xét: áp dụng nguyên lí đối lẫn, việc tìm nghiệm của các phương trình d’
r r
Alambert chỉ cần xác định E hoặc H . Do đó có thể sử dụng một hàm vô hướng để
- r
đại diện cho ϕE và ϕM hoặc bất cứ thành phần nào trong hệ toạ độ Decac của ΓE ,
r r r
ΓM , A E và A M , phương trình d’ Alambert được viết lại
∂ 2ψ (2.42)
∇ 2 ψ − εε 0μμ 0 = −g
∂t 2
g - hàm nguồn của trường phân bố trong thể tích V
Nghiệm của (2.42) bằng tổng nghiệm của phương trình sóng thuần nhất
không vế phải và nghiệm riêng của phương trình sóng thuần nhất có vế phải, tức là
tìm nghiệm của phương trình sau
∂ 2ψ (2.43)
∇ 2 ψ − εε 0μμ0 =0
∂t 2
Đối với trường hợp nguồn điểm đặt ở gốc toạ độ. Vì nguồn điểm có tính đối
xứng cầu nên hàm ψ chỉ phụ thuộc r và t. Trong hệ toạ độ cầu ta có
∂ 2 ψ 2∂ψ 1 ∂ 2 (2.44)
∇ ψ= 2 +
2
= (rψ )
∂r r∂r r r∂r 2
Đặt φ = rψ ta có
∂ 2φ ∂ 2φ (2.45)
− εε 0μμ0 2 = 0
∂r 2 ∂t
Nghiệm của phương trình vi phân (2.45) là
⎛ r⎞ ⎛ r⎞ (2.46)
φ = f1 ⎜ t − ⎟ + f 2 ⎜ t + ⎟
⎝ v⎠ ⎝ v⎠
Suy ra
⎛ r⎞ ⎛ r⎞ (2.47)
f1 ⎜ t − ⎟ f 2 ⎜ t + ⎟
ψ= ⎝
v⎠
+ ⎝
v⎠
r r
1
Trong đó: v = là vận tốc truyền sóng trong môi trường; f1 và f2 là các
εε0μμ0
hàm tuỳ ý
- ⎛ r⎞
f1 ⎜ t − ⎟
⎝ v ⎠ mô tả sóng cầu phân kì truyền từ nguồn → vô cùng
r
⎛ r⎞
f2 ⎜ t + ⎟
⎝ v ⎠ mô tả sóng cầu hội tụ truyền từ vô cùng → nguồn
r
Điều kiện bức xạ tại vô cùng:
r
⎛ ∂E r⎞ (2.48)
lim r⎜ + ikE ⎟ = 0
r →∞ ⎜ ∂t ⎟
⎝ ⎠
r
⎛ ∂H r⎞
lim r⎜ + ikH ⎟ = 0
r →∞ ⎜ ∂t ⎟
⎝ ⎠
Trong đó: k = ω εε 0μμ 0 là số sóng
Nhận xét: vì là nguồn điểm đặt tại gốc toạ độ và không gian là vô hạn nên
theo điều kiện bức xạ tại vô cùng ta chọn nghiệm của phương trình sóng (2.43) cho
nguồn điểm là hàm f1 và loại bỏ hàm f2
Vậy
⎛ r⎞ (2.49)
f1 ⎜ t − ⎟
ψ= ⎝
v⎠
r
Nếu r → 0 (tại gốc toạ độ) thì nghiệm (2.49) không thoả mãn phương trình
sóng thuần nhất mà phải thoả mãn phương trình sóng d’ Alambert vì thế ta phải
chọn dạng của f1 sao cho ψ là nghiệm của phương trình sóng d’ Alambert và phải
thoả mãn trường ở trạng thái dừng.
Ở trạng thái dừng, phương trình sóng d’ Alambert được viết lại
∇ 2 ψ = −g (2.50)
gọi là phương trình sóng Poisson và có nghiệm là
1 g (2.51)
ψ= ∫ dV
4π V r
- Lưu ý :
r là khoảng cách từ vị trí quan sát trường đến yếu tố vi phân gdV. Theo (2.49)
và (2.51) ta chọn dạng hàm của f1 như sau
⎛ r⎞ 1 ⎛ r⎞ (2.52)
f1 ⎜ t − ⎟ = g⎜ t − ⎟
⎝ v ⎠ 4π ⎝ v ⎠
Như vậy, nghiệm của phương trình sóng d’ Alambert là
⎛ r⎞ (2.53)
g⎜ r′, t − ⎟
1 ⎝ v⎠
ψ(r, t ) = ∫ dV
4π V r
Nhận xét: trường ở thời điểm t tại vị trí quan sát bằng giá trị của nguồn ở thời
điểm t’ sớm hơn t một khoảng thời gian là
r (2.54)
t′ =
v
Như vậy, trường tại vị trí quan sát chậm pha so với nguồn một khoảng thời
gian t’ nên (2.53) gọi là thế chậm của trường điện từ.
Tương tự như nghiệm (2.53) ta có
r ⎛ r⎞ (2.55)
r J E ⎜ r′, t − ⎟
μμ
A E (r, t ) = 0 ∫ ⎝
v⎠
dV
4π V r
r ⎛ r⎞ (2.56)
r J M ⎜ r′, t − ⎟
εε
A M (r, t ) = 0 ∫ ⎝
v⎠
dV
4π V r
Đối với trường điều hoà ta có
• ⎛
⎛ r ⎞ • iω ⎜ t − ⎟ •
r⎞
• (2.57)
g⎜ t − ⎟ = g m e ⎝ v ⎠ = g m e −ikr eiωt = g e −ikr
⎝ v⎠
- r ⎛ r⎞ r
• • ⎛ r⎞
iω ⎜ t − ⎟ r
• (2.58)
A E ⎜ t − ⎟ = A Em e ⎝ v⎠
= A E (t )e −ikr
⎝ v⎠
r ⎛ r⎞ r
• • ⎛ r⎞
iω ⎜ t − ⎟ r
• (2.59)
A M ⎜ t − ⎟ = A Mm e ⎝ v ⎠ = A M (t )e −ikr
⎝ v⎠
•r r
• •
Các thế chậm ψ, A E , A M được tính là
•
•
1 g(r′, t )e −ikr
(2.60)
ψ(r , t ) = ∫ r dV
4π V
r
•
(2.61)
r
•
μμ0 J E (r′, t )e −ikr
A E (r , t ) = ∫ dV
4π V r
r
•
(2.62)
r
•
εε 0 J M (r′, t )e −ikr
A M (r, t ) = ∫ dV
4π V r
2.5. Trường điện từ của lưỡng cực điện
Lưỡng cực điện là yếu tố bức xạ sóng điện từ, là thành phần cơ bản của anten.
Thí dụ về lưỡng cực điện, một đoạn dây dẫn ngắn mảnh bên trong có dòng
điện biến đổi do nguồn cung cấp bên ngoài
Để đơn giản ta có giả thiết như sau
- đặt trong điện môi lí tưởng: σ = 0; ε, μ = const
- l > l, r là khoảng cách r từ vị trí quan sát trường điện từ đến lưỡng cực điện
Ứd phương pháp thế chậm để tính trường
2.5.1. Trường điện từ của yếu tố lưỡng cực điện
- Chọn hệ toạ độ cầu có gốc O nằm tại trọng tâm của lưỡng cực điện, trục
lưỡng cực điện hướng theo Oz và dòng điện cung cấp cho lưỡng cực điện có dạng
r r • iωt r r
• •
(2.63)
I = k I m e = k J m Seiωt
Trong đó: S là tiết diện của lưỡng cực điện
Vì dòng điện cung cấp hướng theo trục Oz và tồn tại trong thể tích V = Sl nên
tại vị trí quan sát trường M chỉ có một thành phần hướng theo trục Oz. Thế chậm
của lưỡng cực điện là
r
• r •
•
r μμ J m e −ikr
•
r μμ I m e −ikr
•
r μμ I m l −ikr (2.64)
A Em = k A Em = k 0
∫
4π V r
dV = k 0 ∫
4π l r
dl = k 0
4πr
e
Lưu ý: Sở dĩ tính được tích phân (2.64) là do giả thiết biên độ và pha của
dòng điện cung cấp là không đổi trên toàn lưỡng cực điện và do r >> l nên khoảng
cách từ bất cứ điểm nào trên lưỡng cực điện đến vị trí xác định trường đều bằng r.
Trong hệ toạ độ cầu ta có công thức
r r r
k = r0 cos θ − θ0 sin θ (2.65)
r r
r0 và θ0 là các vector đơn vị trong hệ toạ độ cầu
Khi đó (2.64) được viết lại
•
(2.66)
( )
r
•
μμ I m le −ikr r r
A Em = 0 r0 cos θ − θ0 sin θ
4πr
Cường độ từ trường của lưỡng cực điện là
•
(2.67)
( )
r
•
1 ⎛ r ⎞ Im l ⎛
•
e −ikr r r ⎞
Hm = ⎜ ∇ × A Em ⎟ = ⎜∇ ×
⎟ 4π ⎜ r0 cos θ − θ0 sin θ ⎟
⎟
μμ0 ⎜
⎝ ⎠ ⎝ r ⎠
Suy ra
r
•
•
r Im l ⎛ 1 e −ikr
(2.68)
⎞
H m = ϕ0 ⎜ + ik ⎟ sin θ
4π ⎝ r ⎠ r
r
ϕ0 là vector đơn vị trong hệ toạ độ cầu
- Từ hệ phương trình Maxwell không nguồn điện tích ta có
r
• r
•
(2.69)
∇ × H m = iωεε 0 E m
Khi đó cường độ điện trường của lưỡng cực điện được tính là
r
•
1 ⎛ r ⎞
•
•
I m l e −ikr (2.70)
Em = ⎜ ∇ × Hm ⎟ =
⎟ 4πiωεε r .
iωεε 0 ⎜
⎝ ⎠ 0
⎛ r ⎛ 1 ik ⎞ r ⎛1 ik ⎞ ⎞
.⎜ 2 r0 ⎜ 2 + ⎟ cos θ + θ0 ⎜ 2 − k 2 + ⎟ sin θ ⎟
⎝ ⎝r r ⎠ ⎝r r ⎠ ⎠
r
• r
•
Nhận xét: Các biểu thức tính E và H trong (2.68) và (2.70) của bức xạ lưỡng
e − ikr
cực điện đều có thừa số và biên độ tỉ lệ nghịch với r, có mặt đẳng pha là mặt
r
cầu bán kính r.
Như vậy trường bức xạ lưỡng cực điện có tính chất của sóng cầu. Vận tốc
dịch chuyển của mặt đẳng pha gọi là vận tốc pha vph
Ta có phương trình của mặt đẳng pha là
φ = ωt – kr = const (2.72)
dφ = ωdt – kdr = 0
Và
dr ω (2.73)
v ph = =
dt k
r
•
Nếu nhân các biểu thức của (2.68) và (2.70) với eiωt và lấy phần thực của E
r
•
và H ta có giá trị tức thời của chúng là
- I m lk ⎛1 ⎞ (2.74)
Hϕ = sin θ⎜ cos(ωt − kr ) − sin (ωt − kr )⎟
4πr ⎝ kr ⎠
I m lk 2 ⎛ 1 1 ⎞
Er = cos θ⎜ 2 2 sin (ωt − kr ) − cos(ωt − kr )⎟
2πωεε0 r ⎝k r kr ⎠
I m lk 2 ⎛⎛ 1 ⎞ 1 ⎞
Eθ = sin θ⎜ ⎜ 2 2 − 1⎟ sin (ωt − kr ) − cos(ωt − kr )⎟
4πωεε0 r ⎝⎝ k r ⎠ kr ⎠
Eϕ = Hr = Hθ = 0
2.5.2. Trường ở vùng gần
Khi r > l thì gọi là trường ở vùng gần
2π
Do r
- r
r r
E E
E
r
r r
E E
H I
2.5.3. Trường ở vùng xa
Khi r >> λ thì thì gọi là trường ở vùng xa
2π
Do r >> λ nên kr = r >> 1 và trong (2.74) nếu bỏ qua các vô cùng bé bậc
λ
1
cao so với ta có
kr
I m lk I l (2.76)
Hϕ = sin θ sin (ωt − kr ) = − m sin θ sin (ωt − kr )
4πr 2λ r
I lk 2
I l μμ0
Eθ = m sin θ sin (ωt − kr ) = − m sin θ sin (ωt − kr )
4πωεε0 r 2λr εε 0
Nhận xét:
- Trường ở vùng xa của lưỡng cực điện chỉ gồm 2 thành phần Hϕ và Eθ đồng
pha, vuông góc với nhau và vuông góc với phương truyền sóng r, vector Poynting
r r
•
phức chỉ có phần thực Π tb = re Π ≠ 0, năng lượng trường điện từ bức xạ vào trong
không gian. Vì vậy vùng xa gọi là vùng bức xạ
- Biên độ của Hϕ và Eθ tỉ lệ với ω, tỉ lệ nghịch với λ. Nếu có cùng giá trị dòng
điện Im, ở cùng khoảng cách và tần số càng cao thì Hϕ và Eθ càng lớn
- Biên độ của Hϕ và Eθ tỉ lệ với sinθ nên trường bức xạ của lưỡng cực điện có
π
tính định hướng trong không gian. Chúng đạt cực đại tại mặt phẳng và bằng 0
2
theo phương của lưỡng cực điện θ = 0.
- - Trường bức xạ có tính định hướng, thường được mô tả bằng giản đồ hướng.
Giản đồ hướng của lưỡng cực điện, kí hiệu F(θ, ϕ), là hàm được xác định bởi biểu
thức:
E (2.77)
F(θ, ϕ) = = sin θ
E max
Z
θ = 00
E=0
θ
ϕ
θ = 900
E = Emax
Mặt phẳng kinh tuyến Mặt phẳng vĩ tuyến
2.5.4. Công suất bức xạ, trở bức xạ
Công suất bức xạ của lưỡng cực điện được tính theo công thức
r r
Pbx = ∫ Π tb dS (2.78)
S
I r
E r
dS
r
H
r
dθ
dϕ
Trong đó
- r r I2 l2k 3 (2.79)
Π tb = r m
sin 2 θ
32π r ωεε0
2 3
Vi phân mặt cầu
dS = r2sinθdθdϕ
Suy ra
I2 l2k3 2π π
I2 l2k 2 μμ 0 I 2 (2.80)
Pbx = ∫ dϕ∫ sin θdθ = = m R bx
m 3 m
32π 2 r 3 ωεε 0 0 0
12π εε 0 2
Trong đó
lk 2 μμ 0 2 μμ 0 ⎛ 1 ⎞
2
(2.81)
R bx = = ⎜ ⎟
6π εε 0 3 εε 0 ⎝ λ ⎠
Rbx - trở bức xạ của lưỡng cực điện
Đặt
μμ 0 (2.82)
zc = [Ω]
εε 0
zc - trở sóng của môi trường
Trong chân không hoặc không khí, ta có ε = μ = 1, do đó
μ0
z c0 = = 120 π = 377 Ω
ε0
2 2
⎛1⎞ ⎛1⎞
R bx 0 = 80π ⎜ ⎟ = 790⎜ ⎟ Ω
2
⎝λ⎠ ⎝λ⎠
2
⎛1⎞
Pbx 0 = 395I ⎜ ⎟ W
2
m
⎝λ⎠
2.6. Trường điện từ của lưỡng cực từ
Lưỡng cực từ là yếu tố bức xạ sóng điện từ, là thành phần cơ bản của anten
Thí dụ về lưỡng cực từ, một đoạn dây dẫn ngắn mảnh bên trong có dòng từ
biến đổi do nguồn cung cấp bên ngoài. Cách làm tương tự như đối với lưỡng cực
- r
điện hoặc áp dụng nguyên lí đối lẫn và trong các công thức (2.68) và (2.70) thay H
r r r • •
bằng E , thay E bằng H, thay μ bằng - ε và thay Im bằng − IMm
r
•
•
r I Mm l ⎛ 1 e −ikr
(2.83)
⎞
E m = −ϕ0 ⎜ + ik ⎟ sin θ
4π ⎝ r ⎠ r
r
•
r ⎛1 (2.84)
•
I Mm l e −ikr ⎛ r ⎛ 1 ik ⎞ ik ⎞ ⎞
Hm = ⎜ 2 r0 ⎜ 2 + ⎟ cos θ + θ0 ⎜ 2 − k 2 + ⎟ sin θ ⎟
4πiωμμ0 r ⎝ ⎝ r r ⎠ ⎝r r ⎠ ⎠
r
r r
E E
H
r
r r
E E
E I
Theo (2.83) và (2.84) cho thấy trường bức xạ của lưỡng cực từ cũng là sóng
cầu,
r r
E, H ~ r, ω
r r
E, H có tính định hướng trong không gian
Vai trò của điện trường và từ trường lưỡng cực từ so với của lưỡng cực điện
r r
thay thế cho nhau. Vì vậy cấu trúc đường sức của chúng là giống nhau với E và H
đổi chỗ cho nhau
2.6.1 Trường điện từ của vòng dây
Nhận xét: trong thực tế, người ta có thể tạo ra trường điện từ xung quanh 1
vòng dây nhỏ mảnh có dòng điện biến đổi Im chạy qua tương tự như lưỡng cực từ.
Vòng dây dẫn này gọi là anten khung nguyên tố.
Giả sử:
nguon tai.lieu . vn
