- Trang Chủ
- Tự động hoá
- Dạng ma trận của phương trình Newton-Euler cho vật rắn không gian với tích Kronecker
Xem mẫu
- Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển
Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 196-200, DOI 10.15625/vap.2019000278
Dạng ma trận của phương trình Newton-Euler cho vật rắn
không gian với tích Kronecker
Nguyễn Thái Minh Tuấn
Bộ môn Cơ học Ứng dụng, Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
E-mail: nguyenthaiminhtuan@yahoo.com
Tóm tắt a11B a12 B a1s B
Sử dụng tích Kronecker là một cách để lưu trữ các thông tin có a B a B a2 s B
nhiều hơn hai chỉ số trong một mảng hai chiều, nhờ đó mà khả A B = 21 22
. (1)
năng của đại số ma trận được mở rộng. Báo cáo này dùng định
nghĩa đạo hàm của hàm ma trận theo biến vector của Nguyễn ar 1 B ar 2 B ars B
Văn Khang và tích Kronecker, đồng thời đưa ra một số định
nghĩa cũng như tính chất khác để phân tích động lực học một Tích Kronecker có những tính chất sau đây [7-9]
vật rắn không gian. Nhờ đó, một dạng ma trận mới của các
phương trình Newton-Euler sẽ được thiết lập. ( A B) C = A (B C) , (2)
( A B) = A B ,
T T T
(3)
Từ khóa: Newton-Euler, tích Kronecker, dạng ma trận.
A (B + C) = A B + A C , (4)
(B + C) A = B A + C A , (5)
1. Mở đầu ( A B)(C D) = ( AC) (BD) . (6)
Các phép tính ma trận được sử dụng rất phổ biến
trong động lực học hệ nhiều vật bởi sự thuận tiện trong Để các phép tính có thể thực hiện được, trong các
việc viết các công thức tổng quát. Tuy nhiên, các phép công thức (4) và (5) thì các ma trận B và C phải cùng cỡ,
tính căn bản như nhân hoặc cộng các ma trận là không đủ trông công thức (6) thì cỡ của các ma trận phải thỏa mãn
trong nhiều trường hợp, nhất là khi ta cần làm việc với điều kiện cần để thực hiện các phép nhân ma trận AC và
các đạo hàm theo biến vector. BD.
Sử dụng tích Kronecker, các nghiên cứu của Nguyễn
Văn Khang [1-3] trình bày một định nghĩa nhất quán của 2.2. Đạo hàm của hàm ma trận theo biến vector
đạo hàm của hàm ma trận theo biến vector, một số tính Định nghĩa 2. Đạo hàm riêng của một hàm ma trận
chất của phép toán này và dạng ma trận của phương trình matrix A(x) cỡ r s theo biến vector x cỡ n1 là
Lagrange loại hai và phương trình Lagrange với nhân tử. một ma trận cỡ r sn được xác định như sau [1-3]
Các kết quả đó giúp cho việc thiết lập các phương trình vi
phân chuyển động của hệ nhiều vật trở nên tiện lợi hơn,
A(x) a1 a2 as
khi các phép tính cần thực hiện đều là các phép tính với = , (7)
ma trận, thay vì phải thực hiện với từng phần tử của ma x x x x
trận như khi sử dụng các ký hiệu Christoffel [4].
Sử dụng định nghĩa đạo hàm của hàm ma trận theo trong đó a i là cột thứ i của ma trận A
biến vector, tác giả cũng đã đưa ra một dạng mới của
phương trình Lagrange loại hai, trong đó thể hiện rõ các A = a1 a2 as . (8)
thành phần bậc hai [5].
Báo cáo này sẽ xây dựng một dạng ma trận mới của
các phương trình Newton-Euler. Một phần kết quả đã Ta có một số định lý sau đây.
được trình bày trước trong phụ lục của luận án của tác giả Định lý 1. [1-3]
[6].
dA(x) A(x)
2. Một số phép tính ma trận A ( x) = = (Es x) . (9)
dt x
2.1 Tích Kronecker Định lý 2. [1-3]
Định nghĩa 1. Tích Kronecker của hai ma trận
A r s = [aij ] và B p q là một ma trận cỡ rp sq [7-9] (A(x)B(x)) A(x) B(x)
= (B(x) En ) + A(x) .(10)
x x x
Định lý 3.
- Nguyễn Thái Minh Tuấn
d (J r s (q n1 )q) J (q) là
= J (q)q + (q q) . (11)
dt q
0T −αT3 αT2
Chứng minh. Áp dụng (9) và (6), ta có A = αT3 0T −α1T . (17)
−αT2 α1T 0T
d (J (q)q) d (J (q))
= J (q)q + q
dt dt Định lý 5. Từ (15) và (17), dễ dàng chứng minh được
J (q)
= J (q)q + (q E n )(E1 q) rằng
q
.
J (q) Ax = A(E3 x) . (18)
= J (q)q + (qE1 ) (E n q)
q
J (q)
= J (q)q + (q q) 3. Dạng ma trận của các phương trình
q Newton-Euler
Xét một vật rắn B di chuyển trong một hệ quy chiếu
Định lý 4.
quán tính (0): O0 x0 y0 z0 . Hệ quy chiếu động gắn với vật
(E p xn1 )A pmd m1 = (A En )(d x) . (12) được ký hiệu là (b): Ob xb yb zb . Ma trận cosine chỉ hướng
của B là Ab(0) (q) , trong đó q n1 là vector các tọa độ suy
Chứng minh. Áp dụng (6) hai lần liên tiếp, ta có rộng độc lập. A b(0) được xác định như sau
(E p x) Ad = (E p x)( Ad E1 )
Ab(0) = xb(0) , y b(0) , zb(0) (19)
= (E p Ad) (xE1 )
.
= ( Ad) (En x) trong đó xb(0) , y b(0) và zb(0) lần lượt là các vector đơn
= ( A En )(d x) vị của hệ Ob xb yb zb viết trong hệ quy chiếu quán tính
(0). Một số tính chất của ma trận cosine chỉ hướng liên
Định nghĩa 3. Lũy thừa Kronecker bậc k của ma trận quan đến vector [10, 11]
A được xác định như sau
A k = A A k N . (13) (A ) = (A )
(0) T
b
(0) −1
b = A(0b) , (20)
k A A u(0)
b
(b)
=u (0)
, (21)
A u(b )
0
(0)
=u (b )
, (22)
2.3. Ma trận đối xứng lệch ứng với phép nhân có ω(0) = Ab(0) ( A b )
(0) T
, (23)
hướng và dạng mở rộng
Định nghĩa 4. Ứng với phép nhân có hướng, ma trận ω( b ) = ( A (0) T
b ) Ab(0) (24)
đối xứng lệch của vector
trong đó u(0) và u(b) lần lượt là vector đại số của một
a = a1 a2 a3
T
(14) vector hình học u bất kỳ trong hệ quy chiếu (0) và (b),
là vận tốc góc của vật rắn B.
là [10], [11] Ta biết rằng tensor hạng hai
−a3
m
0 a2 T = ak bk , (25)
a = a3 0 −a1 . (15) k =1
−a2 a1 0
với ak bk là tích dyad của hai vector a k và bk còn
Định nghĩa 5. Ma trận khối đối xứng lệch của một ma m là một số nguyên dương nào đó, có ma trận như sau
trận có ba hàng [10]
m
α1T T = a k bTk . (26)
k =1
A = αT2 (16)
α T
3 Từ (21) ta có
- Dạng ma trận của phương trình Newton-Euler cho vật rắn không gian với tích Kronecker
k ( b k ) = Ab
a(0) (0) (0)
a(kb) ( b(kb) )
T
( T
)(A )
(0) T
b k = 1, m . (27) trong đó 0 vC và 0 aC là vận tốc và gia tốc khối tâm C
của B khi quan sát trong hệ quy chiếu (0), m là khối
lượng của B.
Định lý 6. Từ (27) ta có thể suy ra được rằng Sử dụng khái niệm ma trận Jacobi tịnh tiến [5, 10,
11], và ma trận Hesse tịnh tiến, ta có [5]
T(0) = Ab(0) T(b ) ( Ab(0) )
T
(28)
0
vC(0) = 0 JTC
(0)
q, (37)
2
với T(0) và T( b ) lần lượt là ma trận của tensor T
0
v (0)
C = a
0 (0)
C = J q+ H q .
0 (0)
TC
0 (0)
TC (38)
biểu diễn trong hệ quy chiếu (0) và (b).
Tương tự, ta cũng có trong đó 0 J TC
(0)
là ma trận Jacobi tịnh tiến của điểm C đối
với hệ quy chiếu (0), viết trong hệ quy chiếu (0) và
T(b ) = A(0b) T(0) ( A(0b) ) .
T
(29)
0 JTC
(0)
0 (0)
HTC = (39)
Định lý 7. Với một vector u bất kỳ, ta có hệ thức q
Ab(0) u(b ) ( Ab(0) ) = u(0) .
T là ma trận Hesse tịnh tiến của điểm C đối với hệ quy
(30)
chiếu (0), viết trong hệ quy chiếu (0).
Như vậy phương trình (36) sẽ được viết về dạng tiện
Chứng minh. Xét một vector r bất kỳ, ta có phép dụng như sau
nhân có hướng
(0) 2
m 0 JTC
(0)
q + m 0 HTC q = f e (0) (40)
l = ur . (31)
b) Viết trong hệ quy chiếu động gắn với vật
Viết (31) lần lượt trong hai hệ quy chiếu (0) và (b), ta Tương tự như phần trước, ta sử dụng các ma trận
có [10, 11] Jacobi và Hesse tịnh tiến của điểm C đối với hệ quy chiếu
(0), viết trong hệ quy chiếu (b)
l (0) = u(0) r (0) , (32)
l (b ) = u(b ) r (b ) . (33) 0
vC(b ) = 0 JTC
(b )
q = A(0b ) 0 JTC
(0)
q, (41)
2
0
v (b )
C = J q+ H q ,
0 (b )
TC
0 (b )
TC (42)
Từ (21), (33) và (20), ta suy ra
J 0 (b)
0 (b )
HTC = . TC
(43)
l (0)
=A l (0) ( b ) q
b
= Ab(0) u (b ) r (b )
Tuy nhiên cần chú ý rằng
= Ab(0) u (b ) ( Ab(0) ) Ab(0) r ( b )
T
0
aC(b) 0 vC(b) . (44)
hay
Ta cần sử dụng hệ thức sau đây [5]
(
l (0) = Ab(0) u( b ) ( A b )
(0) T
)r (0)
, (34)
Ab(0) 0 (b)
0 (0)
HTC = Ab(0) 0 HTC
(b)
+ ( JTC (q) En ) . (45)
q
So sánh (32) và (34), chú ý rằng r là một vector bất
kỳ, ta suy ra định lý cần chứng minh.
Nhân trái cả hai vế của (45) với A (0b ) , ta có
3.1. Dạng ma trận của các phương trình Newton
a) Viết trong hệ quy chiếu quán tính Ab(0) 0 (b)
A(0b ) 0 HTC
(0)
= 0 HTC
(b)
+ A(0b) ( JTC (q) En ) . (46)
Gọi F e là tổng các ngoại lực tác dụng vào vật rắn q
B. Phương trình Newton dạng vector hình học [10]
Nhân trái cả hai vế của (40) với A (0b ) và chú ý đến
m vC = m aC = F
0 0 e
(35) (46), ta có
có thể viết về dạng ma trận như sau m 0 JTC
(b)
q
(b) Ab(0) 0 ( b ) .(47)
m 0 vC(0) = m 0 aC(0) = f e(0) (36) + m 0 HTC + A(0b ) ( JTC (q) En ) q 2 = f e( b)
q
- Nguyễn Thái Minh Tuấn
Jacobi và Hesse quay của B đối với hệ quy chiếu (0), viết
Việc sử dụng (40) hay (47) phụ thuộc vào việc ta dễ trong hệ quy chiếu (b)
dàng viết được (37) hay (41) hơn. Nếu không có sự khác
biệt thì thông thường (40) sẽ được sử dụng do công thức 0
ωC(b ) = 0 J (Rbb) q = A (0b ) 0 J (0)
Rb q , (56)
này gọn gàng hơn (47). 2
0
ω (b )
b = J q+ H q
0 (b )
Rb
0 (b)
Rb , (57)
3.2. Dạng ma trận của các phương trình Euler 0 J (Rbb)
a) Viết trong hệ quy chiếu quán tính
0
H (Rbb) = . (58)
q
Gọi mCe là tổng moment đối với khối tâm C của các
ngoại lực và ngoại ngẫu lực tác dụng vào vật rắn B. Chú ý rằng, khác với trường hợp tịnh tiến, trong
Phương trình Euler dạng vector hình học [10] trường hợp này
IC 0b + 0b ( IC 0b ) = mCe (48) 0
α b(b ) = 0 ωb(b ) . (59)
có thể viết trong hệ quy chiếu quán tính như sau Do đó, dạng của phương trình Euler viết trong hệ quy
chiếu gắn với vật có dạng rất giống với (54)
IC(0) 0 ωb(0) + 0 ωb(0) IC(0) 0 ωb(0) = mCe (0) (49)
I C(b ) 0 J (Rbb) q
.(60)
trong đó 0b và 0b = 0b là vận tốc góc và gia tốc
( )
+ I C(b ) 0 H (Rbb) + 0 J (Rbb) ((I C(b ) 0 J (Rbb) ) En ) q 2 = mCe (b )
góc B khi quan sát trong hệ quy chiếu (0), I C là tensor
quán tính khối của B đối với khối tâm C. Thông thường I C(0) biến đổi theo thời gian trong khi
Sử dụng khái niệm ma trận Jacobi quay [5, 10, 11], I C( b ) là một ma trận hằng số nên (60) thường được ưa
và ma trận Hesse quay, ta có [5]
dùng hơn (54).
Kết hợp (40) và (60), ta có
0
ωb(0) = 0 J (0)
Rb q , (50)
2
0
ω (0)
b = α 0 (0)
b = J q+ H q
0 (0)
Rb
0 (0)
Rb . (51) Mq + C*q2 = Σ e . (61)
trong đó 0
J (0)
Rb là ma trận Jacobi quay của B đối với hệ trong đó
quy chiếu (0), viết trong hệ quy chiếu (0) và
m 0 JTC
(0)
M = (b ) 0 (b ) , (62)
0 J (0) I C J Rb
Rb =
0 Rb
H (0) (52)
q m 0 HTC
(0)
C = (b ) 0 (b ) 0 (b ) (b ) 0 (b )
*
, (63)
là ma trận Hesse quay của B đối với hệ quy chiếu (0), viết (
I C H Rb + J Rb ((I C J Rb ) En ) )
trong hệ quy chiếu (0). f e (0)
Để ý đến (50), (18) và (12), ta có Σ e = e (b ) . (64)
mC
0
ωb(0) IC(0) 0 ωb(0) = 0 J (0)
Rb (E3 q)I C J Rb q
(0) 0 (0)
. (53) Về mặt hình thức, (61) không khác gì dạng ma trận
= 0 J (0)
Rb ((I C J Rb ) E n )(q q)
(0) (0)
của phương trình Lagrange loại 2 được thiết lập trong [5].
Công thức của C* có vẻ phức tạp, nhưng không khó để
Như vậy phương trình (49) sẽ được viết về dạng tiện tính toán trên máy tính, thực tế hoàn toàn có thể viết gọn
dụng như sau trong một dòng lệnh. Hơn nữa, C* chỉ phụ thuộc vào q,
không phụ thuộc vào q , đây cũng chính là một ưu điểm
Rb q + I C
IC(0) 0 J (0) (
(0) 0
Rb + J Rb ((I C
H(0) 0 (0) (0) 0 (0)
)
J Rb ) En ) q2 = mCe (0) của phương trình đề xuất so với các cách viết cũ [10, 11]
(54) khi cần thực hiện trên máy tính.
4. Kiểm chứng
b) Viết trong hệ quy chiếu động gắn với vật
Phương trình (48) viết trong hệ quy chiếu (b) Với các định nghĩa, tính chất và định lý đã nêu, có
thể chứng minh được rằng phương trình đề xuất hoàn
IC(b ) 0 ωb(b) + 0 ωb(b ) IC(b) 0 ωb(b) = mCe (b) (55) toàn giống với các cách viết các phương trình
Newton-Euler khác [10, 11].
Dạng ma trận của các phương trình Euler đã được sử
Tương tự như phần trước, ta sử dụng các ma trận
dụng trong [6] để khảo sát một vật rắn quay quanh điểm
- Dạng ma trận của phương trình Newton-Euler cho vật rắn không gian với tích Kronecker
cố định chịu các tiếp xúc có ma sát và cho kết quả hoàn [11] Schiehlen, W. and Eberhard, P.: Applied Dynamics (Vol.
toàn giống với [12]. 57). Berlin: Springer, 2014.
5. Kết luận [12] von Wagner, U., Hochlenert, D., and Hagedorn, P.:
Minimal models for disk brake squeal. Journal of Sound
Báo cáo đã nêu ra các cơ sở toán học với tích and Vibration, 302(3), 527-539, 2007.
Kronecker và ma trận đối xứng lệch ứng với phép nhân
có hướng của hai vector. Từ đó, các phương trình Newton
và các phương trình Euler trong hệ quy chiếu quán tính
cũng như trong hệ quy chiếu gắn với vật được thiết lập.
Các phương trình được đề xuất có dạng
Mq + C*q2 = Σ e
với M và C* đều chỉ phụ thuộc vào các tọa độ suy rộng
chứ không phụ thuộc vào các vận tốc suy rộng, rất tiện
dụng trong tính toán, nhất là khi sử dụng máy tính.
Hướng nghiên cứu tiếp theo có thể sẽ là mở rộng các
phương trình trên cho hệ nhiều vật, hệ nhiều vật có cấu
trúc phức tạp hoặc hệ nhiều vật đàn hồi.
Tài liệu tham khảo
[1] Khang, N. V.: Partial derivative of matrix functions with
respect to a vector variable, Vietnam Journal of Mechanics
30(4), 269-279, 2008.
[2] Khang, N. V.: Consistent definition of partial derivatives
of matrix functions in dynamics of mechanical systems,
Mechanism and Machine Theory 45, 981-988, 2010.
[3] Khang, N. V.: Kronecker product and a new matrix form of
Lagrangian equations with multipliers for constrained
multibody systems, Mechanics Research Communications
38, 294-299, 2011.
[4] Spong M. W., Hutchinson S., and Vidyasagar, M.: Robot
modeling and control. John Wiley & Sons Inc., New York
2006.
[5] Tuan, N. T. M., Pham, C. T., Khoa, D. D., and Phong, P.
D.: Kinematic and dynamic analysis of multibody systems
using the Kronecker product, Vietnam Journal of Science
and Technology, 57(1), 112-127, 2019.
[6] Tuan, N. T. M.: Effect of vibrations on friction in the
context of brake squeal (Doctoral dissertation). TU Berlin,
2019. http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-8186
[7] Zhang, F.: Matrix theory: basic results and techniques.
Springer Science & Business Media, 2011.
[8] Brewer, J.: Kronecker products and matrix calculus in
system theory, IEEE Transactions on circuits and systems,
25(9), 772-781, 1987.
[9] Laub, A. J.: Matrix analysis for scientist and engineers
(Vol. 91). Society for Industrial and Applied Mathematics,
Philadelphia, 2005.
[10] Khang, N. V.: Động lực học hệ nhiều vật (In lần thứ hai có
sửa chữa và bổ sung). Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật,
Hà Nội 2017.
nguon tai.lieu . vn