Xem mẫu
- KYÕ THUAÄT THOÂNG TIN QUANG
MODE SOÙNG
1
- NOÄI DUNG
Cô sôû toaùn hoïc
Heää p
phöông trình Maxwell
g
Truyeàn aùnh saùng trong oáng daãn soùng phaúng
Truyen aùnh saùng
Truyeàn anh sang trong sôi quang
sôïi
2
- CÔ SÔÛ TOAÙN HOÏC
Heä toaï ñoä vuoâng goùc Oxyz:
A = A(x,y,z) = Axex + Ayey + Azez
∂ ∂ ∂
∇= ex + e y + ez (toaùn töû nabla)
∂x ∂y ∂z
∂Ax ∂Ay ∂Az ∂f ∂f ∂f
∇ ⋅ A = divA = + + ∇f = ex + e y + e z
∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
ex ey ez
∂ ∂ ∂
∇ × A = r o tA =
∂x ∂y ∂z
A x A y Az
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=
⎜
⎜ ∂A z − ∂A y ⎟
⎟ ex −
⎛
⎜
⎜
∂A z − ∂A x ⎞
⎟
⎟ ey +
⎜
⎜
∂A y ∂A x
−
⎟
⎟ ez
⎜
⎜
⎝ ∂y ∂z ⎟
⎟
⎠
⎜
⎝ ∂x ∂z ⎟
⎠
⎜
⎜
⎝ ∂x ∂y ⎟
⎟
⎠
3
- CÔ SÔÛ TOAÙN HOÏC
Heä toaï ñoä truï (r,φ,z)
A = A(r,φ,z) = Arer + Aφ eφ + Azez
∂ ∂ ∂ ∂f 1 ∂f ∂f
∇= er + eφ + ez ∇f = er + eφ + ez
∂r ∂φ ∂z ∂r r ∂φ ∂z
1 ∂ (rAr ) 1 ∂Aφ ∂Az
∇ ⋅ A = di A =
divA + +
r ∂r r ∂φ ∂z
1 1
e r eφ ez
r r
∂ ∂ ∂
∇ × A = r o tA =
∂x ∂y ∂z
A x rA y Az
1∂A z − ∂Aφ ∂Aφ 1∂A ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎛
=
⎜
⎜
⎟
⎟ er − ⎜ ∂A z − ∂A r ⎞ e +
⎟ ⎜
⎜ −r r⎟e
⎟
⎜
⎜ r ∂φ ∂z ⎟
⎟
⎜
⎜
⎝ ∂r ∂z ⎟ φ
⎟
⎠
⎜
⎜ ∂r ∂φ ⎟ z
⎟ 4
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
- CÔ SÔÛ TOAÙN HOÏC
Bieán ñoåi giöõa heä toaï ñoä vuoâng goùc vaø heä toaï ñoä truï:
x = rcosφ y = rsinφ z=z
Ñaúng thöùc vectô:
∇ × (∇ × A) = ∇(∇ ⋅ A) − ∇ 2 A
5
- HEÄ PHÖÔNG TRÌNH MAXWELL
∂B
Heä PT Maxwell: ∇ × E = −
∂t
∂D
∇ × H = J +
∂t
∇ ⋅ D = ρ
∇ ⋅ B = 0
Trong ño:
ñoù:
− E: vectô cöôøng ñoä ñieän tröôøng (V/m); H: vectô cöôøng ñoä töø tröôøng (A/m)
− D: vectô caûm öùng ñieän (C/m2); D = εE = εr ε0 E
− B: vectô caûm öùng töø (H/m2); B = μH = μr μ0 H
− ε0: haèèng soáá ñieän moâi cuûûa chaân khoâng; ε0 = (1/36π).10-9 (F/m)
9
− εr: haèng soá ñieän moâi töông ñoái cuûa moâi tröôøng so vôùi chaân khoâng
− μ 0: ñoä töø thaåm cuûa chaân khoâng; μ0 = 4π.10-7 (H/m)
− μr: ñoää töø thaåm tuông ñoái cuûa moâi tröôøng so vôùi chaân khoâng
g
− ρ: maät ñoâ ñieän tích cuûa moâi tröôøng (C/m3)
− J: maät ñoä doøng ñieän (A/m2), J=σE vôùi σ(A/V.m) laø doä daãn ñieän cuûa moâi tröôøng
6
- HEÄ PHÖÔNG TRÌNH MAXWELL
Vaän toác aùnh saùng truyeàn trong chaân khoâng:
1 1 1
c= = = = 3.108 (m / s )
ε 0 μ0 (1 36π ) ⋅10−9 × 4π ⋅10−7 (1 9) ⋅10−16
Vaän toác aùnh saùng truyeàn trong moâi tröôøng coù chieát suaát n:
1 1 1 1 c
v= = = ⋅ =
εμ ε rε 0 μr μ0 ε r μr ε 0 μ0 n
trong ñoù n = ε r μ r laø chieát suaát cuûa moâi tröôøng
g
Quan heä giöõa , taàn soá f, taàn soá goùc ω vaø böôùc soùng λm:
ω = 2πf λf = c λ mf = v
trong ñoù, λ vaø λm laø böôùc soùng cuûa aùnh saùng trong chaân
khoâng vaø trong moâi tröôøng coù chieát suaát n λm = λ/n 7
- TRUYEN ANH SANG
TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG OÁNG DAÃN SOÙNG PHAÚNG
Xeùt moät oáng daãn soùng ñieän moâi (ρ =0, J=0) phaúng (roäng 2d), chieát suaát
n1, lyù töôûng (ñaúng höôùng, tuyeán tính, khoâng suy hao):
x
d n2 < n1
Höôùng truyeàn n1
y z
0
-d
Soùng ñieän töø truyeàn trong oáng daãn soùng ñieän moâi phaúng naøy laø soùng
ñieän töø ngang TEM: vectô ñieän tröông E va vectô tö tröôøng H vuong
tö tröôøng vaø töø tröông vuoâng
goùc vôùi nhau vaø vuoâng goùc vôùi höôùng truyeàn
Choïn heä truïc toaï ñoä Oxyz nhö treân hình veõ, trong ñoù z laø höôùng truyeàn
song,
soùng maët daãn song nam trong maët phaúng y-z, ta coù:
dan soùng naèm phang y z co:
Ex = 0 Ez = 0 E(x,y,z)=Ey ; ∂ E = 0
∂y
(ñoàng nhaát theo höôùng y) 8
- TRUYEN ANH SANG
TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG OÁNG DAÃN SOÙNG PHAÚNG
Soùng ñieän töø (hay aùnh saùng) phaúúng coù taààn soáá f lan truyeààn
trong oáng daãn soùng (theo höôùng z) thay ñoåi theo thôøi gian
vaø khoâng gian, coù theå ñöôïc bieåu dieãn bôûi phöông trình
toaùn hoïc sau: j (ω t − γ z )
E ( z , t ) = AE e
AE: haèng soá cuûa ñieään tröôøng
ω = 2πf : taàn soá goùc
γ = α+β laø heä soá truyeàn daãn; α laø heä soá suy hao; β = 2π/ λm laø heä soá
truyeàn daãn pha cuûa soùng ñieän töø trong moâi tröôøng ñang xeùt.
Trong moâi tröôøng truyeàn daãn lyù töôûng α =0 γ=β
Do ñoù:
E ( z , t ) = E y ( z , t ) = AE e j (ω t − β z )
H ( z , t ) = H x ( z , t ) = AH e j (ω t − β z )
9
- TRUYEN ANH SANG
TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG OÁNG DAÃN SOÙNG PHAÚNG
Heä PT Maxwell duøng cho oáng daãn soùng phaúng ñang xeùt,
coù theå ñöôïc vieát laïi nhö sau:
∇ × E = − jω μ H (1 )
∇ × H = jω ε E (2 )
∇ ⋅ D = 0 (3 )
∇ ⋅ B = 0 (4 )
Laáy rot hai veá cuûa PT (1) ta coù:
∇ × ( ∇ × E ) = − jω μ ( ∇ × H ) = ω 2 ε μ E (5 )
Ta coù: ∇ × (∇ × E ) = ∇(∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E
= −∇ 2 E ( ( ))
(do (3))
PT soùng:
∇2E + ω2εμ E = 0 (6) 10
- TRUYEN ANH SANG
TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG OÁNG DAÃN SOÙNG PHAÚNG
∂2 Ey ∂2 Ey ∂2 Ey
Ta coù: ∇2 E = + +
∂x 2
∂y 2
∂z 2
∂2 Ey
= − β 2E (7)
∂x 2
Töø (6) vaø (7) ta coù PT soùng:
∂2 Ey
− ( β 2 − ω 2εμ ) E y = 0 (8)
∂x 2
Ñieàu kieän ñeå moät soùng ñieän töø coù theå truyeàn ñöôïc trong
oáng daãn soùng phaúng cho tröôùc
p
11
- TRUYEN ANH SANG
TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG OÁNG DAÃN SOÙNG PHAÚNG
Bieåu dieãn soùng ñieän töø E ( z , t ) = E y ( z, t ) = AE e j (ωt − β z )
vaø PT soùng cho thaáy:
− S ùng ñieän töøø thay ñoååi ñ àng thôøøi theo thôøøi gian ( ) vaøø kh ng gian ( )
Soù ñi h ñ ñoà h h h i (t) khoâ i (z)
− Caùc soùng ñieän töø khaùc nhau ñöôïc ñaëc tröng bôûi taàn soá f (hay taàn soá
goùc ω=2πf) vaø böôùc soùng λm trong moät moâi tröôøng xaùc ñònh (hay heä
soáá truyeààn pha β 2 / λm)
h β=2π/
− Chæ nhöõng soùng ñieän töø E(z,t) naøo thoaû PT soùng môùi coù theå truyeàn
ñöôïc trong oáng daãn soùng soùng truyeàn daãn
− Vôùi moät oáng daãn soùng cho tröôùc, nghieäm cuûa PT soùng töông öùng
vôùi caùc giaù trò (ω, β) khaùc nhau ñöôïc goïi laø mode soùng
− Soá löôïng mode soùng truyeàn ñöôïc trong oáng daãn soùng phuï thuoäc vaøo
ñieàu kieän cho tröôùc cuûa moâi tröôøng vaø oáng daãn soùng
− Phaân boá tröôøng cuûa caùc mode soùng trong oáng daãn soùng coù theå xaùc
ñònh töø nghieäm cuûa PT soùng. 12
- TRUYEN ANH SANG
TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG OÁNG DAÃN SOÙNG PHAÚNG
Ñònh nghóa: Mode soùng laø moät traïng thaùi truyeàn oån ñònh
cuûa soùng ñieän töø trong oáng daãn soùng
Giaûi PT soùng (8):
− Trong oáng daãn soùng (-d≤x ≤ d), nghieäm cuûa PT (8) coù daïng:
Ey = Acos(ux)
( ) hoaëëc Ey = Asin(ux)
( )
vôùi A: haèng soá cöôøng ñoä dieän tröôøng;
u2 = β21 - β2 vôùi β1= ω(ε1μ1)1/2 = ω n1/c
− Ngoaøi oáng dan soùng (x≤ d hoaëc x≥d), nghieäm cua PT (8) co dang:
Ngoai ong daãn song (x≤-d cuûa coù daïng:
Ey = Ce-wx (x≥d) hoaëc Ey = Cewx (x≤-d)
vôùi C: haèng soá cöôøng ñoä dieän tröôøng;
w2 = β2 - β22 vôùi β2= ω(ε2μ2)1/2 = ω n2/c
vôi
− Ñoái vôùi soùng daãn u vaø w phaûi laø caùc soá thöïc, nghóa laø:
β21= ω2 n1/c ≥ β2 ≥ β22= ω2ε2μ2= ω2 n2/c 13
- TRUYEN ANH SANG
TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG OÁNG DAÃN SOÙNG PHAÚNG
− Nghieäm cuûa PT (8) coù theå ñöôïc xaùc ñònh taïi bieân cuûa oáng daãn
soùng (x=d hoaëc x=-d)
− Tröôøng hôïp nghieäm laø haøm chaün Ey = Acos(ux), tai x=d ta co:
Tröông hôp la ham chan Acos(ux) aïi coù:
Ey(d) = A.cos(ud) = C.e-wd (9)
dEy(d)/dx = -u.A.sin(ud) = -w.C.e-wd (10)
tg(ud) = (wd)/(ud) (11)
− (u d ) 2
2
⎛ V ⎞
2
V
tg ( u d ) = = ⎜ ⎟ −1
ud ⎝ ud ⎠ (12)
vôùùi V = (u2 + w2)1/2 d = (2πd/ λ 12 – n22)1/2 : taààn soáá chuaåån hoùùa
d λ)(n h h
− Töông töï cho tröôøng hôïp nghieäm laø haøm leõ Ey = Asin(ux), ta coù:
ud 1
tg ( u d ) = − = −
2
− (u d ) 2 2 (13)
V ⎛ V ⎞
⎜ ⎟ −1
⎝ ud ⎠ 14
- TRUYEN ANH SANG
TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG OÁNG DAÃN SOÙNG PHAÚNG
Tìm nghieäm cuûa PT (12) vaø (13)?
15
- TRUYEN ANH SANG
TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG OÁNG DAÃN SOÙNG PHAÚNG
f(ud) V=6
e1
π/2 π e2 3π/2 2π ud
0
1 2 6 7
o1 3 4 5
o2
16
- TRUYEN ANH SANG
TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG OÁNG DAÃN SOÙNG PHAÚNG
− Veõ ñoà thò hai haøm soá f(ud) vaø g(ud) ôû hai veá cuûa PT (12) vaø (13),
giao ñieåm cuûa hai haøm f(ud) vaø g(ud) laø nghieäm caàn tìm
− Soá nghieäm va giaù trò cuûa caùc nghieäm phuï thuoäc vaøo gia trò cuûa
So vaø gia cua cac phu vao giaù cua
taàn soá chuaån hoùa V (phuï thuoäc vaøo ñaëc tính cuûa oáng daãn soùng)
− Vôùi V=6, ta thaáy PT soùng coù 4 nghieäm goàm hai nghieäm leû o1, o2
va
vaø hai nghieäm chaün e1, e2
chan
+ 4 mode soùng coù theå truyeàn ñöôïc trong oáng daãn soùng cho
tröôùc (töông öùng vôùi V=6)
+ e1 ñöôc goïi la mode song cô baûn
ñöôïc goi laø soùng ban
Ñieàu kieän ñeå truyeàn ñôn mode: V ≤ π/2
17
- TRUYEN ANH SANG
TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG OÁNG DAÃN SOÙNG PHAÚNG
− Phaân boá ñieän tröôøng Ey cuûa caùc mode trong oáng daãn soùng:
Ey Ey
x x
-d 0 d -d 0 d
Mode e1
Mode o1
Ey Ey
x x
-d 0 d -d 0 d
Mode e2 Mode o2 18
- TRUYEN ANH SANG
TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG OÁNG DAÃN SOÙNG PHAÚNG
− Phaân boá naêng löôïng cuûa caùc mode trong oáng daãn soùng:
Ey Ey
x x
-d 0 d -d 0 d
Mode e1
Mode o1
Ey Ey
x x
-d
d 0 d -d
d 0 d
Mode e2 Mode o2
19
- TRUYEN ANH SANG
TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG SÔÏI QUANG
Xeùt moät oáng daãn soùng hình truï ñieän moâi (ρ =0, J=0) ñöôøng
kính 2a, chieát suaát n1, lyù töôûng (ñaúng höôùng, tuyeán tính,
khong
khoâng suy hao):
x n2 < n1
a
Höông truyeàn
Höôùng truyen n1
φ z
r
y
20
nguon tai.lieu . vn