Xem mẫu
- Hội thảo quốc gia 2014 về Điện tử, Truyền thông và Công nghệ thông tin (ECIT2014)
Khử nhiễu ảnh bảo toàn biên sƣờn bằng phƣơng
pháp hỗn hợp Curvelet và Khuếch tán phi tuyến
Đặng Phan Thu Hƣơng, Nguyễn Thúy Anh, Nguyễn Hữu Trung
Trƣờng Đại học Bách Khoa Hà Nội
Hà Nội, Việt Nam
Email: trung.nguyenhuu@hust.edu.vn
Tóm tắt—Trong bài báo này, chúng tôi trình bày thuật bảo không tạo ra cực trị địa phƣơng tại bất kỳ thời điểm
toán khử nhiễu ảnh bằng phương pháp hỗn hợp Curvelet nào để không xuất hiện thành phần phụ không mong
và khuếch tán phi tuyến. Đối với ảnh nói riêng và tín hiệu muốn (artifact) ở tín hiệu đƣợc khuếch tán. Nguyên lý
1D, 2D, 3D, MD (nhiều chiều) nói chung, các điểm đột biến này còn đảm bảo, cực trị toàn cục dọc theo tiến trình
chứa đựng thông tin quan trọng cần bảo toàn. Bằng việc của tín hiệu theo thời gian bị giới hạn bởi cực trị toàn
kết hợp giữa Curvelet và khuếch tán phi tuyến có thể tận cục ở tín hiệu khởi tạo với tín hiệu có bất kỳ chiều, và là
dụng các ưu điểm và hạn chế các nhược điểm của từng hàm không giảm (cực trị là minimum) hoặc không tăng
phương pháp. Đặc biệt, tăng cường tính bền vững của (cực trị là maximum) nhằm đảm bảo tính bền vững của
khuếch tán phi tuyến trên cơ sở biến đổi Curvelet và tăng
khuếch tán phi tuyến.
cường hiệu quả loại trừ nhiễu có khả năng bảo toàn biên
sườn nhờ biến đổi Curvelet. Kết quả mô phỏng chỉ rõ hiệu Gần đây, trong [5] các tác giả đã đề xuất một
quả bảo toàn đường biên của phương pháp hỗn hợp so với phƣơng pháp kết hợp (combined) Curvelet và khuếch
phương pháp truyền thống khác. tán phi tuyến tận dụng các ƣu điểm và hạn chế các
nhƣợc điểm của từng phƣơng pháp. Cụ thể, phƣơng
Từ khóa—Loại trừ nhiễu, Biến đổi Curvelet, pháp kết hợp đề xuất bao gồm hai bƣớc: (1) áp dụng
Khuếch tán phi tuyến, Đường biên. biến đổi Curvelet shrinkage và (2) khuếch tán phi tuyến
ảnh đã làm mềm bằng Curvelet. Phƣơng pháp nhằm
I. GIỚI THIỆU giảm hiệu ứng tần số cao (pseudo-Gibbs). Nhƣng, hai
Loại trừ nhiễu và tăng cƣờng ảnh là các nhiệm vụ bƣớc của quá trình là độc lập và bƣớc (1) chính là quy
quan trọng trong xử lý ảnh nhằm khôi phục tin cậy ảnh trình làm trơn quy tắc hóa (regularization) làm hỏng các
quan sát đƣợc dƣới tác động của các loại nhiễu. Đã có biên sƣờn đáng lẽ phải bảo toàn của ảnh.
nhiều phƣơng pháp, nhiều thuật toán tối ƣu đề xuất xử
lý tín hiệu trong miền tần số (lọc Wiener), miền Bài báo này đề xuất phƣơng pháp hỗn hợp (mixed)
Wavelet, làm trơn Gauss,… loại trừ nhiễu mà vẫn bảo khử nhiễu ảnh gồm ba bƣớc lồng ghép chính: Bƣớc 1:
toàn các thuộc tính quan trọng của ảnh đầu vào [1][2]. Tạo thông tin cấu trúc ảnh bằng tensor khuếch tán phi
tuyến. Bƣớc 2: Tiến hành Curvelet shrinkage nhƣng loại
Biến đổi Curvelet, kế thừa từ biến đổi Wavelet, hiệu trừ hƣớng có biên sƣờn vì quy trình Curvelet shrinkage
quả trong việc biểu diễn các đột biến dọc theo các biên cho phép làm trơn theo hƣớng. Bƣớc 3: Khuếch tán phi
sƣờn trong ảnh. Đã có nhiều nghiên cứu ứng dụng biến tuyến ảnh nhận đƣợc từ bƣớc 1 và hiệu chỉnh biên sƣờn
đổi Curvelet loại trừ nhiễu ảnh thông thƣờng, ảnh cộng bằng biến đổi Wavelet 1D từ thông tin nhận đƣợc từ
hƣởng từ (MR), ảnh CT mang lại kết quả tốt [3]. bƣớc 1. Các hệ số rời rạc của biến đổi Curvelet có thể
nhận đƣợc bằng nhiều cách. Trong đó, thuật toán tối ƣu
Cùng với biến đổi Curvelet, còn có các công cụ xử
về mặt tính toán thực hiện bởi biến đổi FFT 2D [5]
lý ảnh đƣợc xây dựng từ phƣơng trình vi phân từng
đƣợc sử dụng trong thuật toán đề xuất.
phần (PDE). Phần lớn các nghiên cứu áp dụng phƣơng
trình vi phân từng phần để loại trừ nhiễu tín hiệu (1D, Bố cục của bài báo nhƣ sau. Sau phần giới thiệu,
2D, 3D, MD) đều nhằm vào việc bảo vệ các thuộc tính phần II trình bày cơ sở lý thuyết về biến đổi Curvelet,
đột biến của tín hiệu – các điểm kỳ dị (singularities). tính toán hệ số Curvelet rời rạc theo FFT, khuếch tán
Đối với ảnh 2D, đó là các biên sƣờn (edges). Theo cách phi tuyến, đề xuất mô hình hỗn hợp Curvelet và khuếch
tiếp cận tiên đề, xuất hiện tập các tiên đề riêng dẫn đến tán phi tuyến. Phần III trình bày các kết quả mô phỏng
nghiệm của phƣơng trình vi phân từng phần ứng dụng thuật toán. Phần IV là kết luận và hƣớng phát triển.
trong loại trừ nhiễu tín hiệu. Các tiên đề có cấu trúc và
hình thái nhằm đảm bảo quá trình trở thành semigroup II. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
đủ mềm mại [4]. Nguyên lý “Minimum–Maximum” là A. Biến đổi Curvelet
một trong các tiên đề quan trọng, trong đó, phải đảm
ISBN: 978-604-67-0349-5 379
- Hội thảo quốc gia 2014 về Điện tử, Truyền thông và Công nghệ thông tin (ECIT2014)
Biến đổi Curvelet là hƣớng tiếp cận mới trong xử lý 𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑠𝑖𝑛𝜃
Với hệ số dịch 𝑏 ∈ ℝ2 , và 𝐑 𝜃 = là
tín hiệu. Biến đổi Curvelet đƣợc xây dựng từ ý tƣởng 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃
biểu diễn một đƣờng cong bằng tổ hợp các hàm có độ ma trận quay 2 × 2 với góc quay 𝜃.
dài khác nhau tuân theo luật Curvelet, tức là độ rộng Sự quay trong miền không gian với góc 𝜃 đúng với
xấp xỉ bình phƣơng độ dài. Trong miền ảnh hai chiều, sự quay trong miền tần số với 𝜃 vì
một cặp các cửa sổ 𝑊 𝑟 và 𝑉(𝑡) đƣợc định nghĩa là
các cửa sổ radial và angular. Các cửa sổ này là các hàm 𝜑𝑎,𝑏,𝜃 𝜉 = 𝑒 −𝑡 𝑏,𝜉
𝜑𝑎,0,0 𝐑 𝜃 𝜉 = 𝑒 −𝑡 𝑏,𝜉
𝑈𝑎 𝐑 𝜃 𝝃 (9)
trơn, không âm và giá trị thực. Nhƣ vậy, 𝑉 nhận các giá
trị dƣơng trên đoạn 𝑡 ∈ −1,1 và 𝑊 trên đoạn 𝑟 ∈ Các hệ số của biến đổi Curvelet liên tục của hàm
1 𝑓 ∈ 𝐿2 ℝ2 đƣợc cho bởi
, 2 . Các cửa sổ thỏa mãn các điều kiện chấp nhận
2
∞ 2 𝑐𝑎,𝑏,𝜃 𝑓 ≜ 𝜑𝑎,𝑏,𝜃 , 𝑓 = ℝ2
𝜑𝑎,𝑏,𝜃 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 (10)
𝑙=−∞ 𝑉 𝑡 − 𝑙 = 1, 𝑡∈ℝ (1)
2 Biến đổi Curvelet rời rạc
∞
𝑗 =−∞ 𝑊 2−𝑗 𝑟 = 1, 𝑟 > 0 (2)
Hệ Curvelet rời rạc đƣợc biểu diễn bởi ba tham số
Để xây dựng các hàm Curvelet, ta phải sử dụng các rời rạc: Tham số tỷ lệ 𝑎𝑗 = 2−𝑗 , 𝑗 ∈ ℕ0 ; Chuỗi cách đều
hàm cửa sổ đặc biệt. Xét các hàm cửa sổ Meyer có tỷ lệ 𝑗 𝑗
thỏa mãn điều kiện trên nhƣ sau [4] các góc quay 𝜃𝑗 ,𝑙 = 2𝜋𝑙 ∙ 2− 2 , 0 ≤ 𝑙 ≤ 2 2 − 1; và tọa
𝑗
𝑗 ,𝑙 −
1 𝑡 ≤ 1/3 độ 𝐱 𝑘 = 𝐑−1 −𝑗
𝜃 𝑗 ,𝑙 (𝑘1 2 , 𝑘2 2
2 )𝑇 , 𝑘 , 𝑘 2
1 2 ∈ 𝕫 . Trong
𝜋
𝑉 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠 𝑣 3 𝑡 −1 1/3 ≤ 𝑡 ≤ 2/3 (3) đó 𝐑 𝜃 𝑗 ,𝑙 là ma trận quay với góc 𝜃𝑗 ,𝑙 . Sự lựa chọn này
2
0 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖 làm cho hệ Curvelet rời rạc trở thành khung chặt, và do
đó tồn tại biến đổi nghịch. Họ các hàm Curvelet rời rạc
1 5/6 ≤ 𝑟 ≤ 4/3 đƣợc định nghĩa nhƣ sau [6]
𝜋
𝑐𝑜𝑠 𝑣 5 − 6𝑟 2/3 ≤ 𝑟 ≤ 5/6 𝑗 ,𝑙
𝑊 𝑟 = 2
(4) 𝜑𝑗 ,𝑙,𝑘 𝐱 ≜ 𝜑𝑗 ,0,0 𝐑 𝜃𝑗 ,𝑙 𝐱 − 𝐱𝑘 , 𝐱 = 𝑥1 , 𝑥2 ∈ ℝ2 (11)
𝜋
𝑐𝑜𝑠 𝑣 3𝑟 − 4 4/3 ≤ 𝑟 ≤ 5/3
2 trong đó 𝜑𝑗 𝝃 ≜ 𝑈𝑗 (𝝃), là biến đổi Fourier của 𝜑𝑗 . Bây
0 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖 giờ với 𝑗 ≥ 0 tƣơng tự trƣờng hợp liên tục, định nghĩa
trong đó 𝑣 là một hàm trơn thỏa mãn cửa sổ tỉ lệ 𝑈𝑗 𝝃
0 𝑥≤0 𝑈𝑗 𝝃 = 2−3𝑗 /4 𝑊 2−𝑗 𝑟 𝑉 2 𝑗 /2 𝜃 , 𝝃 ∈ ℝ2 (12)
𝑣 𝑥 = , 𝑣 𝑥 + 𝑣 1 − 𝑥 = 1, 𝑥 ∈ ℝ (5)
1 𝑥≥1
Các cửa sổ W và V đƣợc sử dụng để xây dựng họ Miền giá trị của 𝑈𝑗 đƣợc phân bố trong mỗi cực
hàm phức có ba thông số: Tỉ lệ 𝑎 ∈ 0,1 ; Vị trí 𝑏 ∈ ℝ2 „wedge‟ đƣợc xác định bởi supp𝑊 2−𝑗 = 2𝑗 −1 , 2𝑗 +1
và hƣớng 𝜃 ∈ 0,2𝜋 . và supp𝑉 2 𝑗 /2 = −2 𝑗 /2 , 2 𝑗 /2 .
Biến đổi Fourier của một hàm 𝑓 ∈ 𝐿2 ℝ2 đƣợc Nhận thấy, trong miền không gian, đặc điểm của
định nghĩa bởi 𝑓 𝜉 ≜
1
𝑓 𝑥 𝑒 −𝑖 𝑥,𝜉 𝑑𝑥 . 𝜑𝑗 ,𝑙,𝑘 là suy giảm nhanh từ 2−𝑗 bởi 2−𝑗 /2 hình chữ nhật
ℝ2 2𝜋 𝑗 ,𝑙
với tâm 𝑥𝑘 và hƣớng 𝜃𝑗 ,𝑙 cùng với trục tung theo x.
Cho 𝝃 = 𝜉1 , 𝜉2 ∈ ℝ2 là biến trong miền tần số
𝑇
trong đó 𝑟, 𝜃 biểu thị tọa độ cực tƣơng ứng với 𝜉. Ta Curvelet ở tỉ lệ mức thô để phân tích tần số thấp
𝜉 𝜑−1,0,𝑘 𝑥 ≜ 𝜑−1 𝑥 − 𝑘 , 𝜑−1 𝜉 ≜ 𝑊0 𝜉 (13)
có 𝑟 = 𝜉 = 𝜉1 2 + 𝜉2 2 và góc 𝜃 = arctan
( 1 ). Ta
𝜉2
định nghĩa cửa sổ tỉ lệ 𝑈𝑎 𝝃 nhƣ sau Để đơn giản, cho 𝜇 = 𝑗, 𝑙, 𝑘 là tập hợp của ba tham
số. Hệ Curvelet 𝜑𝜇 biểu diễn khung chặt [6] trong
𝑈𝑎 𝝃 = 𝑎3/4 𝑊 𝑎𝑟 𝑉 𝑎 −1/2 𝜃 , 𝝃 ∈ ℝ2 (6) 𝐿2 ℝ2 , mỗi hàm 𝑓 ∈ 𝐿2 ℝ2 có thể đƣợc biểu diễn
Miền giá trị của 𝑈𝑎 đƣợc phân bố trong mỗi cực 𝑓= 𝜇 𝑐𝜇 𝑓 𝜑𝜇 (14)
(wedge) phụ thuộc vào miền giá trị của V và W. Cửa số
tỉ lệ 𝑈𝑎 này đƣợc sử dụng để xây dựng các hàm Các hệ số Curvelet rời rạc đƣợc xác định nhƣ sau [7]
Curvelet. Cho hàm 𝜑𝑎,0,0 ∈ 𝐿2 ℝ2 xác định bởi biến
đổi Fourier của nó 𝑐𝜇 𝑓 ≜ 𝑓, 𝜑𝜇 = ℝ2
𝑓 𝜉 𝜑𝜇 𝜉 𝑑𝜉
𝑗 ,𝑙
𝜑𝑎,0,0 ≜ 𝑈𝑎 𝝃 (7) = 𝑓 𝜉 𝑈𝑗 𝐑 𝜃 𝑗 ,𝑙 , 𝜉 𝑒 𝑖 𝑥𝑘 ,𝜉
𝑑𝜉 (15)
ℝ2
Họ hàm Curvelet đƣợc tạo ra bởi sự dịch và quay
Chúng ta thấy rằng, các góc 𝜃𝑗 ,𝑙 nằm trong dải −𝜋/4
của hàm cơ sở 𝜑𝑎,0,0
và 𝜋/4 không cách đều nhƣng gradient giảm dần.
𝜑𝑎,𝑏,𝜃 (𝑥) ≜ 𝜑𝑎 ,0,0 (𝐑 𝜃 𝑥 − 𝑏 ) (8)
ISBN: 978-604-67-0349-5 380
- Hội thảo quốc gia 2014 về Điện tử, Truyền thông và Công nghệ thông tin (ECIT2014)
Phần Đề-các của các hệ số điểm đột biến kỳ dị (singularities) vốn dĩ chứa đựng các
𝑗 ,𝑙 thông tin quan trọng ở tín hiệu. Để giải quyết vấn đề
𝑖 𝑥 𝑘 ,𝜉
𝑐𝜇 𝑓 = 𝑓, 𝜑𝜇 = ℝ2
𝑓 𝜉 𝑈𝑗 𝑆𝜃−1
𝑗 ,𝑙
𝜉 𝑒 𝑑𝜉 = này, ngƣời ta sử dụng quá trình khuếch tán phi tuyến
thích nghi hay còn gọi là khuếch tán bất đẳng hƣớng
ℝ2
𝑓 𝑆𝜃−1
𝑗 ,𝑙
𝜉 𝑈𝑗 𝜉 𝑒 𝑖 𝑘 𝑗 ,𝜉 𝑑𝜉 (16) (anisotropic diffusion) tạo ra các hệ số khuếch tán thay
Đối với các ứng dụng xử lý ảnh, ngƣời ta cần biến đổi thích nghi với cấu trúc tín hiệu nhằm làm giảm hiệu
đổi Curvelet cho các hàm ảnh. Vì thế, xét 𝜑𝜇 , lặp lại có ứng làm trơn ở biên sƣờn. Mô hình khuếch tán Perona –
Malik có dạng [8]
chu kỳ N
𝜕𝐼 (𝑥,𝑦,𝑡)
𝑝
𝜑𝜇 𝑥 ≜ 𝑛∈𝕫2 𝜑𝜇 𝑥 − 𝑁𝑛 , 𝑥 ∈ ℝ2 , 𝑛 = 𝑛1 , 𝑛2 (17) = 𝑑𝑖𝑣(𝑐( ∇𝐼 )∇𝐼) (26)
𝜕𝑡
trong đó 𝑁 ∈ ℕ là cố định, hàm 𝑓 ∈ 𝐿2 Ω , Ω = với c(.) là hàm gradient không tăng, 𝐼 𝑡=0 = 𝐼0 (𝑥, 𝑦)
0, 𝑁 2 , chu kỳ N. Lúc này, f có thể đƣợc viết dƣới dạng là điều kiện biên Neumann. c(.) có dạng 𝑐 ∇𝐼 =
∇𝐼 2
𝑓= 𝐷 𝑝 1 (1 + ( ∇𝐼𝑘 )2 ) hoặc 𝑐 ∇𝐼 = 𝑒 −( 𝑘 ) . Trong đó k
𝜇 ∈𝑀 𝑐𝜇 𝑓 𝜑𝜇 (18)
đƣợc gọi là hệ số tƣơng phản. Mặc dù (26) đƣợc Perona
với một tập hệ số đã biết M – Malik gọi là bộ lọc bất đẳng hƣớng, nhƣng vẫn đƣợc
xem là mô hình đẳng hƣớng, vì đã sử dụng hàm khuếch
𝑀= −1,0, 𝑘1 , 𝑘2 : 𝑘1 , 𝑘2 = 0, … , 𝑁 − 1 ∪ tán có giá trị vô hƣớng, không phải là một Tensor
𝑗, 𝑙, 𝑘1 , 𝑘2 : 𝑗 ∈ ℕ0 (19) khuếch tán. Xét mô hình sau
Chuỗi Fourier 2D của 𝑓 𝜕𝐼 (𝑥,𝑦,𝑡)
= ∇ ∙ 𝐷∇𝐼 (27)
2𝜋𝑖 𝑚 ,𝑥 𝜕𝑡
𝑓 𝑥 = 𝑚 ∈𝕫2 𝑑𝑚 𝑓 𝑒 𝑁 (20) với 𝐼(𝑥, 𝑦, 𝑡) là ảnh thay đổi theo thời gian và
𝑑𝑚 𝑓 ≜
1
𝑓(𝑥)𝑒 2𝜋𝑖 𝑚 ,𝑥 /𝑁 𝑑𝑥 (21) 𝐼 𝑡=0 = 𝐼0 (𝑥, 𝑦) là ảnh quan sát đƣợc dƣới ảnh hƣởng
𝑁2 Ω của nhiễu
Các hệ số Curvelet có thể nhận đƣợc bởi biến đổi 𝐼 . , 𝑡 : Ω × 0, +∞ → ℝ và 𝐼0 : Ω → ℝ (28)
FFT 2D nhƣ sau [5]
Tensor khuếch tán D là một ma trận phụ thuộc vào
𝑐𝜇𝐷 𝑓 = 𝑑𝑚 𝑓 𝑒 2𝜋𝑖 𝑚 ,𝑥 /𝑁
𝜑𝜇 𝑥 𝑑𝑥 các giá trị riêng và các vector riêng của tensor cấu trúc
ℝ2 𝐽 = ∇𝐼 ∇𝐼 𝑇 . Tích vô hƣớng 𝐷∇𝐼, 𝑛 = 0 trên 𝐼 × 𝜕Ω,
𝑚 ∈𝕫2
n là pháp tuyến ngoài, 𝜕Ω là miền biên.
2𝜋𝑖 𝑇
2𝜋 − 𝑆𝜃 𝑚 ,𝑘 𝑗
=𝑁 𝑚 ∈𝕫2 𝑑𝑚 𝑓 𝑈𝑗 𝑆𝜃𝑇𝑗 ,𝑙 𝑚 𝑒 𝑁 𝑗 ,𝑙 (22) Nhằm làm cho hệ số khuếch tán thích nghi cục bộ
𝑁
với dữ liệu và hƣớng làm trơn ta thay thế hàm khuếch
B. Khuếch tán phi tuyến bất đẳng hướng (Anisotropic tán vô hƣớng bởi một tensor khuếch tán dạng ma trận
nonlinear diffusion) theo hai bƣớc [9]. Bƣớc thứ nhất xây dựng vector mô tả
Mô hình kinh điển mô tả quá trình khuếch tán tuyến cấu trúc ∇𝐼𝜍 . Ma trận 𝐽0 nhận đƣợc từ tích tensor
tính nhƣ sau [8] 𝐽0 ∇𝐼𝜍 ≜ ∇𝐼𝜍 ⨂ ∇𝐼𝜍 ≜ ∇𝐼𝜍 ∇𝐼𝜍𝑇 (29)
𝜕𝐼(𝑥,𝑦 ,𝑡)
𝜕𝑡
= 𝑐. ∆𝐼(𝑥, 𝑦, 𝑡); 𝐼 𝑡=0 = 𝐼0 (𝑥, 𝑦) ; 0 < 𝑐 ∈ ℝ (23) có cơ sở trực chuẩn hình thành từ các vector riêng v1, v2
với v1 || ∇𝐼𝜍 và v2 ⊥ ∇𝐼𝜍 . Các trị riêng tƣơng ứng là
với I là ảnh thay đổi theo thời gian và 𝐼0 (𝑥, 𝑦) là ảnh |∇𝑢𝜍 |2 và 0. Bƣớc hai, thông tin về hƣớng khuếch tán
ban đầu nhận đƣợc bằng cách chập 𝐽0 ∇𝐼𝜍 với một hàm nhân
𝐼: ℝ2 × Ω → ℝ; (𝑥, 𝑦, 𝑡) ↦ 𝐼(𝑥, 𝑦, 𝑡) (24) Gaussian 𝐾𝜌 , phƣơng sai 𝜌2 . Ta có tensor cấu trúc
Nghiệm của (23) trong trƣờng hợp hệ số vô hƣớng c = 1 𝐽𝜌 ∇𝑢𝜍 ≜ 𝐾𝜌 ∗ ∇𝑢𝜍 ⨂ ∇𝑢𝜍 (30)
𝐼 𝑥, 𝑦 với 𝑡 = 0 Ma trận đối xứng 𝐽𝜌 = 𝑗𝑗 11 𝑗 12
bán xác định dƣơng và
𝐼(𝑥, 𝑦, 𝑡) = (25) 12 𝑗 22
(𝐾 2𝑡 ∗ 𝐼)(𝑥, 𝑦) với 𝑡 > 0 có các vector riêng trực giao v1, v2 với
tƣơng đƣơng với quá trình làm trơn ảnh bằng cách 2 2
chập ảnh gốc với hàm nhân Gaussian hai chiều có độ 𝑣1 || 𝑗22 − 𝑗11 + 𝑗11 − 𝑗22 + 4𝑗12 (31)
lệch tiêu chuẩn 𝜍 = 2𝑡. Biến thời gian t có liên quan Tƣơng ứng với các giá trị riêng 𝜇1 và 𝜇2 đƣợc xác định
với độ rộng không gian 𝜍 theo 𝜍 = 2𝑡, do đó, các cấu bởi
trúc làm trơn yêu cầu dừng quá trình khuếch tán tại
1
𝑇 = 𝜍 2 /2. Thông tin xử lý đƣợc tạo ra bởi nghiệm của 𝜇1,2 = 𝑗11 + 𝑗22 ± 𝑗11 − 𝑗22 2 2
+ 4𝑗12 (32)
2
quá trình khuếch tán theo thời gian t. Tuy nhiên, quá
trình khuếch tán làm mờ đi các biên sƣờn (edges), các
ISBN: 978-604-67-0349-5 381
- Hội thảo quốc gia 2014 về Điện tử, Truyền thông và Công nghệ thông tin (ECIT2014)
Trong đó dấu + là của 𝜇1 . Các trị riêng mô tả độ 5: Lấy ngƣỡng cứng các hệ số 𝑐𝜇𝐷 (𝑓) không thuộc miền
tƣơng phản trung bình theo các hƣớng riêng. hệ số tỉ lệ biên ảnh (theo hệ số kết hợp c)
tích phân 𝜌 phản ánh đặc trƣng cửa sổ theo hƣớng đƣợc
phân tích. Nhƣợc điểm là các trị riêng nhạy cảm đối với 6: Biến đổi ngƣợc Curvelet khôi phục ảnh ban đầu
nhiễu, do đó, cần phải loại trừ nhiễu trƣớc khi thực hiện 7: Khuếch tán phi tuyến ảnh nhận đƣợc từ bƣớc 6
khuếch tán [10].
8: Hiệu chỉnh biên sƣờn bằng Wavelet 1D trên tập biên
C. Thuật toán loại trừ nhiễu hỗn hợp Curvelet và ảnh liền kề (bƣớc 3)
khuếch tán phi tuyến
III. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG
Phƣơng pháp khuếch tán phi tuyến bảo toàn đƣờng
biên do tính chất thích nghi cục bộ với dữ liệu nhờ áp Mô phỏng đƣợc thực hiện bằng chƣơng trình Matlab
dụng Tensor cấu trúc nhƣng hiệu quả loại trừ nhiễu nhằm đánh giá hiệu quả của phƣơng pháp đề xuất so với
không cao và có nguy cơ mất ổn định dƣới tác động của các phƣơng pháp khác bao gồm: Loại trừ nhiễu bằng
nhiễu. Đề xuất thuật toán ba bƣớc: Bƣớc 1: Tạo thông biến đổi Wavelet, loại trừ nhiễu bằng biến đổi Curvelet,
tin cấu trúc ảnh bằng tensor khuếch tán phi tuyến. Bƣớc khuếch tán phi tuyến. Ảnh đầu vào là bộ ảnh gray (bao
2: Tiến hành Curvelet shrinkage loại trừ hƣớng có biên gồm: Lena, Barbara, Boat, Cameraman, House) kích
sƣờn vì quy trình Curvelet shrinkage cho phép làm trơn thƣớc 512x512 bao gồm các biên sƣờn. Nhiễu tác động
theo hƣớng. Bƣớc 3: Khuếch tán phi tuyến ảnh nhận là nhiễu Gauss trị trung bình không và độ lệch chuẩn
đƣợc từ bƣớc 1 và hiệu chỉnh biên sƣờn bằng biến đổi hóa σn = 0.01 (dùng hàm imnoise trong Matlab). Tham
Wavelet 1D từ thông tin nhận đƣợc từ bƣớc 1. số đánh giá là PSNR (dB) và hiệu ứng biên sƣờn trực
quan. Hình 4 minh họa hiệu ứng loại trừ nhiễu bảo vệ
Thuật toán hỗn hợp chi tiết nhƣ sau: biên sƣờn, trong đó (a) ảnh gốc, (b) Ảnh nhiễu (20.7
1: Tạo thông tin cấu trúc ảnh: Tính Tensor khuếch tán dB), (c) Wavelet DB4 (23.9931 dB), (d) Curvelet
D theo (31) với các trị riêng 𝜇1 và 𝜇2 . Trace(D) = (29.5928 dB), (e) Loại trừ bằng phƣơng pháp lọc
𝜇1 + 𝜇2 ; Det(D) = 𝜇1 𝜇2 . khuếch tán phi tuyến NLDF (24.5419 dB), (f) Loại trừ
nhiễu bằng phƣơng pháp đề xuất (27.4950 dB). Nhận
2: Tính hệ số kết hợp c (coherent) theo thấy, phƣơng pháp loại trừ nhiễu bằng Curvelet cho tỉ
2 số PSNR cao nhất. Tuy nhiên, phƣơng pháp hỗn hợp có
𝜇 1 −𝜇 2
𝑐= 𝜇 1 +𝜇 2
nếu 𝜇1 + 𝜇2 > 0
(33) tỉ số PSNR thấp hơn lại cho hiệu quả biên sƣờn cao
0 khác hơn. Minh họa hiệu quả bảo vệ biên sƣờn đƣợc biểu
diễn trên hình 5. Bảng 1 trình bày các kết quả mô phỏng
3: Tạo các mảng (array) biên ảnh 1D từ các điểm ảnh tính toán PSNR cho bộ ảnh đầu vào.
liền kề
BẢNG 1. BẢNG SO SÁNH CÁC GIÁ TRỊ PSNR
4: Curvelet shrinkage: Tính hệ số Curvelet theo ba
Phương Ảnh
bƣớc [5] pháp Lena Barbara Boat Cameraman House
Wavelet 23.99 22.61 23.96 22.25 25.63
4.1: Tính các hệ số Fourier 𝑑𝑚 𝑓 của 𝑓 dùng FFT 2D Curvelet 29.59 25.05 27.38 25.63 28.67
2𝜋 NLDF (*) 24.54 23.24 23.65 21.58 23.74
4.2: Tính 𝑑𝑚 𝑓 𝑈𝑗 𝑆𝜃𝑇𝑗 ,𝑙 𝑚 với ∀𝑚 thỏa 𝑆𝜃𝑇𝑗 ,𝑙 𝑚 ∈ Hỗn hợp 27.49 25.17 26.17 25.41 27.19
𝑁
𝑠𝑢𝑝𝑝𝑈𝑗 (*)
NLDF : Khuếch tán phi tuyến
4.3: Tính các hệ số 𝑐𝜇𝐷 (𝑓) theo (22) dùng IFFT 2D
(a) (b) (c)
ISBN: 978-604-67-0349-5 382
- Hội thảo quốc gia 2014 về Điện tử, Truyền thông và Công nghệ thông tin (ECIT2014)
(d) (e) (f)
Hình 4. (a) ảnh gốc, (b) Ảnh nhiễu (20.7 dB), (c) Wavelet DB4 (23.9931 dB), (d) Curvelet (29.5928 dB), (e) NLDF (24.5419 dB), (f) Đề xuất
(27.4950 dB)
(a) (b) (c) (d)
Hình 5. Chi tiết đƣợc làm rõ (a) Wavelet DB4, (b) Curvelet, (c) NLDF, (d) Phƣơng pháp đề xuất
IV. KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN [3] François G. Meyer - “Wavelet-Based Estimation of a
Semiparametric Generalized Linear Model of FMRI Time-
Trong bài báo này, chúng tôi đã trình bày phƣơng Series,” IEEE Trans. on Medical Imaging 22 (3), 2003.
pháp hỗn hợp Curvelet và Khuếch tán phi tuyến để khử [4] E. Candes, D. Donoho, “Continuous curvelet transform: I.
nhiễu ảnh nhằm bảo toàn biên sƣờn và minh họa bằng Resolution of the wavefront se,”, Appl. Comput. Harmon.
các mô phỏng minh chứng ƣu điểm của phƣơng pháp đề Anal., 19, pp.162-197, 2003.
xuất. Với những tính chất rất đặc biệt và tính hiệu quả [5] Jianwei Ma and Gerlind Plonka, "Combined Curvelet
cao trong xử lý ảnh, các ứng dụng của lọc khuếch tán Shrinkage and Nonlinear Anisotropic Diffusion", IEEE
phi tuyến sẽ là một hƣớng nghiên cứu rất đƣợc quan TRANSACTIONS ON IMAGE PROCESSING, VOL. 16, NO.
9, SEPTEMBER 2007.
tâm không chỉ trong lĩnh vực xử lý ảnh, mà còn có thể
phát triển cho nhiều lĩnh khác có liên quan trong tƣơng [6] E. Candes, D. Donoho, “Continuous curvelet transform: II.
lai. Vì vậy, đề xuất hƣớng nghiên cứu tiếp theo là phát Discretization and frames,” Appl. Comput. Harmon. Anal., 19,
pp.198-222, 2003.
triển khả năng mở rộng chiều, nghiên cứu mô hình lai
kết hợp giữa phƣơng pháp lọc khuếch tán phi tuyến với [7] E. Candes, L. Demanet, D.Donoho, L. Ying, “Fast discrete
một số phƣơng pháp khác nhằm cải tiến các phƣơng curvelet transforms,” Multiscale Model. Simul., 5 (3), pp.861-
899, 2006.
pháp và nâng cao chất lƣợng xử lý ảnh, mở rộng cho
các lĩnh vực khác liên quan. [8] Wei G. W., Marimont D. H., Heeger D, Generalized Perona-
Malik Equation for Image Restoration,” IEEE Signal
TÀI LIỆU THAM KHẢO Processing Letters, vol.6, no.7, pp.165–167. 1999.
[1] Sendur, L., Selesnick, I. W, “Bivariate shrinkage functions for [9] Sum A. K. W., Cheung P. Y. S., “Stabilized anisotropic
Wavelet-based denoising exploiting interscale dependency,” diffusio,” IEEE International Conf. on Acoustics, Speech and
IEEE on Trans. Signal Processing, 50, pp.2744-2756, 2002. Signal Processing, vol.1, pp.709-712, 2007.
[2] Bo Zhang, Jalal M. Fadili, and Jean-Luc Starck, “Wavelets, [10] You Y. L., Kaveh M., “Fourth-order partial differential
Ridgelets, and Curvelets for Poisson Noise Removal,” IEEE equations for noise removal,” IEEE Trans. on Image
TRANSACTIONS ON IMAGE PROCESSING, VOL. 17, NO. Processing, vol.9, no.10, pp.1723–1730, 2000.
7, JULY 2008.
ISBN: 978-604-67-0349-5 383
nguon tai.lieu . vn
