Xem mẫu
- Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển
Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 167-176, DOI 10.15625/vap.2019000274
Điều khiển ổn định và động lực học ngược tay máy robot
một khâu đàn hồi
Nguyễn Văn Khang1), Đinh Công Đạt 1,2), Nguyễn Sỹ Nam3)
1)
Bộ môn Cơ học ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
2)
Bộ môn Cơ lý thuyết, Trường Đại học Mỏ - Địa Chất
3)
Bộ môn Cơ lý thuyết, Trường Đại học Xây dựng
E-mail: khang.nguyenvan2@hust.edu.vn
Tóm tắt quy chiếu đồng hành để thiết lập phương trình vi phân
Động lực học ngược robot có khâu đàn hồi là bài toán đang chuyển động của tay máy robot đàn hồi một khâu.
được quan tâm nghiên cứu hiện nay. Trong bài báo này, lý Xét mô hình tay máy như hình 1. Tay máy OE được
thuyết điều khiển ổn định phương trình vi phân tuyến tính hệ số xem là thanh đàn hồi, chiều dài khi chưa biến dạng là l.
tuần hoàn được sử dụng để đảm bảo chuyển động thực của Đầu O của thanh gắn cứng vào khâu O (bao gồm cả động
robot có khâu đàn hồi sai khác chuyển động mong muốn của cơ) quay quanh trục O, đầu E mang khối lượng mE .
khâu thao tác nhỏ như có thể. Thí dụ mô phỏng số được thực Thanh được xem là đồng chất, thiết diện A, mật độ khối
hiện cho thấy hiệu quả của phương pháp đề xuất. là ρ. Mômen phát động của động cơ là τ. Hệ tọa độ
Ox 0y 0 là hệ tọa độ cố định, hệ tọa độ đồng hành Oxy là
Từ khóa: Robot đàn hồi, động lực học ngược, phân tích dao
động, tuyến tính hóa, hệ quy chiếu đồng hành. hệ tọa độ động, chuyển động quay đồng thời cùng với
robot rắn.
1. Mở đầu
Mô hình hóa và điều khiển robot đàn hồi là bài toán
có ý nghĩa khoa học và thực tiễn, và đang được quan tâm
nghiên cứu hiện nay [1-4]. Trong đó bài toán động lực
học ngược robot đàn hồi là bài toán có ý nghĩa kỹ thuật
nhưng không đơn giản [5-11]. Trong bài báo này trình
bày việc áp dụng phương pháp hệ quy chiếu đồng hành
(Floating frame of reference approach) [12-13] thiết lập
phương trình chuyển động của robot có khâu đàn hồi.
Tương tự như ý tưởng của H. Asada [5] bài toán động lực
học ngược của tay máy robot đàn hồi được tính theo ba Xét trường hợp thanh OE đàn hồi chỉ thực hiện biến
bước: Bước 1, xác định chuyển động của các khâu rắn dạng uốn ngang (bỏ qua biến dạng dọc thanh). Xét điểm
khả dĩ và mômen khả dĩ các khâu dẫn. Bước hai thiết lập P tại vị trí x trên thanh, gọi w (x , t ) là chuyển vị ngang
phương trình dao động của các khâu đàn hồi dựa theo của điểm P.
chuyển động của các khâu rắn khả dĩ, rồi phân tích biến
dạng động của các khâu đàn hồi sao cho chuyển động của 2.1. Động năng của robot
các khâu không đi xa khỏi chuyển động của các khâu Động năng của hệ gồm động năng của khâu đàn hồi
cứng ảo. Bước ba từ chuyển động của các khâu cứng ảo OE, động năng của khâu quay 1 và động năng của khối
và biến dạng đần hồi ta tính các mô men các khâu dẫn lượng mE
sao cho thực hiện được chuyển động của khâu thao tác. T = TOE + T1 + TE (1)
Trong đó việc tính toán hai bước một và ba về nguyên tắc Trong đó động năng của khâu quay 1 là
không có gì khó khăn. Việc tính toán bước hai là bài toán
1
khó còn cần nghiên cứu tiếp. Trong bài báo này trình bày T1 = J 1qa2 (2)
một ý tưởng mới giải quyết khâu hai của bài toán động 2
lực học ngược robot có khâu đàn hồi. J 1 là mô men quán tính của khâu 1 (bao gồm cả động
cơ) đối với điểm O.
2. Thiết lập phương trình chuyển động của Động năng thanh đàn hồi OE khi thanh bị uốn là
robot đàn hồi 1 khâu bằng phương pháp hệ l
1
quy chiếu đồng hành
2 ò0
TOE = rAvP2 dx (3)
Trong [12, 13] Shabana đã trình bày một số phương Xét điểm P* cách đầu O một đoạn x, sau khi biến
pháp thiết lập phương trình vi phân chuyển động của hệ dạng đến vị trí P ta có
nhiều vật đàn hồi. Trong đó có phương pháp hệ quy chiếu
xP = -xqa sin qa - w sin qa - wqa cos qa
đồng hành. Trong bài báo này áp dụng phương pháp hệ
- Nguyễn Văn Khang, Đinh Công Đạt, Nguyễn Sỹ Nam
yP = xqa cos qa + w cos qa - wqa sin qa l
P2 = mE gyE + ò yP mgdx
Vận tốc điểm P là 0
(
vP2 = xP2 + yP2 = w 2 + x 2 qa2 + w 2 + 2xwq)
a (4) = mE g (l sin qa + wE cos qa )
Thay (4) vào (3) ta được l
l +ò (x sin qa + w cos qa ) mgdx
1
TOE =
2 ò0
rA (( )
w 2 + x 2 qa2 + w 2 + 2xwq
a dx ) 0
mOE gl sin qa
l l = mE g (l sin qa + wE cos qa ) +
1 1 2
= rAqa2 ò x 2dx + rAò w 2dx l (13)
2 0
2 0 +mg cos qa ò wdx
l
1 0
+ rAò w 2qa2 + 2xwq
2
(
a dx ) (5) Trong đó m = rA là phân bố khối lượng trên đơn vị
0
l
dài (kg/m). Vậy thế năng của hệ là
l3 m gl sin qa
ò x dx =
2
Do , nên từ (5) ta suy ra biểu thức
3 P = mE g (l sin qa + w E cos qa ) + OE
0 2
động năng OE 2
l æ ¶ 2w ö
l
1
1 1
l
+mg cos qa ò wdx + EI ò ççç 2 ÷÷÷ dx (14)
TOE = rAl 3qa2 + rAò w 2dx 2 0 ç ¶x ÷
0 è ø
6 2 0 (6)
1
l
2.3. Phương trình vi phân chuyển động của robot
+ rAò w 2qa2 + 2xwq
2
(
a dx ) Theo phương pháp Ritz-Galerkin, chuyển vị uốn
0
Trong đó wE là độ võng tại E, wE = w (l, t ) . Động ngang tương đối w (x , t ) trong hệ toạ độ đồng hành
năng của tải trọng E Oxy , có trục Ox quay quanh O cùng khâu rắn có thể
1 khai triển bởi biểu thức sau
TE = mE vE2 (7) N
2 w(x , t ) = å Xi (x )qe (t ) (15)
Từ (4) ta suy ra i =1
i
( )
vE2 = wE2 + l 2 qa2 + w E 2 + 2lw E qa (8) Trong đó: w(x, t) là chuyển vị uốn ngang của thanh
tại vị trí x, ở thời điểm t, Xi (x ) là các hàm thỏa mãn điều
Thay (8) vào (7) ta được
1 kiện biên của thanh đàn hồi, qe (t ) là các tọa độ dạng phụ
TE = mE éêl 2qa2 + wE2 qa2 + w E 2 + 2lw E qa ùú (9) i
2 ë û thuộc vào thời gian và là đại lượng chưa xác định.
Thay (2), (6) và (9) vào (1) ta có biểu thức động Trong trường hợp thanh OE một đầu ngàm một đầu
năng của robot tự do thì phương trình đặc trưng của dầm có dạng [14]
æ1 1 1 ö 1 + cos l cosh l = 0 (16)
T = ççç J 1 + mE l 2 + rAl 3 ÷÷÷qa2 Giải hệ phương trình (16) ta nhận được các trị riêng
çè 2 2 6 ø÷
li (i=1, 2, …). Từ đó các hàm X i (x ) có dạng [14]
1 1 l
+ mE éêwE2 qa2 + w E 2 + 2lw E qa ùú + rAò w 2dx æ l x ö÷ æ l x ö÷
ë û 2
2 0
X i (x ) = cos ççç i ÷÷ - cosh ççç i ÷÷
çè l ÷ø÷ çè l ø÷÷
1 l l
+ rAqa2 ò w 2dx + rAqa ò xwdx (10)
2 0 0
cos li + cosh li æç æl x ö æ l x öö
+ çç- sin ççç i ÷÷÷ + sinh ççç i ÷÷÷÷÷÷ (17)
2.2. Thế năng của robot sin li + sinh li çè çè l ÷÷ø çè l ÷÷÷ ÷
øø
Thế năng biến dạng đàn hồi của thành OE được tính X i (l ) = cos (li ) - cosh (li )
theo công thức [13, 14] cos li + cosh li (18)
1
l æ ¶2w ö÷
ç
2 +
sin li + sinh li
(- sin (l ) + sinh (l ))
i i
Pdh = ò EI çç 2 ÷÷ dx (11)
2 0 èç ¶x ÷ø Từ (15) ta suy ra
Trong đó E là mô đun đàn hồi của vật liệu, I là mô N
men quán tính mặt cắt ngang, Giả thiết thanh đồng chất wE (t ) = å X i (l )qe (t ) (19)
i
i =1
thiết diện không đổi, ta có biểu thức thế năng đàn hồi:
2
Từ (15) thực hiện các phép đạo hàm, bình phương, tích
1 l æ ¶ 2w ö phân rồi thay vào các công thức (10) và (14) ta được các
ç
Pdh = EI ò çç 2 ÷÷ dx ÷ (12)
2 0 ç ¶x ÷ biểu thức động năng và thế năng cho tay máy
è ø
æ1 1 1 ö
Để tính thế năng của trọng lực, ta chọn gốc thế năng T = ççç J 1 + mE l 2 + rAl 3 ÷÷÷qa2
là đường ngang qua trục Ox0. Do đó ta có çè 2 2 6 ÷ø
- Điều khiển ổn định và động lực học ngược tay máy robot một khâu đàn hồi
é 2 N N N ù N N N N
êq å å X (l ) X (l )q q + 2lq å X (l )q ú -mE qa2 å å X i (l ) X j (l )qe - rAqa2 å å mij qe
1 ê a i j ei e j a i ei ú j j
+ mE ê iN=1 jN=1 ú
i =1 i =1 j =1 i =1 j =1
2 ê ú
ê+å å X i (l ) X j (l )qe qe
N N
ú = -mE g å X i (l )cos qa - mg cos qa å C i (24)
ê i =1 j =1 i j ú
ë û i =1 i =1
1 N N N
Trường hợp sử dụng 1 khai triển đầu cho biến dạng
+ rAqa2 å å mij qe qe + rAqa å Diqe đàn hồi (tức N = 1), ta thu được hệ 2 phương trình vi
2 i =1 j =1
i j
i =1
i
N N
(20) phân chuyển động của robot đàn hồi như sau
1
+ rAå å mij qe qe é ù
2 i =1 j =1
i j
êJ + m l 2 + 1 rAl 3 + m X 2 (l )q 2 + rAm q 2 ú q
( )
ê 1 E
3 E 1 e 11 e 1 ú a
ë û
1
æ N ö m gl sin qa
P = mE g çççl sin qa + å X i (l )qe (t ) cos qa ÷÷÷ + OE + éê2mE X12 (l ) + 2rAm11 ùú qa qe1qe1 + rAD1qe
çè i
i =1 ø÷ 2 ë û 1
N
1 N N
mOE glcosqa
+mg cos qa å C iqe + EI å å kij qe qe (21) +mE lX 1 (l )qe + - mg sin qaC 1qe1
i =1
i
2 i =1 j =1
i j 1
2
Trong đó ta sử dụng các ký hiệu sau
l2 l2
(
= -mE g l cos qa - X1 (l )qe1 sin qa + τ ) (25)
mE X12 (l )qe1 + mE lX1qa + rAD1qa + rAm11qe
Ci = ò X dx i
; Di = ò xX dx ; i 1
-m q X (l )qe - rAq m11qe + EIk11qe
0 0 2 2 2
l2 l2 E a 1 1
a 1 1
mij = ò X i X jdx ; kij = ò X i¢¢X j¢¢dx (22) = -mE gX1 (l ) cos qa - mg cos qaC 1 (26)
0 0
Để thiết lập các phương trình vi phân chuyển động 3. Tuyến tính hóa phương trình chuyển động
của tay máy, ta sử dụng các phương trình Lagrange loại 2
viết cho hệ hôlônôm
của robot đàn hồi quanh chuyển động cơ bản
d æçç ¶T ö÷÷ ¶T ¶P Để tuyến tính hóa phương trình chuyển động của
ç ÷- =- + Q j* , j=1,2,…,n robot đàn hồi, ta cần xác định chuyển động cơ bản của
dt ççè ¶q j ø÷÷ ¶q j ¶q j
nó. Trong công trình này chuyển động của robot khi xem
Trong đó Q j* là lực suy rộng không có thế ứng với các khâu là rắn được xem là chuyển động cơ bản của
robot đàn hồi.
tọa độ suy rộng qj. Lực hoạt động tác dụng vào hệ chỉ có
mômen phát động τ do đó chỉ có lực suy rộng Qa* = τ 3.1. Động lực học ngược robot rắn
ứng với tọa độ suy rộng qa . Phương trình vi phân cho Khi cơ hệ là rắn, vị trí khâu thao tác E được xác định
bởi công thức sau
tọa độ khâu dẫn qa có dạng
x E = l cos qa , yE = l sin qa (27)
é N N ù
êJ + m l 2 + 1 rAl 3 + rAå å m q q ú Ký hiệu JOE là mômen quán tính của thanh OE đối
ê 1 E
3 ij ei e j ú
ê i =1 j =1 ú q
ê N N ú a với điểm O. Khi thanh OE là thanh đồng chất, thiết diện
ê+mE å å X i (l ) X j (l )qe qe ú không đổi ta có
ê i j ú
ë i =1 j =1 û 1 1
é N N N N ù JOE = mOE l 2 = rAl 3 (28)
+ êê2mE å å X i (l ) X j (l ) + 2rAå å mij úú qa qe qe 3 3
ëê ûú
i j
i =1 j =1 i =1 j =1 Ký hiệu J E là mômen quán tính của khối lượng mE
N N
+rAå Diqe + mE l å X i (l )qe đối với điểm O. Xemvật nặng là một chất điểm ta có
i i
i =1 i =1
J E = mE l 2 (29)
æ N ö
= -mE g çççl cos qa - å X i (l )qe sin qa ÷÷÷ Từ (28) và (29) ta suy ra
çè i ÷ø
i =1
(23) 1
m glcosqa N JO = rAl 3 + mE l 2 + J 1 (30)
- OE + mg sin qa å C iqe + τ 3
2 i =1
i
Tay máy robot là vật rắn quay quanh trục cố định, áp
Nếu ta chọn N các tọa độ đàn hồi qei, các phương dụng định lý biến thiên mômen động lượng ta có
trình vi phân đối với các tọa độ đàn hồi qei có dạng m gl cos qa
N N N JOqa = τ(t ) - OE - mE glcosqa
mE å å X i (l ) X j (l )qej +mE l å X i (l )qa 2
i =1 j =1 i =1 æ1 ö
çç rAl 3 + m l 2 + J ÷÷q =
N N N N N ççè 3 E 1÷÷ a
+rAå Diqa + rAå å mij qe + EI å å kijqe ø
j j
i =1 i =1 j =1 i =1 j =1 l
= -mOE g cosqa - mE glcosqa + τ(t ) (31)
2
- Nguyễn Văn Khang, Đinh Công Đạt, Nguyễn Sỹ Nam
Giả sử quy luật chuyển động của khâu dẫn có dạng
p p
qa (t ) = + sin (2pt ) (32)
2 2
Đạo hàm biểu thức (32) rồi thay vào (31) ta được
æ1 ö
τ(t ) = -2p 3 ççç rAl 3 + mE l 2 + J 1 ÷÷÷ sin (2pt )
èç 3 ø÷
l æ p p ö
+mOE g cos ççç + sin (2pt )÷÷÷ (33)
2 èç 2 2 ø÷
æp p ö
+mE glcos ççç + sin (2pt )÷÷÷
çè 2 2 ÷ø
Tọa độ điểm thao tác E có dạng
æp p ö Hình 3a. Tọa độ xE
x E = l cos (qa ) = l cos ççç + sin (2pt )÷÷÷
çè 2 2 ÷ø
æp p ö
yE = l sin (qa ) = l sin ççç + sin (2pt )÷÷÷ (34)
çè 2 2 ÷ø
Để tính toán mô phỏng số, ta cho biết các tham số
động học và động lực học của robot dưới dạng bảng 1
như sau.
Bảng 1. Các tham số của cơ rắn
Thông Giá trị Đơn vị
số
l 0.9 m
A 1x10-4 m2 Hình 3b. Tọa độ yE
r 2700 kg/m2
I 2.0834x10-10 m4
m 0.972 kg
J1 5.86x10-5 kg.m2
mE 0.1 kg
Với bảng thông số tính toán ở trên, sử dụng chương
trình Matlab cho ta kết quả của tọa độ khâu thao tác và
mômen khâu dẫn trên các hình vẽ 2, 3a, 3b, 3c.
Hình 3c. Quỹ đạo của điểm E
3.2. Tuyến tính hóa phương trình chuyển động của
robot đàn hồi quanh chuyển động cơ bản
Hệ phương chuyển động (25), (26) là trường hợp
riêng của hệ phương trình [15]
M(s)s = p1 (s, s, t, t ) (35)
Ta khai triển phương trình (35) quanh chuyển động
cơ bản sR (t ), và τ R (t ) . Trong đó sR (t ) là chuyển
động của robot khi các khâu là rắn
Hình 2. Mô men phát động khi cơ cấu rắn é q R (t )ù éq R (t )ù
sR (t ) = êê aR úú = êê a úú ,
ëê e ( )ûú ëê
q t 0 ú
û
é q R (t )ù é q R (t )ù
s R (t ) = êê a úú , sR (t ) = êê a úú (36)
êë 0 úû êë 0 úû
còn τ R (t ) là mô men khi các khâu là rắn.
- Điều khiển ổn định và động lực học ngược tay máy robot một khâu đàn hồi
é τR ù é τR ù 4. Điều khiển ổn định và phân tích dao động
τ R (t ) = êê aR úú = êê a úú (37) đàn hồi tuyến tính
êë τe úû êë 0 úû
Ta đưa vào các ký hiệu sau 4.1. Điều khiển ổn định
s (t ) = sR (t ) + Ds (t ) = sR (t ) + y (t ) (38) Như trên, phương trình chuyển động tuyến tính của
s (t ) = s của robot đàn hồi (47) là hệ phương trình vi phân tuyến
R
(t ) + Ds (t ) = s (t ) + y (t )
R
(39)
tính hệ số tuần hoàn. Nghiệm của (47) có dạng
s (t ) = sR (t ) + Ds (t ) = s (t ) + y (t )
R
(40) y (t ) = yh (t ) + y* (t ) (53)
( 2)
τ (t ) = τ R
+ Δτ (41) Trong đó yh (t ) là nghiệm của phương trình thuần
Để đơn giản trong biến đổi ta viết lại phương trình nhất
(35) dưới dạng (2)
ML (t ) y
(2) (2)
+ CL (t ) y + KL (t ) y = 0 (54)
f1 (s, s) = M(s)s (42)
Để biến đổi phương trình vi phân (54) về hệ phương
Trong đó: f1 Î Â f , p1 Î Â f . Khai triển Taylor các trình bậc nhất, ta đặt
hàm f1 (s, s) và p1 (s, s, τ, t ) quanh chuyển động cơ bản y2 = y ; y1 = y
Khi đó hệ phương trình (54) có dạng
sR , s R , sR , τ R [15, 16], bỏ qua các số hạng phi tuyến,
y 1 = y2
phương trình vi phân (35) trở thành () () () () (55)
y 2 = -ML -1 (t ) CL (t ) y2 - ML -1 (t ) KL (t ) y1
2 2 2 2
ML (t ) y
+ CL (t ) y + KL (t ) y = h L (t ) (43)
Đặt
Chú ý rằng biểu thức gia lượng Dτ trong (41) là
éy ù
thành phần mômen bổ xung của mômen phát động của z = êê 1 úú (56)
động cơ. Người ta thường chọn mômen bổ xung thêm y
ëê 2 ûú
dưới dạng é ù
0 E
( )
Dτa = - éêKD q a - q Ra + KP q a - q Ra ùú ( (44) ) A (t ) = êê ú (57)
ë û êë- M
(2)-1
L
t K
(2)
() L ()t -M
(2)-1
L ( ) L ( ) 2 úúû
t C
(2)
t y
Dτ = êê a úú = êê D a a (
éDτ ù é-K q - q R - K q - q R ù
P a )
a ú ( ) Hệ (55) trở thành
ú (45)
ëê
0
ûú ëê 0 úû z = A (t ) z (58)
Trong đó KD và KP là các ma trận đường chéo với Bài toán ổn định yêu cầu ta phải chọn KP và KD sao
các phần tử trên đường chéo chính là các số dương. cho nghiệm thuần nhất yh (t) tiến tới 0 nhanh, khi đó
Phương trình tuyến tính hóa lúc này trở thành nghiệm y (t ) y* (t ) nhanh [18].
ML (t ) y
+ CL (t ) y + KL (t ) y
(46) Để tính toán mô phỏng số ta đưa các thông số tính
() (2) (2)
= h L (t ) - KD y - KP y
2
toán như bảng 2.
Trong đó
ék 0ùú (2) éêkP 0ùú Bảng 2. Các tham số của cơ cấu đàn hồi
(2)
KD = êê D ú ; KP = ê 0 0ú (47) Thông Giá trị Đơn vị
êë 0 0úû êë úû số
Chuyển về và biến đổi ta được l 0.9 m
ML (t ) y + éêCL (t ) + K(D ) ùú y A 1x10-4 m2
2
ë û r 2700 kg/m2
+ éê KL (t ) + KP ùú y = h L (t )
(2) (2)
I 2.0834x10-10 m4
ë û
m 0.972 kg
(2)
L ( ) L ( ) L ( )
M(2) + C(2)
t y t y + K(2) t y = h L (t ) (48) E 7.11x1010 N/m
Với J1 5.86x10-5 kg.m2
(2) mE 0.1 kg
ML (t ) = ML (t ) (49)
p p
(2) (2) qa + sin (2pt rad
KL (t ) = KL (t ) + KP (50) 2 2
(2) (2)
CL (t ) = CL (t ) + KD (51)
é 0 ù Chọn các ma trận KP , KD và khảo sát ổn định của
ê ú hệ thông qua các số mũ Floquet [17,18].
ê ú
h L (t ) = ê éê-mE gX1 (l ) cos qaR - mg cos qaRC 1 ùú ú
(2)
(52)
êê úú
ê ê-mE lX1qaR - rAD1qaR úû úû
ëë
- Nguyễn Văn Khang, Đinh Công Đạt, Nguyễn Sỹ Nam
Trường hợp 1 M(t )q + C(t )q + K(t )q = f (t ), (68)
é 0.5 0ù é ù
KP = êê ú ; K = ê 0.6 0ú (59)
Trong đó M(t), C(t), K(t) là các ma trận cấp n ´ n ,
0 0úú D ê 0 0úú f(t) là véctơ lực mở rộng. Các ma trận đó đều là hàm tuần
ëê û ëê û hoàn với chu kỳ T
Tính số mũ Floquet của phương trình (58) ta được M(t+T) = M(t), C(t+T) = C(t), (69)
l1 = 0.6059 + 0.0000i K(t+T) = K(t), f(t+T) = f(t).
l2 = -4.8623 + 0.0000i Nghiện tuần hoàn của phương trình (68) có chu kỳ T
(60) thỏa mãn điều kiện đầu sau đây
l3 = -9.5721 + 0.0000i
q(0) = q(T ), q (0) = q (T ), q(0) = q(T ) (70)
l4 = -17.7524 + 3.1416i
Có một phần thực dương nên hệ không ổn định Sử dụng thuật toán trình bày trong [17, 18] ta tìm
Trường hợp 2 được nghiệm của phương trình (67), ta có
é0.95 0 ù é ù y* = éê y1* y*2 ùú (71)
KP = êê ú ; K = ê0.1 0ú (61)
ë û
êë 0 0 úú D ê 0 0ú
êë úû Khi chọn được KP và KD sao cho hệ ổn định nhanh
û
thì nghiệm
Tính số mũ Floquet của phương trình (58) ta được
y* » y (72)
l1 = -0.3292 + 0.3345i
Khi đó ta có tọa độ khớp quay trở thành
l2 = -0.3292 - 0.3345i
(62) qa (t ) = qaR (t ) + y1 (t ) (73)
l3 = -8.9079 + 3.1416i
Chuyển vị đàn hồi tại điểm cuối thanh
l4 = -14.0069 + 0.0000i
w (l, t ) = X1 (l ) y2 (t ) (74)
Tất cả các phần thực đều âm, hệ ổn định
Trường hợp 3 Tọa độ điểm thao tác E
é 1 0ù é
ú ; K = ê2 0ú
ù ( ) ( )
x E = l cos qa (t ) - w (l, t ) sin qa (t ) (75)
KP = êê ú ê (63)
0 0ú D
0 0úú = l sin (q (t )) + w (l, t ) cos (q (t ))
ëê û ëê û yE a a
(76)
Tính số mũ Floquet của phương trình (58) ta được Tính toán số cho các trường hợp 2, 3,4 ở trên ta được
l1 = -0.0369 + 0.0000i Trường hợp 2
l2 = -10.6635 + 0.0000i é0.95 0 ù é ù
(64) KP = êê ú ; K = ê0.1 0ú (77)
l3 = -10.8238 + 3.1416i 0 0 úú D ê 0 0ú
ëê û ëê ûú
l4 = -15.0181 + 0.0000i
Tất cả các phần thực đều âm, hệ ổn định
Trường hợp 4
é 5 0ù é ù
KP = êê ú ; K = ê10 0ú (65)
ú D ê 0 0ú
êë 0 0úû êë úû
Tính số mũ Floquet của phương trình (58) ta được
l1 = -0.4071 + 0.0000i
l2 = -12.2119 + 3.1416i
(66)
l3 = -2.5532 + 0.6076i
l4 = -2.5532 - 0.6076i
Tất cả các phần thực đều âm, hệ ổn định
Hình 4a. Sai lệch tọa độ rắn
4.2. Chuyển động đàn hồi ổn định
Trong các trường hợp hệ ổn định theo tiêu chuẩn số
mũ Floquet, ta tiến hành tìm nghiệm riêng của phương
trình
(2)
L ( ) L ( ) L ( )
M(2) + C(2)
t y t y + K(2) t y = h L (t ) (67)
Sử dụng các công thức tích phân Newmark, GS.
Nguyễn Văn Khang và cộng sự đã đưa ra thuật toán tìm
điều kiện đầu nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân
tuyến tính hệ số tuần hoàn [17, 18]. Dưới đây ta nhặc lại
một số kết quả chính.
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần
hoàn có dạng
Hình 4b. Chuyển vị đàn hồi
- Điều khiển ổn định và động lực học ngược tay máy robot một khâu đàn hồi
Hình 5a. Tọa độ xE khi cơ hệ rắn và khi đàn hồi Hình 7a. Sai lệch tọa độ rắn
Hình 5b. Tọa độ yE khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính
đàn hồi
Hình 7b. Chuyển vị đàn hồi
Hình 5c. Quỹ đạo điểm E khi cơ hệ rắn và khi có xét đến Hình 8a. Tọa độ xE khi cơ hệ rắn và khi tính đến
tính đàn hồi đàn hồi
Hình 6. Tọa độ khớp khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính
đàn hồi
Trường hợp 3
Hình 8b. Tọa độ yE khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính
é 1 0ù é ù
KP = êê ú ; K = ê2 0ú (78) đàn hồi
ú
0 0ú D ê 0 0úú
ëê û ëê û
- Nguyễn Văn Khang, Đinh Công Đạt, Nguyễn Sỹ Nam
Hình 8c. Quỹ đạo điểm E khi cơ hệ rắn và khi có xét đến Hình 7b. Chuyển vị đàn hồi
tính đàn hồi
Hình 11a. Tọa độ xE khi cơ hệ rắn và khi tính đến
đàn hồi
Hình 8c. Quỹ đạo điểm E khi cơ hệ rắn và khi có xét đến
tính đàn hồi
Hình 11b. Tọa độ yE khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính
Hình 9. Tọa độ khớp khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính đàn hồi
đàn hồi
Trường hợp 4
é 5 0ù é ù
KP = êê ú ; K = ê10 0ú (79)
0 0úú D ê 0 0ú
ëê û ëê ûú
Hình 11c. Quỹ đạo điểm E khi cơ hệ rắn và khi có xét
Hình 10a. Sai lệch tọa độ rắn đến tính đàn hồi
- Điều khiển ổn định và động lực học ngược tay máy robot một khâu đàn hồi
Hình 9. Tọa độ khớp khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính
đàn hồi Hình 12b. Mô men khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính
đàn hồi trong trường hợp 3.
Từ những két quả mô phỏng trên, ta thấy vị trí điểm
thao tác khi khâu dẫn là khâu đàn hồi khá gần vị trí điểm
thao tác khi khâu rắn xem là khâu rắn.
5. Động lực học ngược robot đàn hồi
Sử dụng kết quả của bài toán điều khiển ổn định, ta
tính toán mômen phát động khi cho biết chuyển động của
khâu đàn hồi nhờ vào phương trình (25). Ta lần lượt tính
toán với các trường hợp 2,3 và 4
Trường hợp 2
Chọn
é0.95 0 ù é ù
KP = êê ú ; K = ê0.1 0ú (80)
ú ê ú
êë 0 0ú êë 0 0úû
D
û
Trường hợp 3
Chọn
é 1 0ù é ù Hình 12c. Mô men khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính
KP = êê ú ; K = ê2 0ú (81) đàn hồi trong trường hợp 4.
ú ê ú
êë 0 0úû êë0 0úû
D
Trường hợp 4 Từ các hình vẽ trên ta thấy khi phương trình vi phân
Chọn tuyến tính thuần nhất (54) ổn định động lực tốt thì
é 5 0ù é ù mômen khâu dẫn đàn hồi và mômen khâu dẫn xem là rắn
KP = êê ú ; K = ê10 0ú (82)
0 0úú D ê 0 0ú sai khác nhau ít. Mômen bổ sung nhỏ.
ëê û ëê ûú
Kết quả mô phỏng số được trình bày trên các hình 12a, 6. Kết luận
12b, 12c.
Bài toán động lực học ngược của tay máy đàn hồi là
bài toán đang được quan tâm nghiên cứu. Trong bài báo
trình bày một thuật toán mới tìm nghiệm gần đúng
chuyển động của các khâu của robot. Sau đó dựa vào
phương trình vi phân của robot có khâu đàn hồi ta dễ
dàng tìm được biểu thức gần đúng tính mômen của các
khâu dẫn. Phương pháp trình bày trong bài báo này là
phương pháp tổng quát khi khâu dẫn quay đều khi robot
là rắn và dao động phụ của các khâu đàn hồi là nhỏ.
Khi tính toán, ta xem chuyển động cơ bản của robot
là chuyển động của robot khi các khâu là khâu rắn tuyệt
đối. Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa thiết lập
phương trình vi phân dao động quanh chuyển động cơ
bản. Khi khâu dẫn quay đều ta nhận được hệ phương
trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn. Sử dụng lý
thuyết Floquet ta tìm điều kiện ổn định của robot đàn hồi.
Hình 12a. Mô men khi cơ hệ rắn và khi có xét đến tính Với giả thiết gần đúng, xem chuyển động đàn hồi là nhỏ,
đàn hồi trong trường hợp 2.
- Nguyễn Văn Khang, Đinh Công Đạt, Nguyễn Sỹ Nam
chuyển động thực gần đúng của các khâu của robot là [13] A. A. Shabana, Computational Continuum Mechanics,
tổng chuyển đông khi các khâu là rắn tuyệt đối và chuyển Cambridge University Press, 2008.
động đàn hồi. Từ đó đề xuất phương án mới tính toán [14] Nguyễn Văn Khang, Dao động kỹ thuật (in lần thứ 4),
động lực học ngược robot có khâu đàn hồi.
NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội 2005.
[15] Nguyễn Văn Khang, Động lực học hệ nhiều vật (in lần thứ
Lời cảm ơn 2), NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội 2017.
[16] Nguyễn Doãn Phước, Phân tích và điều khiển hệ phi
Bài báo này được hoàn thành với sự tài trợ bởi Quỹ Phát
triển Khoa học và Công nghệ Quốc gia (NAFOSTED). tuyến, NXB Bách khoa Hà Nội, 2015.
[17] Nguyen Van Khang, Nguyen Phong Dien (2012):
Parametric vibration analysis of transmission
Tài liệu thamkhảo
mechanisms using numerical methods. In: Advances in
[1] M. Benosman, G.L. Vey, Control of flexible Vibration Engineering and Structural Dynamics, Edited
manipulators: A survey, Robotica .22 (2004), pp. by F.B. Carbajal, Intech, Croatia, pp.301-331.
533-545. [18] Nguyễn Văn Khang, Dao động phi tuyến ứng dụng, NXB
[2] S.K. Dwivedy, P. Eberhard, Dynamic analysis of flexible Bách khoa Hà Nội, 2016.
manipulators, a literature review, Mechanism and
Machine Theory 41 (2006), pp. 740-777.
[3] H, N. Rahimi, M. Nazemizadeh, Dynamic analysis and
intelligent control techniques for flexible manipulators: a
review, Advanced Robotics, Vol.28 (2), pp.63-76, 2014.
[4] K. Lochan, B.K. Roy, B. Subudhi, A review on two-link
flexible manipulators, Annual Reviews in Control, Vol.
42, pp 346-367, 2016.
[5] H. Asada, Z.-D. Ma, H. Tokumaru, Inverse dynamics of
flexible robot arms: Modeling and computation for
trajectory control, ASME-Journal of Dynamic Systems,
Meassurement, and Control, Vol. 112(1990), pp. 177-185.
[6] E. Bayo, H. Moulin, An efficient computation of the
inverse dynamics of flexible manipulators in the time
domain, Proc. IEEE Conference on Robotics and
Automation, Scottsdale, Arizona, 1989, pp. 710-715.
[7] E. Bayo, Ph. Papadopoulos, J. Stubbe, M.A. Serna,
Inverse dynamics and kinematics of multi-link elastic
robots: An iterative frequency domain approach, The
International Journal of Robotics Research, Vol. 8, No.6,
pp. 49-62, 1989.
[8] W. Khalil, F. Boyer, An efficient calculation of computed
torque control of flexible manipulators, Proc. of the IEEE
International Conference on Robotics and Automation 1,
1995, pp. 609-614.
[9] E. Carrera, M.A. Serna, Inverse dynamics of flexible
robots, Mathematics and Computers in Simulation,
Vol.41 (1996), pp. 485-508.
[10] F. Boyer, W. Khalil, An efficient calculation of flexible
manipulator inverse dynamics, The International Journal
of Robotics Research, Vol. 17, No.3, pp. 282-293, 1998.
[11] R. Seilfred, Dynamics of Underactuated Multibody
Systems, Springer, Switzerland 2014.
[12] A. A. Shabana, Flexible Multibody Dynamics: Review of
Past and Recent Developments, Multibody System
Dynamics, Vol.1 (1997), pp.189–222.
nguon tai.lieu . vn