Xem mẫu
- Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue 5 (06/2021), 646-659
Transport and Communications Science Journal
THE FOURIER TRANSFORM TO DISTRIBUTIONS
AND SOLUTIONS OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
Nguyen Sy Anh Tuan*
University of Transport and Communications, No 3 Cau Giay Street, Hanoi, Vietnam
ARTICLE INFO
TYPE: Research Article
Received: 15/03/2021
Revised: 19/05/2021
Accepted: 24/05/2021
Published online: 15/06/2021
https://doi.org/10.47869/tcsj.72.5.11
*
Corresponding author
Email: anhtuanns@utc.edu.vn; Tel: 0903231051
Abstract. The study of the regularity or the smoothness of the solutions of the partial
differential equations in the broad distributions has stimulated an important mathematical
development. This article presents the Fourier transform in a Schwartz space and the space of
distributions to study generalised solutions, weak solutions and fundamental solutions of the
partial differential equations that are being interested by many mathematicians. Part 2
introduces the geometric symbols and necessary functional spaces for the reader to connecting
the following sections. Fourier transforms in the Schwartz space are included in Part 3. Part 4
is devoted to presenting the Fourier transform to distributions. The problems of generalised
solutions, weak solutions and fundamental solutions of the partial differential equations are
presented in Part 5. The results of the study show that partial differential equations act as a
bridge between mathematics and applications, promoting the development of mathematical
ideas in many different fields.
Keywords: Fourier transform, distributions, generalised solutions, fundamental solutions.
© 2021 University of Transport and Communications
646
- Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 72, Số 5 (06/2021), 646-659
Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải
BIẾN ĐỔI FOURIER HÀM SUY RỘNG
VÀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
Nguyễn Sỹ Anh Tuấn*
Trường Đại học Giao thông vận tải, Số 3 Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam
THÔNG TIN BÀI BÁO
CHUYÊN MỤC: Công trình khoa học
Ngày nhận bài: 15/03/2021
Ngày nhận bài sửa: 19/05/2021
Ngày chấp nhận đăng: 24/05/2021
Ngày xuất bản Online: 15/06/2021
https://doi.org/10.47869/tcsj.72.5.11
*Tác giả liên hệ
Email: anhtuanns@utc.edu.vn; Tel: 0903231051
Tóm tắt. Việc nghiên cứu tính chính quy hay độ trơn của nghiệm của phương trình đạo hàm
riêng trong lớp hàm suy rộng đã kích thích một hướng Toán học quan trọng phát triển. Bài
viết này trình bày biến đổi Fourier trong không gian Schwartz và không gian các hàm suy
rộng để nghiên cứu nghiệm suy rộng, nghiệm yếu, nghiệm cơ bản của phương trình đạo hàm
riêng đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm. Phần 2 đưa vào các ký hiệu hình học và
các không gian hàm cần thiết để người đọc dễ theo dõi các phần tiếp theo. Biến đổi Fourier
trong không gian Schwartz được đưa vào ở phần 3. Phần 4 dành cho việc trình bày biến đổi
Fourier hàm suy rộng. Các bài toán về nghiệm suy rộng, nghiệm yếu và nghiệm cơ bản của
phương trình đạo hàm riêng được trình bày ở phần 5. Kết quả của nghiên cứu cho thấy
phương trình đạo hàm riêng đóng vai trò là chiếc cầu nối giữa toán học và ứng dụng, thúc đẩy
sự phát triển các ý tưởng toán học trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Từ khóa: biến đổi Fourier, hàm suy rộng, nghiệm suy rộng, nghiệm cơ bản.
© 2021 Trường Đại học Giao thông vận tải
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Bài toán được đặt ra là cần phải tìm nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng không
có nghiệm cổ điển để lý giải các hiện tượng thực tế mà chúng ta mô tả. Ví dụ, ta xét định luật
bảo toàn ut + F (u) x = 0 . Phương trình này xuất hiện trong thuỷ động học và mô tả nhiều hiện
tượng vật lý khác nhau. Nói chung định luật bảo toàn không có nghiệm cổ điển. Tuy nhiên
đây là một phương trình đạo hàm riêng được đặt chỉnh nếu ta xét nghiệm suy rộng hoặc
nghiệm yếu của nó. Biến đổi Fourier hàm suy rộng đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên
647
- Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue 5 (06/2021), 646-659
cứu nghiệm suy rộng, nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng.
2. CÁC KHÔNG GIAN HÀM
Trong phần này chúng ta sẽ làm quen với những ký hiệu và kiến thức phụ trợ cần thiết
được sử dụng trong các phần sau.
¡ n là không gian Euclide thực n chiều, = 1
. Một điểm trong n
là x = ( x1 ,..., xn ) .
n +1
Một điểm trong thường được ký hiệu là ( x, t ) = ( x1 ,..., xn , t ) , t là biến thời gian.
1
n
n 2
Nếu x = ( x1 ,..., xn ) và y = ( y1 ,..., yn ) thuộc n
thì xy = xk yk , x = xk2
k =1 k =1
Một véc tơ dạng = (1 ,..., n ) n
0 , trong đó mỗi thành phần i là một số nguyên không
âm, được gọi là một đa chỉ số bậc = 1 + ... + n .
Cho trước một đa chỉ số , ký hiệu x = x11 ...x1n .
u ( x)
D u ( x) = = x11 ...xnn u .
x11 ...xnn
2u
n
u = là toán tử Laplace của u .
j =1 x j x j
Giá của hàm liên tục u ký hiệu là supp u = x n
| u ( x) 0 .
C () = u : → | u khả vi vô hạn}. Hàm u C () được gọi là hàm trơn.
n n
D( ) là không gian các hàm khả vi vô hạn trên với giá compact.
n
D( ) còn gọi là không gian các hàm thử.
1
p
) = u : → = u ( x) dx } (1 p ) .
p
P
L ( n n
| u đo được Lebesgue, u Lp ( n
) n
L1loc () = u : → | u L1 (V ) với mọi V }.
Ta viết V nếu V V , V là compact và ta nói V được chứa compact trong .
là mặt phẳng phức. Nếu z ta ký hiệu z là số phức liên hợp của z .
3. BIẾN ĐỔI FOURIER TRONG KHÔNG GIAN SCHWARTZ
3.1. Định nghĩa
Không gian Schwartz là không gian các hàm trơn giảm nhanh,
S( n
) = f C ( n
): f ,
= sup x f ( x ) , với mọi đa chỉ số , n
0 } [1].
x n
648
- Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 72, Số 5 (06/2021), 646-659
) : Ta nói rằng f k ⎯⎯⎯ → f khi k → nếu f k − f → 0, k →
n
S (¡ )
Sự hội tụ trong S ( n
,
với mọi , n
0 .
3.2. Biến đổi Fourier trong không gian S ( n
)
Định nghĩa:
Nếu f S ( n
) , ta định nghĩa biến đổi Fourier của f là
1
fˆ ( ) = e
− ix
f ( x)dx, n
(1)
(2 )n /2 n
và biến đổi Fourier ngược của f là
1
( ) = e
ix
f (x)dx, n
(2)
(2 )n /2 n
Định nghĩa tích chập:
Nếu f , g S ( ) ta định nghĩa tích chập của f và g là ( f g )( x) = f ( x − y) g ( y)dy
n
(3)
n
3.3. Các tính chất của biến đổi Fourier
Giả sử u, v S ( n
) . Khi đó
(i) uvdx = uvd
n
ˆˆ
n
[2]
(ii) D u ( ) = i uˆ ( )
(iii) (u * v)( ) = (2 ) n /2 uˆ ( )vˆ( )
(iv) u = (uˆ) ˇ
1 (−1)
Chứng minh: (ii) Ta có D u ( ) = e D u( x)dx = D
− ix
(e −ix )u ( x)dx =
(2 ) n /2 (2 ) n /2
x
n n
1
i
= e−ix u ( x)dx = i uˆ ( ) (đpcm).
(2 )n /2 n
1 1
e e
ix
(iv) Tính u ( x) = uˆ ( )d = i ( x − y )
u ( y)dyd = (uˆ ) ˇ ( x) (đpcm).
(2 )n /2 n (2 ) n
2n
Các tính chất (i) và (iii) xem ở [3].
3.4. Các ví dụ về biến đổi Fourier trong không gian Schwartz
2
Ví dụ 1: Tìm biến đổi Fourier của hàm Gauss g ( x) = e− k x , k 0 (4)
n
, g ( x) = e
− kx j 2
Giải: Với x = ( x1 ,..., xn ) n
(5)
j =1
649
- Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue 5 (06/2021), 646-659
Ta có g ( x) là hàm Schwartz, g ( x) S ( n
).
− kx j 2
Trước hết ta đi tìm biến đổi Fourier của hàm Gauss một biến g ( x j ) = e , xj .
Thấy rằng g ( x j ) thoả mãn phương trình g ( x j ) + 2kx j g ( x j ) = 0 (6)
Lấy biến đổi Fourier hai vế của phương trình này theo biến x j ta được
− j 2
i gˆ ( j ) + 2ki ( gˆ ( j ) ) = 0 gˆ ( j ) = ce 4k
, j = 1,..., n (7)
1 1
e
− kx j 2
Ta có c = gˆ (0) = g ( x j )dx j = dx j
2 − 2 −
e dt = nên suy ra
−t 2
Ta đã biết
−
1 1 1 1 1
e e
− ( k x j )2
C= d( k xj ) = −t 2
dt = = (8)
2 k − 2 k − 2 k 2k
Do đó biến đổi Fourier của hàm Gauss là
−
2
n
n
1
gˆ ( ) = gˆ ( j ) = e
4k
, = (1 ,..., n ) n
(9)
j =1 2k
Ví dụ 2: Tìm biến đổi Fourier hàm f ( x) là nghiệm của phương trình tích phân:
x
e
−x −2 x
f ( x) + f ( )d = e (10)
−
x
Thấy rằng e f ( )d =
−x
H ( x − )e
− ( x − )
f ( )d = ( e − x .H ( x) ) f ( x) (11)
− −
1, x 0
trong đó H ( x) là hàm Heaviside [4]: H ( x) = (12)
0, x 0
Do đó phương trình đã cho tương đương với phương trình
f ( x) + ( e − x .H ( x) ) f ( x) = e
−2 x
(13)
Lấy biến đổi Fourier hai vế của phương trình này ta có
fˆ ( ) + 2 e− x H ( x)( ) fˆ ( ) = e ( )
−2 x
Do đó biến đổi Fourier của hàm f ( x) là:
1 3 4 d i
fˆ ( ) = 2 + (14)
2 4 + 4 d 2 + i
650
- Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 72, Số 5 (06/2021), 646-659
1 2a
(Vì e− a x ( ) = , a 0 ).
2 a +
2 2
Ví dụ 3: Tìm biến đổi Fourier hàm là nghiệm của phương trình vi sai phân
du
+ au ( x) + u ( x − 1) = f , a vµ f S ( ) (15)
dx
du
Ta có ( ) = i uˆ ( ), u ( x − 1)( ) = e − i uˆ ( ) (16)
dx
Do đó lấy biến đổi Fourier hai vế của phương trình ta được
i uˆ ( ) + auˆ ( ) + e−i uˆ ( ) = fˆ ( ),
fˆ ( )
Do đó biến đổi Fourier của hàm u là uˆ ( ) = (17)
i + a + e −i
4. BIẾN ĐỔI FOURIER HÀM SUY RỘNG
4.1. Định nghĩa (hàm suy rộng)
Ta gọi phiếm hàm tuyến tính liên tục u : D ( n
)→ là hàm suy rộng.
Giá trị của phiếm hàm u tại hàm f D ( n
) ký hiệu là u f hoặc u , f .
Không gian các hàm suy rộng ký hiệu là D’ ( n
).
Ta nói dãy f n các hàm suy rộng hội tụ đến hàm suy rộng f nếu với mọi hàm
thử dãy f n , hội tụ đến f , .
4.2. Các ví dụ về hàm suy rộng
Ví dụ 1: Giả sử f L1loc ( n
) [5]. Khi đó u f : D ( n
)→ xác định bởi
u f , =
n
f ( x) ( x)dx (18)
là hàm suy rộng.
Thật vậy, tính liên tục của u f được suy ra từ đánh giá
u f , f ( x) ( x) dx f ( x) dx (19)
K K
DK, K compact trong n
.
Hiển nhiên phiếm hàm u f là tuyến tính ⇒ đpcm.
Ví dụ 2: Giả sử là hàm thử trên n
. Khi đó phiếm hàm x : D ( n
)→ xác định bởi
x , = ( x) (20)
651
- Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue 5 (06/2021), 646-659
là một hàm suy rộng (gọi là độ đo Dirac tại x n
).
Thật vậy, ta có x , k = k ( x) → ( x) = x , nÕu k → trong D ( n
) ⇒ đpcm.
1 ( x)
Ví dụ 3: Giá trị chính Cauchy P v : D ( ) → ,
x
lim+
→0
x
x
dx (21)
là hàm suy rộng.
Thật vậy, a 0 sao cho supp −a, a ta có
1 ( x) − (0) (0)
P v , = lim+ dx + dx =
x →0 x x
x a x a
( x) − (0) a
( x) − (0)
= lim+
→0
x a x
dx =
−a
x
. Giới hạn này tồn tại và hữu hạn vì
( x) − (0)
x a x
dx 2a max , 0.
4.3. Đạo hàm của hàm suy rộng
Định nghĩa: Giả sử f là hàm suy rộng trong D’ ( n
) . Đạo hàm riêng của hàm f được xác
f
định bởi , = f , − , D ( n
) , j 1,..., n (22)
x j x j
1, x 0
Ví dụ 1: Hàm Heaviside H ( x) = là hàm suy rộng.
0, x 0
Với D ( ) ta có H , = − H , = − H ( x) ( x)dx = − ( x)dx = (0) = ,
0
Vậy H = (23)
1
Ví dụ 2: D ln x = P v trong D’ ( n
) (24)
x
Thật vậy ta có D ln x , = − ln x , = − lim+
→0
\ − ,
ln x ( x)dx =
1
( x) − (0)
= − lim+ ( x)dx + ln ( ) − (− ) = lim+ dx =
→0 x →0 x
− a ,a\− ,
− a ,a\− ,
652
- Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 72, Số 5 (06/2021), 646-659
1 v(0)
= P v , (đpcm). (Vì dx = 0 và lim+ ln ( ) − (− ) = 0 ).
x →0
− a , a \ − , x
4.4. Hàm suy rộng ôn hoà
Định nghĩa: Ta gọi phiếm hàm tuyến tính liên tục u : S ( ) → là hàm suy rộng ôn hoà. n
Giá trị của phiếm hàm u tại hàm f S ( n ) ký hiệu là u f hoặc u , f .
Không gian các hàm suy rộng ôn hoà ký hiệu là S ( n ) [6].
Chú ý: (i) Nếu u S ( n ) thì x u S ( n ), , n0 .
(ii) Hàm suy rộng ôn hoà là một hàm suy rộng, nghĩa là S ( n
) D’ ( n
) (25)
4.5. Biến đổi Fourier trong không gian S ( n
)
Mệnh đề: Với , S ( n
) ta luôn có ˆ , = , ˆ [7].
1
Chứng minh: Theo Định lý Fubini ta có ˆ , = ( x)e
− ix
dx ( )d =
(2 ) n /2
n
n
1
( x) ( )e d dx = ,ˆ .
− ix
=
(2 )n /2 n
n
Định nghĩa: Biến đổi Fourier của hàm suy rộng u S ( n
) được xác định bởi
uˆ , = u , ˆ , S ( n
) (26)
Biến đổi Fourier ngược của hàm suy rộng u S ( n
) được xác định bởi
, = u, , S ( n ) (27)
Một số tính chất của biến đổi Fourier trong S ( n
):
(i) u ( x + y ) = eiy uˆ , trong đó u S ( n
), y n
;
(ii) Dx u = i uˆ ;
(iii) x u = i uˆ .
Chứng minh: (i) Ta có u ( x + y), = u ( x + y), ˆ = u, ( x − y) = u, eiy =
= uˆ , eiy = eiy uˆ , (đpcm).
Các tính chất (ii) và (iii) xem ở [8].
Ví dụ: Biến đổi Fourier của độ đo Dirac x0 là hàm suy rộng xác định bởi
653
- Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue 5 (06/2021), 646-659
1
ˆx , = x , ˆ = ˆ ( x0 ) = e ( y)dy
− ix0 y
(28)
0 0
(2 )n /2 n
ˆ e−ix0 y 1
Vậy x0 ( y) = . Đặc biệt ˆ0 = .
(2 ) n /2
(2 ) n /2
Lấy biến đổi Fourier ngược ta có 1ˆ = (2 ) n / 2 0 .
5. NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG
5.1. Định nghĩa (nghiệm suy rộng):
Giả sử P( D) là toán tử đạo hàm riêng và f D’ ( n ) . Hàm u D’ ( n ) được gọi là nghiệm
suy rộng của phương trình P( D)u = f nếu P ( D )u , = f , , D’ ( n ) (29)
Bài toán 1: Giả sử f L1loc ( ) và xét u( x, t ) = f ( x − t ) [9]. Khi đó u L1loc ( 2
) là nghiệm
suy rộng của phương trình sóng một chiều.
Thật vậy, ta có t2u − 2xu, = u, t2 − 2x = f ( x − t )( t2 ( x, t ) − 2x ( x, t ))dxdt
2
với D ( ) . 2
u = x − t u +v u −v
Đặt ( x, t ) = , = (u, v) , với D (
2
)
v = x + t 2 2
Vì t2 = u2 + v2 − 2 u v , 2x = u2 + v2 + 2 u v nên t2 − 2x = −4 u v . Suy
ra t2u − 2xu, = −2 f (u ) u v dvdu = −2 f (u ) u v (u, v)dv du = 0 vì
2
u v (u, v)dv = 0 ⇒ đpcm.
5.2. Nghiệm cơ bản của phương trình đạo hàm riêng
Định nghĩa: Hàm suy rộng E D’ ( ) được gọi là nghiệm cơ bản của toán tử đạo hàm
n
riêng P( D) nếu P( D) E = 0 [10] trong D’ ( n ) (30)
Bài toán 2: Tìm nghiệm cơ bản của bài toán Cauchy đối với phương trình Schrodinger
ut = iu trong (0, )
n
(31)
u ( x, 0) = f ( x) trª n
n
t = 0 , f S ( n )
Lấy biến đối Fourier theo biến hai vế của phương trình ta được
uˆ ( , t ) = −i uˆ ( , t ) và uˆ ( , 0) = fˆ ( )
2
t
Giải phương trình vi phân này ta có uˆt ( , t ) = fˆ ( )e
−i t
2
. Lấy biến đổi Fourier ngược ta
được nghiệm của bài toán là:
654
- Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 72, Số 5 (06/2021), 646-659
( ) (e ) f = F f
1
u ( x, t ) = fˆ ( )e
−i −i t
2 2
=
t
(32)
( 2 )
n /2
1
2
−x
e 4 it
nÕu t 0
trong đó F ( x, t ) = ( 4 it ) 2
n
(33)
0 nÕu t 0
Ta chứng minh rằng F ( x, t ) là nghiệm cơ bản của toán tử Schrodinger.
F ( x, t ) nÕu t
Với 0 đặt F ( x, t ) =
0 nÕu t .
Ta phải chứng minh t F ( x, t ) − iF ( x, t ), ( x, t ) = F ( x, t ), ( − t − i) ( x, t ) → (0, 0)
khi → 0 với D ( n +1
) . Bằng cách lấy tích phân từng phần ta có:
t F ( x, t ) − iF ( x, t ), ( x, t ) = F ( x, t )(− t − i) ( x, t )dxdt =
n
0
= −iF ( x, t ) ( x, t )dxdt + F ( x, t ) ( x, t )dxdt + F ( x, ) ( x, )dx =
t
n n n
= ( t − i) F ( x, t ) ( x, t )dxdt + F ( x, ) ( x, )dx + 0( ) = 0( ) + F ( x, ) ( x,0)dx
n n n
Ta có sup ( x, ) − ( x, 0) → 0 khi → 0+ và
x n
F ( x, )dx = 1.
n
Từ đó cho → 0+ ta được ( t − i ) F , = (0, 0) (đpcm).
Bài toán 3 (Phương pháp triệt tiêu độ nhớt đối với phương trình Burgers)
Ta nghiên cứu nghiệm u khi → 0 của bài toán giá trị ban đầu đối với phương trình độ
nhớt Burgers
ut + u ux = uxx , x , t 0
(34)
u ( x, 0) = u0 ( x), x
Nếu đặt x = −u , t
=
(u ) 2
− u x3 thì từ (34) suy ra t =
(x )
2
+ xx
2 2
1
hoặc t − xx − 2x = 0 (35)
2
Phương trình (35) là phương trình phi tuyến thường xuất hiện trong lý thuyết điều khiển
655
- Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue 5 (06/2021), 646-659
tối ưu ngẫu nhiên.
Đặt = g () trong đó hàm g : → sẽ xác định sau. Ta chọn hàm g sao cho hàm thoả
t
mãn một phương trình tuyến tính. Ta có t = g ( ) t t = và x = g () x ;
g ( )
xx = g () 2x + g () xx
t
Thế các đạo hàm t = , xx = g () 2x + g () xx vào phương trình (35) và rút
g ( )
g ( ) 1 2
gọn ta nhận được phương trình t − xx = − − x
g ( ) 2
Ta được phương trình truyền nhiệt t − xx = 0 (36)
g ( ) 1
với điều kiện chọn hàm g sao cho − = 0 nghĩa là lấy g = e 2 .
g ( ) 2
x −
h( x)
Do đó u = − x = −2 . Từ điều kiện ban đầu ta suy ra 0 ( x ) = e 2
trong đó h( x) là
một nguyên hàm của u0 ( x) .
Xét bài toán giá trị ban đầu đối với phương trình truyền nhiệt
t − xx = 0
−
h( x) (37)
0 ( x) = e 2
Thay hình thức i bởi vào công thức nghiệm cơ bản của phương trình Schordinger ở bài
1 −
x2
e 4 t
nÕu t 0
toán 2 (với n = 1 ) ta có nghiệm cơ bản của (36) là ( x, t ) = 4 t
0 nÕu t 0
h( y ) ( x − y )2
1 − −
Từ đây ta có nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (37) là ( x, t ) =
4 t
e
−
2
e 4 t
dy
Trở lại biến gốc ban đầu ta có nghiệm của phương trình độ nhớt Burger là
− K ( x , y ,t )
x− y
− t e 2
dy
u ( x, t ) = − K ( x , y ,t )
(38)
e
−
2
dy
( x − y)2
Với K ( x, y, t ) = h( y ) + , x, y , t 0 trong đó h( x) là một nguyên hàm của u0 ( x) .
2t
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng nghiệm u hội tụ khi → 0 tới một nghiệm suy rộng u của định
luật bảo toàn [11]
656
- Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 72, Số 5 (06/2021), 646-659
u2
t = 0, x , t 0
u +
2 x (39)
u ( x, 0) = u ( x), x
0
Kỹ thuật triệt tiêu độ nhớt này cho phép tìm được nghiệm Entropi u của phương trình (39),
nghiệm này có thể không liên tục qua các sóng sốc và giới hạn của các nghiệm u của (34). Ở
đây sẽ trình bày tóm tắt phương pháp Laplace nghiên cứu sự tiệm cận khi → 0 của các tích
I
−
phân chứa biểu thức e , I là hàm cho trước.
Bổ đề (tiệm cận). Giả sử rằng k , l : → là các hàm liên tục, l tăng nhiều nhất là tuyến
tính và k tăng ít nhất là bậc hai.
Giả thiết tồn tại duy nhất y0 sao cho k ( y0 ) = min k ( y) .
−k ( y)
l ( y )e
dy
Khi đó lim −
−k ( y)
= l ( y0 )
→0
e
−
dy
k0 −k ( y )
e
Chứng minh: Đặt k0 = k ( y0 ) . Khi đó hàm ( y ) = k0 −k ( z )
, y
e
dz
−
thoả mãn
0, ( y)dy = 1
−
( y ) → 0 nh hµm mò víi y y, khi → 0
0
−k ( y)
l ( y )e
dy
Do đó lim
→0
−
−k ( y)
= lim
→0 l ( y) ( y)dy = l ( y ) . Bổ đề được chứng minh xong.
0
e
−
dy −
Từ bổ đề trên suy ra lim u ( x, t ) = u( x, t ) (40)
→0
Công thức (40) cho ta công thức nghiệm Entropi của bài toán giá trị ban đầu (39).
Bài toán 4: Tìm hàm suy rộng E S ( 3
) là nghiệm cơ bản của toán tử Laplace trong
không gian ba chiều, nghĩa là E = 0 .
Lấy biến đổi Fourier hai vế của phương trình đã cho ta được
657
- Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue 5 (06/2021), 646-659
1 1
− 2 Eˆ ( ) = 0 . Vì 0 = 3
nên Eˆ ( ) = − 3
(41)
(2 ) (2 )
2 2
2
1 −2
Lấy biến đổi Fourier ngược ta được nghiệm của phương trình là E = − 3
( ) (42)
(2 ) 2
Đổi biến sang toạ độ cầu ta có
2
r 2 sin
R
−2 −2
d = d d dr = 4 R L1loc ( 3
)
R 0 0 0
r2
−2 −2
Trong không gian S ( 3
) có lim( 1B (0, R ) ) = ( ) (43)
R→
Do đó với S ( 3
) ta có
3 3
− −2 − −2
E , = (2 ) 2 (− ) , = − lim (2 ) 2 ( 1 B (0, R ) ) , =
R →
3 3
− −2 − −2
= − lim(2 )
R →
2
1B (0, R ) , = − lim(2 )
R →
2
3
1B (0, R ) ( ) ( )d =
1 −2 1 −2
3 R → ( x )e (2 )3 R→ 3
=− lim i x
dxd = − lim ei x d ( x)dx
(2 ) 3
Bằng cách đổi miền ta có
R R
−2
R S 2
ei x d = r −2ei r x d r 2 dr = cos(r x )d dr
0 S 2 0 S 2
(44)
d 1
Dùng tiếp phép thế = arccos s =− , 0 suy ra
ds 1 − s2
1
sin(r x )
cos(r x)d = −2 cos(r x s)ds = −4 −1
rx
(45)
s2
sin x sin(r x )
Vì dx = nên dr = . Từ đó suy ra
0
x 2 0
rx 2x
R
1 sin(r x ) 1 1 1
3 R → 2 4
E, = lim 4 dr ( x)dx = 2
( x)dx = ( x)dx
(2 ) 3 0 rx (2 )3 3 x 3 x
1
Vậy nghiệm suy rộng của bài toán là E ( x) = (46)
4 x
658
- Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 72, Số 5 (06/2021), 646-659
6. KẾT LUẬN
Bài viết đã trình bày biến đổi Fourier cho lớp hàm suy rộng và đưa ra một vài phương
pháp để nghiên cứu nghiệm suy rộng, nghiệm cơ bản cho một số phương trình đạo hàm riêng
mà thực tế chúng không có nghiệm khả vi đến bậc cần thiết.
LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin trân trọng gửi đến Trường Đại học Giao thông vận tải lời cảm ơn chân thành đã
tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực hiện nghiên cứu trong bài báo này.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. E. M. Stein, R. Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction (Princeton Lectures in Analysis I),
Princeton: Princeton University Press, (2003), ISBN 0-691-11384-X.
[2]. J. Jost, Partial Differential Equations, New York: Springer-Verlag (2002), ISBN 0-387-95428-7.
[3]. Juha Kinnunen, Shulin Zhou, A local estimate for nonlinear equations with discontinuous
coefficients, Communications in partial differential equations, 24 (1999) 2043-2068.
https://doi.org/10.1080/03605309908821494
[4]. N. S. Minh, T. D. Vân, N. S. A. Tuấn, The space of exponential functions associated with a class
of differential operator and application, Pro. Of Inter. Conference on Applied analyses and Mechanies
of Continuous Media, Ho Chi Minh City, (1995), 268-281.
[5]. Yaffe, Laurence. G, Chapter 6: Symmetries, Physics 226: Particles and Symmetries. Retrieved 1
January, 2021.
[6]. P.Agarwal, R.P. Agarwal, M. Ruzhansky, Special Functions and Analysis of Differential
Equations, RC Press, 2020. https://doi.org/10.1201/9780429320026
[7]. Drabek Pavel, Holubova Gabriela, Elements of partial differential equations, Berlin: de Gruyter,
(2007), ISBN 9783110191240.
[8]. Treves Francois, Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y: Dover
Publications, (2006), ISBN 978-0-486-45352-1. https://www.elsevier.com/books/topological-vector-
spaces-distributions-and-kernels/treves/978-1-4831-9859-0
[9]. Nguyễn Sỹ Anh Tuấn, Phép biến đổi Fourier - Cauchy cho các hàm thuộc lớp Holder, Tạp chí
Khoa học Giao thông vận tải, 68 (2019) 17-25.
[10]. Nguyễn Sỹ Anh Tuấn, Phương pháp biến đổi Fourier nhiều chiều trong phương trình đạo hàm
riêng, Kỷ yếu Hội thảo về Giảng dạy và Nghiên cứu Khoa học cơ bản, (2020) 41-48.
[11].Nguyễn Sỹ Anh Tuấn, A Remark on Analytic Pseudodifferential Operators with Singularities,
Vietnam Journal of Mathematics, 26 (1998) 91-94.
http://www.math.ac.vn/publications/vjm/vjm_26/No.1/91-94_Tuan.PDF
659
nguon tai.lieu . vn
