Xem mẫu
- Bài giải - Đáp số - Chỉ dẫn
4.1. 1. a) Với đồ thị hình 4.23. thì đây là một hàm chẵn nên bk=0.
Xung đầu tiên có biểu thức giải tích:
⎧ tx
⎪0 khi − T < t < − 2
⎪
⎪ t t
u( t ) = ⎨ h khi − x ≤ t ≤ x
⎪ 2 2
⎪ tx
⎪0 khi
- .
b) Tìm phổ theo Ck :
T tX tx t
− jk ω1 X
t
jk ω1 X
. 1 2 h 2 he − jk ω1t
2 he 2 −e 2
Ck = ∫ u(t )e− jk ω1t dt = ∫ e− jk ω1t dt = = =
T T T tX T − kω1 t x T − kω1
− − −
2 2 2
t
jk ω1 X
t
− jk ω1 X t t
2 −e 2 2 sin kω1 x sin kπ x
he h 2 = ht x T = h sin kπ t x
=
T kω1 T kω1 T t kπ T
kπ x
T
Theo biểu thức cuối:
ht x
A 0 = C0 = (*)
T
t
sin kπ x
2 ht x T
A k = 2C k = (**)
T tx
kπ
T
Như vậy cả hai cách cho cùng một kết quả. Pha ϕk của các hài bằng 0
nếu Ak>0, bằng π nếu Ak
- ∞
u(t ) = A 0 + ∑ A k cos(kω1t + ϕ k ) =
k =1
tx tx
∞ sin kπ ∞ sin kπ
ht x T coskω t ) = ht x (1 + T ejk ω1t ) (***)
(1 + ∑ 2 1 ∑
T k =1 tx T k =1 tx
kπ kπ
T T
t 1μS
3. Với tX=1 μS, T=5μS, độ cao h= 20 [V] thì x = = 0,2
T 5μS
Tính theo công thức:
2h
A 0 = 0,2 h; A k = sin 0,2 kπ; k = 1,1,3.....12
kπ
Kết quả tính cho trong bảng 4.2
Bảng 4.2.
k 0 1 2 3 4 5 6
AK 4. 7,484. 6,055. 4,036. 1,871. 0 -1,247.
IAkI 4 7,484 6,055 4,036 1,871 0 1,247
ϕk 0 0 0 0 0 0 π
k 7 8 9 10 11 12 13
AK -1,73 -1,513 -0,832 0 0,680 1,01 0,931
IAkI 1,73 1,513 0,832 0 0,680 1,01 0,931
ϕk π π π 0 0 0 0
Từ kết quả bảng 4.2 có đồ thị phổ biên độ hình 4.24.a), phổ pha hình
4.24b) (với ω1=2π/T=1 256 737 rad/s, F1= 200Khz.)
.
4.2. Theo tính chất trễ trong miền thời gian: Nếu u(t) có phổ là A k thì phổ của
.
tín hiệu bị trễ u(t ± τ) sẽ có phổ là A k e±jτkω1 nên:
-Tín hiệu hình 4.4a) vượt trước so với tín hiệu trong BT4.1 là tX/2→ phổ sẽ
tx
j kω1
là biểu thức (**) trong BT(4.1) nhân với e (thành phần A0 giữ nguyên như
2
0
(*) vì e =1.)
-Tín hiệu hình 4.4b) chậm so với tín hiệu trong BT4.1 là tX/2→ phổ sẽ là
tx
−j kω1
biểu thức (**) trong BT (4.1) nhân với e 2
Như vậy phổ biên độ không thay đổi, chỉ thay đổi phổ pha so với BT(4.1).
4.3. Hàm lẻ.
⎧0 khi k ch½ n
2E ⎪
bk = (1 − coskπ ) = ⎨ 4 E
kπ ⎪ kπ khi k lÎ
⎩
∞ 4E
u( t ) = ∑ sin(2 k + 1)ω1 t
k = 0 ( 2 k + 1)
141
- 2π
. 1 T − jk t
4.4. Trong chu kỳ đầu thì u(t)=At nên C k = A ∫ te T dt
T 0
Lấy tích phân từng phần:
2π
2π − jk t
− jk t T
u=t; du=Adt; dV= e T dt ; V=
e →
2π
− jk
T
⎡ ⎤
⎡ − jk 2 π t ⎤ ⎢ 2π ⎥
2π − jk t π
. A⎢ e T T 1 T − jk T t ⎥ A ⎢ 2 e− jk 2 π e T T ⎥ AT AT j 2
C k = ⎢t + ∫e dt⎥ = ⎢T − ⎥= = e
T⎢ 2π 0 2π 0 ⎥ T⎢ − jk 2π 2π 2 0 ⎥ − jk 2π k 2π
− jk jk ⎢ ( jk ) ⎥
⎢
⎣ T T ⎥
⎦ 14243 ⎥T
⎢
⎣ =0 ⎦
2π π
∞ AT j ( k T t + 2 )
Chuỗi Fourrie ở dạng phức: u(t ) = ∑ e
k = −∞ 2 kπ
.
Chuỗi Fourrie ở dạng thực: ở đây phải tính các Ak qua C k ,lúc đó chú ý là
. .
từ biểu thức của C k trên, khi k =0 thì C k = ∞ nên tính riêng C0:
. 1T 1 At 2 T AT
C0 = ∫ Atdt = = ;
T0 T 2 0 2
π
. AT j 2.
Với k=1,2,3,4..→ A k = 2 C k = e
kπ
AT ∞ AT 2π π AT ⎡ 1 ∞ 2 2π π ⎤
u(t)= +∑ cos(k t+ )= ⎢1 + π ∑ k cos( T t + 2 )⎥
k
2 k =1 kπ T 2 2 ⎣ k =1 ⎦
4.5. Chỉ thay A=50 mA, T=2 μS vào các biểu thức phổ trong BT(4.4) vừa xét
để tính các vạch phổ A0÷A13.
4.6.Theo hình 4.25 thì đây là hàm lẻ nên ak=0. có T=2 μS=2.10-6S.Tính bk với
k=1,2,3,4…
μS
Chu kỳ đầu tiên có biểu thức:
s(t ) = At = 4.10 6 t [ mA] với -10-6 S ≤ t ≤ 10-6 S
142
- T
2 2 − coskω1 t
bk = ∫ At sin k ω1 tdt ; Đặt t = u → du=dt ; dv=sinkω1tdt → v= kω1
T T
−
2
⎡ T T ⎤
2A ⎢ cos k ω 1 t 2 2 cos k ω t
1
⎥
bk = ⎢− t + ∫ dt ⎥ ;
T ⎢ k ω1 T T k ω1 ⎥
⎢ − −
⎥
⎣ 2 2 ⎦
Thành phần thứ nhất trong tổng:
1 T 2π T T 2π T T
− [ cos k − ( − ) cos(− k )] = − 2 cos k π =
kω1 2 T 2 2 T 2 2 k ω1
T T T T
− cos k π = − víi k ch½ ;
n víi k lÎ ) ⇒ b k = A k = ( − 1) k +1 ; k = 1,2,3,4 ...
kω1 kω1 kω1 k ω1
Thành phần thứ hai trong tổng:
T T T
sin kω1 t
T sin kω1 − sin(− kω1 ) 2 sin kω1 2 sin kπ
2 2 2
2 =
T = = =0
( kω1 ) 2 − 2 ( kω1 ) 2 ( kω1 ) 2
( kω1 ) 2
2A T 2A T AT
Vậy b k = ( −1) k +1 . = ( −1) k +1 . = ( −1) k +1 . (*)
T kω1 T 2π kπ
k
T
4
Với A=4,T=2.10 thì A k = b k = (−1) k +1 2.10-6
-6
kπ
∞ 8.10 −6 ⎧0 khi k lÎ .
s(t)= ∑ sin(kω1 t + ϕ k ) víi ϕ k = ⎨
k =1 kπ ⎩π khi k ch½ . n
So sánh modun của biểu thức bk trong (*) với mondun Ak trong bài giải
của BT4.4 thì thấy chúng là một (!) vì các dãy xung có cùng cấu trúc,chỉ khác
nhau ở quan hệ pha.
4.7. Xung xạ tần (tần số phát xạ được vào không gian) sử dụng trong kỹ thuật
rada.ở dãy xung này cần phân biệt các thông số:
- U0m biên độ xung điều hoà cao tần.
1
- f 0= ,f0 – tần số của dao động điều hoà cao tần (T0-chu kỳ của dao
T0
động điều hoà cao tần)
1
- F= , F- tần số lặp của dãy xung (T- chu kỳ lặp của dãy xung);
T
τ- động rộng của mỗi xung
a) Biểu thức phổ:
143
- τ τ
. 1 2 U 2 e j ω0 t + e − j ω0 t
C k = ∫ U 0 m cosω 0 te − jk ω1t dt = 0 m ∫ e− jk ω1t dt =
T τ T τ 2
2 2
⎡τ τ ⎤
U 0m ⎢2
− j ( k ω1 + ω 0 ) t − j ( k ω1 − ω 0 ) t ⎥
2
⎢∫ e dt + ∫ e dt ⎥
2T ⎢ τ τ ⎥
⎣2 2 ⎦
Tính riêng từng tích phân trong dấu ngoặc:
Tích phân thứ nhất:
τ τ τ τ τ τ
− j ( kω1 + ω0 ) j ( kω1 + ω0 ) j ( kω1 + ω0 ) − j ( kω1 + ω0 ) sin(kω1 + ω0 )
2
− j ( kω1 +ω0 ) t e −e
2 2 e −e
2 2
2
∫e dt = = =2
τ − j ( kω1 + ω0 ) j ( kω1 + ω0 ) ( kω1 + ω0 )
2
Thành phần này xấp xỉ bằng 0 vì trong thực tế tần số phát xạ rất lớn nên
(kω1+ω0) >>1.
Tích phân thứ 2:
τ τ − j ( kω1 −ω0 )
τ
j ( kω1 −ω0 )
τ
j ( kω1 −ω0 )
τ
− j ( kω1 +ω0 )
τ
2 − j ( kω1 −ω0 )t 2 −e 2 2 −e 2
− j ( kω −ω )t e 2 e e
∫ e 1 0 dt = − j(kω − ω ) τ = − j(kω1 − ω0 )
=
j(kω1 − ω0 )
=
τ
2
1 0
−
2
τ τ
2j sin(kω1 − ω0 ) sin(kω1 − ω0 )
2 =2 2
j (kω1 − ω0 ) (kω1 − ω0 )
τ τ
. sin(kω1 − ω0 )
sin(kω1 − ω0 )
U 2 = U 0m 2 ;.
Ck = 0m
T (kω1 − ω0 ) T (kω1 − ω0 )
sin x
Để tiện biểu thức thường đưa về dạng :
x
τ τ
sin(ω 0 − kω1 ) sin(ω 0 − kω1 )
. U 0m τ 2 = U 0m τ 2
Ck =
T 2 τ 2T τ
( ω 0 − k ω1 ) ( ω 0 − k ω1 )
2 2
τ
sin(ω 0 − kω1 )
. . U .τ 2
A k = 2C k = 0 m .
T τ
( ω 0 − k ω1 )
2
b) Tính phổ: Với T0=10-6 S ; τ=5T0 -mỗi xung hình sin có 5 chu kỳ dao
động cao tần.
144
- U0m=100V
1 τ
f0 = = 1Mhz; ω0 = 2π.10 6 rad/ S ; τ = 5T0 = 5.10 −6 S ; T = 2τ = 10T0 = 10 −5 S; = 0,5;
−6
10 T
1
f1 = = 10 5 Hz = 0,1Mhz ; ω1 = 2π.10 5 rad/ S;
T
τ 5.10 −6
sin ω 0 sin 2 π.10 6 .
. U 2 = U 0m 2 U sin 5π.10 6
A 0 = C0 = 0m = 0m =0
T ω0 T ω0 T ω0
AK với k=1,2,3,4…:
5.10 −6
sin[ 2 π.10 6 − k 2 π.10 5 ) ]
τ 2 sin[0,5π(10 − k )]
A k = U 0m . . −6
= 0,5.U 0 m .
T 5.10 [ 0,5π(10 − k )]
( 2 π.10 6 − k 2 π.10 5 )
2
sin x
Với ω0=10ω1 thì k=10 hay A10 sẽ được tính theo công thức lim = 1 và
x →0 x
đạt max nên A10=0,5U0m.Ta tính được Aktheo công thức cuối với k=0÷20 ở bảng
4.3.
Bảng 4.3.
k 0 1 2 3 4 5 6 7
Ak[V] 0 3,535 0 4,545 0 6,365 0 10,61
k 8 9 10 11 12 13 14 15
Ak[V] 0 31,83 50 31,83 0 10,61 0 6,365
k 16 17 18 19 20 21 22 23
Ak[V] 0 4,545 0 3,535 0 2,89 0 2,445
Từ bảng dựng đồ thị phổ biên độ hình 4.26
145
- ω
ω1 ω1 ω1 ω1 ω1 ω1 ω1 ω1 ω1 ω1 ω1 ω1 ω1
4.8.
. A
C0 =
π
π
. . 2 A ( − 1) k +1 −j
A k =1, 2,3 .. = 2 C K = e 2
π ( 4 k 2 − 1)
A ∞ A π A ∞ A
s( t ) = + 2 ∑ ( − 1) k +1 cos(ω1 t − ) = + 2 ∑ ( − 1) k +1 sin ω1 t
π k =1
2
π ( 4 k − 1) 2 π k =1 π ( 4 k 2 − 1)
4.9.
αT
2U 0 U0 π 4U 0 αT
A 0 = C0 = ; Ak = =
αT π αT 2 2 2 2 2
( ) + k 2 (4 k π + α T
2π
4.10. Biểu thức giải tích trong một chu kỳ:
⎧− E khi − 4 .10 − 6 S ≤ t ≤ − 3 .10 − 6 S ;
⎪
−6 −6
⎪ (10 6 t + 2 ) E khi − 3 .10 S ≤ t ≤ − 10 S
⎪
⎪
u( t ) = ⎨ E khi − 10 − 6 S ≤ t ≤ 10 − 6 S ;
⎪ 6 −6 −6
⎪ ( − 10 t + 2 ) E khi10 S ≤ t ≤ 3 .10 S
⎪− E khi 3 .10 − 6 S ≤ t ≤ 4 .10 − 6 S
⎪
⎩
T=8 μs = 8.10-6 S.; ω1=2π/T=2π.0,125.106 rad/S.
146
- Từ đồ thị đã cho ở hình 4.27.ta thấy tín hiệu thuộc hàm chẵn nên chỉ có
ak còn bk =0.
4.10 −6
Thành phần a0= ∫ u(t )dt chính là phần diện tích được bôi trên đồ thị
− 4.10 − 6
nên sẽ bằng 0. Chỉ xác định ak với k=1,2,3,4…
Biểu thức giải tích của một chu kỳ là:
T T T T T T T T
T
2 8 4 8 8 4 8 2
8
μS
T
2E ⎡−3.10
−6
2 2
6
ak = ∫ u(t ) coskω1tdt = ⎢ ∫ (−1) cos(2kπ.0,125.10 t )dt +
−6
T T
−
8.10 ⎢−4.10
⎣ −6
2
−10−6 10−6
∫ (10 t + 2) cos(2kπ.0,125.10 t ) dt + ∫ cos(2kπ.0,125.106 t ) dt +
6 6
−3.10−6 −10−6
3.10−6
6 6
4.10−6
6
⎤
∫ (−10 t + 2) cos(2kπ.0,125.10 t ) dt + ∫ (−1) cos(2kπ.0,125.10 t ) dt⎥
10−6 3.10−6 ⎥
⎦
Tính riêng từng tích phân: trong dấu ngoặc:
+Tích phân thứ nhất:
−3.10 −6
−6 sin(2kπ.0,125.10 6 t ) −3.10− 6
− ∫ cos(2kπ.0,125.10 t )dt = − =
2kπ.0,125.10 6 − 4.10− 6
− 4.10 − 6
−1
6
[sin (−2kπ.0,125.10 6.3.10 −6 ) − sin(−2kπ.0,125.10 6 .4.10 −6 )] =
2kπ.0,125.10
3π 3π
− sin kπ sin k
sin k
−1 4 4
6
[sin (−2kπ.0,125.3) − sin(−2kπ.0,125.4] = 6
=
2kπ.0,125.10 2kπ.0,125.10 2kπ.0,125.10 6
+Tích phân thứ 2:
147
- −10 −6 −10 −6
6 6 6 6
∫ (10 t + 2) cos(2 kπ.0,125.10 t ) dt = ∫ (10 t. cos(2 kπ.0,125.10 t ) dt +
−6
−3.10 −3.10 − 6
−10 − 6
6
2 ∫ cos(2 kπ.0,125.10 t ) dt = A 1 + B1
−3.10 − 6
⎡ ⎤
⎢ u = t → du = dt ⎥
−10 −6 ⎢ ⎥
A 1 = 10 6 ∫ t . cos( 2 k π.0,125 .10 6 t ) dt = ⎢ dv = cos( 2 k π.0,125 .10 6 t ) dt ⎥ =
− 3 .10 − 6
⎢ ⎥
⎢ sin ( 2 k π.0,125 .10 6 t ) ⎥
⎢v = ⎥
⎣ 2 k π.0,125 .10 6 ⎦
⎡ sin ( 2 k π.0,125 .10 6 t ) −10 − 6 sin ( 2 k π.0,125 .10 6 t ) ⎤
10 6 ⎢ t . − ∫ dt ⎥ = 10 6 [ M 1 − N 1 ]
⎢
⎣ 2 k π.0,125 .10 6 − 3 .10 − 6 2 k π.0,125 .10 6 ⎥
⎦
− sin ( 2kπ.0,125.10 6.10 −6 ) − sin ( 2kπ.0,125.10 6.310 −6 )
M 1 = (−10 −6 ). − (−3.10 −6 ) =
2kπ.0,125.10 6 2kπ.0,125.10 6
3π
sin ( 0,25kπ ) − 3 sin(k )
10 −6 4
6
2 kπ.0,125.10
−10 −6 sin ( 2 k π.0,125 .10 6 t ) cos ( 2 kπ.0,125 .10 6 t ) −10 − 6
N1 = ∫ dt = − =
−6 2 k π.0,125 .10 6
( 2 kπ.0,125 .10 ) 6 2 − 3.10 − 6
− 3.10
3π
cos ( 0,25 kπ ) − cos ( k )
cos ( 2 k π.0,125 .10 6 .10 − 6 ) − cos ( 2 k π.0,125 .10 6 .3 .10 − 6 ) 4
− =−
( 2 k π.0,125 .10 6 ) 2 ( 2 k π.0,125 .10 6 ) 2
⎡ 3π 3π ⎤
6
⎢ − 6 sin ( 0,25 kπ ) − 3 sin(k 4 ) cos ( 0,25 kπ ) − cos ( k 4 ) ⎥
6
A 1 = 10 [ M 1 − N 1 ] = 10 ⎢10 + ⎥=
⎢ 2 kπ.0,125 .10 6 ( 2 k π.0,125 .10 6 ) 2 ⎥
⎢
⎣ ⎥
⎦
3π 3π
sin ( 0,25 kπ ) − 3 sin(k ) cos ( 0,25 kπ ) − cos ( k )
4 + 4
2 kπ.0,125 .10 6 ( 2 kπ.0,125 .) 2 .10 6
3π
− 10 −6 − sin( 0 , 252 k π ) + sin( k )
B1 = 2 6 4
∫ cos( 2 k π .0 ,125 .10 t ) dt = 2 6
− 3 . 10−6 2 k π . 0 ,125 . 10
3π 3π
sin ( 0 , 25 k π ) − 3 sin( k ) cos ( 0 , 25 k π ) − cos ( k )
A 1 + B1 = 4 + 4 +
6
2 k π . 0 ,125 . 10 ( 2 k π . 0 ,125 .) 2 . 10 6
3π 3π 3π
− sin(0,252 kπ) + sin(k ) cos ( 0,25kπ) − cos ( k ) sin ( 0,25kπ ) + sin(k )
2 4 = 4 − 4
2 kπ.0,125.10 6 (2 kπ.0,125.) 2 .10 6 2 kπ.0,125.10 6
+Tích phân thứ 3:
148
- 10 −6 sin (2 kπ.0,125.10 6 t ) 2 sin 0,25kπ
6 10 − 6
∫ cos(2kπ.0,125.10 t ) dt = −10 − 6
= :
−10 − 6 2 kπ.0,125.10 6 2 kπ.0,125.10 6
+Tích phân thứ 4
3.10 −6 3.10 −6
6 6 6 6
∫ ( −10 t + 2) cos(2 kπ.0,125 .10 t ) dt = ∫ ( −10 t cos(2 kπ.0,125 .10 t ) dt
−6
10 10 − 6
−6
3.10
6
∫ 2 cos(2 kπ.0,125 .10 t ) dt = A 2 + B 2
10 − 6
⎡ ⎤
⎢ ⎥
3.10 −6 ⎢ u = t → du = dt ⎥
A 2 = −10 6 ∫ t cos(2 kπ.0,125 .10 6 t ) dt = ⎢ dv = cos(2 kπ.0,125 .10 6 t ) dt ⎥ =
10 − 6
⎢ ⎥
⎢ sin( 2 kπ.0,125 .10 6 t ) ⎥
⎢v = ⎥
⎢
⎣ 2 kπ.0,125 .10 6 ⎥
⎦
⎡ sin( 2 kπ.0,125.10 t ) 3.10 −6
6 3.10 −6 sin( 2 kπ.0,125 .10 6 t ) ⎤
− 10 6 ⎢ t. − ∫ dt⎥ = −10 6 [ M 2 − N 2 ]
⎢ 2 kπ.0,125.10 6 10 −6 ( 2 kπ.0,125.10 6
⎥
⎣ 10 −6
⎦
sin( 2 k π .0 ,125 .10 6 .3 .10 − 6 ) sin( 2 k π .0 ,125 .10 6 .10 − 6 )
M 2 = 3 .10 − 6 − 10 − 6 =
2 k π .0 ,125 .10 6 2 k π .0 ,125 .10 6
3π
sin k .
−6 4 sin 0 , 252 k π
3 .10 − 10 − 6
2 k π .0 ,125 .10 6 2 k π .0 ,125 .10 6
3π
3 .10 − 6 cos( k ) − cos( 0 , 25 k π )
sin( 2 k π .0 ,125 .10 6 t ) 4
N2 = ∫ dt = −
10 − 6 ( 2 k π .0 ,125 .10 6 ) ( 2 k π .0 ,125 .10 6 ) 2
3π 3π
sin k . cos( k ) − cos( 0 , 25 k π )
4 sin 0 , 252 k π 4
A 2 = − 10 6 [ 3 .10 − 6 − 10 − 6 + ]=
2 k π .0 ,125 .10 6 2 k π .0 ,125 .10 6 ( 2 k π .0 ,125 .10 6 ) 2
3π 3π
sin k. cos( k ) − cos( 0 , 25 k π )
4 sin 0 , 25 k π 4
−3 + − .
2 k π .0 ,125 .10 6 2 k π .0 ,125 .10 6 ( 2 k π .0 ,125 ) 2 .10 6
3 .10 − 6
sin( 2 k π.0,125 .10 6 t ) 3 .10 − 6
B 2 = 2 ∫ cos( 2 k π.0,125 .10 6 t ) dt = 2 =
( 2 k π.0,125 .10 ) 6 10 − 6
10 − 6
⎡ sin( 2 k π.0,125 .10 6 .3 .10 − 6 ) sin( 2 k π.0,125 .10 6 .10 − 6 ) ⎤
2⎢ − ⎥=
⎣ ( 2 k π.0,125 .10 6 ) ( 2 k π.0,125 .10 6 ) ⎦
3π
sin(2 k )
4 sin(0,25kπ )
2 −
( 2 kπ.0,125.10 ) ( 2 kπ.0,125.10 6 )
6
149
- 3π 3π
sin k . cos( k ) − cos( 0 ,25 k π )
4 sin 0 ,252 k π 4
A 2 + B2 = −3 + −
2 k π .0 ,125 .10 6 2 k π .0 ,125 .10 6 ( 2 k π .0 ,125 ) 2 .10 6
3π 3π 3π
sin k . cos( k ) − cos( 0 ,25 k π ) sin k .
4 sin( 0 ,25 k π ) 4 4
2 −2 =− −
2 k π .0 ,125 .10 6 ( 2 k π .0 ,125 .10 6 ) ( 2 k π .0 ,125 ) 2 .10 6 2 k π .0 ,125 .10 6
sin( 0 ,25 k π )
−
( 2 k π .0 ,125 .10 6 )
+Tích phân thứ 5:
3π 3π
4.10 − 6 sin ( kπ.) − sin ( k ) sin ( k )
− 6 4 = 4
∫ cos(2kπ.0,125.10 t ) dt = −
3.10− 6 (2 kπ.0,125.10 6 ) (2 kπ.0,125.10 6 )
Tổng của 5 tích phân:
3π 3π 3π
sin k cos ( 0,25kπ) − cos ( k ) sin(k )
4 4 − sin ( 0,25kπ ) 4
+ − +
6 2 6 6
2 kπ.0,125.10 (2 kπ.0,125.) .10 2 kπ.0,125.10 2 kπ.0,125.10 6
3π 3π
cos(k ) − cos(0,25kπ ) sin k .
2 sin 0,25kπ 4 4 sin(0,25kπ )
− − − +
6 2 6 6
2 kπ.0,125.10 ( 2 kπ.0,125) .10 2 kπ.0,125.10 ( 2 kπ.0,125.10 6 )
3π 3π
sin ( k ) cos ( 0,25kπ) − cos ( k )
4 =2 4
6 2 6
(2 kπ.0,125.10 ) (2 kπ.0,125.) .10
Kết quả bk:
3π 3π
cos ( 0,25kπ) − cos ( k ) cos ( 0,25kπ) − cos ( k )
2E 4 = E 4
bk = 2
8.10 −6 2
(2 kπ.0,125.) .10 6 2 (0,25kπ) 2
4.11.Hãy so sánh dãy xung này với dãy xung trong BT4.3 để tìm lời giải.
a0 U 0 2U 0
4.12.Hàm chẵn nên tìm được A 0 = = ; A k =1,2,3.. =
2 2 π (2k + 1) 2
2
4.13. Biểu diễn tín hiệu qua biến đổi Fourrie ngược ở dạng phức.
. *
A0 A0 ∞ . *
p TB = + ∑Ak Ak
2 k = ±1,±2,±3.....
τ τ τ
. sin ω . sin ω . sin ω
4.14. a) S( j ω) = A τ 2 b) S( j ω) = A τ 2 e j τω c) S( j ω) = A τ 2 e − j τω
τ τ τ
ω ω ω
2 2 2
150
- 4.15.
ω
. j θ(ω) A A − jarctg A ω
S( j ω) = S( j ω)e = = e α ; S j ω) =
( ; θ(ω) = − jarctg
α + jω α 2 + ω2 α 2 + ω2 α
4.16.
. τ τ e(β− j ω) t τ e(β− j ω) τ − 1 eβτ .e− j ωτ − 1
S( j ω) = A ∫ eβt .e− j ωt dt = A ∫ e(β− j ω) t dt = A =A =A =
0 0 (β − j ω) 0 (β − j ω) (β − j ω)
βτ βτ
(e cosβτ − 1) − je sin βτ M j θ ( ω)
A =A e
(β − j ω) N
Víi M = (eβτ cosβτ − 1) 2 + (eβτ sinβτ) 2 = 1 + e2βτ − 2eβτ cosβτ ; N = β 2 + ω 2
ω eβτ sinβτ
θ(ω) = arctg − arctg βτ
β e cosβτ − 1
4.17. Theo BT.4.14 thì phổ của xung thứ nhất là:
tx
. sin ω tx
a) S1 ( j ω) = At x 2 e− j 2 ω
tx
ω
2
Theo tính chất trễ thì phổ của xung thứ hai:
tx
. sin ω tx
S2 ( j ω) = At x 2 e− j 2 ω e− jTω
tx
ω
2
Phổ của xung thứ ba:
tx
. sin ω tx
S3 ( j ω) = At x 2 e− j 2 ω e− j 2 Tω
tx
ω
2
…………………………….
Phổ của xung thứ n:
tx
. sin ω tx
Sn ( j ω) = At x 2 e− j 2 ω e− j ( n−1)Tω
tx
ω
2
Theo tính chất tổng của phổ:
151
- tx t
. . . . sin ω t
−j x ω sin ω x − j t x ω
S( j ω) = [ S1 ( j ω) + S2 ( j ω) + ...+ Sn ( j ω)] = At x [ 2 e 2 + 2 e 2 e− jTω +
tx tx
ω ω
2 2
tx tx
sin ω tx sin ω tx
+ 2 e− j 2 ω e− j 2 Tω + ... + 2 e− j 2 ω e− j ( n−1)Tω ] =
t t
ω x ω x
2 2
tx t
sin ω t sin ω x − j t x ω − jnTω
At x
−j x ω
2 e 2 [1 + e− jTω + e− j 2 Tω + .....e− j ( n−1)Tω ]* = At 2 e 2 1− e =
x
ω
tx
ω
tx 1 − e− jTω
2 2
t ω ω t ω ω ω
sinω x −j t x ω jnT − jnT sinω x − j t x ω jnT 2 − jnT − jnT
− jnTω
At x 2 e 2 1− e .e 2 .e 2
= At x 2 e 2 e −e 2 e 2
ω x
t 1 − e− jTω jT ω − jT ω ω x
t jT
ω
− jT
ω
− jT
ω
e 2 .e 2 e 2 −e 2 e 2
2 2
tx ω − jnTω t ω
sinω sinnT t
2 −j x ω sinω x sinnT −[( n−1)T+ t X ] ω
= At x 2 . 2e e 2 = At x 2 . 2e 2 2
tx ω − jT ω tx ω
ω sinT 2 ω sinT
2 2 e 2 2
Chú ý:(*) được áp dụng công thức tổng Sn của cấp số nhân.
tx ω
sinnTsinω
2 . 2
b) Để vẽ phổ biên độ S(jω)= At x cần chú ý:
tx ω
ω sinT
2 2
-Với ω=0 thì cần biểu diễn các biểu thứ sin 0 về dạng hàm sinx/x như sau:
ω
sin nT
2 ω
nT .
tx ω tx ω 2
sin ω sin nT sin ω nT
S(0) = S( j ω) = At x 2 . 2 = At 2 . 2 =
ω→ 0 tx ω x
tx ω
ω sin T ω sin T
2 2 2 ω 2
T
2 ω
T
2
152
- ω
sin nT
2
tx ω
sinω nT
nAt x 2 . 2 = nAt = 8.40.10 −6 = 32.10 −5
tx ω x
ω sin T
2 2
ω
T
2
- Với ω≠0 có thể tính theo công thức:
tx ω ω
sin ω sin nT sin8T
2 . 2 = 2A tx 2 .
S(jω)= At x sin ω .
tx ω ω 2 ω
ω sin T sin T
2 2 2
Để tính nên khử bỏ mẫu số trong công thức này bằng cách dùng công
thức sin2a=2sinacosa biến đổi tử số cho đến khi khử được mẫu số. Sau đó thay
số vào để tính( khoảng 20 điểm từ ω=0 đến ω=2π/tx =2π.106 rad/S) rồi vẽ đồ thị.
4.18. Hình 4.28.
a)
⎧ τ
⎪0 khi 0 < − 2
⎪
⎪ τ τ
u(t ) = ⎨U 0m cosω0 t khi − ≤ t ≤
⎪ 2 2 τ τ
⎪ τ 2 2
⎪0 khi 2 < t
⎩
Chuyển hàm cosω0t về hàm mũ(Xem BT4.7)
τ
. sin(ω0 − ω)
U 0m τ 2.
để chứng minh S( j ω) =
2 τ
(ω0 − ω)
2
b)Khi thay số để tính thì:
. U 0m τ
Tại ω=ω0 có S( j ω 0 ) =
.
2
. U τ
Khi ω≠ω0 thì S( j ω) = 0m sin(ω0 − ω)
ω0 − ω 2
4.19. Thực hiện tương tự như BT7.17. để tìm phổ của n xung:
mT0 ω
. sin(ω 0 − ω) sin( n.k.mT0 ) − j ω k.mT ( n−1)
mT0 2 . 2 0
S( j ω) = U 0m e 2
2 mT0 ω
(ω 0 − ω) sin( k.mT0 )
2 2
153
- . A (α 2 − α 1 )
4.20. S( j ω) =
α1α 2 − ω 2 + j (α1 + α 2 )ω
.
4.21. Hạ bậc cos2ω0t rồi tìm phổ S( j ω)
1 ∞. j ωt
4.22. Lấy tích phân Fourrie ngược s(t ) = ∫ S( j ω)e dω
2π − ∞
. A A
4.23. Trước hết tìm phổ: Theo BT4.15.: S( j ω) = → S( j ω) =
α + jω α 2 + ω2
Theo định lý Parsevall thì năng
A2
lượng của tín hiệu tính theo phổ:
α2
2
A
W = S2 ( j ω) = (*).Đường cong (*)
α + ω2
2
hình 4.29. cho thấy 100% năng lượng chính
là phần diện tích giớ hạn bởi nó với trục
ω
∞ A2 A2 π
hoành,tức: ∫ 2 dω = ;
0α +ω
2 α 2
90%năng lượng ứng với ωm.
ωm
A2 A2 ω A2 π
∫ dω = arctg m = 0,9 ;
α 2 + ω2
0 α α α 2
ω
⇒ arctg m = 0,45π ⇒ ω m = 10 7 .tg0,45π ≈ 63.10 6 rad/ S; f m ≈ 10 Mhz.
α
4.24. Phổ của tín hiệu theo BT 4.15. Giải tương tự như BT.4.23. ĐS 97,4 %.
4.25. m=0,733 ; U0m= 75 [V]
4.26. Khảo sát hàm số đường bao cho Umãx= 20 [V], Umin≈ 7 [ V].
4.27. m1=0,8 ; m2=0,6, m=1.
4.28. m=0,6.
4.29. Min[ U 0m ] = 11,18 [V]
4.30. Pmax=2,75625 W ; Pmin = 0,50625 W.
4.31. a)Tần số sóng mang là ω0 =106rad/s.,bề rộng phổ Δω= 2Ωmax= 20 000 rad/s.
Phải chọn khung cộng hưởng:
1
- Cộng hưởng ở đúng tần số sóng mang. = 10 6 → L = 1 mH.
LC
-Có dải thông đặc tính tần số của khung cộng hưởng là Δω0,7 lớn hơn và
xấp xỉ bề rộng phổ của tín hiệu.:
154
- ω0 ω0 1 1 1
20.000 ≤ Δω 0,7 = = = →R≤ = = 0,5.10 5
Q ω 0 CR RC 20 000.C 20 000.10 −9
= 50 000 Ω = 50 K Ω.
Giá trị R tối ưu là R=50 KΩ.
b) Phổ của tín hiệu vào iđb(t)=10[1+0,8cos100t+0,6cos10 000t) cos106t [mA]
có m1=0,8, m2=0,6 nên có các vạch phổ như ở hình 4.30a)
Vạch phổ ứng với tần số sóng mang có biên độ I0m = 10 mA. Các vạch biên
mI
ứng với các tần số ω0 ± Ωi tính theo công thức i 0m được là 4 mA và 3 mA.
2
Phổ của điện áp điều biên ở đầu
ra có cấu tạo như ở hình 4.30.b với
các vạch được tính theo công thức:
Um(ωi)=Im(ωi)IZ(ωi)I.
1 1
Z= = ;
Y 1 1 ω
+ j ( ωC − )
R ωL
1
Z=
2 2
⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ωC − ⎟
⎝ R⎠ ⎝ ωL ⎠
ω
U 0 m = I 0 m . Z(ω 0 ) = 10 [ mA].50K Ω = 500 [V]
U m (ω 0 ± Ω1 ) = I m (±10 0). Z(10 6 ± 100) ≈ 4 [ mA].50K Ω = 200 [V]
U m (ω0 ± Ω 2 ) = I m (10 6 ± 10 000). Z(10 6 ± ±10 000) ≈ 3 [ mA].33,5267K Ω = 100,58 [ V]
4.32.
a) ω0=107 rad/s ; Ω1=107-0,9997.107=3000 rad/s ;Ω2 =107-0,9995.107=5000
rad/s;Δω=2Ω2 =10 000 rad/s.
m1 40 30 m 40 20
b) = 15 → m1 = = 0,75; 2 = 10; m 2 = = 0,5; m = m1 + m 2 = 0,9;
2
2
2 40 2 40
c)
1 1 1 1
= = = 10 7 ; C = = 10 −9 F = 1 nF;
−6 −5 −5 14
LC 10.10 .C C10 . 10 .10
1 1 1
Δω = 10 000 ≤ ; R≤ = = 10 5 Ω = 50 K Ω
CR −9
C.10 000 10 .10 000.
d) Tính tương tự như b) của BT4.32.
4.33. ω(t)=108+3.106cos 106t+1,4.105sin 105t [rad/s]
155
- 4.35.Nếu uΩ(t) là aUΩm cosΩmaxt thì sẽ có:
-Tần số của dao động: là ω0+ aUΩm cosΩmaxt =ω0+Δωm cosΩmaxt
Δω m
-Pha của dao động: ϕ(t) =ω0t+ sin Ω maxt +ϕ0= ω0t+msinΩmaxt+ϕ0.
Ω max
Δω m
m= .Để triệt hết sóng mang trong phổ tín hiệu điều tần thì cần chọn
Ω max
6.10 4
m≈2,45 → Ωmax= = 24 948 rad/ s.
2,405
4.36. Hình 4.31.
Δω m ΔFm ΔFm
m = 70 = = = →
Ω max Fmax 15
ΔFm = 15.70 = 1050Khz = 1,05 Mhz.
Khi không có điều chế(không phát
tín hiệu sơ cấp,chỉ phá sóng mang) thì
khung cộng hưởng sẽ cộng hưởng ở tần
số sóng mang.
1 1
2π.82,25.106 = → (2π.82,25.10 6 ) 2 = →
LC 0 LC 0
1 1
L= = ≈ 4,68 .10 −7 H = 0,468 μH
6 2 6 2 −12
(2π.82,25.10 ) C0 (2π.82,25.10 ) .8.10
Khi có điều chế ứng với fmin÷fmax thì:
1 1
2π(f min ÷ f max ) = ÷ ;
L (C 0 + C m ) L (C 0 − C m )
1
→ 2π(82,25.10 6 + 1,05.10 6 ) =
L (C 0 − C m )
1
→ C0 − C m = = 7,8.10 −12 F = 7,8 pF; → C m = 8 − 7,8 = 0,2 pF.
−7 6 2
4,68.10 (2π.83,3.10 )
Hết chương 4
156
nguon tai.lieu . vn