Xem mẫu
- HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
PGS.TS. LÊ BÁ LONG
Giáo trình
TOÁN HỌC ỨNG DỤNG
TRONG ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG
(Dành cho học viên cao học chuyên ngành Điện tử-Viễn thông)
Hà Nội, 2009
- NỘI DUNG
Phần 1
Chương 1: Giải tích Fourier
Chương 2: Wavelet
Chương 3: Phép biến đổi laplace
Phần 2
Chương 4: Quá trình ngẫu nhiên, chuỗi Markov
Chương 5: Quá trình dừng
Chương 6: Quá trình Poisson
Chương 7: Lý thuyết sắp hàng
Phụ lục
¾ Phụ lục A: Biến đổi Z của dãy các tín hiệu thường gặp
¾ Phụ lục B: Báng tóm tắt các tính chất cơ bản của phép biến đổi
Fourier
¾ Phụ lục C: Các cặp biến đổi Fourier thường gặp
¾ Phụ lục D: Báng tóm tắt các tính chất cơ bản của phép biến đổi
Laplace
¾ Phụ lục E: Biến đổi Laplace của các hàm thường gặp
¾ Phụ lục F: Giá trị hàm mật độ xác suất phân bố chuẩn tắc.
Giá trị hàm phân bố chuẩn tắc
- Chương 1: Giải tích Fourier
GIẢI TÍCH FOURIER
Cuối thế kỷ 18 nhà toán học, nhà vật lý đồng thời là kỹ sư người Pháp tên Jean Baptiste
Joseph Fourier đã có khám phá kỳ lạ. Trong một kết quả nghiên cứu của mình về phương trình
đạo hàm riêng mô tả sự truyền nhiệt của vật thể, Fourier đã khẳng định rằng “mọi” hàm số đều
có thể biểu diễn dưới dạng tổng của chuỗi vô hạn các hàm lượng giác.
Ban đầu khẳng định của Fourier đã không được các nhà toán học cùng thời tin tưởng và
chú ý đến. Tuy nhiên không lâu sau đó các nhà khoa học đã đánh giá cao khả năng ứng dụng và
lĩnh vực ứng dụng rộng lớn của ý tưởng này. Phát hiện này của Fourier được xếp hạng “top ten”
về thành tựu toán học trong mọi thời đại, trong danh sách này còn có khám phá của Newton về
phép tính vi tích phân, của Riemann về hình học vi phân, và 70 năm sau có lý thuyết tương đối
của Einstein. Giải tích Fourier là một thành phần không thể thiếu của toán học ứng dụng hiện
đại, nó được ứng dụng rộng rãi trong toán lý thuyết, vật lý, kỹ thuật. Chẳng hạn, xử lý tín hiệu
hiện đại bao gồm audio, tiếng nói, hình ảnh, video, dữ liệu địa chấn, truyền sóng vô tuyến, v.v
…đều được đặt cơ sở trên giải tích Fourier và những dạng khác của nó. Nhiều công nghệ tiên
tiến hiện đại bao gồm truyền hình, CD và DVD âm nhạc, phim video, đồ họa máy tính, xử lý
ảnh, phân tích và lưu trữ dấu vân tay … theo cách này hay cách khác đều có sử dụng những dạng
khác nhau của lý thuyết Fourier.
Về mặt lý thuyết người ta có thể phân tích các tín hiệu âm thanh phát ra từ các nhạc cụ
như: piano, violin, kèn trumpet, kèn oboe, trống …. thành chuỗi Fourier để tìm ra các tần số cơ
bản (tone, overtone, …). Về mặt ứng dụng, lý thuyết Fourier còn là một công cụ hiệu quả của âm
nhạc điện tử hiện đại; một nhạc cụ điện tử có thể được thiết kế sao cho có thể tổ hợp các tông sin
và cosin thuần túy để phát ra các âm thanh kỳ diệu của nhạc cụ. Như vậy, cả hai cách tự nhiên và
nhân tạo âm nhạc điện tử đều dựa vào các nguyên lý tổng quát của Fourier.
Ý tưởng ban đầu của Fourier phân tích một hàm số tuần hoàn thành tổng của một chuỗi
các hàm lượng giác được mở rộng thành biểu diễn một véc tơ của không gian Hilbert theo hệ
trực chuẩn đầy đủ. Vì vậy nếu có một hệ trực chuẩn thì ta có một cách khai triển Fourier.
Trong chương này ta xét những vấn đề chính của giải tích Fourier
Không gian Hilbert
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier hữu hạn
Phép biến đổi Fourier
Phép biến đổi Fourier rời rạc và phép biến đổi Fourier nhanh.
Phép biến đổi Fourier hữu hạn được phát triển trên ý tưởng của khai triển hàm số tuần
hoàn thành chuỗi Fourier, trong đó mỗi hàm số hoàn toàn được xác định bởi các hệ số Fourier
của nó và ngược lại. Có ba dạng của chuỗi Fourier: dạng cầu phương (công thức 1.24, 1.28),
3
- Chương 1: Giải tích Fourier
dạng cực (công thức 1.36) và dạng phức (công thức 1.37, 1.41, 1.42). Phần 1 của mục này sẽ
trình bày ba dạng của chuỗi Fourier, các công thức liên hệ giữa chúng và kèm theo lời nhận xét
nên sử dụng dạng nào trong mỗi trường hợp cụ thể. Trường hợp hàm không tuần hoàn phép biến
đổi Fourier rời rạc được thay bằng phép biến đổi Fourier, phép biến đổi ngược duy nhất được
xây dựng dựa vào công thức tích phân Fourier.
Khi các hàm số biểu diễn cho các tín hiệu thì biến đổi Fourier của chúng được gọi là biểu
diễn phổ. Tín hiệu tuần hoàn sẽ có phổ rời rạc, còn tín hiệu không tuần hoàn sẽ có phổ liên tục.
Đối số của hàm tín hiệu là thời gian còn đối số của biến đổi Fourier của nó là tần số, vì vậy phép
biến đổi Fourier còn được gọi là phép biến đổi biến miền thời gian về miền tần số.
Trong thực tế ta thường phải tính toán giá trị số của các tín hiệu được rời rạc hoá bằng
cách chọn mẫu tại một số hữu hạn các thời điểm, khi đó phổ tương ứng cũng nhận được tại một
số hữu hạn các tần số bằng phép biến đổi Fourier rời rạc. Ngoài ra để thực hiện nhanh phép biến
đổi Fourier rời rạc, người ta sử dụng các thuật toán biến đổi Fourier nhanh.
Hướng ứng dụng vào viễn thông: Phân tích phổ, phân tích truyền dẫn tín hiệu, ghép kênh
vô tuyến, ghép kênh quang, đánh giá chất lượng WDM...
1.1. KHÔNG GIAN HILBERT
Khái niệm không gian Hilbert là sự mở rộng của khái niệm không gian Euclide, đó là
không gian véc tơ hữu hạn chiều với tích vô hướng. Không gian Euclide đã được trang bị trong
chương trình toán đại cương ở bậc đại học.
1.1.1. Tích vô hướng
Khái niệm tích vô hướng của hai véc tơ của không gian véc tơ bất kỳ được khái quát từ
tích vô hướng uv = u v cos(u ; v) .
n
Trong không gian véc tơ tích vô hướng của hai véc tơ
x = ( x1, x2 ,..., xn ) , y = ( y1 , y2 ,..., yn )
Được định nghĩa như sau:
x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn . (1.1)
Tích vô hướng giữ một vai trò rất quan trọng, và là một khái niệm được ứng dụng rộng
rãi trong toán học, cơ học, vật lý … Biết tích vô hướng của mọi cặp véc tơ thì có thể suy ra độ
dài của véc tơ (bình phương độ dài của véc tơ bằng tích vô hướng của véc tơ ấy với chính nó) và
góc giữa hai véc tơ (cosin của góc này bằng tích vô hướng của hai véc tơ chia cho tích của hai độ
dài của chúng). Thành thử trong khái niệm tích vô hướng đã bao hàm khả năng đo độ dài, đo
góc, và từ đó đi đến những khái niệm quan trọng khác như tính trực giao, hình chiếu thẳng …
Khái niệm tích vô hướng được mở rộng đối với không gian véc tơ bất kỳ như sau:
4
- Chương 1: Giải tích Fourier
Một dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương của không gian véc tơ được gọi là
một tích vô hướng của không gian véc tơ đó.
Như vậy tích vô hướng u , v của hai véc tơ u , v trong không gian véc tơ H có các tính
chất cốt yếu sau:
1) u , v = v, u
2) u1 + u2 , v = u1 , v + u2 , v
3) αu , v = α u , v với mọi số thực α
4) u , u > 0 nếu u ≠ 0 và u , u = 0 nếu u = 0 .
Nếu H là không gian véc tơ trên trường số phức thì điều kiện 1) được thay bằng
u , v = v, u , trong đó v, u là số phức liên hợp của số phức v, u .
Một không gian véc tơ với tích vô hướng được gọi là không gian tiền Hilbert.
Với mỗi véc tơ v ∈ H ta định nghĩa và ký hiệu chuẩn hay môđun của véc tơ v qua biểu
thức
v = v, v . (1.2)
Nếu v = 1 thì v được gọi là véc tơ đơn vị.
Có thể kiểm chứng được
1) v ≥ 0 và v = 0 khi và chỉ khi v = 0 .
2) Với mọi α ∈ : αv =| α | v .
3) u+v ≤ u + v .
∞
Định nghĩa 1.1: Dãy các véc tơ {un }n=1 hội tụ về véc tơ u nếu lim un − u = 0 , ta ký hiệu
n →∞
lim un = u , vậy
n →∞
lim un = u ⇔ ∀ε > 0, ∃ N : ∀n ≥ N ; un − u < ε (1.3)
n →∞
∞
Dãy các véc tơ {un }n =1 được gọi là dãy cơ bản nếu lim un − um = 0 , vậy
n→∞ ,m→∞
{un }∞n=1 là dãy cơ bản khi và chỉ khi ∀ε > 0, ∃ N : ∀n, m ≥ N ; un − um < ε .
Có thể chứng minh được rằng mọi dãy hội tụ là dãy cơ bản,tuy nhiên điều ngược lại chưa
chắc đúng.
5
- Chương 1: Giải tích Fourier
Không gian tiền Hilbert thỏa mãn điều kiện mọi dãy cơ bản đều hội tụ được gọi là không
gian Hilbert (đây là tính chất đầy đủ của không gian Hilbert).
Ví dụ 1.1: Người ta chứng minh được không gian các dãy bình phương hội tụ
⎧⎪ ∞ ⎫⎪
l = ⎨(ξ n ) ∞
2
n =0 : ∑ | ξn |2 < ∞ ⎬ (1.4)
⎩⎪ n =0 ⎭⎪
với tích vô hướng xác định như sau
∞
(ξ n );(ηn ) = ∑ ξn ηn (1.5)
n =0
là một không gian Hilbert.
Không gian các hàm bình phương khả tích trên đoạn [ a; b ] (theo nghĩa tích phân
Lebesgue)
{
L[2a;b] = x(t ) : ∫ | x(t ) |2 dt < ∞
[ a;b] } (1.6)
với tích vô hướng xác định như sau
x(t ); y (t ) = ∫ x(t ) y (t ) (1.7)
[ a;b]
cũng là một không gian Hilbert.
Chú ý rằng đối với các hàm liên tục hoặc liên tục từng khúc thì tích phân Lebesgue trùng
với tích phân theo nghĩa thông thường.
Hội tụ trong không gian l 2 và L[2a;b] (công thức 1.7) được gọi là hội tụ bình phương
trung bình.
1.1.2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Định lý 1.1: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Với mọi u , v ∈ H , luôn có
u, v ≤ u ⋅ v (1.8)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u , v phụ thuộc tuyến tính.
Chứng minh: Nếu một trong hai véc tơ bằng 0 thì cả hai vế của bất đẳng thức trên đều bằng 0 ,
do đó bất đẳng thức nghiệm đúng.
Giả sử v ≠ 0 , với mọi t ∈ ta có: u + tv, u + tv ≥ 0 .
6
- Chương 1: Giải tích Fourier
2 2
Mặt khác F (t ) = u + tv, u + tv = t 2 v + 2t v, u + u là một tam thức bậc hai đối
2 2 2
với t và luôn luôn không âm. Vì vậy ∆ 'F = v, u − v u ≤ 0 . Từ đó suy ra bất đẳng thức
Cauchy-Schwarz.
Khi u , v phụ thuộc thì u = kv (hoặc v = ku ):
2
u , v = kv, v = k ⋅ v = kv ⋅ v = u ⋅ v .
Ngược lại nếu u , v = u ⋅ v thì ∆ 'F = 0 .
Do đó tồn tại t0 ∈ sao cho u + t0v, u + t0v = 0 ⇒ u = −t0v .
Định lý đã được chứng minh.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz vào không gian n với tích vô hướng (1.1) ta có
bất đẳng thức Bunnhiacopsky:
( x1 y1 + ... + xn yn )2 ≤ ( x12 + ... + xn 2 )( y12 + ... + yn 2 ) (1.9)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = ty1 , ..., xn = tyn .
Hệ quả:
∞
1) Nếu dãy các véc tơ {un }n=1 hội tụ về véc tơ u thì lim un , v = u , v đúng với mọi v .
n →∞
∞
2) Nếu dãy {un }n=1 hội tụ về u và {vn }∞n=1 hội tụ về v thì lim
n→∞ ,m→∞
un , vm = u , v .
Chứng minh: 1) 0 ≤ un , v − u, v = un − u, v ≤ un − u v → 0 khi n → ∞ .
∞ ∞
2) Hai dãy {un }n =1 và {vn }n =1 hội tụ do đó chặn, vì vậy tồn tại C sao cho un ≤ C ,
vn ≤ C với mọi n .
0 ≤ un , vm − u, v = un − u, vm + u, vm − v ≤ un − u , vm + u, vm − v
≤ un − u vm + u vm − v ≤ C ( un − u + vm − v ) → 0 khi n → ∞ , m → ∞ .
1.1.3. Hệ trực chuẩn, trực chuẩn hoá Gram-Schmidt
Định nghĩa 1.2: Hai véc tơ u , v ∈ H gọi là trực giao nhau, ký hiệu u ⊥ v , nếu u , v = 0 .
Hệ các véc tơ S = {v1 ,..., vn ,...} của H được gọi là hệ trực giao nếu hai véc tơ bất kỳ của
hệ S đều trực giao nhau.
7
- Chương 1: Giải tích Fourier
Hệ trực giao các véc tơ đơn vị được gọi là hệ trực chuẩn.
Vậy hệ các véc tơ S = {e1 ,..., en ,...} là hệ trực chuẩn khi thỏa mãn điều kiện
⎧1 nÕu i = j
ei , e j = δij trong đó δij = ⎨ là ký hiệu Kronecker (1.10)
⎩0 nÕu i ≠ j
2
Ví dụ 1.2: Trong không gian véc tơ L[ 0; 2 π] các hàm bình phương khả tích với tích vô hướng
xác định bới công thức (1.7), hệ các hàm số sau là một hệ trực giao
{1, cos nt ; sin nt ; n = 1, 2, ... } (1.11)
Thật vậy
2π 2π
∫ cos ntdt = ∫ sin ntdt = 0 ; ∀n (1.12)
0 0
2π
∫ cos nt sin mtdt = 0 ; ∀n, ∀m (1.13)
0
2π 2π
∫ cos nt cos mtdt = ∫ sin nt sin mtdt = 0 ; ∀n ≠ m (1.14)
0 0
2π 2π
∫ cos ∫ sin
2 2
ntdt = ntdt = π ; ∀n ≠ 0 (1.15)
0 0
Định lý 1.2: Mọi hệ trực chuẩn là hệ độc lập tuyến tính.
Chứng minh: Giả sử hệ S = {v1 ,..., vn ,...} trực chuẩn, khi đó nếu ξ1v1 + ... + ξ m vm = 0 thì
ξi = ξ1v1 + ... + ξ m vm , vi = 0 với mọi i = 1,..., m . Do đó S độc lập tuyến tính.
Định lý đã được chứng minh.
Định lý 1.3: Giả sử S = {u1 ,..., un ,...} là một hệ các véc tơ độc lập tuyến tính của không gian
Hilbert H . Khi đó ta có thể tìm được hệ trực chuẩn S ' = {e1 ,..., en ,...} sao cho
span {e1 ,..., ek } = span {u1 ,..., uk }; với mọi k = 1, 2,... .
Chứng minh: Ta xây dựng hệ trực chuẩn S ' theo các bước quy nạp sau đây mà được gọi là quá
trình trực chuẩn hoá Gram-Schmidt.
u1
♦) k = 1 : Vì hệ S độc lập nên u1 ≠ 0 . Đặt e1 = .
u1
8
- Chương 1: Giải tích Fourier
♦) k = 2 : Xét e2 = − u2 , e1 e1 + u2 , ta có e2 ≠ 0 (vì nếu e2 = 0 thì u2 = ke1 , điều này
e2
trái với giả thiết hệ S độc lập). Đặt e2 = , hệ {e1 , e2 } trực chuẩn và
e2
span {e1 , e2 } = span {u1 , u2 } .
♦) Giả sử đã xây dựng được đến k − 1 . Nghĩa là tồn tại {e1 ,..., ek −1} trực chuẩn sao cho
span { e1 ,..., ek −1} = span { u1 ,..., uk −1} . Tương tự trên ta xét
k −1
ek = −∑ uk , ei ei + uk (1.16)
i =1
ta cũng có ek ≠ 0 ( vì nếu ek = 0 thì uk là tổ hợp tuyến tính của e1 ,..., ek −1 , do đó là tổ
hợp tuyến tính của u1 ,..., uk −1 , điều này mâu thuẩn với giả thiết hệ S độc lập). Đặt
ek
ek = (1.17)
ek
thì ek ⊥ ei ; i = 1,..., k − 1 . Vậy hệ {e1 ,..., ek } trực chuẩn và
{ }
span {e1 ,..., ek } = span e1 ,..., ek −1, ek = span {u1,..., uk −1, uk } .
Ví dụ 1.3: Trong 3 xét hệ 3 véc tơ độc lập: u1 = (1,1,1) , u2 = (−1,1,1) , u3 = (1, 2,1) . Hãy trực
chuẩn hoá hệ S = {u1 , u2 , u3 }
u1 ⎛ 1 1 1 ⎞
Bước 1: u1 = 3 ⇒ e1 = = , , .
u1 ⎜⎝ 3 3 3 ⎟⎠
1 ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 4 2 2⎞
Bước 2: e2 = − u2 , e1 e1 + u2 = − ⎜ , , ⎟ + (−1,1,1) = ⎜ − 3 , 3 , 3 ⎟
3⎝ 3 3 3⎠ ⎝ ⎠
2 ⎛ 2 1 1 ⎞
e2 = (−2,1,1) ⇒ e2 = ⎜ − , , ⎟.
3 ⎝ 6 6 6⎠
Bước 3: e3 = − u3 , e1 e1 − u3 , e2 e2 + u3
4 ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 ⎛ 2 1 1 ⎞ ⎛ 1 1⎞
=− ⎜ , , ⎟− ⎜− , , ⎟ + (1, 2,1) = ⎜ 0, 2 , − 2 ⎟
3⎝ 3 3 3⎠ 6⎝ 6 6 6⎠ ⎝ ⎠
1 ⎛ 1 1 ⎞
e3 = (0,1, −1) ⇒ e3 = ⎜ 0, ,− ⎟.
2 ⎝ 2 2⎠
{e1, e2 , e3} là hệ véc tơ trực chuẩn hoá của hệ {u1, u2 , u3} .
9
- Chương 1: Giải tích Fourier
Ví dụ 1.4: Xét hệ gồm ba hàm số s1 (t ) , s2 (t ) , s3 (t ) của không gian L[20;T ] có đồ thị cho trong
hình 1.1
s1 (t ) s2 (t ) s3 (t )
1 1 1
0 T /3 t 0 2T / 3 t 0 T /3 T t
Hình 1.1: Đồ thị ba hàm s1 (t ) , s2 (t ) , s3 (t )
Ba hàm số s1 (t ) , s2 (t ) , s3 (t ) độc lập tuyến tính, trực chuẩn hóa Gram-Schmidt ba hàm số
này ta được ba hàm e1 (t ) , e2 (t ) , e3 (t ) xác định như sau:
T
T 3 ⎧⎪ 3 / T nÕu 0 ≤ t ≤ T / 3
s1 (t ), s1 (t ) = ∫ ( s1 (t ) ) dt =
2
⇒ e1 (t ) = s1 (t ) = ⎨
0
3 T ⎪⎩ 0 nÕu ng−îc l¹i
T
T
s2 (t ), e1 (t ) = ∫ s2 (t )e1 (t )dt =
0
3
T ⎧1 nÕu T / 3 ≤ t ≤ 2T / 3
e2 (t ) = s2 (t ) − e1 (t ) = ⎨
3 ⎩0 nÕu ng−îc l¹i
⎧⎪ 3 / T nÕu T / 3 ≤ t ≤ 2T / 3
Vậy e2 (t ) = ⎨
⎪⎩ 0 nÕu ng−îc l¹i
⎧⎪ 3 / T nÕu 2T / 3 ≤ t ≤ T
Tương tự e3 (t ) = ⎨
⎪⎩ 0 nÕu ng−îc l¹i
Hệ trực chuẩn e1 (t ) , e2 (t ) , e3 (t ) có đồ thị
e1 (t ) e2 (t ) e3 (t )
3/T 3/T 3/T
0 T t 0 T 2T t 0 2T T t
3 3 3 3
Hình 1.2: Đồ thị hệ trực chuẩn e1 (t ) , e2 (t ) , e3 (t )
10
- Chương 1: Giải tích Fourier
1.1.4. Hệ trực chuẩn đầy đủ, chuỗi Fourier
∞
Định lý 1.4: Giả sử {en }n=1 là một hệ trực chuẩn của không gian Hilbert H , với mọi u ∈ H ta
có:
∞
1) Nếu u = ∑ ξn en thì ξn = u , en .
n =1
∞
Ta gọi ξn = u , en là hệ số Fourier của u đối với en và chuỗi ∑ ξnen gọi là chuỗi
n =1
∞
Fourier của u theo hệ {en }n=1 .
∞
∑ | ξn |2 ≤
2
2) u (bất đẳng thức Bessel).
n =1
∞ ⎛ ∞ ⎞
3) Chuỗi ∑ nn ξ e hội tụ và ⎜⎜ u − ∑ ξnen ⎟⎟ ⊥ en với mọi n .
n =1 ⎝ n =1 ⎠
∞ n n
Chứng minh: 1) u , em = ∑ ξnen , em = lim ∑ ξk ek , em = lim ∑ ξk ek , em = ξm .
n→∞ n→∞
n =1 k =1 k =1
n ⎛ n ⎞ n ⎛ n ⎞
∑ k k ⎜ ∑ k k ⎟ ∑ k k ⎜ ∑ ξk ek ⎟
2
2) Với mọi n : u = u, u = ξ e + u − ξ e , ξ e + u −
k =1 ⎝ k =1 ⎠ k =1 ⎝ k =1 ⎠
n n n n
= ∑ ξk ek , ∑ ξk ek + ∑ ξk ek , u − ∑ ξk ek
k =1 k =1 k =1 k =1
n n n n
+ u − ∑ ξ k ek , ∑ ξ k ek + u − ∑ ξ k ek , u − ∑ ξ k ek
k =1 k =1 k =1 k =1
n n n n n
= ∑ ξk ek , ∑ ξk ek + u − ∑ ξ k ek , u − ∑ ξ k ek ≥ ∑ | ξ k |2 .
k =1 k =1 k =1 k =1 k =1
∞
∑ | ξn |2 ≤
2
Vậy u .
n =1
m m m
∑ ξk ek , ∑ ξk ek = ∑ ξk
2
3) Từ 1) và 2) ta có : với mọi n , với mọi m ≥ n : → 0 khi
k =n k =n k =n
∞
n → ∞ , và vì không gian Hilbert đầy đủ nên chuỗi Fourier ∑ ξnen hội tụ.
n =1
∞ ∞ m
Với mọi n : en , u − ∑ ξk ek = en , u − en , ∑ ξk ek = en , u − en , lim ∑ ξk ek ,
k =1 k =1 m→∞ k =1
m
= en , u − lim en , ∑ ξk ek , = ξn − ξ n = 0 .
m→∞ k =1
Định lý đã được chứng minh.
11
- Chương 1: Giải tích Fourier
∞
Định nghĩa 1.3: Hệ trực chuẩn {en }n=1 của không gian Hilbert H được gọi là hệ trực chuẩn
đầy đủ khi chỉ có véc tơ 0 mới trực giao với tất cả các phần tử của hệ, nghĩa là:
u , en = 0 với mọi n = 1, 2,... thì u = 0 (1.18)
Ví dụ 1.5:
1) Hệ các hàm
⎧ 1 1 1 ⎫
⎨ , cos nt ; sin nt ; n = 1, 2, ... ⎬ (1.19)
⎩ 2π π π ⎭
2
là một hệ trực chuẩn đầy đủ của không gian Hilbert L[ 0; 2 π] .
2) Hệ các véc tơ en ∈ l 2 , n = 1, 2, ...
{en }∞n=1 , trong đó e1 = (1, 0, 0,....) , e2 = (0,1, 0,....) , … (1.20)
2
là một hệ trực chuẩn đầy đủ của không gian Hilbert l .
∞
Định lý 1.5: Giả sử {en }n=1 là một hệ trực chuẩn của không gian Hilbert H , ξn = u , en là hệ số
Fourier u ∈ H đối với en . Các mệnh đề sau đây tương đương:
1) {en }∞n=1 là một hệ trực chuẩn đầy đủ
∞
2) Với mọi u ∈ H : u = ∑ ξn en
n =1
∞
3) Với mọi u, v ∈ H : u , v = ∑ ξn ηn trong đó ηn = v, en là hệ số Fourier của v đối
n =1
với en .
∞
= ∑ ξn .
2 2
4) Với mọi u ∈ H : u
n =1
⎛ ∞ ⎞
Chứng minh: 1) ⇒ 2): Theo kết quả 3) của định lý 1.4 ta có ⎜ u − ∑ ξn en ⎟ ⊥ en với mọi n , vậy
⎜ ⎟
⎝ n =1 ⎠
∞ ∞
theo định nghĩa của hệ trực chuẩn đầy đủ (công thức 1.17): u − ∑ ξn en = 0 ⇒ u = ∑ ξ n en .
n =1 n =1
∞ ∞ n n
2) ⇒ 3): u , v = ∑ ξk ek , ∑ ηmem = lim ∑ ξk ek , nlim
n→∞ k =1 →∞
∑ ηmem
k =1 m=1 m =1
12
- Chương 1: Giải tích Fourier
n n k ∞
= lim ∑ ξk ek , ∑ ηmem = lim
n→∞ k =1 n→∞ k =1
∑ ξk ηk = ∑ ξk ηk .
m =1 k =1
∞
= u, u = ∑ ξn .
2 2
3) ⇒ 4): Cho u = v ta được u
n =1
∞
= ∑ ξn
2 2
4) ⇒ 1): Giả sử ξn = u , en = 0 với mọi n = 1, 2,... thì u = 0 , do đó u = 0 . Vậy hệ
n =1
{en }∞n=1 đầy đủ.
Định lý đã được chứng minh.
∞
Định lý 1.6: (Riesz–Fischer). Cho {en }n=1 là một hệ trực chuẩn đầy đủ của không gian Hilbert
H . Nếu dãy số {ξn }∞n=1 thỏa mãn điều kiện
∞
∑ ξn
2
- Chương 1: Giải tích Fourier
1.2 CHUỖI FOURIER
1.2.1 Khai triển Fourier của hàm tuần hoàn chu kỳ 2 π
2
Trong không gian L[ 0; 2 π] các hàm bình phương khả tích trên đoạn [ 0, 2π] tích vô hướng
xác định theo công thức (1.7) và hệ trực chuẩn (1.19) ta có chuỗi Fourier của hàm x(t ) là một
chuỗi lượng giác vô hạn có dạng
a0 ∞
x(t ) ∼ + ∑ ( an cos nt + bn sin nt ) (1.23)
2 n =1
trong đó
2π 2π 2π
1 1
a0 =
π ∫ x(t )dt ; an =
π ∫ x(t ) cos ntdt ; bn = ∫ x(t ) sin ntdt ; n = 1, 2, ... (1.24)
0 0 0
1
Hệ số của số hạng thứ nhất xuất phát từ sự thuận lợi trong việc tính toán sau này.
2
a0 ∞
Theo định lý 1.5 chuỗi Fourier + ∑ ( an cos nt + bn sin nt ) của hàm x(t ) với các hệ số
2 n=1
thỏa mãn (1.23) hội tụ về x(t ) theo nghĩa bình phương trung bình (1.3). Tuy nhiên chưa chắc hội
tụ theo điểm, chính vì vậy người ta dùng ký hiệu ∼ thay cho dấu =.
Các câu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên:
(i) Khi nào chuỗi lượng giác vô hạn (1.23) hội tụ?
(ii) Loại hàm x(t ) nào có thể biểu diễn thành tổng của chuỗi Fourier? Nghĩa là có thể thay
dấu = thay cho dấu ∼ .
Định lý 1.7(Định lý Dirichlet): Nếu hàm x(t ) tuần hoàn chu kỳ 2π , đơn điệu từng khúc và bị
chặn (gọi là điều kiện Dirichlet), thì chuỗi Fourier hội tụ và dấu “ ∼ ” trong công thức (1.23)
được thay bằng dấu “ = ”.
Tại các điểm gián đoạn ta ký hiệu
x(t + 0) + x(t − 0)
x(t ) = (1.25)
2
trong đó x(t + 0), x(t − 0) lần lượt là giới hạn phải và giới hạn trái của x(t ) tại t .
Ví dụ 1.6: Xét hàm số x(t ) = t , −π < t < π ; tuần hoàn chu kỳ 2π . Vì x(t ) là hàm lẻ nên các hệ
số Fourier có thể tính như sau
π π
1 1
a0 = ∫
π −π
tdt = 0 , an = ∫ t cos ntdt = 0 ,
π −π
14
- Chương 1: Giải tích Fourier
π π π
1 2 2 ⎡ t cos nt sin nt ⎤ 2
bn = ∫ t sin ntdt = ∫ t sin ntdt = ⎢ − + 2 ⎥ = (−1) n+1 .
π −π π0 π⎣ n n ⎦0 n
Do đó chuỗi Fourier tương ứng
∞
sin nt ⎛ sin 2t sin 3t sin 4t ⎞
t ∼ 2∑ (−1) n+1 = 2 ⎜ sin t − + − + ⎟ (1.26)
n =1 n ⎝ 2 3 4 ⎠
Áp dụng định lý 1.7 ta có
∞
sin nt ⎧t nÕu − π < t < π
2∑ (−1) n +1 =⎨
n =1 n ⎩ 0 nÕu t = ±π
π
Thay t = và chia hai vế cho 2 ta được
2
π 1 1 1 1
= 1− + − + −
4 3 5 7 9
Ví dụ 1.7: Xét hàm số x(t ) = t , −π < t < π ; tuần hoàn chu kỳ 2π . Vì x(t ) là hàm chẵn nên các
hệ số Fourier có thể tính như sau
π π π
1 1 2
bn = ∫
π −π
t sin ntdt = 0 ; a0 = ∫ t dt = ∫ tdt = π ,
π −π π0
π π ⎧ 0 nÕu n = 2k ≠ 0
2 2 ⎡ t sin nt cos nt ⎤ ⎪
an = ∫ t cos ntdt = ⎢ + 2 ⎥ =⎨ 4 .
π0 π⎣ n n ⎦ t =0 ⎪ − 2 nÕu n = 2k + 1
⎩ n π
Do đó chuỗi Fourier tương ứng
π 4 ∞ cos nt π 4 ⎛ cos 3t cos 5t cos 7t ⎞
t ∼ − ∑ 2 = − ⎜ cos t + + + + ⎟ (1.27)
2 π n =1 n 2 π⎝ 9 25 49 ⎠
Thay t = 0 ta được
∞
π2 1 1 1 1
8
= 1+ + +
9 25 49
+ = ∑ (2n + 1)2 .
n =0
Ví dụ 1.8: Xét hàm bước nhảy tuần hoàn chu kỳ 2π xác định như sau
⎧1 nÕu 0 < t < π
η(t ) = ⎨
⎩0 nÕu − π < t < 0
Các hệ số Fourier
π π π π
1 1 1 1
a0 = ∫ η(t )dt = ∫ dt = 1 , an = ∫ η(t ) cos ntdt = ∫ cos ntdt = 0 ,
π −π π0 π −π π0
15
- Chương 1: Giải tích Fourier
π π ⎧2
1 1 ⎪ nÕu n = 2k + 1
bn = ∫ η(t ) sin ntdt = ∫ sin ntdt = ⎨ nπ .
π −π π0 ⎪⎩0 nÕu n = 2k
1 2⎛ sin 3t sin 5t sin 7t ⎞
Chuỗi Fourier tương ứng η(t ) ∼ + ⎜ sin t + + + + ⎟
2 π⎝ 3 5 7 ⎠
Hình 1.3: Đồ thị của hàm bước nhảy tuần hoàn
Áp dụng định lý 1.7 ta có công thức
⎧0 nÕu (2k + 1)π < t < 2k π
1 2⎛ sin 3t sin 5t sin 7t ⎞ ⎪
+ ⎜ sin t + + + + ⎟ = ⎨1 nÕu 2k π < t < (2k + 1)π
2 π⎝ 3 5 7 ⎠ ⎪
⎩1/ 2 nÕu t = k π
Các đồ thị sau tương ứng là đồ thị của tổng riêng lần lượt có 3, 5 và 10 số hạng của chuỗi Fourier
của hàm bước nhảy tuần hoàn.
Hình 1.4: Đồ thị các tổng riêng của chuỗi Fourier của hàm bước nhảy tuần
Từ các đồ thị trên ta nhận thấy rằng mặc dù hàm gốc gián đoạn nhưng các tổng riêng của
chuỗi Fourier tương ứng là các hàm liên tục hội tụ, mặc dù chậm chạp. Tuy nhiên gần vị trí gián
đoạn của hàm thì đồ thị của các tổng riêng Fourier vượt quá vị trí khoảng 9%. Vùng vượt quá vị
trí này càng nhỏ khi số các số hạng của tổng riêng Fourier tăng lên, nhưng độ lớn của nó không
thay đổi. Điều này giải thích tính chất không hội tụ đều của chuỗi Fourier. Hiện tượng này lần
16
- Chương 1: Giải tích Fourier
đầu tiên được nhà vật lý Josiah Gibbs (người Mỹ) phát hiện và ngày nay người ta gọi là hiện
tượng Gibbs.
1.2.2 Khai triển Fourier của hàm tuần hoàn chu kỳ T0 = 2l
Trường hợp hàm tuần hoàn với chu kỳ bất kỳ, ta có thể đổi biến để đưa về chu kỳ 2π và
áp dụng các kết quả ở mục trên.
⎛l ⎞
Giả sử x(t ) là một hàm tuần hoàn chu kỳ 2l . Đặt y (t ) = x ⎜ t ⎟ thì y (t ) tuần hoàn chu
⎝π ⎠
kỳ 2π . Nếu x(t ) thỏa mãn điều kiện Dirichlet thì y (t ) cũng thỏa mãn điều kiện Dirichlet, do đó
có thể khai triển thành chuỗi Fourier.
a0 ∞
y (t ) = + ∑ ( an cos nt + bn sin nt )
2 n=1
trong đó y (t ) ở vế trái của đẳng thức trên được quy ước như (1.25).
Thay biến số ta có
∞
⎛π ⎞ a ⎛ nπ nπ ⎞
x(t ) = y ⎜ t ⎟ = 0 + ∑ ⎜ an cos t + bn sin t ⎟ (1.28)
⎝ l ⎠ 2 n=1 ⎝ l l ⎠
Các hệ số Fourier được tính theo công thức sau:
2l 2l 2l
1 1 nπ 1 nπ
a0 =
l0∫ x(t )dt ; an = ∫ x(t ) cos tdt ; bn = ∫ x(t ) sin tdt ; n = 1, 2, ...
l0 l l0 l
(1.29)
Ví dụ 1.9: Xét hàm số x(t ) = t , −1 < t < 1 ; tuần hoàn chu kỳ 2 . Vì x(t ) là hàm lẻ nên các hệ số
Fourier có thể tính như sau
1 1
1 1
a0 = ∫
1 −1
tdt = 0 , an = ∫ t cos nπtdt = 0 ,
1 −1
1 1 1
1 ⎡ t cos nπt sin nπt ⎤ 2
bn = ∫ t sin ntdt = 2 ∫ t sin nπtdt = 2 ⎢ − + ⎥ = (−1) n +1 .
1 −1 0 ⎣ nπ 2
(nπ) ⎦ nπ
0
Do đó chuỗi Fourier tương ứng
2 ∞ sin nπt 2 ⎛ sin 2πt sin 3πt sin 4πt ⎞
t∼ ∑
π n=1
(−1) n +1
n
= ⎜ sin πt −
π⎝ 2
+
3
−
4
+ ⎟.
⎠
Nhận xét 1.1:
1. Hàm tuần hoàn chu kỳ 2π là một trường hợp đặc biệt của hàm tuần hoàn chu kỳ 2l , vì vậy
các nhận xét sau đây được giả thiết là hàm tuần hoàn chu kỳ 2l . Ngoài ra do tính chất tích
phân của hàm tuần hoàn nên các hệ số Fourier (1.24) cũng có thể tính như sau:
17
- Chương 1: Giải tích Fourier
2l + c 2l + c 2l + c
1 1 nπ 1 nπ
a0 =
l ∫ x(t )dt ; an =
l ∫ x(t ) cos
l
tdt ; bn =
l ∫ x(t ) sin
l
tdt ; n = 1, 2, ...∀c
c c c
Để công thức có tính đối xứng người ta thường chọn c = −l :
l l l
1 1 nπ 1 nπ
a0 = ∫
l −l
x(t )dt ; an = ∫ x(t ) cos tdt ; bn = ∫ x(t ) sin tdt ; n = 1, 2, ...
l −l l l −l l
(1.30)
nπ nπ
2. Nếu x(t ) là hàm lẻ tuần hoàn chu kỳ 2l thì x(t ) cos t là hàm lẻ và x(t ) sin t là hàm
l l
chẵn, do đó các hệ số Fourier (1.24) thỏa mãn
l
2 nπ
a0 = an = 0; bn = ∫ x(t ) sin tdt ; n = 1, 2, ... (1.31)
l 0 l
nπ nπ
3. Nếu x(t ) là hàm chẵn tuần hoàn chu kỳ 2l thì x(t ) cos t là hàm chẵn và x(t ) sin t là
l l
hàm lẻ, do đó các hệ số Fourier (1.29) thỏa mãn
l l
2 2 nπ
bn = 0; a0 = ∫ x(t )dt ; an = ∫ x(t ) cos tdt ; n = 1, 2, ... (1.32)
l 0 l 0 l
4. Nếu x(t ) là hàm xác định, bị chặn và đơn điệu từng khúc trong khoảng (a , b) . Ta có thể
mở rộng thành hàm tuần hoàn chu kỳ 2l = b − a . Do đó x(t ) có thể khai triển thành chuỗi
Fourier, các hệ số Fourier được tính như sau
b b
2 2 2nπ
a0 = ∫
b−a a
x(t )dt ; an = ∫
b−a a
x(t ) cos
b−a
tdt ;
b
2 2nπ
bn = ∫
b−a a
x(t ) sin
b−a
tdt ; n = 1, 2, ... (1.33)
5. Nếu x (t ) là hàm xác định, bị chặn và đơn điệu từng khúc trong khoảng ( 0, l ) . Khi đó ta có
thể mở rộng thành hàm chẵn hoặc hàm lẻ tuần hoàn chu kỳ 2l . Nếu mở rộng thành hàm chẵn
thì các hệ số Fourier được tính theo công thức (1.32) và nếu mở rộng thành hàm lẻ thì các hệ
số Fourier được tính theo công thức (1.31).
1.2.3 Dạng cực của chuỗi Fourier (Polar Fourier Series)
Từ công thức (1.28) nếu ta đặt
a0
A0 = ; An = an2 + bn2 (1.34)
2
và góc ϕn , 0 ≤ ϕn < 2π xác định bởi
18
- Chương 1: Giải tích Fourier
an b
cos ϕn = , sin ϕn = n (1.35)
An An
thì công thức (1.28) có thể viết lại
a0 ∞ nπ nπ ∞
⎛ nπ ⎞
x(t ) = + ∑ an cos t + bn sin t = A0 + ∑ An cos ⎜ t − ϕn ⎟ (1.36)
2 n =1 l l n =1 ⎝ l ⎠
Công thức (1.28) được gọi là chuỗi Fourier dạng cầu phương (Quadrature Fourier Series).
Công thức (1.36) được gọi là chuỗi Fourier dạng cực của x(t ) .
1.2.4 Dạng phức của chuỗi Fourier (Complex Fourier Series)
Thay công thức Euler
eiϕ + e −iϕ eiϕ − e −iϕ
cos ϕ = , sin ϕ =
2 2i
vào (1.23) ta được
a0 ∞ a ∞ ⎛
ei nt + e −i nt ei nt − e−i nt ⎞
x(t ) = + ∑ ( an cos nt + bn sin nt ) = 0 + ∑ ⎜⎜ an + bn ⎟⎟
2 n =1 2 n =1 ⎝ 2 2i ⎠
a0 ∞ ⎛ an − ibn ⎞ i nt ⎛ an + ibn ⎞ −i nt
= + ∑⎜ e +⎜ ⎟e
2 n =1 ⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎠
Vậy ta có thể viết chuỗi Fourier dưới dạng phức
∞
x(t ) = ∑ cnei nt = + c−2e −2it + c−1e−it + c0 + c1eit + c2e2it + (1.37)
n =−∞
trong đó các hệ số Fourier phức cn xác định như sau
c0 = a0 / 2 a0 = 2c0
cn = (an − ibn ) / 2 hoặc an = cn + c− n (1.38)
c− n = (an + ibn ) / 2 bn = i (cn − c− n )
Mặt khác, tương tự (1.7) ta có tích vô hướng các hàm phức
2π
x; y = ∫ x(t ) y(t )dt
0
{ }m=−∞ là một hệ trực giao, nghĩa là thỏa mãn
∞
Với tích vô hướng này hệ các hàm ei mt
2π
i nt −imt ⎧2π nÕu n = m
∫e e dt = ⎨
⎩ 0 nÕu n ≠ m
(1.39)
0
19
- Chương 1: Giải tích Fourier
Vì vậy các hệ số Fourier phức (1.38) có thể tính trực tiếp
π c+ 2π
1 − i nt 1
cn = ∫ x(t )e dt hoặc cn = ∫ x(t )e −i nt dt , ∀c (1.40)
2π −π 2π c
Ví dụ 1.10: Xét hàm bước nhảy tuần hoàn ví dụ 1.8
⎧1
⎪2 nÕu n = 0
π π
1 1 ⎪
cn = ∫ η(t )e −i nt dt = ∫ e−i nt dt = ⎨ 0 nÕu n ch½n n ≠ 0
2π −π 2π 0 ⎪ 1
⎪ nÕu n lÎ
⎩ inπ
Vậy, hàm bước nhảy đơn vị có khai triển Fourier
1 i ∞ e(2 m+1)it
η(t ) ∼ − ∑ .
2 π m=−∞ 2m + 1
Ví dụ 1.11: Tìm khai triển Fourier của hàm mũ tuần hoàn x(t ) = e at .
π π π
1 1 e( a −in )t
∫
at − i nt
2π ∫0
( a −in ) t
cn = e e dt = e dt =
2π −π 2π(a − in) t =−π
π
e( a −in )t e( a −in ) π − e− ( a −in ) π e aπ − e − a π (a + in) sh aπ
= = (−1) n = (−1) n .
2π(a − in) t =−π 2π(a − in) 2π(a − in) π( a 2 + n 2 )
Vậy hàm có chuỗi Fourier tương ứng
sh aπ ∞ (−1) n (a + in) i nt
e at ∼ ∑
π n =−∞ a 2 + n 2
e .
Hàm tuần hoàn chu kỳ T0 = 2l có khai triển Fourier dạng phức
∞ nπ c + 2l nπ
i t 1 −i t
x(t ) ∼ ∑ cn e l , cn =
2l ∫ x(t )e l dt , ∀c (1.41)
n =−∞ c
1
Nếu ký hiệu f 0 = là tần số cơ bản của hàm tuần hoàn chu kỳ T0 thì công thức (1.41)
T0
được biểu diễn
∞ c + 2l
1
x(t ) ∼ ∑ cn e i 2 nπ f 0t
, cn =
2l ∫ x(t )e −i 2 nπ f0t dt , ∀c (1.42)
n =−∞ c
Nhận xét 1.2: Công thức (1.34)-(1.38) cho thấy dạng cực, dạng phức và dạng cầu phương của
chuỗi Fourier là hoàn toàn tương đương, nghĩa là từ dạng này ta có thể biểu diễn duy nhất qua
dạng kia và ngược lại. Vậy thì dạng nào được ứng dụng tốt nhất. Câu trả lời phụ thuộc vào từng
20
nguon tai.lieu . vn
