Xem mẫu
- XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ
Chương IV:
BIẾN ĐỔI Z VÀ ÁP DỤNG
CHO HỆ THỐNG TUYẾN
TÍNH BẤT BIẾN RỜI RẠC
2008
- Nội dung
Biến đổi trong xử lý tín hiệu
Biến đổi Z
Các tính chất của biến đổi Z
Biến đổi Z ngược
Biến đổi Z một phía
Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền Z
Xét tính ổn định của hệ thống
- Biến đổi trong xử lý tín hiệu
Phương pháp phổ biến trong xử lý tín hiệu:
biến đổi tín hiệu từ không gian tự nhiên của
nó (miền thời gian) sang không gian (miền)
khác.
Ví dụ: biến đổi tín hiệu từ miền thời gian
sang miền tần số
x(n) = sin 2f0n m(f) = 1 nếu f = f0, 0 nếu f f0.
x(n) = asin 2f1n + bsin 2f2n m(f) = a nếu f =
f1, b nếu f = f2, 0 còn lại.
- Lựa chọn biến đổi
Tín hiệu sau khi được biến đổi sẽ hội tụ
trong một vài vùng của miền biến đổi
thuận tiện cho việc khảo sát các đặc trưng.
Phải tồn tại biến đổi ngược có thể thực
hiện việc chỉnh sửa tín hiệu trong miền biến
đổi và thu lại được tín hiệu đã chỉnh sửa
trong không gian tự nhiên (miền thời gian)
của tín hiệu.
- Định nghĩa biến đổi Z
Biến đổi Z hai phía:
n
X (z) x(n ) z
n
z là một biến phức biến đổi Z thực hiện
việc biến đổi tín hiệu từ miền thời gian rời
rạc vào một không gian phức (miền Z).
Biến đổi Z tồn tại nếu chuỗi biến đổi hội tụ.
Ví dụ: biến đổi Z của (n) và của (nn0)
- Định nghĩa biến đổi Z
Biến đổi Z một phía:
1 n
X (z) x(n ) z
n0
Biến đổi Z một phía và hai phía của tín
hiệu nhân quả là như nhau.
- Ý nghĩa của biến đổi Z
Với tín hiệu rời rạc, biến đổi Z đơn thuần
là một cách biểu diễn khác của tín hiệu.
Vai trò của biến đổi Z đối với hệ thống rời
rạc tương đương với vai trò của biến đổi
Laplace đối với hệ thống liên tục.
- Miền hội tụ của biến đổi Z
Miền hội tụ (ROC) của biến đổi Z là tập
hợp tất cả các giá trị của z mà chuỗi biến
đổi x(n)zn hội tụ.
Ví dụ
Tiêu chuẩn Cauchy:
1
n
n
lim | x n | 1 x
n0
n
- Miền hội tụ của biến đổi Z
Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy tiêu chuẩn
hội tụ của biến đổi Z:
R x | z | R x
1
n
R x lim | x ( n ) |
n
1
n
R x 1 lim | x ( n ) |
n
- Miền hội tụ của biến đổi Z
Miền hội tụ của biến đổi Z là miền nằm
giữa 2 đường tròn bán kính Rx và Rx+
trong mặt phẳng z.
Miền hội tụ của biến đổi Z của một số loại
tín hiệu:
Tín hiệu có độ dài hữu hạn.
Tín hiệu nhân quả có độ dài vô hạn.
Tín hiệu phản nhân quả có độ dài vô hạn.
- Miền hội tụ của biến đổi Z
Miền hội tụ của biến đổi Z một phía: là
miền nằm ngoài đường tròn bán kính Rx
trong mặt phẳng z.
- Các tính chất của biến đổi Z
Tuyến tính:
Z [ax (n) bx (n)] aX ( z ) bX ( z )
1 2 1 2
Trễ:
n0
Z [ x(n n )] z
0 X ( z)
Co giãn trong miền z:
n 1
Z [a x(n)] X (a z)
ROC :| a | Rx | z || a | Rx
- Các tính chất của biến đổi Z
Lật:
1
Z [ x(n)] X ( z )
1 1
ROC : | z |
Rx Rx
Đạo hàm trong miền z:
dX ( z )
Z [nx ( n )] z
dz
- Các tính chất của biến đổi Z
Biến đổi Z của tích chập:
Z [ x (n) x (n)] X ( z ) X
1 2 1 2 ( z)
Biến đổi Z của tương quan:
1
Z [r x1 x2 ( n )] X 1 ( z ) X 2 ( z )
Định lý giá trị đầu:
x (0) lim X ( z )
z
- Biến đổi Z ngược
Định lý Cauchy
1 n 1 1 ( n 0)
j 2 z
C
dz
0 ( n 0)
C là một chu tuyến (đường khép kín) có chiều
dương (ngược chiều quay của kim đồng hồ)
bao quanh gốc tọa độ trong mặt phẳng Z.
- Biến đổi Z ngược
Biến đổi ngược của biến đổi Z (chứng
minh được bằng cách sử dụng định lý
Cauchy):
1 n 1
x(n) X ( z) z dz
j 2 C
- Các phương pháp tính biến đổi Z
Phương pháp tính tích phân theo C (sử
dụng định lý phần dư của Cauchy):
Nếu {zpk} là tất cả các trị cực của X(z)zn1 nằm
bên trong chu tuyến C:
n 1
x(n ) Res[
k
X (z)z |z z p k ]
Tính phần dư tại trị cực: nếu zpk là cực đơn
Res[ X ( z ) z n 1 |z z pk ] ( z z pk ) X ( z ) z n 1 |z z pk
- Các phương pháp tính biến đổi Z
Tính phần dư tại trị cực bội: zpk là một trị cực
bội bậc sk
n 1
Res[ X ( z ) z |z z p ]
k
s k 1 sk n 1
1 d ( z z pk ) X ( z ) z
s k 1
( s k 1)! dz z z pk
- Các phương pháp tính biến đổi Z
Phương pháp khai triển chuỗi lũy thừa:
Nếu X(z) khai triển được thành một chuỗi lũy
thừa của z1 như sau:
n
X (z)
n
n z
thì ta có x(n) = n.
Cách khai triển: dùng phép chia đa thức.
Chú ý: ROC của X(z) quyết định dạng của
chuỗi lũy thừa.
- Các phương pháp tính biến đổi Z
Phương pháp khai triển phân thức tối
giản:
Không giảm tổng quát, giả thiết X(z) có thể
biểu diễn dưới dạng X(z) = N(z)/D(z), ở đó
N(z) và D(z) là 2 đa thức với bậc của N(z)
bậc của D(z).
Giả sử {zp } là tất cả các trị cực của X(z).
k
nguon tai.lieu . vn
