Xem mẫu
- 68 Lương Quốc Tuyển, Hồ Quốc Trung, Lê Văn Có
MỘT SỐ TÍNH CHẤT BẢO TỒN TRÊN SIÊU KHÔNG GIAN
SOME PRESERVED PROPERTIES ON A HYPERSPACE
Lương Quốc Tuyển1, Hồ Quốc Trung2*, Lê Văn Có2
1
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng
2
Sinh viên Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng
*Tác giả liên hệ: qt08102000@gmail.com
(Nhận bài: 26/7/2021; Chấp nhận đăng: 20/9/2021)
Tóm tắt - Good và Macías [1] đã chứng minh được sự bảo tồn của Abstract - Good and Macísas [1] have proved the preservation of
một số tính chất topo từ một không gian topo lên không gian tích đối some topological properties from a topological space to its n -fold
xứng cấp n của nó. Cụ thể, nếu một không gian topo có họ bảo tồn symmetric product space. In particular, if a topological space has
bao đóng, thì không gian tích đối xứng cấp n của nó cũng có một họ a closure-preserving family, its n -fold symmetric product space
bảo tồn bao đóng. Trong bài báo này, nhóm tác giả nghiên cứu về also has a closure-preserving one. In this paper, the authors study
không gian Hausdorff, họ hữu hạn trên các tập con compact và mối on Hausdorff space, finite family on compact subsets, and the
quan hệ giữa không gian topo X và siêu không gian gồm các tập con relation between a topological space X and its hyperspace of
hữu hạn ( X ) của nó. Nhờ đó, đã chứng được minh được các kết finite subsets ( X ). The following results are proved: (1) If X is
quả mới như sau: (1) Nếu X là một không gian Hausdorff, thì siêu a Hausdorff space, then the hyperspace ( X ) is also a Hausdorff
không gian ( X ) cũng là một không gian Hausdorff; (2) Nếu không one; (2) If space X has a finite family on the compact subsets,
gian X có họ hữu hạn trên các tập con compact, thì siêu không gian then the hyperspace ( X ) also has a finite one on the compact
( X ) cũng có họ hữu hạn trên các tập con compact. subsets.
Từ khóa - Tích đối xứng; siêu không gian; không gian Hausdorff; Key words - Symmetric product; hyperspace; Hausdorff space;
tập compact; họ hữu hạn trên các tập con compact compact set; finite family on compact subsets
1. Giới thiệu Trong bài báo này, nhóm tác giả sử dụng một số ký hiệu:
Năm 1931, Borsulk và Ulam [2] đã giới thiệu khái niệm
không gian tích đối xứng cấp n của không gian topo và đã
= {0, 1, 2, 3, ...}, *
= {1, 2, 3, ...},
đưa ra một số tính chất quan trọng của nó. Trong những | A | là lực lượng của tập hợp A. Giả sử là họ nào
năm gần đây, nhiều tác giả trên thế giới đã quan tâm nhiều đó gồm các tập con của không gian topo X , ký hiệu
đến bài toán về sự bảo toàn các tính chất topo lên không
gian tích đối xứng cấp n của nó. Nhờ đó, các tác giả đã thu = U : U .
được nhiều kết quả thú vị (xem [1-7]). Cụ thể, năm 2016,
Good và Macías [1] đã chứng minh được sự bảo tồn của 2. Cơ sở lí thuyết và phương pháp nghiên cứu
một số tính chất topo từ một không gian topo lên không 2.1. Cơ sở lí thuyết
gian tích đối xứng cấp n của nó, và nếu X là một không Giả sử X là một không gian topo. Ta đặt
gian topo có một họ bảo tồn bao đóng, thì không gian tích
đối xứng cấp n của nó cũng có một họ bảo tồn bao đóng. (1) CL( X ) {A X : A đóng và khác rỗng };
Gần đây, Tuyển và Tuyên [7] đã đưa ra kết quả rằng, nếu (2) 2 X {A CL( X ) : A compact };
X là một không gian topo có cn-mạng (tương ứng,
ck-mạng) có tính chất σ-(P), thì không gian tích đối xứng (3) n (X ) {A 2 X : | A | n};
cấp n của nó cũng có cn-mạng (tương ứng, ck-mạng) có
tính chất σ-(P). (4) (X ) {A 2 : A hữu hạn }.
X
Trong bài báo này, nhóm tác giả nghiên cứu về mối Chúng ta trang bị cấu trúc topo Vietoris trên không gian
quan hệ giữa một số tính chất mạng trên không gian topo CL( X ) với cơ sở
X và tính chất mạng trên siêu không gian ( X ) gồm các
= U1 , , U s : U1 , ..., U s là các tập mở của
tập con hữu hạn của nó. Nhờ đó, đã chứng minh được rằng,
nếu X là không gian Hausdorff, thì siêu không gian ( X ) X, s *
,
cũng là không gian Hausdorff và nếu X là không gian trong đó
Hausdorff có một họ hữu hạn trên tập con compact, thì siêu
s
không gian ( X ) cũng là không gian Hausdorff có một họ
U1 , ,U s A CL( X ) : A Ui , A Ui , i s
hữu hạn trên các tập con compact. i 1
1
The University of Danang - University of Science and Education (Luong Quoc Tuyen)
2
Student Faculty of Mathematics, The University of Danang - University of Science and Education (Ho Quoc Trung, Le Van Co)
- ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 20, NO. 3, 2022 69
Như vậy, n(X ) và ( X ) là các không gian con của E X = U ( X \{x}).
CL( X ) với topo cảm sinh từ topo Vietoris. Khi đó, Mặt khác, bởi vì
(1) n(X ) được gọi là không gian tích đối xứng cấp n E U = {x} ,
của X . E ( X \{x})
(2) ( X ) được gọi là siêu không gian gồm các tập con
nên là lân cận mở của E trong ( X ).
hữu hạn của X .
= V (X ) là lân cận mở của F trong ( X ).
Rõ ràng rằng (X ) (X ) và
n 1
n
= .
n (X ) n 1 ( X ) với mọi n *
. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng . Khi đó, ta
lấy A . Bởi vì A nên ta suy ra A V . Mặt
Bây giờ, giả sử U1 , , U s là các tập mở trong X . Khi
khác, vì A nên ta có A U , kéo theo
đó, ta ký hiệu
U V . Điều này mâu thuẫn với U V = .
U1 , ,U s U1 , ,U s ( X ).
(X ) Định lí 3.1.2. Giả sử X là không gian topo Hausdorff.
Như vậy, topo trên ( X ) có cơ sở Khi đó, nếu là một họ CF trong X, thì
= U1, ,U s (X )
: U1, ..., U s mở trong X , s
*
.
U = U1 ,,U r (X )
: Ui , 1 i r, r *
Định nghĩa 2.1.1 ([4]). Giả sử X là một không gian là một họ CF trong ( X ).
topo và là họ nào đó gồm các tập con của X . Khi đó, Chứng minh. Bởi vì X là không gian Hausdorff nên
được gọi là họ hữu hạn trên các tập con compact của theo Bổ đề 3.1.1 ta suy ra rằng, ( X ) cũng là một không
X (viết tắt là CF) nếu với mọi tập con compact K X , gian Hausdorff. Bây giờ, giả sử là một tập con compact
ta có U K : U là họ hữu hạn. trong ( X ). Khi đó, theo Bổ đề 2.1.2 ta suy ra K =
Bổ đề 2.1.2 ([1]). Nếu là tập con compact trong là tập con compact của X . Bởi vì là họ CF trong X
( X ), thì là tập con compact trong X . nên tồn tại tập hữu hạn sao cho
2.2. Phương pháp nghiên cứu {U K : U } = {Ki : i }.
Nhóm tác giả sử dụng phương pháp nghiên cứu lý Với mỗi i , ta đặt
thuyết trong quá trình thực hiện bài báo; Nghiên cứu các
= {U : U K = Ki },
bài báo của các tác giả đi trước và sử dụng cách tương tự i
hóa, khái quát hóa để đưa ra những kết quả mới cho mình. và với mỗi , ta đặt
3. Kết quả và đánh giá
U = U1,,U r (X )
: với mỗi i r , tồn tại j
3.1. Kết quả
sao cho U i j, và với mỗi j , tồn tại i s sao cho
Bổ đề 3.1.1. Nếu X là một không gian Hausdorff, thì
( X ) cũng là không gian Hausdorff. Ui j .
Chứng minh. Giả sử E , F ( X ) sao cho E F . Bởi Khi đó, ta thu được U = 1.
vì E F nên không giảm tổng quát ta giả sử rằng tồn tại Thật vậy, giả sử rằng
x E \ F. Bởi vì F là tập hữu hạn và X là không gian
U1 ,,U s ( X ) , V1 ,,Vr Ui ,
Hausdorff nên tồn tại các lân cận mở U của x và V của (X )
F trong X sao cho U V = . F U1 ,,U s (X ) .
Trường hợp 1: Nếu E = {x}, thì ta lấy = U (X ) Khi đó, ta có
và = V (X ). Khi đó, rõ ràng rằng là lân cận mở của F K;
E và là lân cận mở của F trong ( X ) thỏa mãn Giả sử x F , khi đó bởi vì
= . F {U i : i s}
Trường hợp 2: Nếu E {x}, thì ta đặt nên ta suy ra, tồn tại i s sao cho x U i . Bởi thế, tồn tại
= U , X \{x} ( X ) ; = V ( X ) . j sao cho Ui và tồn tại k r sao cho Vk
j, j.
Khi đó, Như vậy, ta có
là lân cận mở của E trong ( X ). x U i K = Vk K ,
Thật vậy, rõ ràng rằng mở trong ( X ) và kéo theo F {V j : j r}.
- 70 Lương Quốc Tuyển, Hồ Quốc Trung, Lê Văn Có
Giả sử i r , khi đó tồn tại j sao cho Vi j,
4. Kết luận
và tồn tại k s sao cho U k Ta có Trong những năm gần đây, một số tác giả trên thế giới
j.
quan tâm nhiều đến sự bảo toàn tính chất topo lên các siêu
Vi K = U k K . không gian của nó và đã thu được nhiều kết quả thú vị.
Trong bài báo này, nhóm tác giả đã nghiên cứu về các tính
Bởi vì F U1 ,,U s nên ta có
(X ) chất của họ hữu hạn trên các tập con compact trong không
F (Vi K ) , gian topo và trong siêu không gian. Nhờ đó, đưa ra các kết
quả mới rằng, nếu X là không gian topo Hausdorff có một
kéo theo F U k . Như vậy, F V1 ,,Vr (X ), do họ hữu hạn trên tập con compact, thì siêu không gian
đó ta có ( X ) cũng là không gian Hausdorff có một họ hữu hạn
U1 ,,U s (X ) V1 ,,Vr (X ) . trên các tập con compact.
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được rằng TÀI LIỆU THAM KHẢO
V1 ,,Vr (X ) U1 ,,U s (X ) . [1] C. Good and S. Macías, “Symmetric products of generalized metric
spaces”, Topology and its applications, vol. 206, pp. 93–114, 2016.
Từ chứng minh trên ta thu được [2] K. Borsuk and S. Ulam, “On symmetric products of topological
V1 ,,Vr (X ) = U1 ,,U s (X ) . spaces”, Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 37,
no. 12, pp. 875–882, 1931.
Cuối cùng, bởi vì hữu hạn nên : là tập [3] E. Michael, “Topologies on Spaces of Subsets”, Transactions of the
American Mathematical Society, vol. 71, no. 1, pp. 152–182, 1951.
hữu hạn. Do đó, với mọi i s, s *
, ta có [4] R. Engelking, General topology, Rev. and completed ed. Berlin:
Heldermann, 1989.
U1,,U s (X ) : U1 ,,U s (X ) U [5] L.-X. Peng and Y. Sun, “A study on symmetric products of
generalized metric spaces”, Topology and its applications, vol. 231,
= U : pp. 411–429, 2017.
[6] Z. Tang, S. Lin, and F. Lin, “Symmetric products and closed finite-
là tập hữu hạn. Như vậy, U là họ CF trong ( X ). to-one mappings”, Topology and its Applications, vol. 234,
pp. 26–45, 2018.
3.2. Đánh giá [7] L. Q. Tuyen and O. V. Tuyen, “On the fold symmetric product of a
Nhóm tác giả nghiên cứu một số tính chất topo được space with a property network (network)”, Commentationes
bảo toàn từ không gian topo X lên siêu không gian gồm Mathematicae Universitatis Carolinae, vol. 61, no. 2, pp. 257-263,
2020.
các tập con hữu hạn ( X ) của nó. Nhờ đó, đã đưa ra và [8] J. Yang and S. Lin, “The closed finite-to-one mappings and their
chứng minh được một kết quả mới được thể hiện ở Định applications”, Applied Mathematics-A Journal of Chinese
lí 3.1.2. Universities, vol. 34, no. 2, pp. 149–161, 2019.
nguon tai.lieu . vn
