Điều khiển tối ưu P3

Chương 3 : Điều khiển bền vững Chương 3 ĐIỀU KHIỂN BỀN VỮNG 3.1 Giới thiệu 3.1.1 Khái niệm điều khiển bền vững Hệ thống điều khiển bền vững làm cho chất lượng của sản phẩm ổn định, không phụ thuộc vào sự thay đổi của đối tượng cũng như của nhiễu tác động lên hệ thống.Mục đích của điều khiển bền vững là chất lượng vòng kín được duy trì mặc dù có những sự thay đổi trong đối tượng. P0 :Mô hình chuẩn (mô hình danh định) P :Mô hình thực tế với sai lệch Δ so với mô hình chuẩn Hình 3.1 : Mô hình điều khiển bền vững Cho tập mô hình có sai số P và một tập các chỉ tiêu chất lượng, giả sử P0 ∈ P là mô hình danh định dùng để thiết kế bộ điều khiển K.Hệ thống hồi tiếp vòng kín được gọi là có tính : - Ổn định danh định: nếu K ổn định nội với mô hình danh định P0 - Ổn định bền vững: nếu K ổn định nội với mọi mô hình thuộc P - Chất lượng danh định: nếu các mục tiêu chất lượng được thỏa đối với mô hình danh định P0 Học kì 1 năm học 2005-2006 PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 2 - Chất lượng bền vững: nếu các mục tiêu chất lượng được thỏa đối với mọi mô hình thuộc Δ Mục tiêu bài toán ổn định bền vững là tìm bộ điều khiển không chỉ ổn định mô hình danh định P0 mà còn ổn định một tập các mô hình có sai số P 3.1.2 Chuẩn của tín hiệu 3.1.2.1 Khái niệm chuẩn Trong điều khiển nói riêng cũng như trong các công việc có liên quan đến tín hiệu nói chung,thông thường ta không làm việc chỉ riêng với một tín hiệu hoặc một vài tín hiệu điển hình mà ngược lại phải làm việc với một tập gồm rất nhiều các tín hiệu khác nhau. Khi phải làm việc với nhiều tín hiệu khác nhau như vậy chắc chắn ta sẽ gặp bài toán so sánh các tín hiệu để chọn lọc ra được những tín hiệu phù hợp cho công việc. Các khái niệm như tín hiệu x1(t) tốt hơn tín hiệu x2(t) chỉ thực sự có nghĩa nếu như chúng cùng được chiếu theo một tiêu chuẩn so sánh nào đó. Cũng như vậy nếu ta khẳng định rằng x1(t) lớn hơn x2(t) thì phải chỉ rõ phép so sánh lớn hơn đó được hiểu theo nghĩa nào, x1(t) có giá trị cực đại lớn hơn , có năng lượng lớn hơn hay x1(t) chứa nhiều thông tin hơn x2(t)…..Nói một cách khác ,trước khi so sánh x1(t) với x2(t) chúng ta phải gắn cho mỗi một tín hiệu một giá trị đánh giá tín hiệu theo tiêu chuẩn so sánh được lựa chọn . Định nghĩa: Cho một tín hiệu x(t) và một ánh xạ x(t) →||x(t)|| ∈R+ chuyển x(t) thành một số thực dương ||x(t)||.Số thực dương này sẽ được gọi là chuẩn của x(t) nếu nó thỏa mãn: a. ||x(t)|| ≥ 0 và ||x(t)|| = 0 khi và chỉ khi x(t) =0 (3.1) b. ||x(t)+y(t)|| ≤ ||x(t)|| + ||y(t)|| ∀x(t), y(t) (3.2) c. ||ax(t)|| = |a|.||x(t)|| ∀x(t) và ∀a∈R . (3.3) 3.1.2.2 Một số chuẩn thường dùng trong điều khiển cho một tín hiệu x(t): ∞ - Chuẩn bậc 1: || x(t)||1= ∫| x(t)|dt (3.4) −∞ ∞ - Chuẩn bậc 2: || x(t)||2 = | x(t)|2 dt . (3.5) −∞ http://www.khvt.com Chương 3 : Điều khiển bền vững Bình phương chuẩn bậc hai chính là giá trị đo năng lượng của tín hiệu x(t). -Chuẩn bậc p: - Chuẩn vô cùng: ∞ || x(t)||p = p | x(t)|p dt với p ∈ N (3.6) −∞ || x(t)||∞ = sup| x(t)| (3.7) t đây là biên độ hay đỉnh của tín hiệu Khái niệm chuẩn trong định nghĩa trên không bị giới hạn là chỉ cho một tín hiệu x(t) mà còn được áp dụng được cho cả vector tín hiệu gồm nhiều phần tử và mỗi phần tử lại là một tín hiệu. Xét một vector tín hiệu: ⎛x1(t) ⎞ x(t) = ⎜# ⎟ ⎝xn (t)⎠ - Chuẩn 1 của vector x: x = ∑ xi (3.8) i=1 - Chuẩn 2 của vector x: x 2 = n xi 2 (3.9) i=1 - Chuẩn vô cùng của vector x: x = max xi (3.10) i=1,2,...,n 3.1.2.3 Quan hệ của chuẩn với ảnh Fourier và ảnh Laplace: Để phục vụ mục đích sử dụng khái niệm chuẩn vào điều khiển ,ta cần quan tâm tới mối liên quan giữa chuẩn tín hiệu x(t) là ||x(t)|| với ảnh Fourier X(jω ) cũng như ảnh Laplace X(s) của nó. Trang 3 PGS.TS Nguyễn Thị Phương Hà Trang 4 Định lí 3.1: (Parseval) Chuẩn bậc hai của một tín hiệu x(t) và ảnh Fourier X(jω ) của nó có quan hệ : ∞ ∞ || x(t)||2 = | x(t)|2 dt = | X( jω)|2 dω (3.11) 2 −∞ −∞ Cho tín hiệu nhân quả causal x(t). Gọi X(s) là ảnh Laplace của nó .Giả sử rằng X(s) có dạng thực -hữu tỷ với bậc của đa thức tử số không lớn hơn bậc đa thức mẫu số ,tức là: B(s) b0 +b s+.....+bmsm A(s) a0 +a1s+.....+ansn với m < n (3.12) Định lí 3.2: Xét tín hiệu nhân quả causal x(t) có X(s) dạng (3.12) .Để chuẩn bậc 1 của x(t) là một số hữu hạn ||x(t)||1= K < ∞thì điều kiện cần và đủ là tất cả các điểm cực của X(s) phải nằm bên trái trục ảo (có phần thực âm) . 3.1.3 Đại số ma trận 3.1.3.1 Một số ma trận thường gặp: - Một ma trận A=(aij) có số hàng bằng số cột được gọi là ma trận vuông. Đường chéo nối các phần tử aii trong ma trận vuông được gọi là đường chéo chính .Đường chéo còn lại được gọi là đường chéo phụ. ⎡a11 A = ⎢a21 ⎢ n1 a12 " a22 " # # an2 " a1n ⎤ a2n ⎥ # ⎥ nn (3.13) - Một ma trận vuông A=(aij) có aij = 0 khi i ≠ j ,tức là các phần tử không nằm trên đường chéo chính đều bằng 0, được gọi là ma trận đường chéo. Ma trận đường chéo được ký hiệu bởi: ⎡a11 A = ⎢ 0 ⎢ 0 0 " a22 " # # 0 " 0 ⎤ 0 ⎥ = diag(aij) (3.14) ⎥ nn http://www.khvt.com Chương 3 : Điều khiển bền vững ⎡1 - Ma trận đường chéo I = diag(1) = ⎢0 ⎢0 0 " 1 " # # 0 " 0⎤ 0⎥ gọi là ma trận đơn vị. 1⎥ - Ma trận vuông A=(aij) có aij = 0 khi i > j (hoặc i < j) được gọi là ma trận tam giác + Ma trận tam giác dưới ⎡a11 A= ⎢a21 ⎢ n1 0 " 0 ⎤ a22 " 0 ⎥ # # # an2 " ann ⎦ (3.15) + Ma trận tam giác trên ⎡a11 A= ⎢ 0 ⎢ 0 a12 " a22 " # # 0 " a1n ⎥ # ⎥ nn (3.16) 3.1.3.2 Các phép tính về ma trận: - Phép cộng / trừ: Cho hai ma trận A=(aij) và B=(bij) cùng có m hàng và n cột .Tổng hay hiệu A ± B = C =(cij) của chúng được định nghĩa là một ma trận cũng có m hàng và n cột với các phần tử cij = aij + bij i=1,2,…..,m và j=1,2,…..,n. - Phép nhân với số thực: Cho ma trận A=(aij) có m hàng và n cột và một số vô hướng thực(phức) x tùy ý .Tích B = xA = Ax = (bij) được hiểu là ma trận cũng có m hàng và n cột với các phần tử Bij = x.aij i=1,2,….m và j=1,2,…..,n - Phép chuyển vị: Ma trận chuyển vị của ma trận A=(aij) với m hàng và n cột là ma trận AT = (aji) có n hàng và m cột được tạo từ ma trận A qua việc hoán chuyển hàng thành cột và ngược lại cột thành hàng. - Phép nhân ma trận: Cho ma trận A=(aik) có m hàng và p cột và ma trận B=(bkj) có p hàng và n cột ,tức là : Trang 5 ... - tailieumienphi.vn