Xem mẫu
- Phản xạ và khúc xạ của sóng P đối với biên phân chia nhám
giữa hai bán không gian monoclinic
Reflection and refraction of p wave from a rough interface between two monoclinic half-spaces
Đỗ Xuân Tùng
Tóm tắt 1. Giới thiệu
Trong bài báo này tác giả xét sự phản xạ, Các bài toán với biên phân chia giữa hai miền đàn hồi xuất hiện nhiều trong thực
tế như: sự tán xạ của sóng đàn hồi [10], sự phản xạ, khúc xạ với biên phân chia
khúc xạ của sóng phẳng P đối với biên
nhám[3,5]…Khi biên phân chia có độ nhám cao thì phương pháp thuần nhất hóa
phân chia có độ nhám cao giữa hai bán
được sử dụng [2,8]. Quá trình lan truyền sóng khối và sóng mặt trong môi trường dị
không gian đàn hồi monoclinic. Sử dụng
hướng phức tạp hơn nhiều so với môi trường đẳng hướng. Vận tốc pha của các sóng
các kỹ thuật của phương pháp thuần nhất này phụ thuộc vào hướng lan truyền sóng [3]. Các bài toán lan truyền của các sóng
hóa, tác giả thay miền với biên phân chia đàn hồi được nhiều tác giả quan tâm, nếu môi trường có tính đến ứng suất trước phải
có độ nhám cao bằng một lớp vật liệu kể đến các công trình của Norris [4].Trong số các bài toán này thì bài toán phản xạ,
không thuần nhất với biên là các đường khúc xạ của các sóng có nhiều ứng dụng trong thực tế. Tuy nhiên, các tác giả mới chỉ
thẳng. Giả sử sóng tới là quasi P(qP) trong xét đối với biên phân chia phẳng [1],[3] hoặc biên phân chia có độ nhám thấp[5]. Khi
mặt phẳng x1x3, hai sóng qP và qSV được biên phân chia có độ nhám cao, các kết quả còn khá hạn chế.
sinh ra ở bán không gian trên và dưới. Các Gần đây, Vinh và các cộng sự [8] đã tìm ra phương trình thuần nhất hóa với biên
liên hệ giữa phương của dịch chuyển và phân chia có độ nhám cao dao động giữa hai đường thẳng song song. Miền với biên
lan truyền sóng được thiết lập. Biểu thức phân chia được thay bởi 1 lớp không thuần nhất với biên phân chia là phẳng. Do đó,
hệ số phản xạ, khúc xạ của các sóng qP và bài toán phản xạ, khúc xạ của sóng đối với biên phân chia có độ nhám cao được đưa
qSV cũng được tìm ra. về bài toán phản xạ, khúc xạ đối với lớp kẹp giữa hai bán không gian. Mục tiêu chính
Từ khóa: phản xạ, khúc xạ, biên phân chia độ trong bài báo này là nghiên cứu sự phản xạ, khúc xạ của sóng P đối với biên phân
nhám cao chia có độ nhám cao giữa 2 miền đàn hồi monoclinic. Mối liên hệ giữa phương dịch
chuyển và phương lan truyền sóng được thiết lập. Các hệ số phản xạ, khúc xạ được
tìm ra và chúng có nhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế.
Abstract
In this paper, the reflection and refraction of a 2. Hệ các phương trình cơ bản và mối liên hệ giữa phương dịch chuyển và
phương lan truyền sóng
plane wave at a rough interface between two
monoclinic half-spaces have been considered Xét vật thể đàn hồi thuần nhất dị hướng monoclinic với mặt phẳng đối xứng trùng
by the author. By standard techniques of the với mặt phẳng x1x3. Trạng thái biến dạng phẳng với các thành phần chuyển dịch có
homogenized method, the author replaces dạng như sau:
the domain with the rough interface with ∂ui
= ui ui ( x1, x3 , t ); = ≡ 0;(i 1,3)
a material layer with an interface are two ∂x2
(1)
straight lines. It has been assumed that due to
the incidence of a plane quasi-P (qP) wave in Mối liên hệ giữa ứng suất với các thành phần chuyển dịch có dạng [1]
the plane, two types of waves, namely, quasi-P σ11 =c11u1,1 + c13u3,3 + c15 (u1,3 + u3,1 )
(qP) and quasi-SV (CSV), will be generated in σ13 =c15u1,1 + c35u3,3 + c55 (u1,3 + u3,1 ) (2)
the lower half-space whereas qP and CSVCSV
σ 33 =c13u1,1 + c35u3,3 + c35 (u1,3 + u3,1 )
waves will be generated in the upper half-
space half-space. Some specific relations have Phương trình chuyển động bỏ qua lực khối:
been established between directions of motion
and propagation, respectively. The expressions ∂σ ij ∂ 2ui
=ρ
for reflection coefficients of qP, CSV, and ∂x j ∂t 2
(3)
refracted coefficients of qP and CSVCSV waves
Thay (2) vào (3) ta được hệ phương trình đối với các thành phần chuyển dịch,
are obtained.
cụ thể
Key words: reflection, refraction, rough
interface ∂ 2u1 ∂ 2u1 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u3 ∂ 2u ∂ 2u
c11 + 2c15 + c55 21 + c15 23 + (c55 + c13 ) + c35 23 =ρ 21
∂x12 ∂x1∂x3 ∂x3 ∂x1 ∂x1∂x3 ∂x3 ∂t
TS. Đỗ Xuân Tùng (4)
∂ 2u1 ∂ 2u1 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u3 ∂ 2u ∂ 2u
Bộ môn Cơ học lý thuyết, c15 + (c13 + c55 ) + c35 21 + c55 23 + 2c35 + c33 23 =ρ 23
∂x12 ∂x1∂x3 ∂x3 ∂x1 ∂x1∂x3 ∂x3 ∂t
Khoa Xây dựng
ĐT: 0984.468.136 Gọi p1, p3 là các thành phần của véc tơ lan truyền sóng, c là vận tốc pha, k là số
Email: tungdx2783@gmail.com sóng của các sóng lan truyền trong mặt phẳng x1x3.
Nghiệm của (4) được tìm dưới dưới dạng sau:
Ngày nhận bài: 5/10/2019
Ngày sửa bài: 25/10/2019 = u1 A d1 exp[ik ( x p + x p − ct )]
u d 1 1 3 3
Ngày duyệt đăng: 9/3/2022 3 3 (5)
S¬ 44 - 2022 57
- KHOA H“C & C«NG NGHª
Các sóng tới, sóng phản xạ, khúc xạ có dạng sau [1,3,7]
u1i Ri1 i i
= u i Ri 3 exp[iki ( x1 p1 + x3 p3 − cit )]
3 (12)
với i=0,1,2,3,4 lần lượt tương ứng là sóng tới P, phản xạ
P, phản xạ SV, khúc xạ P và khúc xạ SV. Ri1; Ri3 là các thành
phần của biên độ sóng Ri tương ứng = ( Ri Ri21 + Ri23 ). Các
vận tốc sóng ci được xác định từ (10) với các giá trị U, V, Z
trong (8) lấy giá trị (+), (-) tương ứng với miền Ω(+) và Ω(-).
Theo quy luật Snell [1] ta có
0 sin θ 0 k
k= =1 sin θ1 k=
2 sin θ 2 k=
3 sin θ3 k=
4 sin θ 4 ξ1 (13)
trong đó θi là các góc tạo bởi phương truyền sóng và trục
x3 của các sóng.
Theo Vinh và cộng sự [8], bài toán phản xạ, khúc xạ của
sóng đối với biên phân chia có độ nhám cao dẫn đến bài
toán phản xạ, khúc xạ đối với lớp không thuần nhất kẹp giữa
Hình 1: Sự phản xạ, khúc xạ của sóng P đối với biên 2 bán không gian (Hình 2). Các phương trình đối với chuyển
phân chia nhám dịch của lớp giữa có dạng [8]
c11u1,11 + c15u1,13 + (c15u1,1 ),3 + (c55u1,3 ),3 + c15u3,11 +
Ở đây d1, d3 là các thành phần của véc tơ dịch chuyển + (c55u3,1 ),3 + mu3,13 + (nu3,3 ),3 = ρ u1
c u + c u + (mu ) + (nu ) + c u
đơn vị. Thay (5) vào (4) dẫn đến 15 1,11 55 1,13 1,1 ,3 1,3 ,3 515 3,11 +
c11d1 p12 + 2c15d1 p1 p3 + c55d1 p32 + c15d3 p12 + + (nu3,1 ),3 + nu3,13 + (qu3,3 ),3 = ρ u3
(14)
+ (c55 + c13 )d3 p1 p3 + c35d3 p32 =
ρ c 2d1 trong đó
c15d1 p12 + (c13 + c55 )d1 p1 p3 + c35d1 p32 + c55d3 p12 + cij 2
cij
= /=
d ; d c11c 55 −c15 ;
+ 2c35d3 p1 p3 + c33d3 p32 =
ρ c 2 d3 d
(6)
2
Hệ phương trình (6) có thể viết lại dưới dạng sau = d c11 / d c55 / d − c15 / d ;
=a (c55c13 − c15c35 ) / d ;
(U − ρ c 2 )d1 + Vd3 =
0
2 =b (c11c35 − c15c13 ) / d ;
Vd1 + ( Z − ρ c )d3 =
0
(7) 2 2
q = c33 − (c11c35 + c55c13 − 2c13c15c35 ) / d +
trong đó
2 2
+ a c11 + 2 a b c15 + b c55 ;
c11 p12 + 2c15 p1 p3 + c55 p32 ;
U=
=m c11 a + c15 b ;
V = c15 p12 + (c13 + c55 ) p1 p3 + c35 p32 ; (8)
=n c15 a + c55 b
c55 p12 + 2c35 p1 p3 + c33 p32
Z=
Nghiệm của (14) được tìm dưới dạng [7,9]
Điều kiện để hệ (7) có nghiệm không tầm thường dẫn
đến phương trình xác định các vận tốc sóng, cụ thể[3,5] =
= {
u1 v1 ( x3 )exp[i (ξ1 − ωt )]
u3 v3 ( x3 )exp[i (ξ1 − ωt )]
(15)
ρ 2c 4 − (U + Z ) ρ c 2 + (UZ − V 2 ) = 0 (9)
Thay (15) vào (14) và dùng các hàm mới Y=Y(y1;y2;y3;y4)
Nghiệm của (9) có dạng [3,5] với
2 2 2 1/2
2 ρ c ( p1, p3 ) = (U + Z ) + [(U − Z ) + 4V ] (a ) y1 = c15v1iξ + c55v1,3 + c55v3iξ + nv3,3
2 2 2 1/2 y2 =qv3,3 + niξ v3 + miξ v1 + nv1,3
2 ρ c ( p1, p3 ) = (U + Z ) − [(U − Z ) + 4V ] (b) (10)
y3 = v1
Biểu thức vận tốc sóng (10a), (10b) tương ứng với vận y4 = v3
(16)
tốc sóng của sóng P, SV. Hơn nữa chúng ta còn có mối liên
hệ giữa 2 thành phần của véc tơ dịch chuyển sau dẫn đến phương trình vi phân
dY ( x3 )
d1 V ρc2 − Z = D( x3 )Y ( x3 )
= = dx3
d3 ρ c 2 − U V
(11)
Từ đó chúng ta có nghiệm là trường chuyển dịch, ứng
3. Sự phản xạ, khúc xạ của sóng P đối với biên phân suất của lớp giữa. Tiếp theo ta biểu diễn trường chuyển dịch,
chia có độ nhám cao ứng suất của các bán không gian Ω(+) và Ω(-) kết hợp với điều
Xét 2 bán không gian thuần nhất dị hướng monoclinic Ω (+) kiện liên tục tại x3=0; x3=h và ma trận chuyển T ta thu được
và Ω(-) được phân chia bởi biên phân chia nhám (như Hình hệ các phương trình xác định hệ số phản xạ, khúc xạ của
1) nằm trong mặt phẳng x1x3. Cho sóng tới P đến biên phân các sóng [7]. Cụ thể là:
chia. Sóng tới P khi tới biên phân chia sẽ sinh ra các sóng Đối với bán không gian trên Ω(+):
phản xạ, khúc xạ P và SV.
58 T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG
- u1+ = u10 + u12 + u12 ; u3+ = u30 + u32 + u32
Đối với bán không gian dưới Ω(-):
u13 u14 ; u3− =+
u1− =+ u33 u34
Dựa vào biểu thức nghiệm (12) cho từng sóng, ta được
v1 (0) = R01 + R11 + R21; v3 (0) = R03 + R13 + R23 ;
=v1 (h) R31 exp[ik3 p33h] + R41 exp[ik4 p34 h];
=v3 (h) R33 exp[ik3 p33h] + R43 exp[ik4 p34 h];
v1,3 (0)= i ( R01k0 p30 + R11k1 p13 + R21k2 p32 )
v3,3 (0)= i ( R03k0 p30 + R13k1 p13 + R23k2 p32 );
v1,3 (h) = i ( R31k3 p33 exp[ik3 p33h] + R41k4 p34 exp[ik4 p34 h]);
=v3,3 (h) i ( R33k3 p33 exp[ik3 p33h] + R43k4 p34 exp[ik4 p34 h])
(17)
Thay (17) vào (16) ta được Hình2: Sự phản xạ, khúc xạ của sóng P đối với lớp
y1 (0) a1R13 + a2 R23 + a3 không thuần nhất kẹp giữa 2 bán không gian đàn hồi
+ y2 (0) a4 R13 + a5 R23 + a6 monoclinic
Y (0) =
= a R + a R + a ;
y (0)
3 7 13 8 23 9
y3 (0) a10 R13 + a11R23 + a12
(18)
y1 (h) b1R33 + b2 R43 c1 c2 b1 b2 R13 c3
− y2 ( h ) b3 R33 + b4 R43 c4 c5 b3 b4 R23 c6
Y (h) =
= b R + b R =
y ( h) c c8 b5 b6 R33 c9
3 5 33 6 43 7
y3 (h) b7 R33 + b8 R43 c10 c11 b7 b8 R43 c12
(20)
ở đây trong đó
a1= +
c15 iξ F1 + c55+
iF1k1p13 + c55+
iξ + ik1p13 ; −(a1T11 + a4T12 + a7T13 + a10T14 );
c1 =
a2= +
c15 iξ F2 + c55+
ik2 F2 p32 + c55
+
iξ + ik2 p32 ; −(a2T11 + a5T12 + a8T13 + a11T14 );
c2 =
c3 = (a3T11 + a6T12 + a9T13 + a12T14 );
a=
3
+
(c15 iξ F0 + c55+
ik0 p30 F0 + c55
+
iξ + ik0 p30 ) R03 ;
−(a1T21 + a4T22 + a7T23 + a10T24 );
c4 =
a4
= +
c33 ik1 p13 + iξ + c13+
iξ F2 + ik1 p13 F2 ;
−(a2T21 + a5T22 + a8T23 + a11T24 );
c5 =
a5
= +
c33 ik2 p32 + iξ + c13 +
iξ F2 + ik2 p32 F2 ; c6 = (a3T21 + a6T22 + a9T23 + a12T24 );
a=
6 (iξ + c33 +
ik0 p30 + c13+
iξ F0 + ik0 p30 F0 ) R03 ; −(a1T31 + a4T32 + a7T33 + a10T34 );
c7 =
7 F1; a
a= =8 F2 ; a
=9 F0 R03 ; a=
10 a= 12 1;
11 a= −(a2T31 + a5T32 + a8T33 + a11T34 );
c8 =
− − 3 − 3 3
1 (c15iξ F3 + c55ik3 p3 F3 + c55iξ + ik3 p3 )exp[ik3 p3 h];
b= c9 = (a3T31 + a6T32 + a9T33 + a12T34 );
b= −
(c15 iξ F4 + c55−
ik4 p34 F4 + c55
−
iξ + ik4 p34 )exp[ik4 p34h]; −(a1T41 + a4T42 + a7T43 + a10T44 );
c10 =
2
−(a2T41 + a5T42 + a8T43 + a11T44 );
c11 =
=b3 −
(c33 ik3 p33 + iξ + c13
−
iξ F3 + ik3 p33 F3 )exp[ik3 p33h];
c12 = (a3T41 + a6T42 + a9T43 + a12T44 );
=b4 −
(c33 ik4 p34 + iξ + c13−
iξ F4 + ik4 p34 F4 )exp[ik4 p34h];
3 4 Do đó các hệ số R13; R23; R33; R43 được xác định bới
=b5 F=3 exp[ik3 p3 h]; b6 F3 exp[ik4 p3 h];
−1
=b7 exp[
= ik3 p33h]; b8 exp[ik4 p34 h] R13 c1 c2 b1 b2 c3
R23 c4 c5 b3 b4 c6
R = c c8 b5 b6 c
Dùng điều kiện liên tục [7,9] 33 7 9
R43 c10 c11 b7 b8 c12 (21)
Y − (h) = TY + (0) (19)
Cuối cùng, các hệ số phản xạ, khúc xạ của các sóng P,
ở đây T là ma trận chuyển SV tương ứng là
T11 T12 T13 T14
2 2 R V
T T22 T23 T24 R1 =R11 + R13 ; F1 =11 =+ 21 ;
T = 21 R13 ρ c1 − U1
T T32 T33 T34
31
T41 T42 T43 T44 2
R2 =R21 2
+ R23
R V
; F =21 = + 2 2 ;
R23 ρ c2 − U 2
với các phần tử Tij được xác định Vinh và các cộng sự [9]. (22)
2 2 R V
Thay (18) vào (19) ta được hệ 4 phương trình với 4 ẩn R3 =R31 + R33 ; F3 =31 =+ 2 3 ;
số R13; R23; R33; R43 R33 ρ c3 − U 3
2 2 R V
R4 =R41 + R43 ; F4 =41 =+ 2 4
R43 ρ c4 − U 4
(xem tiếp trang 63)
S¬ 44 - 2022 59
- 3) Khi biên phân chia độ nhám cao có dạng hình răng 4. Kết luận
cưa (Hình 3): Sử dụng phương pháp thuần nhất hóa, tác giả đã thu
Các hệ số của phương trình (18) không phải là các hằng được các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện đối với
số mà là hàm của x3 và có dạng như sau: biên phân chia độ nhám cao giữa hai miền nhiệt đàn hồi
x3 x đẳng hướng. Các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện
ϕ =
(1 + )ϕ+ − 3 ϕ− và các điều kiện liên tục tương ứng được viết cụ thể dưới
A A (23) dạng thành phần. Ý nghĩa của phương pháp thuần nhất hóa
4) Khi biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin là thay miền chứa biên phân chia độ nhám cao bằng một lớp
(Hình 4): không thuần nhất với biên là phẳng. Như vậy các kết quả
thu được rất thuận lợi để xét bài toán phản xạ, khúc xạ của
Các hệ số của phương trình (18) có dạng sau:
sóng đối với biên phân chia độ nhám cao trong môi trường
1 2 1 2 nhiệt đàn hồi đẳng. Các nghiên cứu tiếp theo có thể mở rộng
ϕ =
[1 − arccos(1 + x3 )]ϕ+ + arccos(1 + x3 )]ϕ−
π A π A (24) sang các môi trường phức tạp hơn như monoclinic hoặc dị
hướng tổng quát./.
T¿i lièu tham khÀo 5. P.C. Vinh, VTN Anh, DX Tung, NT Kieu., Homogenization of very
rough interfaces for the micropolar elasticity theory. Applied
1. Abubakar, I., Scattering of plane elastic waves at rough surfaces-I. Mathematical Modelling, 54, (2018), 467-482.
Proc. Camb. Phil. Soc. 58, (1962), 136–157.
6. N. R. Chakraborty, M. C. Singh, Reflection and refraction of a
2. Singh, S. S., Tomar, S. K., qP-wave at a corrugated interface plane thermoelastic wave at a solid–solid interface under perfect
between two dissimilar pre-stressed elastic half-spaces, J Sound boundary condition, in presence of normal initial stress. Applied
Vibr. 317, (2008), 687-708. Mathematical Modelling, 35, (2011), 5286-5301.
3. Nevard J., and Keller J. B., Homogenization of Rough Boundaries 7. Baljeet Singh, Reflection of plane waves at the free surface of a
and Interfaces, SIAM J.Appl. Math., 57, (1997), 1660-1686. monoclinic thermoelastic solid half-space, European Journal of
4. Vinh, P. C., Tung, D. X., Homogenized equations of the linear Mechanics – A/Solids, 29 (5), (2010), 911-916.
elasticity in two-dimensional domains with very rough interfaces, 8. Baljeet Singh, On the theory of generalized thermoelasticity for
Mech. Res. Comm. 37, (2010), 285-288. piezoelectric materials, Applied Mathematics and Computation,
171, (2005), 398-405.
Phản xạ và khúc xạ của sóng P đối với biên phân chia nhám...
(tiếp theo trang 59)
4. Kết luận xạ với lớp không thuần nhất kẹp giữa 2 bán không gian với
Trong bài báo này, dựa trên phương trình thuần nhất hóa biên phân chia là phẳng. Kết hợp giữa ma trận chuyển của
thu được trong [8] khi thuần nhất hóa biên phân chia có độ lớp giữa và điều kiện liên tục tại các mặt biên dẫn đến biểu
nhám cao trong miền 2 chiều của 2 bán không gian đàn hồi thức xác định hệ số phản xạ, khúc xạ của các sóng khi biết
monoclinic, bài toán phản xạ, khúc xạ của sóng P tới biên các đặc trưng của sóng tới P. Kết quả đạt được có nhiều ý
phân chia có độ nhám cao dẫn đến bài toán phản xạ, khúc nghĩa trong tính toán thực tế./.
T¿i lièu tham khÀo 6. Thomson, Transmission of elastic waves through a stratified solid
medium, J. Appl. Phys., 21 (1950), 89-93.
1. Achenbach.J.D, Wave propagation in Elastic Solids, North-
Holland Publishing Company, Amsterdam-New York-Oxford, 7. Tung.D.X, Kieu.N.T, Thang.L.T, Relection and transmission of
1973. qP waves through an orthotropic layer sandwiched between two
half-spaces.Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol. 40, No. 2
2. Bensoussan, A., Lions, J. B., Papanicolaou, J., 1978. Asymptotic (2018), pp. 171 – 180
analysics for periodic structures, North- Holland, Amsterdam.
8. Vinh, P. C., Tung, D. X., 2010, Homogenized equations of the
3. Chattopadhyay A, Rlk Venkateswarlu and S Saha., Reflection of linear elasticity in two-dimensional domains with very rough
quasi-P and quasi-SV waves at the free and rigid boundaries of a interfaces, Mech. Res. Comm. 37, 285-288.
fibre-reinforced medium, Sadhana Vol. 27, Part 6, December 2002,
pp. 613–630. © Printed in India 9. Pham Chi Vinh, Tran Thanh Tuan, Marcos A. Capistran, 2015, ''
Explicit formulas for the reflection and transmission coefficients of
4. Norris, A.N., 1983, Propagation of plane waves in a pre-stressed one-component waves through a stack of an arbitrary number of
elastic media, J. Acoust. Soc.Am. 74, 1642-1643. layers '', Wave Motion, Volume 54, Pages 134–144.
5. Singh, S. S., Tomar, S. K., 2008. qP-wave at a corrugated 10. Zaki K. A., Neureuther, A. R., 1971. Scattering from a perfectly
interface between two dissimilar pre-stressed elastic half-spaces, J conducting surface with a sinusoidal hight profile: TE
Sound Vibr. 317, 687-708. polarization, IEEE Trans. Atenn. Propag. 19(2), 208-214.
S¬ 44 - 2022 63
nguon tai.lieu . vn
