Xem mẫu
- §iÒu chÕ sè
1.1. Kh«ng gian tÝn hiÖu vμ m« h×nh hÖ thèng truyÒn th«ng sè
T¸ch sãng vμ −íc tÝnh lμ hai vÊn ®Ò c¬ b¶n trong truyÒn th«ng sè trong kªnh AWGN
liªn quan ®Õn viÖc x¸c ®Þnh thiÕt kÕ m¸y thu tèi −u:
Lý thuyÕt t¸ch sãng gi¶i quyÕt bμi to¸n thiÕt kÕ vμ −íc l−îng cña bé xö lý quyÕt ®Þnh
khi quan tr¾c tÝn hiÖu thu theo mét sè luËt.
Lý thuyÕt −íc tÝnh, gi¶i quyÕt bμi to¸n thiÕt kÕ vμ −íc l−îng cña bé xö lý khi dïng
th«ng tin trong tÝn hiÖu thu (PSAM, Pilot signal,...) ®Ó t¸ch c¸c −íc tÝnh th«ng sè hay
c¸c d¹ng sãng quan t©m.
T¸ch sãng vμ −íc tÝnh lu«n ph¶i chùu c¸c lçi. B¶n chÊt cña c¸c lçi ®−îc t¹o ra trong t¸ch
sãng lμ kh¸c víi lçi sinh ra trong −íc tÝnh.
1.1.1. Kh«ng gian tÝn hiÖu
M« h×nh ho¸ hÖ thèng truyÒn th«ng
§Ó thùc hiÖn nhiÖm vô truyÒn tin cña kh¸ch hμng tõ n¬i göi ®Õn n¬i nhËn ⇒ ph¶i gi¶i
quyÕt quan hÖ gi÷a nguån tin cña kh¸ch hμng víi kªnh truyÒn (m«i tr−êng truyÒn), theo
®ã cÇn ph¶i biÕn ®æi th«ng tin cña kh¸ch hμng vμo d¹ng tÝn hiÖu sao cho c¸c th«ng sè
(®Æc tÝnh) cña tÝn hiÖu phï hîp víi ®Æc tÝnh (th«ng sè) cña m«i tr−êng truyÒn tin. M«
h×nh ®¬n gi¶n hÖ thèng truyÒn tin sè ®−îc cho ë h×nh 1.1.
−íc tÝnh
Nguån
{mi } Bé ph¸t
{si }
Bé ®iÒu chÕ
{si ( t )} Kªnh
y( t )
Bé t¸ch sãng
Y Bé thu
ˆ
mi
b¶n tin vector vector
M¸y ph¸t M¸y thu
⎡ s i1 ⎤
⎢s ⎥ ⎡Y1 ⎤
⎢ i2 ⎥ ⎢Y ⎥
TËp ©m
s i = ⎢ : ⎥, i = 1,2,..., M Y=⎢ 2⎥
⎢ ⎥ ⎢: ⎥
⎢ : ⎥ ⎢ ⎥
⎢s iN ⎥ ⎣YN ⎦
⎣ ⎦
H×nh 1.1. M« h×nh ho¸ kh¸i niÖm hÖ thèng truyÒn tÝn sè
Trong truyÒn tin sè, luång tin sè ®−îc ¸nh x¹ vμo M ký hiÖu tr−íc khi ®iÒu chÕ c¸c
th«ng sè sãng mang ®−îc ký hiÖu mi, i =1,2,...,M. TËp c¸c sãng mang ®−îc ®iÒu chÕ
1
- si(t) ®−îc tr×nh bμy ë d¹ng c¸c vector trong kh«ng gian tÝn hiÖu theo nguyªn t¾c d−íi
®©y.
NÕu t¹o ®−îc mét tËp h÷u h¹n M tÝn hiÖu n¨ng l−îng gi¸ trÞ thùc s 1 ( t ), s 2 ( t ),..., s M ( t ) víi
mçi tÝn hiÖu cã ®é l©u T gi©y, th× tÝn hiÖu ®iÓu chÕ ®−îc tr×nh bμy b»ng tæ hîp tuyÕn tÝnh
cña N≤M hμm trùc giao chuÈn c¬ së Φ 1 ( t ), Φ 2 ( t ),..., Φ N ( t ) gi¸ trÞ thùc nh− sau
N ⎧04 t ≤3
≤
⎪1 24
T
s i ( t ) = ∑ s ij .Φ j ( t ) víi ⎨ note (1.1)
j=1 ⎪i = 1,2,..., M
⎩
trong ®ã:
HÖ sè khai triÓn ®−îc x¸c ®Þnh bëi
T
⎧i = 1,2,..., M
s ij = ∫ s i ( t ).Φ j ( t )dt trong do ⎨ (1.2)
0 ⎩ j = 1,2,..., N
C¸c hμm trùc giao chuÈn c¬ së ®−îc ®Þnh nghÜa
T
⎧1, nÕu i = j, Unit Energy
∫ Φ ( t ).Φ
0
i j ( t )dt = ⎨
⎩0, nÕu i ≠ j Orthogonal ity
(1.3)
C¸c hμm tr−îc chuÈn ®−îc t¹o ra bëi thñ tôc Gram-Shmit.
Do tÝnh n¨ng l−îng ®¬n vÞ cña Φj(t), nªn víi mçi tÝn hiÖu trong tËp {si(t)}hoμn toμn
®−îc x¸c ®Þnh bëi mét vector c¸c hÖ sè cña nã nh− sau
⎡ s i1 ⎤
⎢s ⎥
⎢ i2 ⎥
s i = ⎢ : ⎥, i = 1,2,..., M (1.4)
⎢ ⎥
⎢ : ⎥
⎢s iN ⎥
⎣ ⎦
Vector si ®−îc gäi lμ vector tÝn hiÖu lμ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña N hÖ sè sij t−¬ng øng víi
c¸c trôc Φj(t). Cã thÓ biÓu thÞ tËp c¸c vector tÝn hiÖu{si}nμy b»ng tËp M ®iÓm b¶n tin
trong kh«ng gian Eclic N chiÒu cã c¸c trôc Φ1 (t ), Φ 2 (t ),..., Φ N (t ) .
C¸c th«ng sè ®Æc tr−ng cña vector tÝn hiÖu
Trong kh«ng gian tÝn hiÖu cã thÓ x¸c ®Þnh ®é dμi vector vμ gãc gi÷a c¸c vector.
§é dμi vector: §é dμi vector tÝn hiÖu si ®−îc x¸c ®Þnh bëi
2
- s i = (s i .s i )
1
2
N (1.5)
= ∑ s ij
j=1
2
Gãc gi÷a hai vector: Cosin cña gãc gi÷a hai vector ®−îc x¸c ®Þnh bëi.
(s .s )
i j
(1.6)
si . s j
N¨ng l−îng cña mçi tÝn hiÖu ®iÒu chÕ: N¨ng l−îng cña mçi tÝn hiÖu ®iÒu chÕ si(t)
trong kho¶ng T gi©y ®−îc x¸c ®Þnh bëi b×nh ph−¬ng ®é dμi cña chÝnh vector ®ã nh−
sau.
T
E i = ∫ s i2 ( t )dt
0
N
= ∑ s ij
2
(1.7)
j=1
2
= si
Kho¶ng c¸ch Eclic gi÷a hai vector tÝn hiÖu: Kho¶ng c¸ch Eclic gi÷a hai vector tÝn hiÖu
si vμ sk thuéc tËp {si(t)} trong kh«ng gian tÝn hiÖu ®−îc x¸c ®Þnh bëi.
∑ (s − s kj )
N
2
si − sk = ij
j=1
T
∫ [s (t ) − s ( t )] dt
2
= i k
0
T T T (1.8)
= ∫ s (t) dt − 2 ∫ s i ( t )s k ( t )dt + ∫ s k ( t ) dt
2 2
i
0 0 0
T
= E i − 2 ∫ s i ( t )s k ( t )dt + E k
0
14 2444 3
note
⇒ NÕu hai tÝn hiÖu si vμ sk trùc giao th× kho¶ng c¸ch gi÷a chóng (c¹nh huyÒn tam gi¸c
vu«ng) lμ
si − sk = (E i + E k )
1.1.2. M« h×nh t¹o tÝn hiÖu ph¸t thu
3
- s i1 T s i1
∫ (•)dt
0
Φ1 ( t )
Φ1 ( t ) Bé t−¬ng quan
si2
T si2
∫ (•)dt
0
∑
s i (t )
Φ 2 (t)
Φ 2 (t ) Bé t−¬ng quan T
N s ij = ∫ s i ( t ).Φ j ( t )dt
s i ( t ) = ∑ s ij .Φ j ( t ) 0
j=1
⎧i = 1,2,..., M
⎧0 ≤ t ≤ T trong do ⎨
trong do ⎨ ⎩ j = 1,2,..., N
s iN
⎩i = 1,2,..., M s
T
∫ (•)dt
iN
0
Φ N (t ) Bé t−¬ng quan
Φ N (t )
§ång bé sãng mang
T
⎧1, nÕu i = j, Unit Energy
∫ Φ (t ).Φ (t )dt = ⎨0,
0
i j
⎩ nÕu i ≠ j Orthogonality
H×nh 1.2. S¬ ®å t¹o tÝn hiÖu si(t) vμ kh«i phôc c¸c hÖ sè sij.
1.2. §¸p øng ®Çu ra c¸c bé t−¬ng quan ®èi víi tÝn hiÖu vμo chøa
tËp ©m ⇔ M« h×nh kªnh AWGN
4
- s i1 T
∫ (•)dt
0
Y1
Φ1 ( t )
Φ1 ( t ) Bé t−¬ng quan
AWGN
si2 Y2
T
∫ (•)dt
s i (t) y( t ) = s i ( t ) + W ( t )
∑
0
Φ 2 (t)
∑ Φ 2 (t ) Bé t−¬ng quan
W(t )
WGN
s iN T
∫ (•)dt
0
YN
Φ N (t ) Bé t−¬ng quan
Φ N (t )
T
§ång bé sãng mang Y j = ∫ Y( t )Φ j ( t )dt
0
= s ij + W j , j = 1,2,.., N
TÝn hiÖu ra kªnh AWGN ®−îc x¸c ®Þnh bëi.
0≤t≤T
Y( t ) = s i ( t ) + W ( t ) (1.9)
i = 1,2,.., M
trong ®ã W(t) lμ qu¸ tr×nh t¹p ©m Gaussian tr¾ng trung b×nh kh«ng vμ mËt ®é phæ c«ng
suÊt lμ N0/2 (ph−¬ng sai). V× vËy ®Çu ra cña mçi bé t−¬ng quan lμ mét biÕn ngÉu nhiªn
®−îc x¸c ®Þnh bëi.
T
Yj = ∫ Y( t )Φ j ( t )dt
0
T
= ∫ [s i ( t ) + W ( t )]Φ j ( t )dt
0
(1.2.2)
T T
= ∫ s i ( t )Φ j ( t )dt + ∫ W ( t )Φ j ( t )dt
0
14 244 14 244
4 3 0 4 3
d ¹il l−ong tÊ dÞnh s ij BiÕn ngÉu nhiª n Wj
= s ij + W j , j = 1,2,..., N
Trong ®ã sij lμ ®¹i l−îng tÊt ®Þnh, Wj lμ biÕn ngÉu nhiªn thÓ hiÖn cho tËp ©m ë ®Çu vμo.
XÐt qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn míi, Y'(t) liªn quan víi qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn thu Y(t) bëi.
N
Y ' ( t ) = Y( t ) − ∑ W j Φ j ( t ) (1.2.3)
j=1
5
- ThÕ ph−¬ng tr×nh (1.2.1) & (1.2.2) vμo ph−¬ng tr×nh (1.2.3), nhËn ®−îc
Y ' ( t ) = s i ( t ) + W ( t ) − ∑ (s ij + W j )Φ j ( t )
N
j=1
N
= W(t ) − ∑ Wj Φ j (t ) (1.36)
j=1
= W ' (t)
chØ phô thuéc vμo tËp ©m W(t) ë phÝa tr−íc m¸y thu mμ kh«ng phô thuéc vμo tÝn hiÖu
ph¸t si(t). ⇒V× vËy, cã thÓ biÓu diÔn qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn thu nh− sau
N
Y( t ) = ∑ Yj Φ j ( t ) + Y ' ( t )
j=1
N
(3.37)
= ∑ Yj Φ j ( t ) + W ( t ) '
j=1
⇒ Do ®ã, cã thÓ xem W’(t) nh− lμ phÇn d− mμ ph¶i tÝnh ®Õn ë vÕ ph¶i ®Ó duy tr× ®¹i
l−îng trong ph−¬ng tr×nh (3.37). L−u ý ng−îc víi khai triÓn qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn thu
Y(t), nh− trong ph−¬ng tr×nh (3.37), theo c¸ch khai triÓn tÝn hiÖu tÊt ®Þnh ph¸t si(t) nh−
ph−¬ng tr×nh (3.6).
Mong muèn ®Æc tÝnh ho¸ tËp c¸c ®Çu ra bé t−¬ng quan, {Yj}, j=1,2,..,N. Do qu¸ tr×nh
ngÉu nhiªn thu Y(t) lμ qu¸ tr×nh Gaussian, nªn mçi Yj lμ mét biÕn ngÉu nhiªn Gaussian.
⇒ V× vËy, mçi biÕn ngÉu nhiªn Yj hoμn toμn ®−îc ®Æc tÝnh ho¸ bëi gi¸ trÞ ph−¬ng sai vμ
kú väng cña nã.
Gi¸ trÞ trung b×nh t¹i ®Çu ra c¸c bé t−¬ng quan E[Yj]:
Qu¸ tr×nh tËp ©m Gaussian W(t) cã trung b×nh kh«ng. Nªn biÕn ngÉu nhiªn Wj ®−îc
trÝch ra tõ W(t) theo ph−¬ng tr×nh (3.34) còng cã trung b×nh kh«ng. NghÜa lμ gi¸ trÞ
trung b×nh cña ®Çu ra bé t−¬ng quan thø j , Yj chØ phô thuéc vμo sij ®−îc cho bëi
m Yj = E Y j[ ]
= E[s + W ] ij j (3.38)
= s ij
Gi¸ trÞ ph−¬ng sai t¹i ®Çu ra c¸c bé t−¬ng quan Var[Yj]:
σ Y = Var[Yj ]
2
j
[ ]
= E (Yj − s ij )
2
= E[(s + W − s ) ]
2
(3.39)
ij j ij
= E[W ]
2
j
ThÕ ph−¬ng tr×nh (3.34) vμo ph−¬ng tr×nh (3.39), nhËn ®−îc
6
- σ Y = E ⎡ ∫ W ( t )Φ j ( t )dt ∫ W (u )Φ j (u )du ⎤
T T
2
j ⎢0
⎣ 0 ⎥
⎦
(3.40)
= E ⎡ ∫ ∫ Φ j ( t )Φ j (u ) W ( t ) W (u )dtdu ⎤
T T
⎢0 0
⎣ ⎥
⎦
§æi thø tù phÐp lÊy tÝch ph©n vμ ký väng
Φ j ( t )Φ j (u )E[W ( t ) W (u )]dtdu
T T
σY = ∫
2
j ∫ 14 244
4 3
0 0
R W ( t ,u ) (3.41)
T T
=∫ ∫ Φ j ( t )Φ j (u )R W ( t , u )dtdu
0 0
trong ®ã RW(t,u) lμ hμm tù t−¬ng quan cña qu¸ tr×nh t¹p ©m W(t). V× qu¸ tr×nh t¹p ©m lμ
qu¸ tr×nh dõng, nªn RW(t,u) chØ phô thuéc vμo hiÖu sè thêi gian t-u. H¬n n÷a, do qu¸ tr×nh t¹p
©m lμ tr¾ng cã mËt ®é phæ c«ng suÊt N0/2, nªn biÓu diÔn RW(t,u) nh− sau.
N0
R W (t, u) = δ (t − u) (3.42)
2
trong ®ã δ ( t − u ) lμ hμm delta dirac (xung kim diÖn tÝch ®¬n vÞ) t¹i t-u. Nªn thÕ ph−¬ng
tr×nh (3.42) vμo ph−¬ng tr×nh (3.41) nhËn ®−îc
N0
Φ j ( t )Φ j (u ). δ (t − u ) dtdu
T T
σY = ∫∫
2
j
2 0 0 123
4 4
LÊy mÉu t¹i t = u
N0 T
= ∫0 42(44
2 14
Φ 2 t ).dt
j
3
(3.43)
Φ j (t) cã n¨ng l−îng d on vÞ
N0
= , víi ∀j
2
ThÊy râ, tÊt c¶ c¸c ®Çu ra cña c¸c bé t−¬ng quan, Yj, j=1,2,...,N ®Òu cã cïng mËt ®é phæ
c«ng suÊt N0/2 cña qu¸ tr×nh tËp ©m céng W(t).
T−¬ng tù do Φj(t) t¹o thμnh tËp trùc chuÈn, nªn Yj kh«ng t−¬ng quan t−¬ng hç nhau,
®−îc cho bëi
7
- [ ] [( )(
Cov Yj Yk = E Yj − m Yj Yk − m Yk )]
= E[(Y − s )(Y
j ij k − s ik ) ]
= E[W W ] j k
⎡T T
⎤
= E ⎢ ∫ W ( t )Φ j ( t )dt ∫ W (u )Φ k (u )du ⎥
⎣0 0 ⎦
TT
= ∫ ∫ Φ j ( t )Φ k (u )R W ( t , u )dtdu (3.45)
0 0
TT
N
= 0
2 ∫ ∫ Φ ( t )Φ
0 0
j k (u )δ ( t − u )dtdu
N0 T
2 ∫
= Φ j ( t )Φ k (u )dt
0
= 0, j≠ k
V× Yj lμ c¸c biÕn ngÉu nhiªn Gaussian, nªn ph−¬ng tr×nh (3.45) thÓ hiÖn ®éc lËp thèng
kª.
Vector ngÉu nhiªn X:
X¸c ®Þnh ®−îc vector cña N biÕn ngÉu nhiªn t¹i ®Çu ra c¸c bé t−¬ng quan nh− sau.
⎡Y1 ⎤
⎢Y ⎥
Y=⎢ 2⎥ (3.46)
⎢: ⎥
⎢ ⎥
⎣YN ⎦
trong ®ã c¸c phÇn tö cña vector lμ c¸c biÕn ngÉu nhiªn cã gi¸ trÞ trung b×nh E[Yj]=sij vμ
ph−¬ng sai Var[Yj] = N0/2.
Hμm kh¶ n¨ng ®Æc tr−ng ho¸ cho kªnh AWGN
Hμm kh¶ n¨ng ®Æc tr−ng ho¸ cho kªnh kh«ng nhí
V× c¸c phÇn tö Yj cña vector ngÉu nhiªn Y ®éc lËp thèng kª nhau, nªn cã thÓ biÓu diÔn
hμm mËt ®é x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn cña vector ngÉu nhiªn Y khi ®· ph¸t tÝn hiÖu si(t) hay
(t−¬ng øng víi ký hiÖu tin mi ®· ®−îc ph¸t ®i) lμ tÝch c¸c hμm mËt ®é x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn
cña c¸c phÇn tö riªng lÎ cña nã (c¸c phÇn tö cña vector ngÉu nhiªn Y lμ c¸c biÕn ngÉu nhiªn)
nh− sau
8
- ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ N ⎜ ⎟
{ ⎟ = ∏ f 12j3 ⎜ 1 j 3 1m3 ⎟, i = 1,2,..., M
f 14243 ⎜ y mi ⎟ ⎜ y ⎟
Y
Vector ngÉu nhiª n ⎜
123
4 4 Y
2 2 i
⎜ lμ vector (gi¸ trÞ mÉu Tin hiÖu ph¸t ⎟ j=1 BiÕn NN ⎜ Gi¸ trÞ mÉu Tin hiÖu ph¸t ⎟
⎝ cña vector NN) ⎠
gåm N BNN
1444444444442444444444443 ⎝ cña biÕn NN ⎠
Do c¸c phÇn tö Yj (biÕn NN) cña vector ngÉu nhiª n Y déc lËp thèng kª
(3.47)
trong ®ã vector y lμ c¸c gi¸ trÞ mÉu cña vector ngÉu nhiªn Y vμ v« h−íng yj lμ c¸c gi¸ trÞ
mÉu cña biÕn ngÉu nhiªn Yj. C¸c hμm mËt ®é x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn f Y (y m i ) ®èi víi mçi b¶n
tÝn ph¸t mi, i=1,2,..,M ®−îc gäi lμ c¸c hμm kh¶ n¨ng (Likelihood Functions). Thùc tÕ c¸c
hμm kh¶ n¨ng nμy ®Æc tr−ng ho¸ cho kªnh. Mét kªnh nμo ®ã cã hμm kh¶ n¨ng tho¶ m·n
ph−¬ng tr×nh (3.47) ®−îc gäi lμ kªnh kh«ng nhí.
Hμm kh¶ n¨ng ®Æc tr−ng ho¸ cho kªnh AWGN
V× mçi Yj lμ biÕn ngÉu nhiªn Gaussian cã trung b×nh sij vμ ph−¬ng sai N0/2, nªn cã
⎛ ⎞
f Yj ⎜
⎜
yj
⎟
m i ⎟ :=
1 ⎡ y j − mY
exp ⎢− j
( )⎤
2
⎥
1 3⎜
2 132 { ⎟ 2πσ y j
2
⎢ 2σ Yj
2
⎥
BNN
⎜ Gi¸ trÞ thôc Tin hiÖu ph¸t ⎟ ⎣ ⎦
⎝ gi¸ trÞ mÉu cña B NN ⎠ (3.48)
⎡ 1 = 1,2,..., M
=
1
exp ⎢− (y j − s ij )2 ⎤, ji = 1,2,..., N
⎥
πN 0 ⎣ N0 ⎦
⇒ V× vËy, khi thÕ ph−¬ng tr×nh (3.48) vμo ph−¬ng tr×nh (3.47), t×m ®−îc c¸c hμm kh¶
n¨ng cña kªnh AWGN ®−îc ®Þnh nghÜa bëi.
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎡ ⎤
( ) ∑ (y )
N
−N / 2 1
m i ⎟ = 2πσ Yj
2
f 1Y3 ⎜ { y {
2
exp ⎢− j − m Yj ⎥
⎢ 2σ Yj
2
⎥
2
Vctorr NN ⎜ gi¸ trÞ mÉu
Tin hiÖu ph¸t ⎟ ⎣ j=1
⎦
⎝ cña vector NN ⎠ (3.49)
⎡ 1 2⎤
∑ (y − s ij ) ⎥, i = 1,2,..., M
N
= (πN 0 )
−N / 2
exp ⎢− j
⎣ N0 j=1 ⎦
Note: Kªnh AWGN lμ kªnh cã c¸c ®Æc ®iÓm
Kh«ng nhí
Ph©n bè Gaussian
MËt ®é phæ c«ng suÊt N0/2 ph©n bè ®Òu trªn toμn bé gi¶i tÇn xÐt
T¸c ®éng vμo tÝn hiÖu thu theo to¸n tö céng.
9
- Trë l¹i ph−¬ng tr×nh (3.37), thÊy râ trong khi c¸c phÇn tö cña vector ngÉu nhiªn Y hoμn
toμn ®Æc tr−ng ho¸ cho thμnh phÇn tæng ∑ Yj Φ j ( t ) , vÉn cã thμnh phÇn W’(t) chØ phô thuéc
vμo tËp ©m ban ®Çu W(t). V× qu¸ tr×nh tËp ©m W(t) lμ qu¸ r×nh Gaussian trung b×nh kh«ng,
nªn W’(t) còng lμ qu¸ tr×nh Gaussian trung b×nh kh«ng. Cuèi cïng thÊy râ, mét biÕn ngÉu
nhiªn W’(tk) nμo ®ã ®−îc rót ra tõ qu¸ tr×nh t¹p ©m W’(t) b»ng c¸ch lÊy mÉu W’(t) t¹i thêi
®iÓm tk, thùc tÕ nã ®éc lËp thèng kª tËp c¸c biÕn ngÉu nhiªn {Yj}, nghÜa lμ
j = 1,2,..., N
[ ]
E W ' ( t k )Yj = 0,
0 ≤ tk ≤ T
(3.50)
Do bÊt kú biÕn ngÉu nhiªn dùa trªn thμnh phÇn t¹p ©m d− W’(t) lμ kh«ng phô thuéc vμo
tËp c¸c biÕn ngÉu nhiªn {Yj} vμ tËp c¸c tÝn hiÖu ph¸t {si(t)}, nªn cã thÓ kÕt luËn r»ng biÕn
ngÉu nhiªn ®ã kh«ng liªn quan ®Õn viÖc quyÕt ®Þnh tÝn hiÖu ®−îc ph¸t ®i. Nãi c¸ch kh¸c, tËp
c¸c biÕn ngÉu nhiªn {Yj} t¹i c¸c ®Çu ra bé t−¬ng quan ®Òu dùa vμo qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn thu
Y(t), ®Òu chØ lμ d÷ liÖu h÷u hiÖu cho qu¸ tr×nh quyÕt ®Þnh vμ v× vËy thÓ hiÖn thèng kª ®Çy ®ñ.
10
- 2.1. ®iÒu chÕ sè:
XÐt c¸c ph−¬ng ph¸p ®iÒu chÕ vμ gi¶i ®iÒu chÕ sè kh¸c nhau sö dông thñ tôc trùc giao
Gram-Schimidt ®Ó biÓu diÔn c¸c tÝn hiÖu ®iÒu chÕ vμo kh«ng gian tÝn hiÖu. M« h×nh tæng qu¸t
biÓu diÔn tÝn hiÖu ®iÒu chÕ vμ gi¶i ®iÒu chÕ sè trong kh«ng gian tÝn hiÖu N chiÒu ®−îc cho
bëi h×nh 1.2.
2.1.1. §iÒu chÕ vμ gi¶i ®iÒu chÕ BPSK:
M« h×nh to¸n häc
HÖ thèng BPSK ®−îc ®Æc tr−ng bëi kh«ng gian tÝn hiÖu mét chiÒu (N=1) víi hai ®iÓm
b¶n tin (M=2) nh− ®−îc cho ë h×nh 2.1. Sö dông thñ tôc trùc giao Gram-Schimid ®Ó biÓu diÔn
tÝn hiÖu ®iÒu chÕ vμo kh«ng gian tÝn hiÖu. Theo ®ã, x¸c ®Þnh ®−îc tËp c¸c th«ng sè cho tÝn
hiÖu ®iÒu chÕ BPSK nh− sau
BiÓu thøc tÝn hiÖu ®iÒu chÕ
Sè ®iÓm b¶n tin (vector) trong kh«ng gian tÝn hiÖu mét chiÒu M=2 (i=1,2) ⇔ s1(t) vμ
s2(t) t−¬ng øng víi hai tr¹ng th¸i pha cña tÝn hiÖu BPSK. Theo ®ã ta cã
N =1
s i ( t ) = ∑ s ij .Φ j ( t )
j=1
⎧ 2
⎪s11 cos(2πf c t + θ ), i = 1
Tb
⎪ 144 2444 4 3
⎪144424443 Φ1 ( t )
⎪
⎪ s1 ( t )
= s i1 .Φ 1 ( t ) = ⎨
⎪s 2
⎪ 21 cos(2πf c t + θ ), i = 2
Tb
⎪ 144 2444 4 3
⎪1444 2444 3
4Φ1 ( t ) 4
⎪
⎩ s 2 (t)
⎧ 2
⎪{ Eb cos(2πf c t + θ ), i =1
⎪ s11 Tb
⎪
=⎨
⎪− E 2
cos(2πf c t + θ ), i=2
⎪1 3 Tb
2 b
⎪ s 21
⎩
2E b
= cos(2πf c t + (i − 1)π + θ ), i = 1,2 vμ 0 ≤ t ≤ Tb
Tb
trong ®ã Tb lμ ®é l©u cña mét bit , Eb lμ n¨ng l−îng cña mét bit vμ 0≤t
- Sè chiÒu N=1 ⇒ chØ cã hμm trùc chuÈn Φ1(t) ®−îc x¸c ®Þnh bëi.
2 0 ≤ t ≤ Tb
Φ1 (t) = cos(2πf c t ),
Tb n c lμ sè nguyª n
14 244
4 3
Tb = n c ×Tc
hμm Φ1(t) tho¶ m·n hai ®iÒu kiÖn (Unit Energy & Orthonognality) cña hμm trùc chuÈn
L−u ý r»ng:
(1) T¹i mét thêi ®iÓm chØ cã mét ®iÓm b¶n tin ®−îc ph¸t ®i hay BPS = log 2 M bit tÝn ®−îc
ph¸t ®i ⇔ mét si(t) trong tËp {si(t)}®−îc ph¸t ®i. Thêi gian tån t¹i cña mçi tÝn hiÖu si(t) lμ
BPS*Tb gi©y.
(2) θ lμ gãc pha ban ®Çu cña hμm trùc chuÈn.
⎧bit "0" ⇔ s11 = E b
⎪
(3) ¸nh x¹ c¸c bit tin vμo c¸c hÖ sè sij theo nguyªn t¾c sau ⎨
⎪bit "1" ⇔ s 21 = − E b
⎩
M« h×nh hÖ thèng BPSK
M« h×nh hÖ thèng ®èi víi kªnh AWGN tõ m« h×nh to¸n ®−îc cho bëi h×nh 2.1
bi s i1 s i (t) y( t )
Tb
⎧Chän 0 nÕu y 1 > 0
∫ (•)dt
Bé chuyÓn Bé quyÕt
®æi møc ®Þnh ⎨
0 ⎩Chän 1 nÕu y 1 < 0
LÊy mÉu
Φ1 (t ) Φ1 ( t ) Bé t−¬ng quan
t¹i t = kTb
§iÒu chÕ w (t )
2
Φ1 (t) = cos(2πf c t ), 0 ≤ t ≤ Tb
Tb
2E b
s i (t) = cos(2πf c t + (i − 1)π + θ )
Tb
y( t ) = s i ( t ) + w ( t )
H×nh 2.1. M« h×nh hÖ thèng BPSK ®èi víi kªnh AWGN
NÕu bá qua ¶nh h−ëng cña kªnh AWGN vμ sãng mang ®· ®−îc ®ång bé th× phÝa ph¸t lμ
qu¸ tr×nh t¹o tÝn hiÖu si(t) vμ phÝa thu lμ qu¸ tr×nh kh«i phôc l¹i c¸c hÖ sè sij nh− ®−îc cho
trong b¶ng sau
§iÒu chÕ Gi¶i ®iÒu chÕ
12
- N =1 Tb
s i ( t ) = ∑ s ij .Φ j ( t ) s ij = ∫ s i ( t ).Φ j ( t )dt
j=1
0
2E b ⎧s11 = E b ⇔"0"
= cos[2πf c t + (i − 1)π ] ⎪
Tb =⎨
⎪s 21 = − E b ⇔"1"
⎩
2
Φ1 ( t ) = cos(2πf c t ), 0 ≤ t ≤ Tb
Tb
HiÖu n¨ng BER cña hÖ thèng BPSK
§Þnh vÞ c¸c ®iÓm b¶n tÝn trong kh«ng gian tÝn hiÖu
§iÓm b¶n tin "0" t−¬ng øng s1(t) ®−îc ®Æt ë s11 = + E b vμ ®iÓm b¶n tin "1" t−¬ng øng
víi s2(t) ®−îc ®Æt ë s 21 = − E b
X¸c ®Þnh biªn giíi quyÕt ®Þnh
§Ó quyÕt ®Þnh ký hiÖu lμ “1” hay “0” ¸p dông ph−¬ng tr×nh (3.64). Cô thÓ chia kh«ng
gian tÝn hiÖu thμnh hai vïng nh− ®−îc cho ë h×nh 2.1.
1. TËp hîp c¸c ®iÓm gÇn ®iÓm b¶n tin s11 = + E b nhÊt (t−¬ng øng víi "0"): Z1.
2. TËp c¸c ®iÓm gÇn ®iÓm b¶n tin s21 = - E b nhÊt (t−¬ng øng víi "1" : Z2 .
Quy t¾c quyÕt ®Þnh lμ dù ®o¸n tÝn hiÖu
s1(t) hay "0" ®−îc ph¸t nÕu tÝn hiÖu thu r¬i vμo vïng Z1
s2(t) hay "1" ®−îc ph¸t nÕu tÝn hiÖu thu r¬i vμo vïng Z2.
X¸c ®Þnh c¸c sù kiÖn lçi
Cã thÓ xÈy ra hai quyÕt ®Þnh sai sau
Thùc tÕ tÝn hiÖu s2(t) ®−îc ph¸t, nh−ng do ¶nh h−ëng cña t¹p ©m lμm cho tÝn
hiÖu thu r¬i vμo vïng Z1 dÉn ®Õn m¸y thu quyÕt ®Þnh s1(t) ®−îc ph¸t ®i.
Thùc tÕ tÝn hiÖu s1(t) ®−îc ph¸t, nh−ng do ¶nh h−ëng cña t¹p ©m lμm cho tÝn
hiÖu thu r¬i vμo vïng Z2 dÉn ®Õn m¸y thu quyÕt ®Þnh s2(t) ®−îc ph¸t ®i.
13
- Biªn giíi quyÕt ®Þnh
Vïng Z2: TËp hîp c¸c ®iÓm gÇn ®iÓm Vïng Z1: TËp hîp c¸c ®iÓm gÇn ®iÓm
b¶n tin 2 nhÊt (t−¬ng øng víi "1") b¶n tin 1 nhÊt (t−¬ng øng víi "0")
s 21 = − E b s11 = + E b
§iÓm b¶n tin 2 §iÓm b¶n tin 1 Φ1 (t )
§iÓm b¶n tin t−¬ng øng víi tÝn hiÖu s2(t) ®−îc ®Þnh vÞ t¹i s21 §iÓm b¶n tin t−¬ng øng víi tÝn hiÖu s1(t) ®−îc ®Þnh vÞ t¹i s11
H×nh 2.1. BiÓu ®å kh«ng gian tÝn hiÖu ®èi víi hÖ thèng BPSK nhÊt qu¸n.
Cô thÓ ho¸
§Ó tÝnh to¸n x¸c suÊt cho tr−êng hîp tÝn hiÖu s2(t) ®· ®−îc ph¸t, nh−ng do ¶nh h−ëng
cña t¹p lμm cho tÝn hiÖu thu r¬i vμo vïng Z1 dÉn ®Õn m¸y thu quyÕt ®Þnh s1(t) ®−îc ph¸t ®i.
TiÕn hμnh nh− sau
X¸c ®Þnh vïng quyÕt ®Þnh
Vïng quyÕt ®Þnh liªn quan tíi s1(t) hay "1" ®−îc tr×nh bÇy nh− sau
Z1 : 0 < y1 < ∞
trong ®ã x1 lμ ®¹i l−îng v« h−íng quan tr¾c ®−îc x¸c ®Þnh bëi.
Tb
y1 = ∫ y( t )Φ1 ( t )dt (2.7)
0
trong ®ã y(t) lμ tÝn hiÖu thu.
hμm kh¶ n¨ng cña kªnh AWGN
Tõ ph−¬ng tr×nh (3.49), suy ra hμm kh¶ n¨ng cña kªnh AWGN khi ký hiÖu “1” hay tÝn
hiÖu s2(t) ®· truyÒn qua kªnh ®−îc x¸c ®Þnh bëi.
14
- 1 (
⎡ y1 − m y ) 2
⎤
f y1 (y1 | s 2 ( t ) ≡ 1) = exp ⎢− 1
⎥
2π σ y1 ⎢
⎣ 2σ y1
2
⎥ σ y2 1 = N 0
⎦ 2
m y =s 21
1
1 ⎡ (y − s ) ⎤ 2
= exp ⎢− 1 21 ⎥ (2.8)
πN 0 ⎣ N0 ⎦
=
1 ⎡ y + E
exp ⎢− 1 b ( )⎤
⎥
2
πN 0 ⎢ N0 ⎥
⎣ ⎦
trong ®ã: f y (y1 s 2 ( t ) ≡ 1) lμ hμm mËt ®é x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn khi ph¸t “1” qua kªnh t¹p
1
©m tr¾ng céng Gauss¬ lý t−ëng (AWGN) thu ®−îc y1, s21 t−¬ng øng víi tÝn hiÖu ph¸t cña bit
“1 “ (tÝn hiÖu ®iÒu chÕ s2(t) ). Hμm f y (y1 s 2 ( t ) ≡ 1) ®−îc minh ho¹ phÝa tr¸i trong h×nh 2.2.
1
Biªn giíi quyÕt ®Þnh
f y1 ( y1 | 1) ≡ p(y1 | 1)
= p(y1 s 2 ( t ) d· d−îc truyÒn di ) f y1 ( y1 | 0) ≡ p(y1 | 0 )
1
= p(y1 s1 ( t ) d· d−îc truyÒn di )
− ( y1 + E b ) 2 2σ y1
2
= e
2π σ y1
1 − ( y1 − E b ) 2 2σ y1
2
= e
2π σ y1
s11 = + E b
E[ y1 ] = s 21 = − E b 0 y1
⇔"0"
⇔"1"
∞ ∞
( y1 −s 21 )2
−
1 2
2σ y1
p e (1) = ∫ f y1 ( y1 | 1)dy1 = ∫e dy1
0 2π σ y1 0
N0 ∞ (y1 + Eb )2
Var[ y1 ] = σ y1 =
2
1 −
= ∫e
N0
2 dy1
πN 0 0
15
- H×nh 2.2. Biªn giíi quyÕt ®Þnh vμ c¸c hμm kh¶ n¨ng t−¬ng øng víi c¸c ký hiÖu “0” vμ
“1” ®−îc ph¸t ®i
X¸c suÊt quyÕt ®Þnh sai
X¸c suÊt quyÕt ®Þnh sai lμ x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn mμ m¸y thu quyÕt ®Þnh thiªn vÒ ký hiÖu
“0” khi ký hiÖu “1” ®· ®−îc ph¸t, nghÜa lμ
Pe (1) = P(0 1) ≡ P(R x Tx )
∞
= ∫ f y1 ( y1 | 0)dy1
0
1⎡ y + E ∞
( ) ⎤dy
2
∫ ⎢
exp ⎢− 1 ⎥
b
= 1
πN 0 0 N0 ⎥
⎣ ⎦
§Æt
z=
1
N0
(y 1 + Eb ) (2.10)
vμ thay biÕn tÝch ph©n x1 thμnh z, cã thÓ viÕt l¹i ph−¬ng tr×nh (2.9) ë d¹ng sau
⎛ ⎞
Pe (1) = P⎜ { { ⎟
0 1
⎜ R T ⎟
⎝ x x ⎠
∞
∫ exp(− z )dz
1
= 2
π Eb
N0
(2.12)
1 ⎛ Eb ⎞
= erfc⎜ ⎟
2 ⎜ N ⎟
⎝ 0 ⎠
⎛ 2E b ⎞
= Q⎜
⎜ N
(
⎟ = Q 2SNR
⎟
)
⎝ 0 ⎠
⎛ Eb ⎞
trong ®ã erfc⎜
⎜ ⎟
( )
⎟ lμ hμm lçi bï (Complementary Error Function) vμ Q 2u = 1 erfc(u )
⎝ N0 ⎠ 2
. Quan hÖ gi÷a c¸c hμm mËt ®é x¸c suÊt, biªn giíi quyÕt ®Þnh vμ x¸c suÊt lçi quyÕt ®Þnh ký
hiÖu “0” (vïng quyÕt ®Þnh sai do t¸c ®éng cña kªnh AWGN) ®−îc cho ë phÇn g¹ch chÐo
h×nh 2.2.
16
- ⎛ ⎞
T−¬ng tù ta cã thÓ chØ ra r»ng Pe (0) = P⎜ { { ⎟ , x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn mμ m¸y thu
1 0
⎜ R T ⎟
⎝ x ⎠
144424x443
Thùc tÕ ph¸t"0' do ¶ nh h−ëng
kª nh AWGN quyÕt dÞnh "1"
quyÕt ®Þnh thiªn vÒ “0” khi ký hiÖu “1” ®· ®−îc ph¸t còng cã cïng gi¸ trÞ nh− ë ph−¬ng tr×nh
(2.12). Do tÝnh ®èi xøng nªn sau khi lÊy trung b×nh céng c¸c x¸c suÊt Pe(0|1) vμ Pe(1|0) nhËn
®−îc x¸c suÊt lçi ký hiÖu trung b×nh ®èi víi BPSK nhÊt qu¸n lμ
⎛ 2E b ⎞
Pe = Q⎜ ⎟ (2.13)
⎜ N ⎟
⎝ 0 ⎠
CÇn l−u ý r»ng ë c¸c tr−êng hîp mμ kh«ng gian tÝn hiÖu ®−îc ph©n chia ®èi xøng nh− ë
h×nh 2.2 th× c¸c x¸c suÊt lçi ký hiÖu cã ®iÒu kiÖn vμ x¸c suÊt lçi ký hiÖu trung b×nh sÏ cã
cïng gi¸ trÞ.
§Ó t¹o ra sãng ®iÒu chÕ PSK c¬ hai (2-PSK) cÇn ph¶i thÓ hiÖn chuçi nhÞ ph©n ®Çu vμo ë
"0" ⇔ + E b ,
d¹ng l−ìng cùc . D¹ng tÝn hiÖu nhÞ ph©n nμy cïng víi sãng mang hμm sin: Φ1(t)
"1" ⇔ − E b
chu kú Tc cã quan hÖ víi Tb nh− sau: Tb = 1c24 ®−îc ®Æt ®Õn bé ®iÒu chÕ nh©n. Sãng
n × Tc
4 3
n c lμ sè nguyª n
mang vμ c¸c xung ®Þnh thêi thõ¬ng ®−îc lÊy ra tõ cïng mét ®ång hå chñ. ë ®Çu ra cña bé
®iÒu chÕ ta nhËn ®−îc sãng PSK mong muèn.
§Ó lÊy ra chuçi c¬ hai ban ®Çu bao gåm c¸c sè '1' vμ '0' ®−a sãng PSK bÞ t¹p ©m y(t) (ë
®Çu ra cña kªnh) ®Õn mét bé t−¬ng quan, ®ång thêi ®Õn bé nμy còng ®−îc ®−a tÝn hiÖu nhÊt
qu¸n ®−îc t¹o ra t¹i chç Φ1(t) (h×nh 2.1). TÝn hiÖu y1 ë ®Çu ra cña bé t−¬ng quan ®−îc so
s¸nh víi mét ng−ìng ®iÖn ¸p 0 V«n. NÕu y1>0 th× m¸y thu quyÕt ®Þnh thiªn vÒ 1 cßn ng−îc
l¹i nã quyÕt ®Þnh thiªn vÒ 0.
17
nguon tai.lieu . vn
