Xem mẫu
TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM VECTOR C – LỒI TRONG
KHÔNG GIAN TÔPÔ TUYẾN TÍNH LỒI ĐỊA PHƯƠNG
HAUSDORFF
Trần Văn Sự 1
Tóm tắt: Mục đích của bài báo này là nghiên cứu một số tính chất của hàm vector Cliên tục trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff và đưa ra một số
điều kiện cần cho hàm vector C-lồi f, liên tục trên phần trong của miền xác định D của
nó.
Cho X, Y là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊆ X là
tập con khác rỗng trong X, C ⊆ Y là nón trong Y, C = { tc | c∈C, t ≥ 0}. Cho
hàm vector
f : D → Y.
Chúng ta nhắc lại một số định nghĩa cần thiết sau:
i. Hàm vector f được gọi là C-u.s.c tại x0 ∈ D nếu với mọi W là lân cận của gốc
trong Y, tồn tại U là lân cận của x0 trong D sao cho
f (U ) ⊆ f ( x0 ) + W − C .
ii. Hàm vector f được gọi là C-l.s.c tại x0 ∈ D nếu với mọi W là lân cận của gốc
trong Y, tồn tại U là lân cận của điểm x0 trong D sao cho
f (U ) ⊆ f ( x0 ) + W+C.
iii. Hàm vector f được gọi là C-u.s.c (t.ư C-l.s.c) nếu f là C-u.s.c (t.ư C-l.s.c) tại
mọi điểm x0 ∈ D.
iv. Hàm vector f được gọi là C-lồi nếu với mọi
thì
x, y ∈ D, t ∈ [0,1]
f (tx + (1 − t ) y) ∈ tf ( x) + (1 − t ) f ( y) − C.
Trên đồ thị của f được ký hiệu bởi epif và được định nghĩa như sau
epif ={(x, y) ∈ D × Y : f ( x)∈ y − C}.
Tập mức của f được kí hiệu bởi Levαf với α ∈ Y , được định nghĩa như sau
Levα f ={x∈ D | f(x)∈ α - C}.
1
ThS, Khoa Toán, trường Đại học Quảng Nam
TRẦN VĂN SỰ
Các quan hệ trên nón : ∀ x, y ∈ X , x f y ⇔ x − y ∈C. Nếu thêm intC không
rỗng thì ∀ x, y ∈ X , x ff y ⇔ x − y ∈ int C.
Cho B
⊆
Y. Ta nói rằng B là cơ sở của nón C nếu các điều kiện sau cùng thoả
mãn:
i)
C = cone( B) := {tb: b ∈ B, t ≥ 0} ,
ii) B không chứa điểm gốc O,
iii) Với mỗi c ∈ C , c ≠ 0, đều tồn tại duy nhất b ∈ B, t > 0, sao cho
c = tb.
Tập B như trên còn được gọi là cơ sở của nón C.
Các kết quả được sử dụng để chứng minh các kết quả trong bài báo này được giới
thiệu bởi Đinh Thế Lục [1].
Bổ đề 1. [1] Cho B
Khi đó
⊆
Y là tập con của Y, C
⊆ Y là nón trong Y, vectơ y ∈ B .
y ∈ IMin( B | C ) ⇔ B ⊆ y + C.
Bổ đề 2. [1] Nếu nón C có cơ sở lồi đóng và giới nội trong Y thì C là nón đóng
và nhọn.
Bổ đề 3. [1] Giả sử nón C có cơ sở lồi đóng và giới nội trong Y thì với mọi W là
lân cận của gốc trong Y, tồn tại V là lân cận của gốc sao cho
(V − C ) ∩ (V + C ) ⊆ W.
Bổ đề 4. [1] Giả sử C là nón lồi trong Y, khi đó
C + C ⊆ C , tC ⊆ C (∀ t ≥ 0), − C − int C ⊆ − int C ⊆ −C.
Sau đây chúng tôi giới thiệu một số kết quả mới để khảo sát tính liên tục của hàm
vector C-lồi và một số tính chất cơ bản của hàm vector C-u.s.c và C-l.s.c. Các kết quả
chính trong bài báo này được thể hiện qua các định lí cơ bản như sau:
Định lí 1. Cho C ⊆ R m nón lồi có cơ sở lồi đóng giới nội, int C ≠ φ , D là tập con
lồi chứa trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff X với
int D ≠ φ , hàm vector f : D → R m là C-lồi với không gian R m được sắp thứ tự bởi
nón C. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
i. f là (-C)-bị chặn trong một lân cận nào đó của một điểm x0 nào đó thuộc intD.
ii. f liên tục tại một điểm x0 nào đó thuộc intD.
iii. Trên đồ thị của f có phần trong khác rỗng, nghĩa là int(epi f ) ≠ φ .
iv. f liên tục trên phần trong của D.
102
TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM VECTOR C – LỒI TRONG KHÔNG GIAN …
Chứng minh:
i ⇒ ii : Giả sử có i, lấy x0 ∈ int D, gọi U là một lân cận nào đó của điểm x0
chứa trong D. Theo định nghĩa C-bị chặn, với mọi W là lân cận của gốc trong không
gian R m tồn tại số thực t>0 sao cho
f (U ) ⊆ tW − C.
(1)
Không làm mất tính tổng quát của bài toán, chúng ta có thể xem
x0 = 0, f (0) = 0, bởi vì, nếu x0 ≠ 0 thì chúng ta thay U bởi U − x0 , còn nếu f (0) ≠ 0
chúng ta thay f(x) bởi f ( x + x0 ) − f ( x0 ) . Vì nón C có cơ sở lồi đóng giới nội nên tồn
tại một lân cận cân đối V của gốc sao cho:
(V + C ) ∩ (V − C ) ⊆ W .
(2)
⎧ε ≤t
Tiếp theo chọn ε > 0 tuỳ ý sao cho ⎨
.
⎩ ± εW ⊆ V
⎛ε
⎜
⎝t
⎞
⎛ ε
⎟U ∩ ⎜ −
⎠
⎝ t
⎞
⎟ U là lân cận cân đối của gốc và ta gọi là U ε . Chúng ta
⎠
⎛ t⎞
nhận thấy rằng nếu x ∈U ε thì ⎜ ± ⎟ x ∈ U . Như vậy với mỗi x ∈U ε ta có:
⎝ ε⎠
Ta có
ε t
ε
⎧
⎪ f ( x) p t f ( ε x) + (1 − t ) f (0)
⎪
⎪
ε
⎨
1
t
⎪ f (0) p
f ( x) + t f (− x)
ε
ε
⎪
ε
1+
1+
⎪⎩
t
t
(3)
Để kiểm tra kết quả (3) trên chúng ta dễ dàng thấy rằng:
ε
x=
ε t
ε
1
t
( x) + (1 − )0 ∈ D, 0 =
x + t ( − x ) ∈ D,
ε
ε ε
t ε
t
1+
1+
t
t
và vận dụng giả thiết f là hàm vector C-lồi.
Hệ quả, từ (3) suy ra
f ( x) ∈
và
f ( x) ∈ C −
ε
⎛ ε
f (U ) + ⎜ 1 −
t
⎝ t
⎞
⎟0 −C
⎠
ε
⎛ ε⎞
f (U ) + ⎜1 + ⎟ f (0) .
t
⎝ t⎠
103
TRẦN VĂN SỰ
Điều trên kết hợp với (1) ta được
ε
⎛ε
⎞ ⎛
⎞
f ( x ) ∈ ⎜ ( tW − C ) − C ⎟ ∩ ⎜ C − ( tW − C ) ⎟
t
⎝t
⎠ ⎝
⎠
⎛
⎞ ⎛ ⎛ε ⎞
⎞
⎛ε ⎞
⊆ ⎜ε W − ⎜ ⎟C − C ⎟ ∩ ⎜ ⎜ ⎟C + C − ε W ⎟
⎝t⎠
⎝
⎠ ⎝⎝t⎠
⎠
⊆ (ε W − C − C ) ∩ ( C + C − ε W )
⊆ (ε W − ( C + C ) ) ∩ ( ( C + C ) − ε W )
⊆ ( ε W − C ) ∩ ( C + ( −ε W ) )
⊆ (V − C ) ∩ (C + V )
⎛ε ⎞
(vì ⎜ ⎟ C = C , C + C ⊆ C )
⎝t⎠
( vì − ε W ⊆ V )
= (V + C ) ∩ (V − C ).
Hệ quả: Với mọi x ∈U ε ta có
f ( x)∈ (V − C ) ∩ (V + C ).
(4)
Kết hợp (4) với (2) chúng ta thu được một kết quả như sau:
f (U ε ) ⊆ W .
Hay, hàm vectơ f liên tục tại điểm x0 = 0.
ii ⇒ iii : Lấy x0 ∈ int D và giả sử f liên tục tại x0 . Ta có f cũng là C-u.s.c tại x0 .
Áp dụng định nghĩa C-u.s.c gọi W là lân cận lồi tuỳ ý của gốc trong không gian R m sao
cho:
f (U ) ⊆ ( f ( x0 ) + W ) − C
(5)
Với U là một lân cận nào đó của x0 trong D. Chọn t > 0 sao cho
dụng tính chất lồi của W suy ra tW + W ⊆ (1 + t ) W . Áp dụng (5) ta có:
f ( x0 )
∈ W . Áp
t
f (U ) ⊆ (tW + W ) − C ⊆ (1 + t )W − C.
Vậy f là (-C)-bị chặn trong một lân cận U của điểm x0 ∈ int D.
iii ⇒ iv : Giả sử int(epif ) ≠ φ . Xét cặp ( x, α )∈ int(epi f ) , tồn tại cặp (U, V)
là lân cận của ( x, α ) sao cho (U , V ) ⊆ epi f suy ra (U , α ) ⊆ epi f hay
f (U ) ⊆ α − C. Bây giờ chúng ta chọn số thực t>0 sao cho với mọi W là lân cận của gốc
trong không gian R m ta có
104
α
t
∈ W nghĩa là α ∈ tW .
TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM VECTOR C – LỒI TRONG KHÔNG GIAN …
Vậy f (U ) ⊆ tW − C. Ta kết luận f là (-C)-bị chặn trong lân cận U của x với
x ∈int D.
Tiếp theo chứng minh khẳng định sau:
int D = { x ∈ D | ∃ α ∈ R m , ( x, α ) ∈ int (epi f )}. (6)
Với mỗi x ∈ int D, c ∈int C , đặt y = f(x) + c ta có
( x, y ) ∈ int(epi f ). Từ đó chúng ta có bao hàm thức
f ( x) = y − c ∈ y − int C hay
int D ⊆ { x ∈ D | ∃ α ∈ R m , ( x, α ) ∈ int (epi f )}.
Ngược lại giả sử x thuộc vào vế phải của (6), khi đó có cặp
( x, α ) ∈ int (epi f ), α ∈ R m . Vì int(epi f) là tập mở trong không gian tích nên tồn tại U
là lân cận mở của x trong D sao cho (U , α ) ⊆ int(epi f ) và do đó U ⊆ int D suy ra
x ∈int D. Vậy có bao hàm thức
{ x ∈ D | ∃ α ∈ R m , ( x, α ) ∈ int (epi f )} ⊆ int D.
Vậy khẳng định (6) đúng.
Bây giờ dựa vào chứng minh trên chúng ta dễ dàng nhận thấy rằng nếu x ∈ int D
thì f là (-C)-bị chặn trong một lân cận U nào đó của x trong intD và theo i ⇒ ii ta khẳng
định f liên tục tại x. Vậy f liên tục trên intD.
iv ⇒ ii : Khẳng định này là hiển nhiên.
i ⇒ iii : Giả sử f là (-C)-bị chặn trong một lân cận mở U nào đó của điểm
x0 ∈ int( D) nào đó trong D. Theo định nghĩa với mọi W là lân cận của gốc trong không
gian R m đều tồn tại số thực t>0 sao cho:
f (U ) ⊆ tW − C.
Chọn vector α ∈tW sao cho f (U ) ⊆ α − C.
Đặt V = { ( x, α 0 ) ∈ D × R m : x ∈ U , α 0 ff α } .
Ta chứng minh V ≠ φ : Vì int C ≠ φ nên tồn tại vector t ∈int C và z ff α , suy
ra ( x0 , z ) ∈ V hay V ≠ φ .
Chứng minh V mở: Do U mở và intC mở nên V mở.
Chứng minh V ⊆ epi f : Với mọi cặp ( x, z )∈V ta có
x ∈ U , f ( x) ∈ α − C. Suy ra:
f ( x) − z = f ( x) − α + α − z ∈ − C − int C = − int C
Do intC nón lồi. Do đó ( x, z )∈epi f , hay V ⊆ int(epi f ) ⇒ int(epi f ) ≠ φ .
(Định lí được chứng minh)
105
nguon tai.lieu . vn
KHÔNG GIAN TÔPÔ TUYẾN TÍNH LỒI ĐỊA PHƯƠNG
HAUSDORFF
Trần Văn Sự 1
Tóm tắt: Mục đích của bài báo này là nghiên cứu một số tính chất của hàm vector Cliên tục trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff và đưa ra một số
điều kiện cần cho hàm vector C-lồi f, liên tục trên phần trong của miền xác định D của
nó.
Cho X, Y là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊆ X là
tập con khác rỗng trong X, C ⊆ Y là nón trong Y, C = { tc | c∈C, t ≥ 0}. Cho
hàm vector
f : D → Y.
Chúng ta nhắc lại một số định nghĩa cần thiết sau:
i. Hàm vector f được gọi là C-u.s.c tại x0 ∈ D nếu với mọi W là lân cận của gốc
trong Y, tồn tại U là lân cận của x0 trong D sao cho
f (U ) ⊆ f ( x0 ) + W − C .
ii. Hàm vector f được gọi là C-l.s.c tại x0 ∈ D nếu với mọi W là lân cận của gốc
trong Y, tồn tại U là lân cận của điểm x0 trong D sao cho
f (U ) ⊆ f ( x0 ) + W+C.
iii. Hàm vector f được gọi là C-u.s.c (t.ư C-l.s.c) nếu f là C-u.s.c (t.ư C-l.s.c) tại
mọi điểm x0 ∈ D.
iv. Hàm vector f được gọi là C-lồi nếu với mọi
thì
x, y ∈ D, t ∈ [0,1]
f (tx + (1 − t ) y) ∈ tf ( x) + (1 − t ) f ( y) − C.
Trên đồ thị của f được ký hiệu bởi epif và được định nghĩa như sau
epif ={(x, y) ∈ D × Y : f ( x)∈ y − C}.
Tập mức của f được kí hiệu bởi Levαf với α ∈ Y , được định nghĩa như sau
Levα f ={x∈ D | f(x)∈ α - C}.
1
ThS, Khoa Toán, trường Đại học Quảng Nam
TRẦN VĂN SỰ
Các quan hệ trên nón : ∀ x, y ∈ X , x f y ⇔ x − y ∈C. Nếu thêm intC không
rỗng thì ∀ x, y ∈ X , x ff y ⇔ x − y ∈ int C.
Cho B
⊆
Y. Ta nói rằng B là cơ sở của nón C nếu các điều kiện sau cùng thoả
mãn:
i)
C = cone( B) := {tb: b ∈ B, t ≥ 0} ,
ii) B không chứa điểm gốc O,
iii) Với mỗi c ∈ C , c ≠ 0, đều tồn tại duy nhất b ∈ B, t > 0, sao cho
c = tb.
Tập B như trên còn được gọi là cơ sở của nón C.
Các kết quả được sử dụng để chứng minh các kết quả trong bài báo này được giới
thiệu bởi Đinh Thế Lục [1].
Bổ đề 1. [1] Cho B
Khi đó
⊆
Y là tập con của Y, C
⊆ Y là nón trong Y, vectơ y ∈ B .
y ∈ IMin( B | C ) ⇔ B ⊆ y + C.
Bổ đề 2. [1] Nếu nón C có cơ sở lồi đóng và giới nội trong Y thì C là nón đóng
và nhọn.
Bổ đề 3. [1] Giả sử nón C có cơ sở lồi đóng và giới nội trong Y thì với mọi W là
lân cận của gốc trong Y, tồn tại V là lân cận của gốc sao cho
(V − C ) ∩ (V + C ) ⊆ W.
Bổ đề 4. [1] Giả sử C là nón lồi trong Y, khi đó
C + C ⊆ C , tC ⊆ C (∀ t ≥ 0), − C − int C ⊆ − int C ⊆ −C.
Sau đây chúng tôi giới thiệu một số kết quả mới để khảo sát tính liên tục của hàm
vector C-lồi và một số tính chất cơ bản của hàm vector C-u.s.c và C-l.s.c. Các kết quả
chính trong bài báo này được thể hiện qua các định lí cơ bản như sau:
Định lí 1. Cho C ⊆ R m nón lồi có cơ sở lồi đóng giới nội, int C ≠ φ , D là tập con
lồi chứa trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff X với
int D ≠ φ , hàm vector f : D → R m là C-lồi với không gian R m được sắp thứ tự bởi
nón C. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
i. f là (-C)-bị chặn trong một lân cận nào đó của một điểm x0 nào đó thuộc intD.
ii. f liên tục tại một điểm x0 nào đó thuộc intD.
iii. Trên đồ thị của f có phần trong khác rỗng, nghĩa là int(epi f ) ≠ φ .
iv. f liên tục trên phần trong của D.
102
TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM VECTOR C – LỒI TRONG KHÔNG GIAN …
Chứng minh:
i ⇒ ii : Giả sử có i, lấy x0 ∈ int D, gọi U là một lân cận nào đó của điểm x0
chứa trong D. Theo định nghĩa C-bị chặn, với mọi W là lân cận của gốc trong không
gian R m tồn tại số thực t>0 sao cho
f (U ) ⊆ tW − C.
(1)
Không làm mất tính tổng quát của bài toán, chúng ta có thể xem
x0 = 0, f (0) = 0, bởi vì, nếu x0 ≠ 0 thì chúng ta thay U bởi U − x0 , còn nếu f (0) ≠ 0
chúng ta thay f(x) bởi f ( x + x0 ) − f ( x0 ) . Vì nón C có cơ sở lồi đóng giới nội nên tồn
tại một lân cận cân đối V của gốc sao cho:
(V + C ) ∩ (V − C ) ⊆ W .
(2)
⎧ε ≤t
Tiếp theo chọn ε > 0 tuỳ ý sao cho ⎨
.
⎩ ± εW ⊆ V
⎛ε
⎜
⎝t
⎞
⎛ ε
⎟U ∩ ⎜ −
⎠
⎝ t
⎞
⎟ U là lân cận cân đối của gốc và ta gọi là U ε . Chúng ta
⎠
⎛ t⎞
nhận thấy rằng nếu x ∈U ε thì ⎜ ± ⎟ x ∈ U . Như vậy với mỗi x ∈U ε ta có:
⎝ ε⎠
Ta có
ε t
ε
⎧
⎪ f ( x) p t f ( ε x) + (1 − t ) f (0)
⎪
⎪
ε
⎨
1
t
⎪ f (0) p
f ( x) + t f (− x)
ε
ε
⎪
ε
1+
1+
⎪⎩
t
t
(3)
Để kiểm tra kết quả (3) trên chúng ta dễ dàng thấy rằng:
ε
x=
ε t
ε
1
t
( x) + (1 − )0 ∈ D, 0 =
x + t ( − x ) ∈ D,
ε
ε ε
t ε
t
1+
1+
t
t
và vận dụng giả thiết f là hàm vector C-lồi.
Hệ quả, từ (3) suy ra
f ( x) ∈
và
f ( x) ∈ C −
ε
⎛ ε
f (U ) + ⎜ 1 −
t
⎝ t
⎞
⎟0 −C
⎠
ε
⎛ ε⎞
f (U ) + ⎜1 + ⎟ f (0) .
t
⎝ t⎠
103
TRẦN VĂN SỰ
Điều trên kết hợp với (1) ta được
ε
⎛ε
⎞ ⎛
⎞
f ( x ) ∈ ⎜ ( tW − C ) − C ⎟ ∩ ⎜ C − ( tW − C ) ⎟
t
⎝t
⎠ ⎝
⎠
⎛
⎞ ⎛ ⎛ε ⎞
⎞
⎛ε ⎞
⊆ ⎜ε W − ⎜ ⎟C − C ⎟ ∩ ⎜ ⎜ ⎟C + C − ε W ⎟
⎝t⎠
⎝
⎠ ⎝⎝t⎠
⎠
⊆ (ε W − C − C ) ∩ ( C + C − ε W )
⊆ (ε W − ( C + C ) ) ∩ ( ( C + C ) − ε W )
⊆ ( ε W − C ) ∩ ( C + ( −ε W ) )
⊆ (V − C ) ∩ (C + V )
⎛ε ⎞
(vì ⎜ ⎟ C = C , C + C ⊆ C )
⎝t⎠
( vì − ε W ⊆ V )
= (V + C ) ∩ (V − C ).
Hệ quả: Với mọi x ∈U ε ta có
f ( x)∈ (V − C ) ∩ (V + C ).
(4)
Kết hợp (4) với (2) chúng ta thu được một kết quả như sau:
f (U ε ) ⊆ W .
Hay, hàm vectơ f liên tục tại điểm x0 = 0.
ii ⇒ iii : Lấy x0 ∈ int D và giả sử f liên tục tại x0 . Ta có f cũng là C-u.s.c tại x0 .
Áp dụng định nghĩa C-u.s.c gọi W là lân cận lồi tuỳ ý của gốc trong không gian R m sao
cho:
f (U ) ⊆ ( f ( x0 ) + W ) − C
(5)
Với U là một lân cận nào đó của x0 trong D. Chọn t > 0 sao cho
dụng tính chất lồi của W suy ra tW + W ⊆ (1 + t ) W . Áp dụng (5) ta có:
f ( x0 )
∈ W . Áp
t
f (U ) ⊆ (tW + W ) − C ⊆ (1 + t )W − C.
Vậy f là (-C)-bị chặn trong một lân cận U của điểm x0 ∈ int D.
iii ⇒ iv : Giả sử int(epif ) ≠ φ . Xét cặp ( x, α )∈ int(epi f ) , tồn tại cặp (U, V)
là lân cận của ( x, α ) sao cho (U , V ) ⊆ epi f suy ra (U , α ) ⊆ epi f hay
f (U ) ⊆ α − C. Bây giờ chúng ta chọn số thực t>0 sao cho với mọi W là lân cận của gốc
trong không gian R m ta có
104
α
t
∈ W nghĩa là α ∈ tW .
TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM VECTOR C – LỒI TRONG KHÔNG GIAN …
Vậy f (U ) ⊆ tW − C. Ta kết luận f là (-C)-bị chặn trong lân cận U của x với
x ∈int D.
Tiếp theo chứng minh khẳng định sau:
int D = { x ∈ D | ∃ α ∈ R m , ( x, α ) ∈ int (epi f )}. (6)
Với mỗi x ∈ int D, c ∈int C , đặt y = f(x) + c ta có
( x, y ) ∈ int(epi f ). Từ đó chúng ta có bao hàm thức
f ( x) = y − c ∈ y − int C hay
int D ⊆ { x ∈ D | ∃ α ∈ R m , ( x, α ) ∈ int (epi f )}.
Ngược lại giả sử x thuộc vào vế phải của (6), khi đó có cặp
( x, α ) ∈ int (epi f ), α ∈ R m . Vì int(epi f) là tập mở trong không gian tích nên tồn tại U
là lân cận mở của x trong D sao cho (U , α ) ⊆ int(epi f ) và do đó U ⊆ int D suy ra
x ∈int D. Vậy có bao hàm thức
{ x ∈ D | ∃ α ∈ R m , ( x, α ) ∈ int (epi f )} ⊆ int D.
Vậy khẳng định (6) đúng.
Bây giờ dựa vào chứng minh trên chúng ta dễ dàng nhận thấy rằng nếu x ∈ int D
thì f là (-C)-bị chặn trong một lân cận U nào đó của x trong intD và theo i ⇒ ii ta khẳng
định f liên tục tại x. Vậy f liên tục trên intD.
iv ⇒ ii : Khẳng định này là hiển nhiên.
i ⇒ iii : Giả sử f là (-C)-bị chặn trong một lân cận mở U nào đó của điểm
x0 ∈ int( D) nào đó trong D. Theo định nghĩa với mọi W là lân cận của gốc trong không
gian R m đều tồn tại số thực t>0 sao cho:
f (U ) ⊆ tW − C.
Chọn vector α ∈tW sao cho f (U ) ⊆ α − C.
Đặt V = { ( x, α 0 ) ∈ D × R m : x ∈ U , α 0 ff α } .
Ta chứng minh V ≠ φ : Vì int C ≠ φ nên tồn tại vector t ∈int C và z ff α , suy
ra ( x0 , z ) ∈ V hay V ≠ φ .
Chứng minh V mở: Do U mở và intC mở nên V mở.
Chứng minh V ⊆ epi f : Với mọi cặp ( x, z )∈V ta có
x ∈ U , f ( x) ∈ α − C. Suy ra:
f ( x) − z = f ( x) − α + α − z ∈ − C − int C = − int C
Do intC nón lồi. Do đó ( x, z )∈epi f , hay V ⊆ int(epi f ) ⇒ int(epi f ) ≠ φ .
(Định lí được chứng minh)
105