Xem mẫu
- Môn
Môn học
LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN NÂNG CAO
Giảng viên: TS. Huỳnh Thái Hoàng
Bộ môn Điều Khiển Tự Động
Khoa Điện – Điện Tử
Đại học Bách Khoa TP.HCM
Bách Khoa TP
Email: hthoang@hcmut.edu.vn
Homepage: http://www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/
22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 1
- Ch
Chương 3
ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU
22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 2
- Nội dung chương 3
Giới thiệu
thi
Tối ưu hóa tĩnh
Tối ưu hóa động và phương pháp biến phân
Điều khiển tối ưu liên tục dùng phương pháp biến phân
Phương pháp qui hoạch động Bellman
Điều khiển tối ưu toàn phương tuyến tính LQR
Ước lượng trạng thái tối ưu (lọc Kalman)
Điều khiển tối ưu LQG
khi LQG
22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 3
- GI
GIỚI THIỆU
22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 4
- Giới thiệu
Điều khiển tối ưu là bài toán xác định luật điều khiển cho hệ thống
khi là bài toán xác đị lu khi cho th
động cho trước sao cho tối thiểu hóa một chỉ tiêu chất lượng.
Điều khiển tối ưu được phát triển trên cơ sở toán học: phương pháp
biến phân được phát triển bởi các nhà toán học như Bernoulli, Euler,
Lagrange, Weiertrass,…
Từ những năm 1950, điều khiển tối ưu phát triển mạnh mẽ và trở
nh 1950 khi phát tri và tr
thành một lĩnh vực độc lập. Các phương pháp điều khiển tối ưu quan
trọng nhất là:
Phương pháp quy hoạch động do Richard Bellman (1920-1984)
đưa ra trong thập niên1950.
Nguyên lý cực tiểu Pontryagin do Lev Pontryagin (1908-1988)
lý ti Pontryagin do Lev Pontryagin (1908
và các đồng sự đưa ra trong thập niên 1950.
Bài toán điều chỉnh toàn phương tuyến tính và lọc Kalman do
Rudolf Kalman (b. 1930) đưa ra trong những năm1960.
22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 5
- Phân loại bài toán điều khiển tối ưu
Có nhiều bài toán điều khiển tối ưu, tùy theo:
nhi bài toán khi tùy theo:
Loại đối tượng điều khiển
Mi th gian liên
Miền thời gian liên tục hay rời rạc
hay
Chỉ tiêu chất lượng
Bài toán tối ưu có ràng buộc hay không
Điều khiển tối ưu tĩnh: chỉ tiêu chất lượng không phụ thuộc thời gian
Điều khiển tối ưu động: chỉ tiêu chất lượng phụ thuộc thời gian
Bài toán chỉnh toàn phương tuyến tính (Linear Quadractic
tí (Li
Regulator – LQR)
Bài toán điều khiển tối ưu H2
…
22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 6
- Ứng dụng
Trước khi máy tính số ra đời, chỉ có thể giải được một số ít bài toán
khi máy tính ra đờ ch có th gi đượ ít bài toán
điều khiển tối ưu đơn giản
Máy tính số ra đời cho phép ứng dụng lý thuyết điều khiển tối ưu
vào nhiều bài toán phức tạp.
Ngày nay, điều khiển tối ưu được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực:
Không gian (aerospace)
Điều khiển quá trình (proccess control)
Robot
Kỹ thuật sinh học (bioengineering)
Kinh
Kinh tế
Tài chính
…
22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 7
- TỐI ƯU HÓA TĨNH
22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 8
- Tối ưu hóa tĩnh không ràng buộc
Bài toán tối ưu tĩnh không ràng buộc: tìm m thông số thực (hay phức)
toán không ràng bu tìm th (hay ph
u1, u2,…, um sao cho hàm L(u1, u2,…, um) đạt cực tiểu:
L(u)=L(u1, u2,…, um) → min
trong đó u=[u1, u2,…, um]T
Điểm u* được gọi là điểm cực tiểu cục bộ nếu L(u)≥L(u*) với mọi u
nằm trong lân cận ε của u*.
Điểm u* được gọi là điểm cực tiểu toàn cục nếu L(u)≥L(u*) với mọi u
22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 9
- Điều kiện cực trị không ràng buộc
Giả sử L(u) khả đạo hàm theo u, thì điều kiện cần và đủ để u* là
kh đạ hàm theo thì ki đủ
điểm cực tiểu cục bộ là:
⎧ Lu (u* ) = 0
⎨
Luu (u* ) > 0
⎩
trong đó:
⎡ ∂L ∂u1 ⎤
⎢ ∂L ∂u ⎥
∂L ⎢ 2⎥
Lu = =
∂u ⎢ M ⎥
⎢ ⎥
⎣∂L ∂u m ⎦
⎡ ∂ 2 L ∂u1u1 ∂ 2 L ∂u1u2 L ∂ 2 L ∂u1um ⎤
∂2L ⎢ ⎥
Luu = 2 = ⎢ M M M ⎥
∂u
⎢∂ 2 L ∂umu1 ∂ 2 L ∂umu2 L ∂ 2 L ∂u mum ⎥
⎣ ⎦
22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 10
- Tìm cực trị không ràng buộc – Thí dụ 1
Tìm
Tìm cực trị hàm: L(u) = 5u12 + 2u2 + 2u1u2 + 8u1 + 3u2
2
tr hàm:
Giải:
Điều kiện cần có cực trị:
⎡ ∂L ⎤
∂L ⎢ ∂u1 ⎥ ⎧10u1 + 2u2 + 8 = 0 ⎧u1 = −0.7222
*
⎪ ⎪
Lu = =⎢ ⎥=0 ⇒ ⎨ ⇒⎨
∂u ⎢ ∂L ⎥ ⎪2u1 + 4u 2 + 3 = 0 ⎪u2 = −0.3889
*
⎩ ⎩
⎣ ∂u2 ⎥
⎢ ⎦
Xét vi phân bậc hai:
vi phân hai:
⎡ ∂2L ∂2L ⎤
⎢ ⎥
∂u1 ∂u 2 ⎥ ⇒ L = ⎡10 2⎤
∂u12 ⇒ Luu > 0
Luu = ⎢ 2 ⎢ 2 4⎥
uu
⎢ ∂L ∂L ⎥
2
⎣ ⎦
⎢ ∂u ∂u ∂u 2 ⎥
2
⎣12 ⎦
(u1 , u 2 ) = (−0.7222;−0.3889) là điểm cực tiểu.
* *
⇒
22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 11
- Tìm cực trị không ràng buộc – Thí dụ 1
Tìm
u* = (−0.7222;−0.3889)
250
200
150
L 100
50
0
u* 4
-50
2
6 4 0
2 0
u1
-2
-2 -4
u2 -4
-6
22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 12
- Tối ưu hóa tĩnh có ràng buộc
Bài toán tối ưu tĩnh có ràng buộc: tìm vector thông số u sao cho hàm
toán có ràng bu tìm vector cho hàm
L(x,u) đạt cực tiểu, đồng thời thỏa điều kiện f(x,u)=0
L(x,u) → min
f(x,u)=0
trong đó x=[x1, x2,…, xn]T
u=[u1, u2,…, um]T
L : ℜn × ℜm → ℜ
f : ℜn × ℜm → ℜ p
L(x,u) gọi là hàm đánh giá và f(x,u) là điều kiện ràng buộc
22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 13
- Hàm
Hàm Hamilton
Định nghĩa hàm Hamilton:
ngh hàm Hamilton
H ( x , u) = L ( x , u) + λ T f ( x , u)
trong đó λ ∈ ℜ p là vector hằng số, gọi là thừa số Larrange
là vector là th Larrange
Do ràng buộc f(x,u) = 0 nên cực tiểu của L(x,u) cũng chính là cực
tiểu của H(x,u).
ti
⇒ Biến đổi bài toán tìm cực tiểu hàm L(x,u) với ràng buộc f(x,u) = 0
thành bài toán tìm cực tiểu không ràng buộc hàm Hamilton H(x,u)
bài tì ti khô hà
Vi phân hàm Hamilton:
∂H ( x , u) ∂H ( x , u)
dH ( x , u) = dx + du
∂x ∂u
22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 14
- Thừa số Lagrange
Th
Do ta cần tìm cực trị theo u nên có thể tự do chọn thừa số Lagrange
ta tìm tr theo có th do ch th Lagrange
sao cho:
∂H ( x , u) ∂L( x, u) T ∂f ( x , u)
+λ
H x ( x , u) = = =0
∂x ∂x ∂x
−1
⎡ ∂L( x , u) ⎤ ⎡ ∂f ( x , u) ⎤
λ = −⎢
⇒ T
⎥⎢ ⎥
⎣ ∂x ⎦ ⎣ ∂x ⎦
Viết gọn lại: λ T = − Lx [ f x ]
−1
22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 15
- Độ dốc của hàm mục tiêu với điều kiện ràng buộc
Độ
∂L( x , u) ∂L( x , u)
Vi phân hàm mục tiêu: dL( x , u) = dx +
hà tiê du
∂x ∂u
∂f ( x, u) ∂f ( x , u)
Do f(x,u) = 0 nên: df ( x, u) = dx + du = 0
∂x ∂u
−1
∂f ( x, u) ⎤ ∂f ( x , u)
⎡
dx = − ⎢
⇒ du
⎥
⎣ ∂x ⎦ ∂u
Thay (2) vào (1), ta được:
−1
∂L( x, u) ⎡ ∂f ( x, u) ⎤ ∂f ( x, u) ∂L( x , u)
dL( x , u) = − du + du
⎢ ∂x ⎥
∂x ⎣ ∂u ∂u
⎦
∂H ( x , u)
∂f ( x, u) ∂L( x , u) ⎤
⇒ dL( x, u) = ⎡λ T ⇒ dL( x , u) =
+ du
⎥ du
⎢ ∂u
∂u ∂u ⎦
⎣
⇒Với điều kiện f(x,u)=0, độ dốc của L(x,u) theo u chính bằng Hu(x,u)
⇒ Điều kiện để L(x,u) đạt cực trị với ràng buộc f(x,u)=0 là:
ki để đạ tr ràng bu là:
H u ( x , u) = 0
22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 16
- Điều kiện cần cực trị có ràng buộc
Kết hợp với điều kiện xác định hằng số Lagrange, điều kiện cần để
ki xác đị Lagrange ki để
L(x,u) đạt cực trị có ràng buộc f ( x , u) = 0 là:
⎧ H x ( x , u ) = Lx ( x , u ) + λ T f x ( x , u ) = 0
⎪
⎨ H u ( x , u) = Lu ( x, u) + λ f u ( x, u) = 0
T
⎪ H λ ( x , u) = f ( x , u ) = 0
⎩
H ( x , u) = L( x, u) + λT f ( x , u)
trong đó:
22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 17
- Tìm cực trị có ràng buộc – Thí dụ 1
Tìm
Tìm cực trị hàm: L(u) = 5u12 + 2u2 + 2u1u2 + 8u1 + 3u2
2
Tì hà
Với điều kiện ràng buộc:
f (u) = u1 + 6u 2 − 2 = 0
Giải:
Hà
Hàm Hamilton:
H (u) = L(u) + λT f (u)
⇒ H (u) = 5u12 + 2u2 + 2u1u2 + 8u1 + 3u2 + λ (u1 + 6u2 − 2)
2
22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 18
- Tìm cực trị có ràng buộc – Thí dụ 1
Tìm
Điều kiện cần để có cực trị:
ki để có tr
∂H (u)
= 10u1 + 2u2 + 8 + λ = 0
∂u1
⎧ H x ( u) = 0
⎪ ∂H (u)
⇒
⎨ H u ( u) = 0 = 2u1 + 4u2 + 3 + 6λ = 0
⎪ f ( u) = 0 ∂u2
⎩
f (u) = u1 + 6u2 − 2 = 0
Giải hệ phương trình, ta được:
u* = [− 0.8412 0.4735] λ = −0.5353
T
H (u) = 5u12 + 2u2 + 2u1u2 + 8u1 + 3u2 + λ (u1 + 6u2 − 2)
2
22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 19
- Tìm cực trị có ràng buộc – Thí dụ 1
Tìm
u* = [− 0.8412 0.4735]
T
250
200
150
L 100
50
0
u* 4
-50
2
6 4 0
2 0
u1
-2
-2 -4
u2 -4
-6
22 March 2011 © H. T. Hoàng - HCMUT 20
nguon tai.lieu . vn
