Xem mẫu
- Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng, ĐHXDHN, 2022, 16 (1V): 79–91
PHÁT TRIỂN PHƯƠNG PHÁP CHEBYSHEV-RITZ PHÂN TÍCH DAO
ĐỘNG TỰ DO DẦM CƠ TÍNH BIẾN THIÊN
Nguyễn Thiện Nhâna , Nguyễn Ngọc Dươngb,∗, Nguyễn Trung Kiênb
a
Khoa Kỹ thuật – Công nghệ, Trường Đại học Kiên Giang,
số 320A, Quốc lộ 61, Thị trấn Minh Lương, huyện Châu Thành, tỉnh Kiên Giang, Việt Nam
b
Khoa Xây dựng, Trường Đại học Sư phạm kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh,
01 đường Võ Văn Ngân, quận Thủ Đức, Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam
Nhận ngày 22/06/2021, Sửa xong 27/07/2021, Chấp nhận đăng 16/08/2021
Tóm tắt
Bài báo này đề xuất hàm xấp xỉ Ritz mới bằng cách cải tiến đa thức “Chebyshev loại I” để phân tích dao động
tự do của dầm có vật liệu cơ tính biến thiên (FGM). Trường chuyển vị dầm dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc
cao hai biến và thỏa điều kiện biên tự do ứng suất cắt. Mô hình phân bố vật liệu dầm dựa vào quy luật hàm số
mũ. Phương trình Lagrange được sử dụng để thiết lập phương trình chủ đạo của bài toán. Các hàm xấp xỉ mới
được đánh giá sự hiệu quả thông qua các các tiêu chí tốc độ hội tụ và chi phí tính toán. Các ví dụ số được thực
hiện để khảo sát sự ảnh hưởng của mật độ phân bố vật liệu, tỉ lệ chiều dài/chiều cao và điều kiện biên đến tần
số dao động riêng của dầm.
Từ khoá: dầm FGM; phương pháp Ritz; phân tích dao động tự do; đa thức Chebyshev.
DEVELOPMENT OF CHEBYSHEV-RITZ METHOD FOR FREE VIBRATION BEHAVIOR OF FUNC-
TIONALLY GRADED MATERIAL BEAMS
Abstract
This paper proposes novel Ritz’s approximation functions by improving “Chebyshev Type I” for free vibration
analysis of functionally graded material beams. The displacement field is based on a two-variable higher-order
beam theory which satisfies the traction-free boundary conditions. The materials are supposed to vary contin-
uously in the depth according to the power-law. Governing equations of motion are derived from Lagrange’s
principle. The accuracy and efficiency of present approximation functions are evaluated through the criteria
of convergence rate and computational costs. Numerical examples are performed to investigate the effects of
the material distribution, length-to-height’s ratio, and boundary conditions to natural frequencies of the FGM
beams.
Keywords: FGM beams; Ritz method; free vibration analysis; Chebyshev polynomial.
https://doi.org/10.31814/stce.huce(nuce)2022-16(1V)-07 © 2022 Trường Đại học Xây dựng Hà Nội (ĐHXDHN)
1. Giới thiệu
Vật liệu cơ tính biến thiên (FGM) là một loại vật liệu tiên tiến, có đặc trưng cơ học thay đổi liên
tục theo các hướng khác nhau. Nhờ vậy, FGM sử dụng phù hợp trong các điều kiện tương tác đa
trường và không xảy ra hiện tượng tách lớp khi chịu tải trọng như các vật liệu composite truyền thống.
Nhờ những đặc tính ưu việt này nên FGM được áp dụng phổ biến trong các ngành công nghiệp như:
tàu thủy, ô tô, xây dựng, hàng không, . . . Để ứng dụng FGM vào thực tế, bên cạnh các nghiên cứu
∗
Tác giả đại diện. Địa chỉ e-mail: duongnn@hcmute.edu.vn (Dương, N. N.)
79
- Nhân, N. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
thực nghiệm, nhiều nghiên cứu mô phỏng cũng được thực hiện để đánh giá quy luật ứng xử của vật
liệu. Nhiều lý thuyết và phương pháp được phát triển để phân tích ứng xử của kết cấu FGM, trong đó,
dầm FGM thu hút sự quan tâm đặc biệt của nhiều nhà khoa học [1].
Lý thuyết dầm có thể chia thành ba nhóm chính: lý thuyết cổ điển (LTCĐ) [2–4], lý thuyết bậc
nhất (LTBN) [5] và lý thuyết bậc cao (LTBC) [6–11]. LTCĐ bỏ qua biến dạng cắt, vì vậy, chỉ áp dụng
phù hợp cho các dầm mỏng. LTBN kể đến biến dạng cắt, tuy nhiên, lý thuyết này cần hệ số biến dạng
cắt để điều chỉnh sự phân bố không hợp lý của ứng suất cắt tại biên trên và dưới của dầm. Để khắc
phục nhược điểm này, LTBC được các nhà khoa học đề xuất. Bằng cách phát triển các hàm biến dạng
cắt bậc cao, trường chuyển vị của LTBC đáp ứng các điều kiện biên ứng suất của bài toán, vì vậy, lý
thuyết này không cần hệ số điều chỉnh cắt. Có thể nói, LTBC tiện dụng và phân tích ứng xử của dầm
chính xác hơn LTCĐ và LTBN. Trong nghiên cứu này, LTBC hai biến [11] được áp dụng để phân tích
dao động tự do của dầm.
Về phương pháp giải, các phương pháp số được sử dụng khá phổ biến để phân tích dầm FGM,
đặc biệt là phần tử hữu hạn [12–14]. Bên cạnh đó, các phương pháp giải tích cũng được các nhà khoa
học quan tâm vì độ chính xác của lời giải. Lời giải Navier là đơn giản nhất, tuy nhiên, lời giải này chỉ
áp dụng phân tích dầm có điều kiện biên tựa đơn [10, 15]. Lời giải Levy cũng được đề xuất trong các
nghiên cứu của Khdeir và Reddy [16], Trịnh và cs. [17] để phân tích dao động riêng dầm composite
và FGM. Lời giải Ritz được nhiều nhà khoa học quan tâm vì tính tổng quát và giải quyết được các
bài toán có điều kiện biên bất kỳ. Tính hiệu quả của phương pháp Ritz phụ thuộc vào các hàm xấp xỉ
được chọn trước. Trong thời gian gần đây, nhiều nghiên cứu được thực hiện để phát triển các hàm xấp
xỉ. Nguyễn và cs. [7], Simsek [18] đã đề xuất các hàm đa thức để phân tích dao động và ổn định dầm
FGM. Các hàm đa thức thuần túy thường không thỏa các điều kiện biên động học của bài toán nên
phương pháp nhân tử Lagrange hoặc hàm phạt được sử dụng để khử điều kiện biên. Hướng tiếp cận
này làm tăng chi phí tính toán của lời giải vì tăng kích thước của các ma trận độ cứng và ma trận khối
lượng. Để khắc phục nhược điểm này, Pradhan và Chakraverty [19], Aydogdu [20, 21] đã đề xuất các
hàm đa thức trực giao để phân tích dao động riêng của dầm. Tuy vậy, các hàm trực giao hiếm khi được
sử dụng để phân tích tĩnh bài toán dầm. Gần đây, Nguyễn và cs. [11, 22, 23], Mantari và Canales [24],
Khalili và cs. [25] đã đề xuất các hàm dạng hỗn hợp giữa hàm đa thức và lượng giác hoặc mũ để phân
tích ứng xử của dầm. Ebrahimi và cs. [26] đề xuất các hàm “Chebyshev loại I” kết hợp đa thức khử
điều kiện biên để phân tích tĩnh và dao động các dầm FGM có kích thước vi mô. Có thể thấy rằng,
phương pháp Ritz khá hiệu quả trong việc phân tích ứng xử dầm FGM. Mặc dù vậy, tác giả nhận thấy
chưa có nhiều nghiên cứu đánh giá và so sánh các hàm dạng xấp xỉ của lời giải Ritz. Vì vậy, vấn đề
này cần có những nghiên cứu sâu hơn.
Mục tiêu của bài báo này là (1) đề xuất một hàm xấp xỉ mới dựa trên việc cải tiến đa thức
“Chebyshev loại I” và (2) đánh giá sự hiệu quả các hàm xấp xỉ này thông qua việc phân tích dao động
tự do của dầm FGM. Mô hình dầm được xây dựng dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hai biến.
Phương trình chủ đạo được thành lập từ nguyên lý Lagrange. Tần số riêng của dầm FGM được so sánh
với các kết quả nghiên cứu đã công bố để đánh giá sự hiệu quả của lời giải. Ảnh hưởng của sự phân
bố mật độ vật liệu, tỷ lệ chiều dài/chiều cao, điều kiện biên đến tần số dao động riêng của dầm FGM
được khảo sát và phân tích chi tiết.
2. Cơ sở lý thuyết
2.1. Quan hệ ứng suất và biến dạng
Xét dầm FGM có tiết diện (b × h), chiều dài L, thể tích V, được tạo thành từ kim loại và gốm như
Hình 1. Sự phân bố của các thành phần kim loại và gốm theo quy luật [10]:
80
- thuyết biến dạng cắt bậc cao hai biến. Phương trình chủ đạo được thành lập từ nguyên
lý Lagrange. Tần số riêng của dầm FGM được so sánh với các kết quả nghiên cứu đã
công bố để đánh giá sự hiệu quả của lời giải. Ảnh hưởng của sự phân bố mật độ vật liệu,
tỷ lệ chiều dài/chiều cao, điều kiện biên đến tần số dao động riêng của dầm FGM được
khảo sát và phân tích chi tiết.
2. Cơ sở lý thuyết
2.1Nhân,
Quan hệN.
ứngT., vàvàcs.
suất biến/ dạng
Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Hình 1. Sơ đồ hình học của dầm FGM
Hình 1. Sơ đồ hình học của dầm FGM
Xét dầm FGM có tiết diện (bxh), chiều dài L, thể tích V, được tạo thành từ kim
loại và gốm như Hình 1. Sự phân bố của các thành phần kim loại và gốm theo quy luật
[10]:
P(z) = PP
( z )m= P++(P m )V Pm ) Vc
( P -cP− c m c
(1a) (1a)
1 z
V =( + ) !p p
12 h z
c
(1b)
Vc =V + V =+1 (1b)
2 h m c (1c)
Vm + Vc = 1 (1c)
3
trong đó Pc , Ptrong đó Pc , Pcho
m đại diện m
đạimodule
diện cho đàn
module
hồiđàn E,hồi
hệ Esố, hệ ν vàn khối
số Possion
Poisson và khối riêng ρr của gốm, kim
lượngriêng
lượng
Vc , Vm lần lượt là tỉ lệ thể tích của thành phần gốm và kim loại trong
loại; Vc , Vm lần lượt là tỉ lệ thể tích của thành phần gốm và kim loại trong vật liệu FGM; p là số tự
của gốm, kim loại;
nhiên: khi p = vật0liệu P(z) =p là
→ FGM; Pcsố tự nhiên:
, dầm hoànkhitoàn p =bằng
0 ® Pgốm;
(z) = Pckhi p=
, dầm hoàn
∞ toàn bằng =
→ P(z) gốm;
Pm ,khi
dầm hoàn toàn
p = ¥ ® P (z) = P
bằng kim loại. Sự phân bố Vmc, theo chiềutoàn
dầm hoàn caobằng
dầmkim tương
loại.ứng với các
Sự phân V
bố giátheo
c trị pchiều
kháccaonhau
dầmđược thể hiện
ở Hình 2. tương ứng với các giá trị p khác nhau được thể hiện ở Hình 2.
Hình
Hình 2.2.SựSựphân
phânbố
bốtỉtỉlệlệthể
thể tích
tích V
Vc dọc chiều cao tiết diện dầm
c dọc chiều cao tiết diện dầm
Phương trình ứng xử của dầm FGM được xác định bởi biểu thức sau [10]:
Phương trình ứng xử của dầm FGM được
s =Qxác
e ;định
s =Q bởig biểu thức sau [10]:
x 11 x xz 55 xz (2)
trong đó: σ x = Q11 ε x ; σ xz = Q55 γ xz (2)
E( z)
trong đó: Q11 ( z ) = E ( z ); Q55 ( z ) = (3)
2[1 + n ( z )]
E(z)
2.2 Trường chuyển vịQ11 (z) = E(z); Q55 (z) =
2[1 + ν(z)]
(3)
Trường chuyển vị của lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hai biến [11]:
æA ö æ A ö
u ( x, z, t ) = ç 2 - z ÷ wb, x ( x, t ) + ç g ( z ) - 3 ÷ ws , x ( x, t ) (4a)
è A1 ø è A1 ø
w( x, z, t ) = w81
b ( x, t ) + ws ( x, t ) (4b)
- Nhân, N. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
2.2. Trường chuyển vị
Trường chuyển vị của lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hai biến [11]:
! !
A2 A3
u(x, z, t) = − z wb,x (x, t) + g(z) − w s,x (x, t) (4a)
A1 A1
w(x, z, t) = wb (x, t) + w s (x, t) (4b)
5z3
!
z
trong đó: g(z) = − là hàm biến dạng cắt bậc cao; wb (x) và w s (x) lần lượt là chuyển vị ngang
4 3h2
tại điểm trên trục trung hòa do thành phần biến dạng uốn và cắt gây ra; Các hệ số A1 , A2 và A3 được
xác định theo biểu thức:
Zh/2
(A1 ; A2 ; A3 ) = Q11 (z)(1; z; g)bdz (5)
−h/2
Trường biến dạng của dầm có dạng:
∂u
! !
A2 A3
εx = = − z wb,xx + g − w s,xx (6)
∂x A1 A1
∂w ∂u
γ xz = + = (1 + g,z )w s,x (7)
∂x ∂z
2.3. Các biểu thức năng lượng
Năng lượng biến dạng của hệ:
1 L
Z Z
1
U= (σ xx ε x + σ xz γ xz ) dV = B1 w2b,xx + 2B2 wb,xx w s,xx + B3 w2s,xx + Dw2s,x dx (8)
2 2 0
V
trong đó:
Zh/2
A2
!2 ! ! !2
A2 A 3 A 3
(B1 ; B2 ; B3 ) =
Q11 (z) −z ; −z g− ; g− bdz (9)
A1 A1 A1 A1
−h/2
n
X
D= Q55 (z)(1 + g,z )2 bdz (10)
k=1
Động năng của hệ:
Z ZL
1 1
K= ρ(˙u + w˙ )dV =
2 2
J1 w˙ 2b,x + 2J2 w˙ b,x w˙ s,x + J3 w˙ 2s,x + J4 w˙ 2b + 2J4 w˙ b w˙ s + J4 w˙ 2s dx (11)
2 2
V 0
trong đó:
Zh/2
A2
!2 ! ! !2
A2 A 3 A 3
(J1 ; J2 ; J3 ; J4 ) = ρ(z)
−z ; −z g− ; g− ; 1 bdz (12)
A1 A1 A1 A1
−h/2
82
- Nhân, N. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Tổng năng lượng của hệ:
1 L
Z
Π =U − K = B1 w2b,xx + 2B2 wb,xx w s,xx + B3 w2s,xx + Dw2s,x dx
2 0
ZL (13)
1
− J1 w˙ 2b,x + 2J2 w˙ b,x w˙ s,x + J3 w˙ 2s,x + J4 w˙ 2b + 2J4 w˙ b w˙ s + J4 w˙ 2s dx
2
0
2.4. Phương pháp Chebyshev-Ritz
Theo các nghiên cứu [23, 24], trường chuyển vị được xấp xỉ theo phương pháp Ritz như sau:
N
X
wb (x, t) = φ∗j (x)wb j eiωt (14a)
j=1
N
X
w s (x, t) = φ∗j (x)w s j eiωt (14b)
j=1
trong đó: i là đơn vị ảo, i2 = −1; wb j , w s j là các thông số cần xác định; ω là tần số dao động riêng của
dầm; φ∗j (x) là hàm xấp xỉ được chọn trước và thỏa mãn điều kiện biên của dầm tựa đơn-tựa đơn (SS),
ngàm-tựa đơn (CF) và ngàm-ngàm (CC) cho ở Bảng 1.
Bảng 1. Các điều kiện biên (ĐKB) động học của dầm
ĐKB x=0 x=L
SS w s = wb = 0 w s = wb = 0
w s = wb = 0
CF -
w s,x = wb,x = 0
w s = wb = 0 w s = wb = 0
CC
w s,x = wb,x = 0 w s,x = wb,x = 0
Trong nghiên cứu này, các hàm xấp xỉ φ∗j (x) được phát triển từ đa thức “Chebyshev loại I” như sau:
T 0 (θ) = 1, T 1 (θ) = θ
(
(15)
T n+1 (θ) = 2θT n (θ) − T n−1 (θ)
trong đó: T n (θ) ∈ [−1; 1], θ ∈ [−1; 1], n ∈ N và đồ thị của 5 hàm “Chebyshev loại I” đầu tiên được thể
hiện ở Hình 3.
Có thể thấy rằng, các đa thức “Chebyshev loại I” không thỏa mãn các điều kiện biên của bài toán.
Vì vậy, tác giả đề xuất hàm “Chebyshev cải tiến” được định nghĩa:
T n∗ (θ) = T n (1 − θ) − 1; θ ∈ [0; 1] (16)
Dựa vào đồ thị Hình 4 có thể thấy rằng đa thức T n∗ (θ) luôn có nghiệm θ = 0; ∀n ≥ 1. Từ đó, các
hàm xấp xỉ φ∗j (x) với các điều kiện biên SS, CF và CC được đề xuất trong Bảng 2. Có thể nhận thấy
rằng các hàm xấp xỉ ở Bảng 2 thỏa các điều kiện biên động học của dầm SS, CF và CC được cho
trong Bảng 1.
83
- Hình 3. Đồ thị đa thức Chebyshev ứng với bậc n và q Î [-1;1]
Có thể thấy rằng, các đa thức “Chebyshev loại I” không thỏa mãn các điều kiện biên củ
bài toán. Vì vậy, tác giả đề xuất hàm “Chebyshev cải tiến” được định nghĩa:
Tn (qdựng
Nhân, N. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây ) = Tn (1 - q ) - 1;q Î [0;1]
*
(16
1 0
0,8 -0,2
0,6 -0,4
0,4 -0,6
n=1
0,2 -0,8 n=2
n=3
Tn*(q)
Tn(q)
0 -1 n=4
-0,2 -1,2
n=0
-0,4 n=1
-1,4
n=2
-0,6 -1,6
n=3
-0,8 n=4 -1,8
-1 -2
-1 -0,5 0 0,5 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
q q
Đồ thị đa thức Chebyshev cải tiến ứng với bậc n và q Î [0;1]
Hình Hình
3. 3.Đồ
Đồthị
thị đa
đathức Chebyshev
thức ứng với
Chebyshev bậcvới
ứng n vàbậc và Hình
q Î [n-1;1] Hình4.4. Đồ thị đa thức Chebyshev cải tiến ứng với bậc
θ ∈ [−1;
Có thể thấy rằng, các đa thức “Chebyshev loại1]
I” không thỏa mãn các điều kiện biên của n và θ ∈ [0; 1]
bài toán. Vì vậy, tác giả đề xuất hàm “Chebyshev cải tiến” được định nghĩa:
Tn* (q ) = Tn (1 - q ) - 1;q Î [0;1] (16)
Bảng 2. Hàm xấp xỉ ứng với các điều kiện biên khác nhau 7
0
-0,2
Điều kiện biên φ∗j (x)
-0,4
∗ x
x
-0,6 ∗
SS Tj T −1
-0,8
n=1
n=2
L j L
n=3 x 2
Tn*(q)
-1
CF n=4 T ∗j
-1,2 L
x 2 x 2
-1,4
CC T ∗j T ∗j 1 −
-1,6 L L
-1,8
Thay
-2
0
phương
0,2
trình0,4(14a) và
0,6
(14b) 0,8vào phương
1
trình (13) và sử dụng nguyên lý Lagrange:
q
∂Π d ∂Π
Hình 4. Đồ thị đa thức Chebyshev cải tiến ứng với bậc n và q Î
−[0;1] =0 (17)
∂p j dt ∂ p˙ j
trong đó: p j tương ứng với các biến số w s j , wb j . Phương trình chủ đạo của bài toán dao động tự do
dầm FGM được rút ra từ phương
7 trình (17) có dạng như sau:
K11 K12 M11 M12
" # " #! ! !
wb j 0
T 12 − ω T 12
2
= (18)
K K22
t M M22 ws j 0
trong đó: K, M lần lượt là ma trận độ cứng và ma trận khối lượng của dầm, với các hệ số như sau:
Ki11j = B1 Ii1j ; Ki12j = B2 Ii2j ; Ki22j = B3 Ii1j + DIi2j (19)
Mi11j = J1 Ii2j + J4 Ii3j ; Mi12j = J2 Ii2j + J4 Ii3j ; Mi22j = J3 Ii2j + J4 Ii3j (20)
Z L Z L Z L
Ii j =
1
φi,xx φ j,xx dx; Ii j =
∗ ∗ 2
φi,x φ j,x dx; Ii j =
∗ ∗ 3
φ∗i φ∗j dx (21)
0 0 0
Để giải phương trình (18), phần mềm Matlab R2014a (8.3.0.532), 64bit được sử dụng để lập trình
tính toán các ma trận K, M và chạy trên máy tính có cấu hình Intel® Core™ 2 Duo, CPU T7300
@2.00 GHz, Ram 2.00 GHz.
84
- Nhân, N. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
3. Kết quả số
Trong phần này, các ví dụ số được thực hiện để đánh giá độ chính xác và sự hiệu quả của lời giải.
Để thuận tiện cho việc khảo sát và so sánh
r với các kết quả đã công bố, tần số dao động riêng không
ωL 2 ρm
thứ nguyên được định nghĩa: ω¯ = . Các đặc trưng cơ học của vật liệu: gốm Ec = 380 GPa,
h Em
νc = 0,3 và ρc = 3960 kg/m3 và kim loại Em = 70 GPa, νm = 0,3 và ρm = 2702 kg/m3 .
3.1. Đánh giá sự hiệu quả của lời giải
Để đánh giá sự hiệu quả của một lời giải, các tiêu chí như độ chính xác, tốc độ hội tụ, chi phí tính
toán, sự ổn định số, . . . sẽ được xem xét [27]. Trong nghiên cứu này, tác giả sẽ đánh giá hàm xấp xỉ
qua hai yếu tố cơ bản là tốc độ hội tụ và chi phí tính toán.
Tốc độ hội tụ của lời giải theo số bước lặp j được định nghĩa như sau:
-
-
- ω j − ω j−1
-
∆ω j = (22)
ω j−1
trong đó: ω j−1 và ω j lần lượt là kết quả tần số riêngh ở bước
i thứ j − 1 và j. Kết quả được xem là hội tụ
khi ∆ω j → 0. Trong nghiên cứu này, chọn ∆ω j ≤ ∆ω j = 10−5 . Với định nghĩa này, một hàm xấp xỉ
h i
được xem là hội tụ tốt hơn một hàm số khác khi đạt ∆ω j ứng với số bước lặp j bé hơn.
Thời gian tính toán được định nghĩa là tổng thời gian tính các ma trận K, M và tần số dao động
riêng của dầm, được thể hiện qua công thức sau:
N
X
S = Sj (23)
j=1
trong đó: S j là thời gian thực hiện tính toán tại bước thứ j; S là tổng thời gian từ khi bắt đầu đến
bước j.
Trong nghiên cứu này, hàm xấp xỉ đề xuất “Chebyshev cải tiến” (CBS) được so sánh với các hàm
“Chebyshev loại I” (CBSI) [26], hàm số mũ cơ số Napier (HBR) [11] và hàm xấp xỉ dạng đa thức
(POL) [21] (Bảng 3).
Bảng 3. Các hàm xấp xỉ khác nhau
Điều kiện biên (ĐKB) của dầm
Ký hiệu Nghiên cứu
SS CF CC
x x x 2 x 2 x 2
CBS Bài báo T ∗j T ∗j −1 T ∗j T ∗j T ∗j 1 −
L L L L L
jx jx jx 2 jx 2 jx 2
HBR Nghiên cứu [11] e− L − 1 e L − e j e− L − 1 e− L − 1 e L − e j
! ! !2 !2 !2
2x 2x 2x 2x 2x
CBSI Nghiên cứu [26] T (x) 1 − 1+ T (x) 1 − T (x) 1 − 1+
L L L L L
x n x x n+1 x n+1 x 2
POL Nghiên cứu [21] 1− 1−
L L L L L
85
- Nhân, N. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Tần số dao động riêng của dầm FGM (p = 1; L/h = 5)với các hàm xấp xỉ và điều kiện biên khác
nhau được cho ở Bảng 4, và đồ thị thể hiện mối tương quan giữa chỉ số j và ∆ω thể hiện ở Hình 5. Có
thể thấy rằng, hàm HBR có tốc độ hội tụ tốt nhất ở cả ba điều kiện biên SS, CF và CC. Hàm CBS hội
tụ khi j = 5 với dầm SS, j = 10 với dầm CF và CC. Hàm CBSI và POL hội tụ khi j = 6 với dầm SS,
j = 12 với dầm CF và chưa hội tụ khi j = 14 với dầm CC.
Bảng 4. Kết quả khảo sát tần số dầm FGM
Chỉ số j
ĐKB Nghiên cứu
2 4 6 8 10 12
CBS 4,3851 3,9908 3,9905 3,9905 3,9905 3,9905
HBR 3,9930 3,9905 3,9905 3,9905 3,9905 3,9905
SS
CBSI 4,3930 3,9916 3,9905 3,9905 3,9905 3,9905
POL 4,3930 3,9916 3,9905 3,9905 3,9905 3,9905
CBS 1,4697 0
1,4641 1,4635 1,4633 1,4633 1,4633
10
HBR 1,4682 1,4641 1,4635 1,4633 1,4633 1,4633
CF
CBSI 1,474110 -5
1,4647 1,4638 1,4635 1,4634 1,4633
POL 1,4741 1,4647 1,4638 1,4635 1,4634 1,4633
log(Dw)
CBS 8,011510 -10
7,9609 7,9500 7,9484 7,9481 7,9481
HBR 8,0065 7,9559 7,9488 7,9481 7,9481 7,9481
CC -15
CBS
CBSI 8,121910 8,0095 HBR7,9720
CBSI
7,9571 7,9512 7,9490
POL 8,1219 -20
8,0095 POL7,9720 7,9571 7,9512 7,9490
10
2 3 4 5 6 7 8
j
a. Dầm SS
0 0 0
10 10 10
CBS
HBR 10
-2
-5 -2
CBSI
10 10 POL
-4
10
log(Dw)
log(Dw)
log(Dw)
-10 -4 -6
10 10 10
-8
10
-15
CBS -6
10 HBR 10 CBS
CBSI -10 HBR
10
POL CBSI
-20
POL
-8
10 10 10
-12
2 3 4 5 6 7 8 2 4 6 8 10 12 14 2 4 6 8 10 12 14
j j j
a. Dầm SS
(a) Dầm SS (b) b.Dầm
Dầm CF
CF (c) c.Dầm
Dầm CC
CC
0
10 Hình 5. Tốc độ hội tụ của hàm xấp xỉ
CBS
HBR
Hình 5. Tốc độ hội tụ của hàmThời
xấpgian tính toán S theo chỉ số j của các hàm số được biểu diễn trong Hình 6 a, b và c
xỉ
-2
CBSI cho các dầm có điều kiện biên SS, CF và CC. Có thể nhận thấy, các hàm CBS, CBSI và
10 POL
POL có thời gian tính toán xấp xỉ nhau và hàm HBR có thời gian tính toán lớn nhất ở cả
ba điều kiện biên. Điều này được giải thích, các hàm CBS, CBSI và POL đều có dạng
Thời gian tính toán S theo chỉ số j của các hàm số được biểu diễn trong Hình 6 cho các dầm có đa thức vì vậy thời gian tính các tích phân trong các ma trận của bài toán là như nhau,
log(Dw)
-4
10
điều kiện biên SS, CF và CC. Có thể nhận thấy, các hàm CBS, CBSI và POL có thời gian tính toán trong khi đó, HBR có dạng hàm mũ nên việc tính các tích phân sẽ mất nhiều thời gian
hơn hàm đa thức.
xấp xỉ nhau và hàm HBR có thời gian tính toán lớn11 nhất ở cả ba điều kiện biên. Điều này được giải
-6 3
10 10
thích, các hàm CBS, CBSI và POL đều có dạng đa thức vì vậy thời gian tính các tích phân trong các
ma trận của bài toán là như nhau, trong khi đó, HBR có dạng hàm mũ nên
-8 10
việc tính các tích phân sẽ 2
10
mất nhiều thời gian
2 4 6 8
j
hơn hàm đa thức.
10 12 14
log(S)
1
10
b. Dầm CF
86 10
0 CBS
HBR
CBSI
POL
-1
10
2 4 6 8 10 12 14
j
a. Dầm SS
- Hình 5. Tốc độ hội tụ của hàm xấp xỉ
Thời gian tính toán S theo chỉ số j của các hàm số được biểu diễn trong Hình 6 a, b và c 0 CBS
10 HBR
cho các dầm có điều kiện biên SS, CF và CC. Có thể nhận thấy, các hàm CBS, CBSI và
CBSI
POL có thời gian tính toán xấp xỉ nhau và hàm HBR có thời gian tính toán lớn nhất ở cả POL
ba điều kiện biên. Điều này được giải thích, các hàm CBS, CBSI và POL đều có dạng -1
10
đa thức vì vậy thời gian tính các tích phân trong các ma trận của bài toán là như nhau, 2 4 6 8 10 12 14
j
trong khi đó, HBR có dạng hàm mũ nên việc tính các tíchNhân,
phân sẽN.mấtT., và thời
nhiều cs. /gian
Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
hơn hàm đa thức. b. Dầm CF
3 3 3
10 10 10
2 2 2
10 10 10
log(S)
log(S)
log(S)
1 1 1
10 10 10
Từ các Hình 5, 6 và 7, có thể tổng kết rằng: (1) Hàm mũ (HBR) có tốc độ hội tụ nhanh
CBS
0 CBS nhưng tốn nhiều chi phí
0 tính toán nhất; (2) CácCBS
hàm “Chebyshev loại I” (CBSI), 0 đa thức
10 10 10 HBR
HBR
HBR trực giao (POL) và “Chebyshev cải tiến” (CBS) có thời gian tính toán qua các bước lặp CBSI
CBSI
CBSI
là xấp xỉ nhau nhưng tốc độ hội tụ của hàm CBS POL nhanh hơn các hàm CBSI và POL. Vì POL
POL
10
-1 vậy, có thể kết luận
10
rằng, hàm CBS đề xuất trong nghiên cứu này có chi phí
-1
10 tính toán
-1
2 4 6 8 10 12 hơn14
thấp các hàm HBR, 2 CBSI 4 và POL.
6 8 10 12 14 2 4 6 8 10 12 14
j j j
5
10
(a) a.Dầm
Dầm SS
SS (b) b.Dầm
Dầm CF
CF (c) c.Dầm
Dầm CC
CC
3
100
10 Hình 6. Thời gian tính toán của hàm xấp xỉ
12
Hình 6. Thời gian tính toán củaĐểhàm
thấy rõ hơn xỉ
xấp hiệu quả của các hàm xấp xỉ, mối quan hệ giữa tốc độ hội tụ và thời gia
10
-5
10
2
tính toán được thể hiện ở Hình 7a, b và c. Có thể thấy rằng, với độ chính xá
log(S) log(Dw)
Dw j £ éëDw j ùû = 10-5 , hàm HBR có thời gian tính toán lớn nhất ở tất cả các điều kiện biên
-10
10
Các hàm CBSI, POL có thời gian tính toán xấp xỉ nhau và hàm CBS có thời gian tín
Để thấy rõ hơn hiệu quả của các hàm xấp xỉ, mối CBSquan hệ giữa tốc
HBR h độ ihội tụ và thời gian tính toán 10
1
toán nhỏ nhất.
được thể hiện ở Hình 7. Có thể thấy rằng, với độ chính CBSI xác ∆ω
Từ các Hình 5, 6 và 7, có thể tổng kết rằng: (1) Hàm mũ (HBR) có tốc độ hội
10
-15 tụ nhanh
≤ ∆ω j = 10−5 , hàm HBR có thời
nhưng tốn nhiều chi phí tính toán nhất; (2) Các hàm “Chebyshev loại I” (CBSI),
CBS
POL
j
đa thức
0
HBR 10
gian tính toán lớn nhất ở tất cả các điều kiện biên. Các
CBSI
hàm CBSI, POL có thời gian tính toán xấp xỉ
trực giao (POL) và “Chebyshev cải tiến” (CBS) có thời gian tính toán qua các
-20
bước lặp
10 -1
là xấp xỉ nhau nhưng tốc độ hội tụ của hàm CBS nhanh hơn các hàm CBSI và
POL 10 10POL. Vì 13
0 1 2
nhau và hàm CBS có thời gian tính toán nhỏ nhất. log(S)
10
vậy, có thể kết luận rằng, hàm CBS đề xuất trong nghiên cứu này có chi phí
10
-1 tính toán
10
2 4 6 8 10 12 14
thấp hơn các hàm HBR, CBSI và POL. a. Dầm SS
j
5 0 5
10 10 10
c. Dầm CC CBS
HBR
0
10
Hình 6. Thời gian tính toán của hàm xấp xỉ
CBSI
-2 0
10 POL 10
Để thấy rõ hơn hiệu quả của các hàm xấp xỉ, mối quan hệ giữa tốc độ hội tụ và thời gian
-5
10
tính toán được thể hiện ở Hình 7a, b và c. Có thể thấy rằng, với độ chính xác
log(Dw)
Dw j £ éëDw j ùû = 10 ,10hàm HBR có thời gian tính toán lớn nhất ở tất cả các điều
log(Dw)
-5
log(Dw)
10 kiện biên.
-4 -5
-10
10 Các hàm CBSI, POL có thời gian tính toán xấp xỉ nhau và hàm CBS có thời gian tính
CBS toán nhỏ nhất. CBS
-6 -10
HBR 10 10 HBR
-15
10 CBSI CBSI
POL POL
-8 -15
10 -1 10
-20
10 -1 0 1 2 10 10
0 13
10
1 2
10 10
3
10
-1 0
10 10
1 2
10
3
10
10 10 10 10
log(S) log(S) log(S)
(a) a.Dầm
Dầm SS
SS (b) b.Dầm
Dầm CF
CF (c) c.Dầm
Dầm CC
CC
10
0
Hình 7. Mối quan hệ giữa thời gian và tốc độ hội tụ của các hàm xấp xỉ
CBS
3.2 Tần số dao động tự do dầm FGM
Hình 7. MốiHBR
quan hệ giữa thời gian và tốc độ hội tụ của các hàm xấp xỉ
CBSI
10
-2 14 Trong phần này, tần số dao động tự do của dầm FGM được khảo sát và so sánh
POL
với các kết quả đã công bố. Bảng 5 thể hiện tần số dao động riêng của dầm FGM với
Từ các Hình 5, 6 và 7, có thể tổng kết rằng: (1) Hàm mũ (HBR) có tốc độ hội tụ nhanh nhưng các điều kiện biên, tỷ số L/h và p khác nhau. Từ Bảng 5, có thể thấy rằng, kết quả của
bài báo rất gần với kết quả trong các nghiên cứu [7, 9, 10]. Kết quả ở Bảng 5 cũng cho
log(Dw)
-4
tốn nhiều chi phí tính toán nhất; (2) Các hàm “Chebyshev loại I” (CBSI), đa thức trực giao (POL) và
10
thấy, tần số dao động giảm khi p tăng, điều này là bởi vì, khi p tăng sẽ làm cho mật độ
“Chebyshev cải tiến” (CBS) có thời gian tính toán qua các bước lặp là xấp xỉ nhau nhưng tốc độ hội kim loại trong dầm tăng lên và dẫn đến độ cứng của dầm giảm. Với các dầm có cùng tỷ
-6 số L/h và p, tần số riêng của dầm CC lớn nhất và dầm CF bé nhất, điều này hoàn toàn
tụ 10của hàm CBS nhanh hơn các hàm CBSI và POL. Vì vậy, có thể kết luận rằng, hàm CBS đề xuất hợp lý bởi vì các dầm CC có độ cứng lớn nhất và dầm CF có độ cứng bé nhất.
trong nghiên cứu này có chi phí tính toán thấp hơn các hàm Bảng
HBR, 5. TầnCBSI và riêng
số dao động POL. của dầm FGM với các điều kiện biên, tỉ lệ L/h và p
-8
10 -1 0 1 2 3 khác nhau.
10 10 10 10 10
L/h BC Nghiên cứu p
3.2. Tần số dao log(S)
động tự do dầm FGM
b. Dầm CF 0 0,5 1 2 5 10
Trong phần này, tần số dao động tự do của dầm FGM được 5 khảo
SS sátbáovà so5,1527
Bài sánh 4,4107
với các3,9905
kết quả
3,6266đã3,4014 3,2818
[7] 5,1528 4,4102 3,9904 3,6264 3,4009 3,2815
công bố. Bảng 5 thể hiện tần số dao động riêng của dầm FGM với các điều kiện biên, tỷ số L/h và p
[10] 5,1527 4,4107 3,9904 3,6264 3,4012 3,2816
khác nhau. Từ Bảng14 5, có thể thấy rằng, kết quả của bài báo rất gần
CF với kết quả
Bài báo trong
1,8952 các1,4633
1,6180 nghiên cứu1,2592
1,3326 1,2184
[7, 9, 10]. Kết quả ở Bảng 5 cũng cho thấy, tần số dao động giảm khi[7]p tăng, 1,8957
điều này là bởi
1,6182 vì,1,3328
1,4636 khi p1,2594 1,2187
tăng sẽ làm cho mật độ kim loại trong dầm tăng lên và dẫn đến độ cứng [10] của 1,8952 1,6182 Với
dầm giảm. 1,4633các
1,3325
dầm1,2592 1,2183
CC Bài báo 10,0670 8,7431 7,9481 7,1752 6,4923 6,1638
15
87
- Nhân, N. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
có cùng tỷ số L/h và p, tần số riêng của dầm CC lớn nhất và dầm CF bé nhất, điều này hoàn toàn hợp
lý bởi vì các dầm CC có độ cứng lớn nhất và dầm CF có độ cứng bé nhất.
Bảng 5. Tần số dao động riêng của dầm FGM với các điều kiện biên, tỉ lệ L/h và p khác nhau
p
L/h BC Nghiên cứu
0 0,5 1 2 5 10
Bài báo 5,1527 4,4107 3,9905 3,6266 3,4014 3,2818
SS [7] 5,1528 4,4102 3,9904 3,6264 3,4009 3,2815
[10] 5,1527 4,4107 3,9904 3,6264 3,4012 3,2816
Bài báo 1,8952 1,6180 1,4633 1,3326 1,2592 1,2184
5 CF [7] 1,8957 1,6182 1,4636 1,3328 1,2594 1,2187
[10] 1,8952 1,6182 1,4633 1,3325 1,2592 1,2183
Bài báo 10,0670 8,7431 7,9481 7,1752 6,4923 6,1638
CC [7] 10,0726 8,7463 7,9518 7,1776 6,4929 6,1658
[7]
[9]
10,0726 8,7463
10,0699
7,9518 7,1776
8,7463
6,4929 6,1658
7,9499 7,1766 6,4940 6,1652
[9] 10,0699Bài
8,7463
báo 7,94995,4603
7,1766 6,4940 6,1652
4,6511 4,2051 3,8361 3,6485 3,5390
20 SS Bài báo SS 5,4603 4,6511
[7] 4,20515,4603
3,8361 3,6485 3,5390
4,6506 4,2051 3,8361 3,6485 3,5390
[7] 5,4603 4,6506
[10] 4,20515,4603
3,8361 3,6485 3,5390
4,6511 4,2051 3,8361 3,6485 3,5390
[10] 5,4603 4,6511 4,2051 3,8361 3,6485 3,5390
CF Bài báo
Bài báo
1,9496 1,6603
1,9496
1,5010 1,3696
1,6603
1,3033 1,2645
1,5010 1,3696 1,3033 1,2645
20
[7]
CF 1,9496 1,6602
[7] 1,9496
1,5011 1,3696
1,6602
1,3034 1,2646
1,5011 1,3696 1,3034 1,2646
[10] [10]
1,9496 1,6605 1,50111,9496
1,3696 1,6605
1,3033 1,2645 1,5011 1,3696 1,3033 1,2645
CC Bài báo 12,2224Bài
10,4267
báo 9,4307 8,5967
12,2224 8,1435 7,8845
10,4267 9,4307 8,5967 8,1435 7,8845
[7] CC 12,2243 10,4269
[7] 9,4319 8,5977
12,2243 8,1446 7,8860
10,4269 9,4319 8,5977 8,1446 7,8860
[9] 12,2238 10,4287
[9] 9,4316 8,5975
12,2238 8,1448 7,8859
10,4287 9,4316 8,5975 8,1448 7,8859
13
12
p=0
p=1
11 p=2
p=5
10 p=10
w
9
8
7
6
5 10 15 20 25 30 35 40
L/h
Hình 8 Ảnh
Hình hưởnghưởng
8. Ảnh của tỉ sốcủa
L/htỉđến
sốtần
L/hsố đến
dao động riêng
tần số daocủađộng
dầm CC HìnhHình
9. Ảnh hưởng của p, tỉ số L/h đến tần số
9. Ảnh hưởng của p, tỉ số L/h đến tần số của dầm
riêng của dầm CC của dầm
Hình 8 thể hiện ảnh hưởng của tỉ số chiều dài/chiều cao đến tần số dao động riêng
của dầm CC. Có thể thấy rằng, tần số tăng nhanh khi L/h = (5-10) và hầu như không đổi
Hình 8 thể hiện ảnh hưởng của tỉ số chiều dài/chiều cao đến
khi L/h = (10-40). Hình 9tần số sựdao
thể hiện ảnh động
hưởng củariêng
L/h và của
p đến dầm CC.của dầm.
tần số riêng
Có thể nhận xét, tần số giảm nhanh khi p = (0-5) và hầu như không đổi khi p = (5-20) ở
Có thể thấy rằng, tần số tăng nhanh khi L/h = (5tất − 10) và hầu như không đổi khi L/h = (10 − 40).
cả các điều kiện biên.
88 Bốn dạng dao động đầu tiên của dầm FGM ( L / h = 5, p = 1) với điều kiện biên SS
được thể hiện ở Hình 10. Có thể thấy rằng, ba dạng dao động đầu tiên, thành phần wb
đóng vai trò chủ đạo. Tuy nhiên, thành phần ws đóng vai trò chủ đạo ở dạng dao động
16 thứ tư. Hình 10 cũng cho thấy rằng vai trò của thành phần ws có xu hướng tăng dần với
các dạng dao động bậc cao.
- Nhân, N. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Hình 9 thể hiện sự ảnh hưởng của L/h và p đến tần số riêng của dầm. Có thể nhận xét, tần số giảm
nhanh khi p = (0 − 5) và hầu như không đổi khi p = (5 − 20) ở tất cả các điều kiện biên.
Bốn dạng dao động đầu tiên của dầm FGM (L/h = 5, p = 1) với điều kiện biên SS được thể hiện
ở Hình 10. Có thể thấy rằng, ba dạng dao động đầu tiên, thành phần wb đóng vai trò chủ đạo. Tuy
nhiên, thành phần w s đóng vai trò chủ đạo ở dạng dao động thứ tư. Hình 10 cũng cho thấy rằng vai
trò của thành phần w s có xu hướng tăng dần với các dạng dao động bậc cao.
1 1 (w = 3,9905)
a. Dạng
a. Dạng (w =3,9905)
3,9905 ) 2 (w2¯2==
b. Dạng
b. Dạng (14,0134 ) )
w2 = 14,0134
1(ω¯ (1w=11=(3,9905 ) ) 2 (2w(ω
22=(14,0134 ) )
1
(a)a.Dạng
a. 1Dạng
Dạng 1 w = 3,9905
1 b.(b) Dạng
Dạng
b. Dạng 2 w 14,0134)
2 = 14,0134
c. 3Dạng
(c)c. Dạng
Dạng
3 (w333=(w
(27,1206
3(ω¯(3w=3=27,1206) ) )
w = 27,1206 d. (d)
Dạngd.
Dạng 4 (4w(ω¯4=4 (=41,7732
Dạng w41,7732) ) )
4 = 41,7732
c. Dạng
c. Dạng
3
) )
3 = 27,1206
27,1206 d. Dạngd. Dạng4 (w444=(w ) )
4 = 41,7732
41,7732
Hình10.
Hình Hình
10.Các
Các10.dạng
Các dao
dạng dạng
daođộngdaocủa
động động
củadầm củaSS
dầm dầm SS
SS
HìnhHình 10. Các10. dạng
Các dạng dao động của dầm
dao động của dầmSS SS
4. Kết4. luận
Kết luận
4. Kết luận4. Kết4. luận
Kết luận
Bài báoBàinàybáođềnày xuất
đề một
xuất hàm
một xấphàmxỉxấp mớixỉ bằng cách cách
mới bằng cải tiến cảiđa thức
tiến đa “Chebyshev
thức “Chebyshev
Bài báoBài này
báo đề
này xuất
đề một hàm
xuất một xấp xỉ
hàm xấpmới xỉ bằng
mới cách cách
bằng cải tiến cải đa
tiếnthức
đa “Chebyshev
thức “Chebyshev
Bài báoloại
nàyI” đểI”
đề
loại phân
xuất tích dao
một
để phân tíchđộng
hàm xấpđộng
dao riêng
xỉ mới của
riêng dầm
bằng FGM.
củacách
dầm cải Mô
FGM.tiếnhình
Mô đadầmthứcdựa
hình vào
dựalývào
“Chebyshev
dầm thuyết
lýloại bậc
I” để
thuyết phân
bậc
loại I” đểI”phân
loại tích dao
để phân tích động
dao độngriêngriêng
của dầmcủa dầmFGM.FGM. Mô hìnhMô dầm dầm
hình dựa vào dựalývàothuyết bậc bậc
lý thuyết
tích dao động riêng
cao hai haicủa
caobiến. dầm
Nguyên
biến. NguyênFGM. lý Mô
lý Lagrange hình
Lagrangekết hợpdầm
kết dựa
phương
hợp vào
pháplýpháp
phương thuyết
Ritz Ritzbậc
được cao
sử dụng
được sử hai biến.
để thành
dụng Nguyên
lập
để thành lập lý
caohợp
Lagrange kết hai
caobiến. Nguyên
hai biến.
phương NguyênlýRitz
Lagrange
lý được
Lagrange kết hợp
kết phương
hợp
đểxỉphươngpháp Ritz
pháp được
Ritz được sử dụng
sửchủđể đạo
dụng thành
để bài lậptoán.
thành lập
phươngphương chủpháp
trình trình đạo
chủ bàiđạotoán. Các
bài toán. sửhàm
dụng
Các xấp
hàm thành
đềxỉxuất
xấp lập
đề đượcphương
xuất trình
so sánh
được với các
so sánh vớihàmcác đahàm đaCác
phương
hàm xấp xỉthức phương
đề xuất trìnhtrình
chủ đạo
chủ bài vớitoán.
đạo bài Các hàm
toán. Các xấp POL,
hàm xỉ
xấpđềxỉxuất đượcđược
đề xuất so sánh với I”
so sánh các
với hàm
các hàmđa đa
POL,được
thức hàm so
POL, hàm sánh
“Chebyshev
“Chebyshev các
bậc hàm
I”bậc đa
CBSI thức
và hàm
I” CBSI và mũ
hàm hàmmũ“Chebyshev
HBR. Các víCác
HBR. dụ vísốbậc
được
dụ CBSI
thực
số được và hàm
hiện
thực hiện mũ
HBR. Các vàthức
ví so POL,
thức
dụvàsánh hàm
POL,
sốsođược “Chebyshev
hàm
thực “Chebyshev
hiện bậc I”
bậcCBSI
I” và
CBSI hàm
và mũ
hàm HBR.
mũ Các
HBR. ví
Cácdụ số
ví được
dụ số thực
được hiện
thực hiện
với các
sánh vớikết
các kếtvà
quả đã
quảso
công
đãsánhbố.với
công Cóbố.cácCókết
thể kết quả
kết đã
thểluận rằng,
luận công cácbố.
rằng, hàm
cácCóđề thể
hàm xuất
đềkếtrất
luận
xuất rấtrằng,
hiệu hiệu các
hàm đề xuấtvàrất
sovàhiệu
sánh với các
so sánh
quả với kết
trong các quả
việc đã
kếtphânquảcông
đã
tích bố.
công
dao Cóbố. thể
động Cókết
thểdo
tự luận
kếtdầmrằng,
luận các
rằng,
vật liệuhàm
cáccơ đề
hàmxuất
tính đề
biếnrấtthiên.
xuất hiệu
rất hiệu
quả trong việc phân
quả trong tích dao
việc phân tíchđộng
dao độngtự dotự dầm do vật
dầmliệuvậtcơ tính
liệu cơbiếntính thiên.
biến thiên.
quả trong việc việc
quả trong phânphântích dao
tích động
dao độngtự dotựdầm vật liệu
do dầm vật cơ
liệutínhcơ biến thiên.thiên.
tính biến
Lời cảm
Lời cảmơn ơn
Lời cảm ơn Lời cảm
Lời cảmơn ơn
Tác giảTácthứgiảnhất xin chân
thứ nhất thànhthành
xin chân cảm ơn cảmsựơn hỗsựtrợhỗtàitrợ chính của Trường
tài chính của TrườngĐại học Đại học
Tác giả thứ nhấtTác xingiả
Tácthứgiảnhất
chân thứ xin cảm
nhất
thành chân thành
xin chân
ơn cảm
sựthành
hỗ trợ ơntài
cảm sựơn hỗsựtrợhỗcủa
chính tàitrợchính củaĐại
tài chính
Trường Trường
củahọc Đại
Kiênhọc
Trường Đại học cho
Giang
KiênKiên
GiangGiangcho đề tài “Phân tích dao động tự do của dầm có cơ
cho đề tài “Phân tích dao động tự do của dầm có cơ tính biến thiên (FGM) tính biến thiên (FGM)
Kiên
đề tài “Phân tíchGiang
Kiên
daoGiangcho đề
động tựtài
cho dođề“Phân
tài “Phân
của dầmtíchcó daocơđộng
tích dao tự
tínhđộng dotựthiên
biến củadodầmcủa
(FGM) có cơcó
dầm sửtính
cơ
dụngbiến thiên
tínhđabiến (FGM)
thứcthiên (FGM) cải
Chebyshev
sử dụng đa thức
sử dụng Chebyshev
đa thức Chebyshev cải tiến”, mã số:
cải tiến”, mãA2020-KTCN-12
số: A2020-KTCN-12
sử A2020-KTCN-12.
tiến”, mã số: dụng đa thức
sử dụng Chebyshev
đa thức Chebyshev cải tiến”, mã số:
cải tiến”, mãA2020-KTCN-12
số: A2020-KTCN-12
89
18 18
18 18
- Nhân, N. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Tài liệu tham khảo
[1] Sayyad, A. S., Ghugal, Y. M. (2018). Modeling and analysis of functionally graded sandwich beams: a
review. Mechanics of Advanced Materials and Structures, 26(21):1776–1795.
[2] Bernoulli, J. (1964). Curvatura laminae elasticae. Ejus identitas cum curvatura Lintei a pondere inclusi
fluidi expansi. Radii circulorum osculantium in terminis simplicissimis exhibiti, una cum novis quibus-
dam theorematis huc pertinentibus. Acta Eruditorum, 113–118.
[3] Yang, Q., Zheng, B., Zhang, K., Zhu, J. (2012). Analytical solution of a bilayer functionally graded
cantilever beam with concentrated loads. Archive of Applied Mechanics, 83(3):455–466.
[4] Bernoulli, J. (1964). Curvatura laminae elasticae. Acta Eruditorum Lipsiae, 1694:262–276.
[5] Timoshenko, S. P. (1922). X. On the transverse vibrations of bars of uniform cross-section. The London,
Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 43(253):125–131.
[6] Karamanlı, A. (2018). Free vibration analysis of two directional functionally graded beams using a third
order shear deformation theory. Composite Structures, 189:127–136.
[7] Nguyen, T.-K., Nguyen, T. T.-P., Vo, T. P., Thai, H.-T. (2015). Vibration and buckling analysis of func-
tionally graded sandwich beams by a new higher-order shear deformation theory. Composites Part B:
Engineering, 76:273–285.
[8] S¸ims¸ek, M. (2010). Vibration analysis of a functionally graded beam under a moving mass by using
different beam theories. Composite Structures, 92(4):904–917.
[9] S¸ims¸ek, M. (2010). Fundamental frequency analysis of functionally graded beams by using different
higher-order beam theories. Nuclear Engineering and Design, 240(4):697–705.
[10] Thai, H.-T., Vo, T. P. (2012). Bending and free vibration of functionally graded beams using various
higher-order shear deformation beam theories. International Journal of Mechanical Sciences, 62(1):57–
66.
[11] Nhân, N. T., Dương, N. N., Kiên, N. T. (2020). Phân tích tĩnh dầm composite sử dụng lý thuyết biến dạng
cắt bậc cao hai biến. Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng (KHCNXD) - ĐHXDHN, 14(4V):54–66.
[12] Mashat, D. S., Carrera, E., Zenkour, A. M., Khateeb, S. A. A., Filippi, M. (2014). Free vibration of FGM
layered beams by various theories and finite elements. Composites Part B: Engineering, 59:269–278.
[13] Kadoli, R., Akhtar, K., Ganesan, N. (2008). Static analysis of functionally graded beams using higher
order shear deformation theory. Applied Mathematical Modelling, 32(12):2509–2525.
[14] Chakraborty, A., Gopalakrishnan, S., Reddy, J. N. (2003). A new beam finite element for the analysis of
functionally graded materials. International Journal of Mechanical Sciences, 45(3):519–539.
[15] Thẩm, V. V., Tú, T. M. (2016). Phân tích tĩnh và dao động riêng của dầm làm bằng vật liệu có cơ tính
biến thiên (FGM) theo các lý thuyết biến dạng cắt khác nhau. Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
(KHCNXD)-ĐHXDHN, 10(2):15–22.
[16] Khdeir, A. A., Reddy, J. N. (1994). Free vibration of cross-ply laminated beams with arbitrary boundary
conditions. International Journal of Engineering Science, 32(12):1971–1980.
[17] Trinh, L. C., Vo, T. P., Thai, H.-T., Nguyen, T.-K. (2016). An analytical method for the vibration and buck-
ling of functionally graded beams under mechanical and thermal loads. Composites Part B: Engineering,
100:152–163.
[18] S¸ims¸ek, M. (2009). Static analysis of a functionally graded beam under a uniformly distributed load by
Ritz method. International Journal of Engineering and Applied Sciences, 1(3):1–11.
[19] Pradhan, K. K., Chakraverty, S. (2013). Free vibration of Euler and Timoshenko functionally graded
beams by Rayleigh–Ritz method. Composites Part B: Engineering, 51:175–184.
[20] Aydogdu, M. (2006). Free Vibration Analysis of Angle-ply Laminated Beams with General Boundary
Conditions. Journal of Reinforced Plastics and Composites, 25(15):1571–1583.
[21] Aydogdu, M. (2005). Vibration analysis of cross-ply laminated beams with general boundary conditions
by Ritz method. International Journal of Mechanical Sciences, 47(11):1740–1755.
[22] Nguyen, N.-D., Nguyen, T.-K., Vo, T. P., Thai, H.-T. (2018). Ritz-Based Analytical Solutions for Bending,
Buckling and Vibration Behavior of Laminated Composite Beams. International Journal of Structural
Stability and Dynamics, 18(11):1850130.
[23] Nguyen, N.-D., Nguyen, T.-K., Nguyen, T.-N., Thai, H.-T. (2018). New Ritz-solution shape functions
90
- Nhân, N. T., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
for analysis of thermo-mechanical buckling and vibration of laminated composite beams. Composite
Structures, 184:452–460.
[24] Mantari, J. L., Canales, F. G. (2016). Free vibration and buckling of laminated beams via hybrid Ritz
solution for various penalized boundary conditions. Composite Structures, 152:306–315.
[25] Khalili, S. M. R., Jafari, A. A., Eftekhari, S. A. (2010). A mixed Ritz-DQ method for forced vibration of
functionally graded beams carrying moving loads. Composite Structures, 92(10):2497–2511.
[26] ¨
Ebrahimi, F., Barati, M. R., Omer Civalek (2019). Application of Chebyshev–Ritz method for static
stability and vibration analysis of nonlocal microstructure-dependent nanostructures. Engineering with
Computers, 36(3):953–964.
[27] Moreno-García, P., dos Santos, J. V. A., Lopes, H. (2017). A Review and Study on Ritz Method Admis-
sible Functions with Emphasis on Buckling and Free Vibration of Isotropic and Anisotropic Beams and
Plates. Archives of Computational Methods in Engineering, 25(3):785–815.
91
nguon tai.lieu . vn
