Xem mẫu
- Chương 4 : ði u khi n b n v ng
Chương 4
ðI U KHI N B N V NG
4.1 Gi i thi u
4.1.1 Khái ni m ñi u khi n b n v ng
H th ng ñi u khi n b n v ng làm cho ch t lư ng c a s n ph m luôn n
ñ nh, không ph thu c vào s thay ñ i c a ñ i tư ng cũng như c a nhi u tác
ñ ng lên h th ng. M c ñích c a ñi u khi n b n v ng là thi t k các b ñi u
khi n K duy trì n ñ nh b n v ng không ch v i mô hình danh ñ nh c a ñ i
tư ng (P0) mà còn th a v i m t t p mô hình có sai s ∆ so v i mô hình
chu n ( P∆ ).
P0 :Mô hình chu n (mô hình danh
ñ nh)
P∆ :Mô hình th c t v i sai l ch
∆ so v i mô hình chu n
Hình 4.1 : Mô hình ñi u khi n b n v ng
Cho t p mô hình có sai s P∆ và m t t p các ch tiêu ch t lư ng, gi s
P0 ∈ P∆ là mô hình danh ñ nh dùng ñ thi t k b ñi u khi n K.H th ng
h i ti p vòng kín ñư c g i là có tính :
- n ñ nh danh ñ nh: n u K n ñ nh n i v i mô hình danh ñ nh P0
- n ñ nh b n v ng: n u K n ñ nh n i v i m i mô hình thu c P∆
- Ch t lư ng danh ñ nh: n u các m c tiêu ch t lư ng ñư c th a ñ i v i mô
hình danh ñ nh P0
Trang 411
- Chương 4 : ði u khi n b n v ng
- Ch t lư ng b n v ng: n u các m c tiêu ch t lư ng ñư c th a ñ i v i m i
mô hình thu c P∆
M c tiêu bài toán n ñ nh b n v ng là tìm b ñi u khi n không ch n ñ nh
mô hình danh ñ nh P0 mà còn n ñ nh m t t p các mô hình có sai s P∆
4.1.2 Chu n c a tín hi u
4.1.2.1 Khái ni m chu n
Trong ñi u khi n nói riêng cũng như trong các công vi c có liên quan ñ n
tín hi u nói chung,thông thư ng ta không làm vi c ch riêng v i m t tín hi u
ho c m t vài tín hi u ñi n hình mà ngư c l i ph i làm vi c v i m t t p g m
r t nhi u các tín hi u khác nhau. Khi ph i làm vi c v i nhi u tín hi u khác
nhau như v y ch c ch n ta s g p bài toán so sánh các tín hi u ñ ch n l c
ra ñư c nh ng tín hi u phù h p cho công vi c.
Các khái ni m như tín hi u x1(t) t t hơn tín hi u x2(t) ch th c s có nghĩa
n u như chúng cùng ñư c chi u theo m t tiêu chu n so sánh nào ñó. Cũng
như v y n u ta kh ng ñ nh r ng x1(t) l n hơn x2(t) thì ph i ch rõ phép so
sánh l n hơn ñó ñư c hi u theo nghĩa nào, x1(t) có giá tr c c ñ i l n hơn ,
có năng lư ng l n hơn hay x1(t) ch a nhi u thông tin hơn x2(t)…..Nói m t
cách khác ,trư c khi so sánh x1(t) v i x2(t) chúng ta ph i g n cho m i m t
tín hi u m t giá tr ñánh giá tín hi u theo tiêu chu n so sánh ñư c l a ch n .
ð nh nghĩa: Cho m t tín hi u x(t) và m t ánh x x(t) →||x(t)|| ∈ R+ chuy n
x(t) thành m t s th c dương ||x(t)||.S th c dương này s ñư c g i là chu n
c a x(t) n u nó th a mãn:
a. ||x(t)|| ≥ 0 và ||x(t)|| = 0 khi và ch khi x(t) =0 (4.1)
b. ||x(t)+y(t)|| ≤ ||x(t)|| + ||y(t)|| ∀ x(t), y(t) (4.2)
c. ||ax(t)|| = |a|.||x(t)|| ∀ x(t) và ∀a ∈ R . (4.3)
4.1.2.2 M t s chu n thư ng dùng trong ñi u khi n cho m t tín hi u x(t):
∞
|| x(t ) ||1 = ∫ | x(t ) |dt
- Chu n b c 1: (4.4)
−∞
∞
∫ | x(t ) |
2
- Chu n b c 2: || x(t ) || 2 = dt . (4.5)
−∞
Trang 412
- Chương 4 : ði u khi n b n v ng
Bình phương chu n b c hai chính là giá tr ño năng lư ng c a tín hi u x(t).
∞
∫ | x(t ) |
-Chu n b c p: || x(t ) || p = v ip∈ N (4.6)
p
dt
p
−∞
- Chu n vô cùng: || x(t ) || ∞ = sup | x(t ) | (4.7)
t
ñây là biên ñ hay ñ nh c a tín hi u
Khái ni m chu n trong ñ nh nghĩa trên không b gi i h n là ch cho m t tín
hi u x(t) mà còn ñư c áp d ng ñư c cho c vector tín hi u g m nhi u ph n
t và m i ph n t l i là m t tín hi u.
Xét m t vector tín hi u:
x1 (t )
x(t) = M
x (t )
n
- Chu n 1 c a vector x:
n
x 1 = ∑ xi (4.8)
i =1
- Chu n 2 c a vector x:
n
∑x
2
(4.9)
=
x i
2
i =1
- Chu n vô cùng c a vector x:
= max xi (4.10)
x ∞
i =1, 2 ,...,n
4.1.2.3 Quan h c a chu n v i nh Fourier và nh Laplace:
ð ph c v m c ñích s d ng khái ni m chu n vào ñi u khi n ,ta c n quan
tâm t i m i liên quan gi a chu n tín hi u x(t) là ||x(t)|| v i nh Fourier
X(j ω ) cũng như nh Laplace X(s) c a nó.
Trang 413
- Chương 4 : ði u khi n b n v ng
ð nh lí 4.1: (Parseval) Chu n b c hai c a m t tín hi u x(t) và nh Fourier
X(j ω ) c a nó có quan h :
∞ ∞
1
|| x(t ) || 2 = ∫ | x(t ) |2 dt = ∫ | X ( jω ) |
2
(4.11)
dω
2π
2
−∞ −∞
Cho tín hi u nhân qu causal x(t). G i X(s) là nh Laplace c a nó .Gi s
r ng X(s) có d ng th c -h u t v i b c c a ña th c t s không l n hơn b c
ña th c m u s ,t c là:
B( s ) b0 + b1 s + ..... + bm s m
X (s) = v im
- Chương 4 : ði u khi n b n v ng
1 0 L 0
0 1 L 0
- Ma tr n ñư ng chéo I = diag(1) = g i là ma tr n ñơn v .
M M M M
0 0 L 1
- Ma tr n vuông A=(aij) có aij = 0 khi i > j (ho c i < j) ñư c g i là ma tr n
tam giác
+ Ma tr n tam giác dư i
0 L 0
a11
a a 22 L 0
A= 21 (4.15)
M M
M M
an 2 L a nn
an1
+ Ma tr n tam giác trên
a11 a12 L a1n
0 a 22 L a2 n
A= (4.16)
M M
M M
0 0 L ann
4.1.3.2 Các phép tính v ma tr n:
- Phép c ng / tr : Cho hai ma tr n A=(aij) và B=(bij) cùng có m hàng và n
c t .T ng hay hi u A ± B = C =(cij) c a chúng ñư c ñ nh nghĩa là m t ma
tr n cũng có m hàng và n c t v i các ph n t
cij = aij + bij i=1,2,…..,m và j=1,2,…..,n.
- Phép nhân v i s th c: Cho ma tr n A=(aij) có m hàng và n c t và m t s
vô hư ng th c(ph c) x tùy ý .Tích B = xA = Ax = (bij) ñư c hi u là ma tr n
cũng có m hàng và n c t v i các ph n t
Bij = x.aij i=1,2,….m và j=1,2,…..,n
- Phép chuy n v : Ma tr n chuy n v c a ma tr n A=(aij) v i m hàng và n c t
là ma tr n AT = (aji) có n hàng và m c t ñư c t o t ma tr n A qua vi c hoán
chuy n hàng thành c t và ngư c l i c t thành hàng.
- Phép nhân ma tr n: Cho ma tr n A=(aik) có m hàng và p c t và ma tr n
B=(bkj) có p hàng và n c t ,t c là :
Trang 415
- Chương 4 : ði u khi n b n v ng
+ A=(aik) i=1,2,....,m và k=1,2,….,p
+ B=(bkj) k=1,2,….,p và j=1,2,…..,n
Tích AB = C =(cij) c a chúng là m t ma tr n có m hàng và n c t v i các
ph n t
p
∑a
Cij = bkj
ik
k =1
M t ma tr n vuông A ∈ R n×n ñư c g i là ma tr n tr c giao n u ATA=AAT=I
4.1.3.3 H ng c a ma tr n:
Cho n vector vi i=1,2,…,n Chúng s ñư c g i là ñ c l p tuy n tính n u ñ ng
th c a1v1+a2v2+…….+anvn=0 trong ñó ai là nh ng s th c (ho c ph c) s
ñúng khi và ch khi a1 = a2 = …..=an = 0
Xét m t ma tr n A=(aij) b t kì có m hàng và n c t .N u trong s m vector
hàng có nhi u nh t p ≤ m vector ñ c l p tuy n tính và trong s n vector c t
có nhi u nh t q ≤ n vector ñ c l p tuy n tính thì h ng ma tr n ñươc hi u là:
Rank(A) = min{p,q}
M t ma tr n vuông A ki u (n × n) s ñư c g i là không suy bi n n u
Rank(A)=n .Ngư c l i n u Rank(A)
- Chương 4 : ði u khi n b n v ng
Do ph i t n t i c hai phép nhân AA-1 và A-1A cho ra k t qu có cùng ki u
nên ma tr n A ph i là m t ma tr n vuông,t c là ph i có m = n.Hơn n a do
det(I) = 1 ≠ 0 nên:
det(A)det(A-1) ≠ 0 => det(A) ≠ 0 và det(A-1) ≠ 0. (4.22)
V y A ph i là ma tr n không suy bi n.
Ma tr n ngh ch ñ o A-1 c a A có tính ch t sau:
- Ma tr n ngh ch ñ o A-1 c a A là duy nh t (4.23)
- T p h p t t c các ma tr n vuông cùng ki u và không suy bi n cùng v i
phép nhân ma tr n t o thành m t nhóm (không giao hoán). (4.24)
a b 1 d − b
- Ngh ch ñ o ma tr n ki u (2 × 2): A −1 = = det( A) − c a (4.25)
c d
- (AB)-1 = B-1A-1 (4.26)
- (A-1)T = (AT)-1 (4.27)
1
- N u A = diag(ai) và không suy bi n thì A-1 = diag (4.28)
ai
Aadj
- A-1 = (4.29)
det( A)
trong ñó Aadj là ma tr n có các ph n t a ij = (-1)i+jdet(Aij) v i Aij là ma tr n
thu ñư c t A b ng cách b ñi hàng th j và như c t th i.
- Cho ma tr n A ∈ Rn × n không suy bi n . N u U ∈ Rn × m và V ∈ Rn × m là
hai ma tr n làm cho (I+VTA-1U) cũng không suy bi n thì
(A+UVT)-1 = A-1 – A-1U(I+VTA-1U)-1VTA-1 (4.30)
A1 A2
- Cho ma tr n vuông A = không suy bi n,trong ñó A1,A2,A3,A4
A4
A3
cũng là các ma tr n.
N u A1 không suy bi n và B = A4 – A3A1-1A2 cũng không suy bi n thì
−1
A1 −1 + A −11 A2 B −1 A3 A1 −1 − A1 A2 B −1
−1
A A2
A = 1
−1
(4.31)
=
A4 −1
− B −1 A3 A1 B −1
A3
Trang 417
- Chương 4 : ði u khi n b n v ng
N u A4 không suy bi n và C = A1 – A2A4-1A3 cũng không suy bi n thì
−1
−1
C −1 − C −1 A2 A4
A A2
A = 1
−1
(4.32)
= −1
A4 −1 −1 −1
−1
A4 + A4 A3 C −1 A2 A3
A3 − A4 A3 AC
4.1.3.5 V t c a ma tr n:
Cho ma tr n vuông A=(aij) ,i,j=1,2,……,n ki u (nxn).V t c a A ñư c hi u
là t ng giá tr các ph n t trên ñư ng chéo chính c a A và ñư c ký hi u
b ng trace(A):
m
trace= ∑ aii (4.33)
i =1
V t c a ma tr n có các tính ch t:
a. trace(AB) = trace(BA) (4.34)
-1
b. trace(S AS) = trace(A) v i S là ma tr n không suy bi n b t kì (4.35)
4.1.3.6 Giá tr riêng và vector riêng:
S th c λ ñư c g i là giá tr riêng và vector x ñư c g i là vector riêng bên
ph i ng v i giá tr riêng λ c a A th a mãn:
Ax = λ x ∀ x (4.36)
(A - λ I)x = 0 ∀ x (4.37)
⇔
Giá tr riêng và vector riêng c a ma tr n A có nh ng tính ch t sau:
a. Hai ma tr n tương ñương A và S-1AS luôn cùng giá tr riêng, nói cách
khác giá tr riêng c a ma tr n b t bi n v i phép bi n ñ i tương ñương:
det(A- λ I)=det(S-1AS- λ I) (4.38)
b. Các giá tr riêng c a ma tr n b t bi n v i phép chuy n v , t c là:
det(A- λ I)=det(AT- λ I) (4.39)
c. N u A không suy bi n thì AB và BA có cùng các giá tr riêng ,t c là:
det(AB- λ I)=det(BA- λ I) (4.40)
T
d. N u A là ma tr n ñ i x ng (A =A) thì các vector riêng ng v i nh ng giá
tr riêng khác nhau s tr c giao v i nhau
Trong Matlab ,s d ng hàm eig(A) ñ tìm ma tr n riêng và vector riêng.
Trang 418
- Chương 4 : ði u khi n b n v ng
4.1.3.7 Tính toán ma tr n:
Cho ma tr n X = (xij) ∈ Cm × n là m t ma tr n th c (ho c ph c) và F(X) ∈ C
là m t vô hư ng th c ho c ph c c a X .ð o hàm c a F(X) ñ i v i X ñư c
ñ nh nghĩa
∂
∂
(4.41)
F(X )= F ( X )
∂X ∂xij
Cho A và B là nh ng ma tr n ph c v i không gian tương thích .M t s công
th c ñ o hàm :
∂
Trace ( AXB ) (4.42)
AT B T
=
∂X
∂
Trace ( X ) k −1 T
k(X ) (4.43)
k
=
∂X
∂
Trace ( XBX T ) = 2 XB (B = BT ) (4.44)
∂X
∂
( X T AX ) = AX + A T X (4.45)
∂X
∂
Trace ( AX T B ) = BA (4.46)
∂X
4.1.3.8 Chu n c a ma tr n:
Ngư i ta c n ñ n chu n c a ma tr n là nh m ph c v vi c kh o sát tính gi i
tích c a nó.Có nhi u chu n khác nhau cho m t ma tr n A=(aij)
,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n.
Nh ng chu n thông thư ng ñư c s d ng:
- Chu n 1 c a ma tr n A
m
A 1 = max ∑ aij (4.47)
1≤ j ≤ n
i =1
- Chu n 2 c a ma tr n A
A 2 = max λi ( A* A) (4.48)
1≤i ≤ n
- Chu n vô cùng c a ma tr n A
Trang 419
- Chương 4 : ði u khi n b n v ng
n
A ∞ = max ∑ aij (4.49)
1≤i ≤ m
j =1
- Chu n Euclide c a ma tr n A (chu n Frobenius)
2
∑∑ a = trace( AT A) (4.50)
=
A ij
F
i j
v i A* là ma tr n chuy n v và l y liên hi p. λi ( A* A) là tr riêng c a ma
tr n A* A là m t s th c không âm.
4.1.4 Tr suy bi n c a ma tr n – ñ l i chính(Principal gain)
Tr suy bi n c a ma tr n A(m x l) ñư c ký hi u là σ i ( A) ñư c ñ nh nghĩa
như sau:
σ i ( A) = λi ( A* A) i = 1,2,...k (4.51)
v i k = min{m, l} .
N u chúng ta bi u di n ma tr n A dư i d ng A(s) và ñ t s = jω
(0 ≤ ω < ∞) , thì tr suy bi n c a A( jω ) là m t hàm c a ω và ñư c g i là
ñ l i chính c a A(s). ñây chúng ta gi s r ng σ i ñư c s p x p theo th
t sao cho σ i ≥ σ i +1 . Như v y, σ 1 là tr suy bi n l n nh t và σ k là tr suy
bi n nh nh t. Ký hi u σ là tr suy bi n l n nh t và σ là tr suy bi n nh
nh t.
Ta có:
σ ( A) = max σ i ( A) = max λi ( A* A)
(4.52)
= A2
Ax 2
v i A 2 = sup .
x 2
ð l i c a h ña bi n n m gi a ñ l i chính l n nh t và nh nh t.
Trong Matlab tìm tr suy bi n c a ma tr n A dùng l nh svd(A)
Ví d : Cho ma tr n A:
Trang 420
- Chương 4 : ði u khi n b n v ng
9 4
>> A = 6 8 ;
2 7
>> S =svd(A)
S=
[14.9359
5.1883]
S: vector c a các giá tr suy bi n c a ma tr n A
121 98
A* A =
98 129
λ2 − 250λ + 6005 = 0
λ1, 2 = +125 ± 98.082
σ ( A) = max 223.082 = 14.9359
σ ( A) = 26.918 = 5.1883
Ý nghĩa v t lý c a σ , σ : v i m i giá tr t n s ω giá tr suy bi n nh nh t
ph i th a ñi u ki n c a tiêu chu n t i ưu LQ: σ [ I + KG ( jω )] ≥ 1
Im
Re
1
ω=∞ ω =0
0
σ [1 + KG ( jω )]
Bi u ñ phân b c c cho tiêu chu n t i ưu LQ
Trang 421
- Chương 4 : ði u khi n b n v ng
Im
Re
1
0 ω =0
ω =∞
PM
σ [1 + KG ( jω )]
Xác ñ nh ñ d tr pha c a h ña bi n
Im
Re
1 1 1
0 60
σ [1 + KG ( jω )]
ð d tr pha ñ m b o c a LQR
Trang 422
- Chương 4 : ði u khi n b n v ng
4.1.5 n ñ nh n i
n ñ nh n i là yêu c u cơ b n ñ i v i m t h th ng h i ti p th c. Ý nghĩa
c a n ñ nh n i là khi ñ u vào h th ng b ng không thì t t c các tr ng thái
h th ng ñ u ph i v không t m i giá tr ban ñ u. M i h th ng t ñ ng
ñ u ph i b o ñ m n ñ nh n i m i ho t ñ ng ñư c.
e1
+
w1 G
+
+
+ w2
K e2
Hình 4.2 : Sơ ñ h th ng dùng ñ phân tích n ñ nh n i
ð nh nghĩa :
H h i ti p hình 4.2 ñư c g i là n ñ nh n i n u t t c các hàm truy n ñ t t
w1, w2 ñ n e1, e2 ñ u n ñ nh.
ði u ki n n ñ nh n i ch t hơn ñi u ki n n ñ nh d a trên hàm truy n vào-
ra thông thư ng, vì nó tránh vi c kh các c c và zero không n ñ nh gi a
các khâu liên ti p nhau. Khi thành l p hàm truy n vào-ra, có th x y ra hi n
tư ng kh c c và zero không n ñ nh c a các khâu liên ti p nhau. Như v y,
ñi u ki n n ñ nh n i b o ñ m các tín hi u bên trong h th ng ñ u h u h n
khi tín hi u vào là h u h n.
Ví d , ta kh o sát ñi u ki n n ñ nh n i c a h th ng hình 4.2:
e1 = w1 + Ke2 = w1 + Kw2 + KGe1
⇒ e1 = ( I − KG ) −1 w1 + ( I − KG ) −1 Kw2
e2 = w2 + Ge1 = w2 + Gw1 + GKe2
⇒ e2 = ( I − GK ) −1 Gw1 + ( I − GK ) −1 w2
Trang 423
- Chương 4 : ði u khi n b n v ng
e ( I − KG ) −1 ( I − KG ) −1 K w1
Suy ra: 1 = −1
−1
e2 ( I − GK ) G ( I − GK ) w2
ði u ki n n ñ nh n i c a h là các hàm truy n ( I − KG )−1 , ( I − KG )−1 K ,
( I − GK ) −1 G , ( I − GK )−1 ñ u n ñ nh.
4.1.6 ð nh lý ñ l i nh (Small Gain Theorem)
Cho h th ng ñư c bi u di n như hình 4.3: G i λi là tr riêng c a G
u
r y
G
-
Hình 4.3 : H th ng h i ti p vòng kín
ð nh lý ñ l i nh ñư c phát bi u như sau:
Gi thi t r ng G(s) n ñ nh, ρ(G(jω)) là bán kính ph c a G(jω). H th ng
vòng kín n ñ nh n u ρ (G ( jω )) = max( λi ) < 1 , ho c G( jω ) ∞ < 1, ∀ω
ð i v i h SISO thì
ρ (G ( jω )) = G ( jω ) < 1 (4.53)
ð nh lý ñ l i nh ch là ñi u ki n ñ ñ xét n ñ nh c a h th ng. ði m
m nh c a ñ nh lí này là nó không yêu c u nh ng thông tin chi ti t v h
th ng.Vì v y nó không ch ng d ng ñư c cho h th ng tuy n tính b t bi n
theo th i gian mà còn ng d ng ñư c cho h th ng phi tuy n, thay ñ i theo
th i gian.
4.1.7 n ñ nh b n v ng
4.1.7.1 ð nh lý n ñ nh b n v ng
ðây là mô hình cơ b n dùng ñ phân tích tính n ñ nh b n v ng c a m t h
th ng. N u h danh ñ nh n ñ nh thì M n ñ nh và ∆ là sai s có th làm
cho h th ng m t n ñ nh. ð nh lý sau thi t l p ñi u ki n c a M ñ cho h
th ng v n n ñ nh dư i nh hư ng c a ∆
Trang 424
- Chương 4 : ði u khi n b n v ng
v w
∆
M
Hình 4.4 : Sơ ñ c u trúc phân tích n ñ nh b n v ng
ð nh lý n ñ nh b n v ng:
Gi s M và ∆ n ñ nh, h th ng vòng kín hình 4.4 s n ñ nh khi và ch khi
bi u ñ c c c a ñư ng cong Nyquist det(I-M∆) không bao ñi m g c. Khi ñó
h th ng vòng kín s n ñ nh b n v ng v i m i ∆ (σ (∆) ≤ 1) n u và ch n u
khi m t trong các ñi u ki n sau th a mãn:
a. Det ( I − M∆( jω )) ≠ 0 (4.54)
∀ω , ∀∆ (σ ≤ 1)
b. ρ ( M∆( jω )) < 1 (4.55)
∀ω , ∀∆ (σ ≤ 1)
c. M = σ ( M ( jω )) < 1 (4.56)
∀ω
∞
4.1.7.2 ði u ki n n ñ nh b n v ng ñ i v i sai s c ng:
Vi σ (∆( jω )) ≤ 1 ∀ω , (4.57)
∆ A ( s ) = δ A ( s )∆( s ),
v w
∆
M
δA
+
G
K
-
Hình 4.5 : Sai s c ng
Ta có: v( s ) = − K ( s )[δ A ( s ) w( s ) + G ( s )v( s )] (4.58)
Trang 425
- Chương 4 : ði u khi n b n v ng
hay
v( s ) = −[ I + K ( s )G ( s )]−1 K ( s )δ A ( s ) w( s ) (4.59)
vy
K ( s )δ A ( s )
M ( s) = − (4.60)
[ I + K ( s )G ( s )]
K t lu n: H th ng vòng kín hình 4.5 n ñ nh b n v ng khi và ch khi:
K ( s )δ A ( s )
σ ( jω ) =||M(s)||∞=
- Chương 4 : ði u khi n b n v ng
vy
G ( s ) K ( s )δ O ( s )
(4.65)
M =−
I + G( s) K ( s)
K t lu n: H th ng vòng kín hình 4.6 n ñ nh b n v ng khi và ch khi:
G ( s ) K ( s )δ O ( s )
- Chương 4 : ði u khi n b n v ng
ðây là v n ñ ñi u khi n tuy n tính nhi u lo n. Kho ng th i gian [0 T] là
xác ñ nh nhưng th t s chúng ta xem xét trư ng h p T → ∞ . T i b t kỳ th i
gian t toàn b tín hi u ño ñư c quá kh ñư c gi s có giá tr cho h i
ti p. Hình (4.7) làm rõ trư ng h p này :
w
z
u
SYSTEM
+
+ y
v
CONTROLLER
Hình 4.7 : H i ti p LQG
4.2.2 B quan sát
Xem xét h th ng quan sát :
x(t ) = Ax(t ) + Bu(t )
&
y(t ) = Cx(t ) (4.70)
n
x (t ) ∈ R
ðây là h th ng (4.67) nhưng không có nhi u h th ng w và nhi u ño v.
Tr ng thái x c a h th ng (4.70) không th s d ng ñư c tr c ti p b i vì ch
ngõ ra y là ño ñư c. Xây d ng l i tr ng thái v i s chính xác tùy ý b i vi c
k t n i m t b quan sát :
&
ˆ ˆ ˆ (4.71)
x(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) + L[ y (t ) − Cx(t )] t ∈ R
ˆ
Tín hi u x(t ) là m t ư c lư ng c a tr ng thái x(t). Nó th a mãn phương
trình vi phân tr ng thái c a h th ng (4.70) v i thành ph n thêm vào
ˆ
L [ y (t ) − Cx(t )] . L là ma tr n ñ l i quan sát c n ñư c l a ch n phù h p. Sai
ˆ
s quan sát y(t) − Cx(t ) là s khác nhau gi a ngõ ra ño ñư c th c t y(t) và
Trang 428
- Chương 4 : ði u khi n b n v ng
ˆ ˆ ˆ
ngõ ra y (t ) = Cx(t ) .Thành ph n thêm vào L [ y (t ) − Cx(t )] cung c p m t s
ñi u ch nh ch ñ ng ngay khi sai s c a s quan sát là khác 0.
z
u
SYSTEM
y
+
L
-
ˆ
y
SYSTEM
ˆ
x
MODEL
Hình 4.8 : C u trúc c a m t b quan sát
Hình (4.8) cho th y c u trúc c a b quan sát .ð nh nghĩa :
~ (t ) = x(t ) − x(t )
ˆ (4.72)
x
là sai s ư c lư ng tr ng thái. Phương trình vi phân c a ~ nh n ñư c sau
x
khi tr (4.70) cho (4.71) :
x(t ) = ( A − LC ) x (t ) t ∈ R
& (4.73)
% %
N u h th ng (4.70) ñư c tìm th y thì t n t i ma tr n ñ l i L mà sai s h
th ng (4.73) là n ñ nh. N u sai s h th ng là n ñ nh thì
~ (t ) → 0 khi t → ∞ cho b t kỳ sai s ~ (0). Vì v y
x x
ˆ →∞
x(t ) t → x(t ) (4.74)
Tr ng thái ư c lư ng h i t v tr ng thái th c.
Trong Matlab dùng hai l nh acker và place ñ tính ma tr n L c a khâu
quan sát tr ng thái :
L= acker(AT,CT,p)
L= place(AT,CT,p)
AT : Chuy n v c a ma tr n A
CT : Chuy n v c a ma tr n C
p : Khai báo các ñi m c c mong mu n
Trang 429
- Chương 4 : ði u khi n b n v ng
4.2.3 B l c Kalman
4.2.3.1 ð t v n ñ :
B l c Kalman là m t b quan sát ñư c s d ng cho các ng d ng yêu c u
xây d ng l i h phương trình tr ng thái khi tính ñ n nh hư ng c a nhi u ño
ñư c.
Phương trình tr ng thái c a ñ i tư ng :
x =Ax+Bu+ γ w (4.75)
&
y=Cx+v (4.76)
v i tr ng thái x(t) ∈ R n ,ngõ vào ñi u khi n u(t) ∈ R m , và ngõ ra ño lư ng
y(t) ∈ R p .Tín hi u w(t) là nhi u quá trình chưa bi t trư c tác ñ ng làm nhi u
h th ng.Tín hi u v(t) là m t nhi u ño không xác ñ nh ñư c , làm suy gi m
vi c ño lư ng ch ng h n như nhi u c m bi n.Giá tr ban ñ u x(0), nhi u
w(t) ho c v(t) không bi t ñư c chính xác.Gi s x(0), w(t) và v(t) ñ u tr c
giao qua l i v i nhau.
w(t) v(t)
γ
x y
&
u x
∫ C
B
H th ng
A
~
y
L
-
&
ˆ ˆ
ˆ
x y
x
∫ C
B
B l c Kalman
A
Hình 4.9 : B quan sát tr ng thái c a Kalman
Trang 430
nguon tai.lieu . vn
