Xem mẫu
- Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển
Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 93-97, DOI 10.15625/vap.2019000262
Một số phương pháp điều khiển hệ cơ có mô hình
Euler-Lagrange bất định
Nguyễn Doãn Phước(1,*), Nguyễn Hoài Nam(1)
(1)
Bộ môn Điều khiển Tự động – Viện Điện, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
(*)
E-mail: phuoc.nguyendoan@hust.edu.vn
Tóm tắt 2. Mô hình chứa vector gồm m tham số hằng không
Bài báo cáo này giới thiệu một số phương pháp điều khiển cho xác định được chính xác, còn gọi là mô hình bất định
hệ cơ có mô hình Lagrange bất định cả về tham số và cấu trúc. tham số:
Các phương pháp giới thiệu ở đây được phát triển từ những M (q , )q C (q ,q, )q g (q , ) u , (2)
phương pháp đã có. Kỹ thuật phát triển ở đây khá đơn giản, dựa
trong đó 1, ,m là các hằng số bất định.
T
trên nền tuyến tính từng đoạn dọc trục thời gian và tối ưu hóa
từng đoạn để bù bất định, song lại mang tính hiệu quả ứng dụng Ở loại mô hình này, bên cạnh hai các tính chất đối
rất cao. Điều đó được bài báo chứng thực thông qua kết quả mô xứng xác định dương và phản đối xứng của
phỏng trên một vài hệ robot. M (q ),C (q ,q) , thì sự phụ thuộc của vào mô hình
là tuyến tính, tức là luôn tồn tại một ma trận
Từ khóa: Tối ưu hóa từng đoạn trên trục thời gian, tuyến tính F (q ,q,q) kiểu n m để có [2, 4]:
hóa từng đoạn, ổn định ISS. M (q , )q C (q ,q, )q g (q , ) F (q ,q,q) . (3)
3. Mô hình chứa vector gồm n tham số hàm không
1. Mở đầu xác định được (còn gọi là mô hình bất định cấu trúc):
M (q )q C (q ,q)q g (q ) u (q ,q,q,t ) , (4)
Để điều khiển một đối tượng bất kỳ người ta cần phải
với 1, ,n
T
biết thông tin về đối tượng điều khiển đó. Thông tin tạm là vector các hàm bất định.
được xem là tương đối đầy đủ cho việc phân tích và điều 4. Mô hình vừa bất định tham số, vừa bất định cấu trúc:
khiển, tức là đủ cho việc thiết kế được bộ điều khiển,
M (q , )q C (q ,q, )q g (q , ) u (q ,q,q,t ) . (5)
được hiểu là mô hình toán. Tuy nhiên, không thể và cũng
không bao giờ hy vọng là sẽ có được một mô hình toán Đã có rất nhiều phương pháp phân tích và thiết kế bộ
mô tả chính xác tuyệt đối đối tượng điều khiển. Nói cách điều khiển cho những dạng mô hình Euler-Lagrange trên
khác, giữa mô hình toán và đối tượng luôn tồn tại một sai được công bố trong nhiều năm qua. Đơn cử là tuyến tính
lệch. Bởi vậy khi phân tích hay thiết kế bộ điều khiển hóa chính xác, hay còn gọi là bù trọng trường, và tuyến
luân phải lưu ý tới các sai lệch này. tính hóa chính xác thích nghi theo nguyên tắc giả định rõ
Những sai lệch mô hình chính có thể biểu diễn hoặc giới thiệu ở [2], điều khiển trượt và ổn định ISS [2, 3],
thông qua tham số bất định của mô hình, hoặc thông qua điều khiển thụ động [4].
các thành phần nhiễu thay đối cấu trúc mô hình. Các Bài báo này sẽ dựa trên một số các phương pháp cơ
dạng mô hình toán như vậy được gọi là mô hình bất định. bản đó để phân tích và phát triển lên thành phương pháp
Đối với các hệ cơ đủ cơ cấu chấp hành mà mô hình mới, đơn giản, nhưng áp dụng hiệu quả được cho những
toán được xây dựng với phương pháp Euler-Lagrange hệ bất định hằng số hoặc hàm số hoặc cả hai. Với mục
[1], đều rơi vào một trong những dạng như sau: đích như vậy, trước tiên, ở Phần 2, bài báo sẽ nhắc lại hai
1. Mô hình tường minh (không có sai lệch): phương pháp cơ bản được sử dụng làm nền tảng cho sự
M (q )q C (q ,q)q g (q ) u , (1) phát triển sau này là phương pháp bù trọng trường và
tuyến tính hóa chính xác thích nghi [2]. Tiếp theo, bài
trong đó q (q1, ,qn )T , u (u1, ,un )T lần lượt
báo sẽ trình bày hai phương pháp phát triển từ đó ở Phần
là vector của n biến khớp và vector của n tín hiệu 3. Cuối cùng, ở Phần 4, bài báo sẽ minh họa tính hiệu quả
điều khiển, M (q ),C (q ,q), g (q ) là hai ma trận và của các phương pháp phát triển này thông qua ví dụ số.
vector tham số mô hình.
Các ma trận tham số mô hình này thỏa mãn [2, 3]: 2. Các phương pháp điều khiển cơ bản
M (q ) là ma trận đối xứng xác định dương.
2.1. Điều khiển bù trọng trường
Cặp ma trận M (q ),C (q ,q) thỏa mãn tính phản đối
Phương pháp này đã được trình bày chi tiết tại các tài
xứng, tức là M (q ) C (q ,q) C T (q ,q) . liệu [2, 3, 4]. Một số phiên bản mở rộng của nó cũng như
Ở nhiều mô hình tường minh (1) các tham số còn những phân tích, nhận xét ưu nhược điểm của phương pháp
thỏa mãn thêm [4]: C (q ,q) C T (q ,q) cũng đã được trình bày tại [5]. Nó có nội dung như sau:
- Nguyễn Doãn Phước, Nguyễn Hoài Nam
Định lý 1: Bộ điều khiển 2. Ở mô hình loại 2 có:
u M (q )(r K1e K 2e ) C (q ,q)q g (q ) (6) d (q ,q,q,t ) M (q , p ) M (q , ) q
trong đó e r q , K1, K 2 kiểu n n là hai ma trận C (q ,q, p ) C (q ,q, ) ,q g (q , )
đối xứng xác định dương được chọn sao cho
trong đó p là hằng số tùy chọn và
0 In
A n M (q ) M (q , p ), C (q ,q) C (q ,q, p )
K1 K 2
với 0n , I n là ma trận không và ma trận đơn vị kiểu 3. Ở mô hình loại 3 có d (q ,q,q,t ) (t ) g (q ) .
n n , là ma trận Hurwitz, sẽ làm cho các biến khớp q 4. Ở mô hình loại 4 có:
của hệ (1) bám tiệm cận theo được quỹ đạo mẫu đặt d (q ,q,q,t ) (t ) M (q , p ) M (q , ) q
trước r (r1, , rn )T .
Chứng minh: Xem [2,5]. ■ C (q ,q, p ) C (q ,q, ) ,q g (q , )
Bàn thêm: Việc chọn hai ma trận đối xứng xác định Như vậy, bất cứ một phương pháp điều khiển nào áp
dương K1, K 2 kiểu n n có thể được thực hiện đơn dụng được cho hệ (10) cũng đều sử dụng được cho một
giản với: trong bốn loại hệ Euler-Lagrange ở trên.
K1 diag(k1i ), K 2 diag(k 2i ) thỏa k 22i k1i 0 . (7)
3.1. Điều khiển bền vững ISS
2.2. Điều khiển tuyến tính hóa chính xác thích nghi Phương pháp này được hình thành từ suy nghĩ rằng
Đây là phương pháp áp dụng cho lớp hệ có mô hình điều gì sẽ xảy ra khi áp dụng bộ điều khiển (6) nêu trong
bất định tham số hằng (2). Tư tưởng của phương pháp là định lý 1 cho hệ có thành phần bất định hàm (10), ngay
tạm thay vector hằng bất định bởi vector hàm p (t ) cả khi có:
d (q ,q,q,t ) (t ) g (q ) (11)
rồi sử dụng bộ điều khiển (6), tức là:
u M (q , p ) r K1e K 2e C (q ,q, p )q g (q , p ) . (8) khi chuyển hệ 3 về thành (10).
Từ lời chứng minh định lý 1 trong [5] thì có thể thấy
Tiếp theo, dựa vào tính chất (3) của đối với mô hình câu trả lời rằng, khi đó bộ điều khiển trên sẽ không làm
để xác định quy luật chỉnh định cho p (t ) để vẫn có cho các biến khớp q của hệ (10), bám tiệm cận theo
được chất lượng bám ổn định như sau: được quỹ đạo mẫu r mà thay vào đó nó chỉ tiệm cận tới
p EBT Px , (9) một lân cận của quỹ đạo mẫu có sai lệch bám phụ thuộc
trong đó: vào:
1. E là ma trận kiểu m m đối xứng xác định dương d sup d (q ,q,q,t ) . (12)
tùy chọn. t
2. P là nghiệm đối xứng xác định dương của phương Vậy, hiển nhiên để nâng cao chất lượng điều khiển ta
trình Lyapunov: cần phải giảm sai lệch bám này. Để làm được điều đó, ta
AT P PA Q sẽ đưa thêm vào bộ điều khiển một tín hiệu bổ sung s (t )
có Q là ma trận kiểu n n đối xứng xác định sao cho với nó sai lệch bám được nhỏ đi. Đó cũng chính
dương cũng tùy chọn và là nội dung của định lý sau.
e 0 In 0n m Định lý 3: Bộ điều khiển
x , A n , B
K1 K 2
1 u M (q )(s r K1e K 2e ) C (q ,q)q (13)
e M (q , p ) F (q ,q ,q )
3. K1, K 2 kiểu n n là hai ma trận đối xứng xác định với e r q , K1 diag(k1i ), K 2 diag(k 2i ) là hai ma
dương được chọn sao cho A là Hurwitz. trận đường chéo kiểu n n có k 22i k1i 0 và s (t ) là
Định lý 2: Bộ điều khiển (8) cùng cơ cấu chỉnh định (9) sẽ hàm tùy chọn, miễn rằng có được:
làm cho các biến khớp q của hệ bất định (2) bám tiệm p s M (q )1d
cận theo được quỹ đạo mẫu đặt trước r (r1, , rn )T . thỏa mãn điều kiện bị chặn:
Chứng minh: Xem [2,5]. ■ p với cho trước.
3. Những phương pháp phát triển sẽ đưa được sai lệch bám x col(e ,e) của hệ (10) về tới
Trước tiên có thể thấy rằng tất cả các dạng bất định lân cận gốc:
của mô hình Euler-Lagrange (1)-(5) đều đưa được về một
x R 2n x
cấu trúc chung như sau:
M (q )q C (q ,q)q u d (q ,q,q,t ) , (10) trong đó
trong đó d là thành phần bất định hàm. Chẳng hạn: max k1i , k 2i , min k12i , k 22i k1i .
i i
1. Ở mô hình loại 1 có d (q ,q,q,t ) g (q ) . Chứng minh: Xem [5]. ■
- Một số phương pháp điều khiển hệ cơ có mô hình Euler-Lagrange bất định
Bàn thêm: Có thể thấy ngay rằng nếu chọn: x 0n In 0n
k11 k12 k1n a 0 x 1 1C (x , x )
x u d
1
x
2 n 0 M (x 1 ) 1 2 M (x 1 )
k 21 k 22 k 2n ab với b a 1 A(x )x B (x ) u d
sẽ có được a , a 2 nên cũng có: (15)
lim mes 0 , trong đó x 1 q , x 2 q và
a
tức là khi a được chọn càng lớn, sai lệch bám sẽ càng 0n In 0n
A(x ) , B (x ) 1
(16)
nhỏ. Khi a thì sai lệch bám sẽ bằng 0. 0n M (x 1 )1C (x 1, x 2 ) M (x 1 )
là các ma trận phụ thuộc trạng thái.
3.2. Điều khiển bù bất định 2. Tiếp theo ta chọn một khoảng dịch chuyển trên trục
Có thể thấy ngay rằng trong trường hợp d 0 thì thời gian Ts với tk kTs , k 0,1, cách đều
bộ điều khiển (6), mà bây giờ được cải biên thành: nhau. Đây là những thời điểm mà d (t ) sẽ được ước
u M (q )(r K1e K 2e ) C (q ,q)q (14)
lượng xấp xỉ thành d k d (tk ) .
sẽ làm cho các biến khớp q của hệ (10) bám tiệm cận Ở đây ta cần giả thiết rằng ma trận B (x ) là đủ hạng
theo được quỹ đạo mẫu r cho trước. Như vậy, nếu vẫn tại mọi điểm trạng thái x k x (tk ) , tức là có:
muốn sử dụng bộ điều khiển (14) cho trường hợp có
d 0 thì đơn giản nhất là ta thêm vào bộ điều khiển một rank B (x k ) n , x k .
cơ cấu ước lượng thành phần bất định hàm d d như 3. Tùy chọn z 1 và d 1 . Gán x 1 0, k 0 .
mô tả ở hình 1.
4. Đo x k x (tk ) . Tính:
Akx I 2n Ts A(x k 1 ), Akz I 2n Ts A(z k 1 ),
Bk Ts B (x k 1 ),
z k Akz z k 1 Bk u d k 1
1
d k BkT Bk BkT x k z k Akz z k 1 Akx x k 1
Hình 1: Bù thành phần bất định hàm ở đầu vào 5. Đưa u d k trong đó u lấy từ (14), vào điều khiển
đối tượng. Nói cách khác, tín hiệu đầu vào sau bù của
Có khá nhiều cơ cấu ước lượng thành phần bất định đối tượng sẽ là:
hàm hiện được sử dụng, trong đó nhiều nhất là mạng
neural. Ở đây, trong bài báo này, thay vì sử dụng mạng u d k d (tk )
neural chúng tôi sẽ sử dụng cơ cấu ước lượng d d như được mô tả ở hình 3.
được giới thiệu ở tài liệu [6] theo nguyên tắc tối ưu từng 6. Gán k : k 1 rồi quay về 4.
đoạn trên trục thời gian như mô tả ở hình 2. Khác với Định lý 4: Nếu trạng thái sau bù x k x (tk ) đo được từ
mạng neural mà ở đó cơ cấu ước lượng luôn phụ thuộc hệ ở thời điểm tk biểu diễn chính xác được bởi:
vào bộ điều khiển được sử dụng, bộ ước lượng của [6]
không cần sử dụng tới bộ điều khiển nên có thể nói nó áp x k Akx x k 1 Bk u d k 1 d (tk ) (17)
dụng được cho mọi hệ điều khiển. Ngoài ra, nếu so sánh thì:
với mạng neural, bộ ước lượng của [6] có cấu trúc đơn
giản hơn rất nhiều và tốc độ ước lượng cũng rất nhanh do d k d (tk ) .
không cần phải mất thời gian để huấn luyện mạng. Chứng minh: Xem [6]. ■
Hình 3: Cấu trúc điều khiển bù bất định
Hình 2: Nguyên tắc ước lượng tối ưu từng đoạn Bàn thêm: Định lý trên khẳng định rằng sai lệch ước
lượng hoàn toàn phụ thuộc vào việc lượng tử hóa hệ song
Nguyên tắc làm việc của bộ ước lượng thành phần tuyến (15) thành (17). Ngoài ra, có thể thấy thêm rằng
bất định hàm nêu trong tài liệu [6] được tóm tắt như sau: phương pháp bù bất định này áp dụng được cho cả những
1. Trước tiên ta chuyển hệ (10) về dạng song tuyến: hệ không dừng, tức là những hệ có ma trận tham số
- Nguyễn Doãn Phước, Nguyễn Hoài Nam
không những phụ thuộc trạng thái mà còn phụ thuộc cả chuyển mô hình robot về dạng (15) với:
thời gian: d (q ,t ) (t ) g (q )
x A(x ,t )x B (x ,t ) u d . cũng nhhư các ma trận A(x ), B (x ) theo (16). Quỹ đạo
mẫu r đặt trước là hai hằng số:
4. Ví dụ minh họa
r 0.5 , 0.7 .
T
(18)
Trong bài báo này chúng tôi sẽ chỉ tập trung vào
minh họa phương pháp điều khiển bù bất định, cũng là vì Hằng số thời gian dịch chuyển trên trục thời gian được
phương pháp này tổng quát hơn phương pháp điều khiển chọn là Ts 0.1 .
ổn định ISS, do nó còn có thể áp dụng được cho cả Bộ điều khiển có nhiệm vụ đo hai giá trị biến khớp
những lớp hệ bất định cấu trúc. hiện thời q q1 , q 2
T
ở thời điểm tk hiện tại, tính
Đối tượng được chúng tôi chọn để minh họa chất
toán ra hai biến điều khiển u u1 , u 2
T
lượng bộ điều khiển bù bất định này là hệ robot planar có là các giá trị
thành phần bất định hàm đầu vào (hình 4): moment áp đặt cho động cơ quay biến khớp, sao cho cuối
M (q )q C (q ,q)q g (q ) u cùng đầu ra bám tiệm cận theo được các giá trị đặt và
trong đó: chất lượng bám đó không phụ thuộc thành phần bất định
hàm d (q ,t ) .
M M2 c11 c12 g1
M (q ) 1 , C (q ,q) , g (q )
M
2 M 3 c c
21 22 g2
Bảng 1 là nội dung chi tiết của bộ điều khiển khi đã
được cài đặt trên MatLab. Nó gồm hai phần, phần
u q chương trình chính có tên là runPlanar.m được thực
u 1 , q 1
u
2 q2 hiện ứng với k 0,1, để đưa tín hiệu điều khiển vào
với [2]: đối tượng robot và phần thực hiện các phép tính mô
m1l12 l2 phỏng động học của robot trong từng khoảng thời gian
M1 1 m 2 l12 2 l1l 2 cosq 2 2 được điều khiển kTs t (k 1)Ts có tên là Planar.m.
4 4
m 2l 2
Các kết quả mô phỏng chất lượng được thể hiện từ
l
M2 l1 2 l1 cosq 2 2 hình 4 đến hình 6, trong đó hình 4 và hình 5 là tín hiệu
2 2
T
m 2l 2 nhận dạng được d d1 , d 2 của thành phần bất định
M3 2
2 cùng giá trị thực d d1 , d 2
T
của nó và hình 6 là hai
c11 2c12 q2m 2l1l 2 sin q 2
giá trị biến khớp của robot.
m 2l1l 2
c21 q1 sin q 2 , c22 0
2
m gl l
g1 1 1 cosq1 m 2g l1 cosq1 2 cos q1 q 2
2 2
m 2gl 2
g2 cos q1 q 2
2
và g 9.81 là gia tốc trọng trường, m1 m 2 0.3 là
khối lượng hai cánh tay robot, 1 2 0.6 là moment
quán tính các khớp quay, l1 1, l 2 0.7 là độ dài hai
cánh tay robot.
Thành phần bất định hàm được giả định là:
0.1sin 0.3t 0.2cos 0.1t Hình 4: Kết quả nhận dạng thành phần bất định hàm d1 (t ) .
(t ) .
0.3cos 0.2t 0.2sin 0.5t
Nó bao gồm tất cả các thành phần sai lệch mô hình cũng
như các sai lệch tín hiệu điều khiển do cơ cấu chấp hành
gây nên.
Hình 5: Kết quả nhận dạng thành phần bất định hàm d 2 (t ) .
Hình 4: Robot phẳng 2 bậc tự do
Để cài đặt bộ điều khiển bù bất định, trước tiên ta
- Một số phương pháp điều khiển hệ cơ có mô hình Euler-Lagrange bất định
bộ điều khiển tuyến tính hóa chính xác. Thậm chí tốc độ
nhận dạng là rất nhanh, chỉ sau khoảng 2s .
Ở hình 6 ta thấy được quỹ đạo biến khớp cũng đã
bám theo được hai giá trị mẫu đặt trước (18) chỉ sau
khoảng 7s .
5. Kết luận
Từ kết quả nhận xét và phân tích về những phương
pháp điều khiển hiện có cho hệ Euler-Lagrange chứa các
thành phần bất định, bài báo đã đưa ra hai phương pháp
Hình 6: Quỹ đạo hai biến khớp của robot. cải biên chúng đề tổng quát hóa cho tất cả các dạng bất
định khác nhau, kể cả cho trường hợp hệ có sai lệch
Bảng 1: Chương trình điều khiển bù bất định cho robot Planar. không cấu trúc của mô hình.
runPlanar.m Với ví dụ minh họa cho trường hợp đối tượng là
global g w w_d w_dd m1 m2 l1 l2 delta1 delta2 u Ax Bx robot Planar có chứa bất định hàm, đại diện cho tất cả các
dh d
g=9.81; w=[0.5;0.7]; w_d=[0;0]; w_dd=[0;0]; thành phần bất định của mô hình (tham số mô hình, sai
m1=0.3; m2=0.3; l1=1; l2=0.7; lệch mô hình không cấu trúc) cũng như nhiễu đầu vào,
delta1=0.6; delta2=0.6;
x0=[0 0 -2 2]; z0=x0'; t0=0; bài báo cũng đã khẳng định được chất lượng của bộ điều
N=200; Ts=0.1; dh=[0;0]; khiển bù đề xuất. Từ đó có thể thấy phương pháp điều
px=[]; ti=[]; pd=[]; pdh=[];
for i=1:N+1 khiển này đã sẵn sàng áp dụng được vào thực tế.
[t,x]=ode45(@Planar,[t0 t0+Ts],x0);
k=length(t); t0=t(k);
ti=[ti (i-1)*Ts]; px=[px;x0]; Tài liệu tham khảo
Mz1=(m1*l1^2)/4+delta1+m2*(l1^2+l2^2/4+l1*l2*cos(
z0(2)))+delta2; 1 David Morin: Introduction to Classical Mechanics: With
Mz2=((m2*l2)/2)*(l1+l2/2+l1*cos(z0(2)))+delta2;
Mz3=(m2*l2)/2+delta2; Problems and Solutions. Cambridge University 2008.
Mz=[Mz1 Mz2;Mz2 Mz3];
cz11=-z0(4)*m2*l1*l2*sin(z0(2)); 2 Frank L.Lewis, Darren M.Dawson and Chaouki
cz12=-z0(4)*(m2*l1*l2)/2*sin(z0(2));
cz21=-z0(3)*(m2*l1*l2)/2*sin(z0(2)); T.Abdallah: Robot Manipulator Control. Theory and
cz22=0; Practice. Marcel Dekker, Inc. 2004.
Cz=[cz11 cz12;cz21 cz22];
Az=[0 0 1 0;0 0 0 1;zeros(2) -Mz¥Cz]; 3 Jean-Jacques E Slotine and Weiping Li: Applied Nonlinear
B=Ts*Bx; A_x=eye(4)+Ts*Ax; A_z=eye(4)+Ts*Az;
z=A_z*z0+B*(u-dh); Control. Prentice Hall 1991.
dh=(inv(B'*B)*B')*(x(k,:)'-z+A_z*z0-A_x*x0');
z0=z; x0=x(k,:); 4 Ortega, R; Loria, A.; Nicklasson, P.J. and Ramirez, H.S.:
pd=[pd d]; pdh=[pdh dh];
end Passivity bassed Control of Euler-Lagrange Systems.
figure(1); Springer Verlag 1998.
plot(ti,px(:,1),ti,px(:,2)); legend('q1','q2');
figure(2); 5 Phước, N.D.: Phân tích và điều khiển hệ phi tuyến. NXB
plot(ti,pd(1,:),ti,pdh(1,:)); legend('d1','dh1');
figure(3); Bách khoa 2012.
plot(ti,pd(2,:),ti,pdh(2,:)); legend('d2','dh2');
6 Phuoc D. Nguyen and Nam H. Nguyen: Unknown Input
Planar.m
Disturbance Estimator for Time-Varying Bilinear Systems
function dx = Planar(t,x)
global g w w_d w_dd m1 m2 l1 l2 delta1 delta2 u Ax Bx based on Time Receding Optimization. Submitted in IEEE
dh d
M1=(m1*l1^2)/4+delta1+m2*(l1^2+l2^2/4+l1*l2*cos(x(2 Trans. on Automatic Control, 15.7.2019.
)))+delta2;
M2=((m2*l2)/2)*(l1+l2/2+l1*cos(x(2)))+delta2;
M3=(m2*l2)/2+delta2; M=[M1 M2;M2 M3];
c11=-x(4)*m2*l1*l2*sin(x(2));
c12=-x(4)*(m2*l1*l2)/2*sin(x(2));
c21=-x(3)*(m2*l1*l2)/2*sin(x(2)); c22=0;
C=[c11 c12;c21 c22];
g1=m1*g*l1/2*cos(x(1))+m2*g*(l1*cos(x(1))+l2/2*cos(
x(1)+x(2)));
g2=m2*g*l2/2*cos(x(1)+x(2));
d=[0.1*sin(0.3*t)+0.2*cos(0.1*t);0.3*cos(0.2*t)+0.2
*sin(0.5*t)]-[g1;g2];
e=w-[x(1);x(2)]; e_dot=w_d-[x(3);x(4)];
K1=eye(2); K2=2*eye(2);
u=M*(w_dd+K1*e+K2*e_dot)+C*[x(3);x(4)];
Ax=[0 0 1 0;0 0 0 1;zeros(2) –inv(M)*C];
Bx=[0 0;0 0;inv(M)];
dx=Ax*x+Bx*(u+d-dh);
end
Các kết quả mô phỏng trên đã khẳng định được chất
lượng điều khiển bù giống như đã thiết kế. Hai thành
phần bất định hàm đã được nhận dạng tốt phục vụ cho
điều khiển bù. Bộ điều khiển (hình 3) được sử dụng ở
đây chỉ đơn giản là bộ điều khiển (14) được cải biên từ
nguon tai.lieu . vn