Xem mẫu
- BAØI GIAÛNG
NG
XÖÛ LYÙ SOÁ TÍN HIEÄU
Bieân soaïn:
n: PGS.TS LEÂ TIEÁN THÖÔØNG
NG
Tp.HCM, 02-2005
- CHÖÔNG 5: BIEÁN ÑOÅI Z
5.1 Nhöõng tính chaát cô baûn
5.2 Mieàn hoäi tuï
5.3 Nhaân quaû vaø söï oån ñònh
5.4 Phoå taàn soá
5.5 Bieán ñoåi Z ngöôïc
- CHÖÔNG 5: BIEÁN ÑOÅI Z
5.1 Nhöõng tính chaát cô baûn
Bieán ñoåi z laø coâng cuï cô baûn ñeå thieát keá, phaân tích vaø
bieåu dieãn cuûa caùc boä loïc soá. Bieán ñoåi z cuûa tín hieäu rôøi raïc
veà thôøi gian x(n) ñöôïc ñònh nghóa nhö sau:
n =∞
X (z ) = ∑ x (n )z −n
(bieán ñoåi z) (5.1.1)
n = −∞
hoaëc döôùi daïng caùc soá haïng:
X(z) = … +x(-2)z2 + x(-1)z + x(0) + x(1)z-1 + x(2)z-2 + …
Neáu tín hieäu x(n) laø nhaân quaû thì chæ luyõ thöøa aâm z-n, n ≥
0 xuaát hieän trong coâng thöùc khai trieån.
- CHÖÔNG 5: BIEÁN ÑOÅI Z
Ñònh nghóa (5.1.1) coù theå ñöôïc aùp duïng cho chuoãi ñaùp öùng
xung h(n) cuûa boä loïc soá. Bieán ñoåi z cuûa h(n) ñöôïc goïi laø haøm
truyeàn cuûa boä loïc ñöôïc ñònh nghóa:
n=∞
H (z ) = ∑ h (n )z −n
(haøm truyeàn) (5.1.2)
n = −∞
Ví duï 5.1.1: Xaùc ñònh haøm truyeàn H(z) cuûa hai boä loïc
nhaân quaû cuûa ví duï 3.4.3
(a) h = {h0, h1, h2, h3} = {2,3,5,2}
(b) h = {h0, h1, h2, h3, h4} = {1,0,0,0,-1}
- CHÖÔNG 5: BIEÁN ÑOÅI Z
Giaûi:
Duøng ñònh nghóa (5.1.2), ta coù:
H(z)= h0 + h1z-1 + h2 z-2 + h3 z-3 = 2 + 3z-1 + 5z-2 + 2z-3
ñoái vôùi caâu a, vaø
H(z)= h0 + h1z-1 + h2 z-2 + h3 z-3 + h4 z-4 = 1 - z-4
ñoái vôùi caâu b.
Coù 3 tính chaát cuûa bieán ñoåi z maø thuaän lôïi cho vieäc
phaân tích vaø toång hôïp cuûa caùc heä thoáng tuyeán tính:
- Tính tuyeán tính
- Tính treã
- Tính chaäp
- CHÖÔNG 5: BIEÁN ÑOÅI Z
Tính tuyeán tính: bieán ñoåi z cuûa toå hôïp tuyeán tính caùc tín
hieäu baèng toå hôïp tuyeán tính cuûa caùc bieán ñoåi z ñoù.
a1x1 (n ) + a 2 x 2 (n ) ⎯⎯→ a1X1 (z ) + a 2 X 2 (z )
Z
(5.1.3)
Tính treã: treã tín hieäu bôûi D maãu seõ töông ñöông vôùi tích
bieán ñoåi z cuûa noù vôùi heä soá z-D.
x (n ) ⎯⎯→ X (z ) ⇒ x (n − D ) ⎯⎯→ z X (z )
Z Z −D
(5.1.4)
Tính chaäp: chaäp trong mieàn thôøi gian trôû thaønh tích
trong mieàn z.
y(n ) = h (n ) * x (n ) ⇒ Y (z ) = X (z )H (z ) (5.1.5)
- CHÖÔNG 5: BIEÁN ÑOÅI Z
Ví duï 5.1.2: Hai boä loïc cuûa ví duï treân vaø cuûa ví duï 3.4.3 coù
theå ñöôïc vieát döôùi daïng “ñoùng” sau:
(a) h(n) = 2δ(n) + 3δ(n-1) + 5δ(n-2) + 2δ(n-3)
(b) h(n) = δ(n) - δ(n-4)
Haøm truyeàn coù theå ñaït ñöôïc baèng caùch duøng tính treã vaø
tính tuyeán tính nhö sau:
Tröôùc heát, chuù yù bieán ñoåi z cuûa δ(n) laø 1.
n =∞
δ (n ) ⎯⎯→Z
∑δ (n )z −n
= δ (0 )z −0
=1
n = −∞
- CHÖÔNG 5: BIEÁN ÑOÅI Z
Ví duï 5.1.2:
Keá ñoù, töø tính treã ta coù
δ (n − 1) ⎯⎯→
Z
z −1.1 = z −1 ,
δ (n − 2) ⎯⎯→
Z
z − 2 .1 = z − 2 ,
δ (n − 3) ⎯
⎯→
Z
z −3 .1 = z −3 ,...
Duøng tính tuyeán tính, chuùng ta coù:
2δ (n) + 3δ (n −1) + 5δ (n − 2) + 2δ (n − 3) ⎯ −1 −2
⎯→2 + 3z + 5z + 2z
Z −3
ñoái vôùi (a), vaø
h (n ) = δ (n ) − δ (n − 4 ) ⎯⎯→
Z
H (z ) = 1 − z −4
ñoái vôùi (b).
- CHÖÔNG 5: BIEÁN ÑOÅI Z
Ví duï 5.1.3: Duøng u(n)-u(n-1)=δ(n), ñoái vôùi moïi n, vaø tính
chaát bieán ñoåi z. Haõy xaùc ñònh bieán ñoåi z cuûa 2 tín hieäu.
(a) x(n) = u(n) (b) x(n) = -u(-n-1)
Giaûi:
Ñoái vôùi (a), chuùng ta coù phöông trình vi phaân
x(n) - x(n-1) = u(n) - u(n-1) = δ(n)
Laáy bieán ñoåi z hai veá vaø duøng tính treå vaø tính tuyeán tính,
ta coù:
1
x (n ) − x (n − 1) = δ (n ) ⎯⎯→ X (z ) − z X (z ) = 1 ⇒ X (z ) =
Z −1
1 − z −1
- CHÖÔNG 5: BIEÁN ÑOÅI Z
Ví duï 5.1.3:
Töông töï: ñoái vôùi (b), chuùng ta coù phöông trình vi phaân
x(n)-x(n-1)=-u(-n-1)+u(-(n-1)-1)= u(-n)-u(-n-1)=δ(-n)
Phöông trình cuoái cuøng, chuùng ta duøng ñònh nghóa cho
tröôùc baèng caùch thay n baèng –n. Chuù yù δ(-n)= δ(n) vaø laáy
bieán ñoåi z hai veá, ta coù
1
x(n) − x(n − 1) = δ (− n) ⎯
Z
⎯→ X (z) − z X (z) = 1 ⇒ X (z) =
−1
1 − z −1
Vì theá maëc duø hai tín hieäu u(n) vaø –u(-n-1) laø hoaøn
toaøn khaùc nhau trong mieàn thôøi gian (moät nhaân quaû vaø
moät phaûn nhaân quaû) nhöng bieán ñoåi z cuûa chuùng gioáng
nhau.
- CHÖÔNG 5: BIEÁN ÑOÅI Z
Ví duï 5.1.4: Tính ngoõ ra cuûa ví duï 4.1.1 baèngng caùch
ch thöïc
hieän tính chaäp nhö laø pheùp nhaân trong mieàn z.
Giaûi:
i:
Hai chuoãi h={1,2,-1,1}, x={1,1,2,1,2,2,1,1} coù bieán ñoåi z:
H(z)= 1 + 2z-1 - z-2 + z-3
X(z)= 1 + z-1 + 2z-2 + z-3 + 2z-4 + 2z-5 + z-6 + z-7
Nhaân hai ña thöùc, c, ta coù tích Y(z) = X(z)H(z)
Y(z)= 1 + 3z-1 + 3z-2 + 5z-3 + 3z-4 + 7z-5 + 4z-6 + 3z-7 + 3z-8 +z-10
Heä soá luõy thöøa cuûa z laø nhöõng maãu chaäp ngoõ ra:
y=h*x={1, 3, 3, 5, 3, 7, 4, 3, 3, 3, 0, 1}
- CHÖÔNG 5: BIEÁN ÑOÅI Z
5.2 Mieàn hoäi tuï
Mieàn hoäi tuï ROC cuûa X(z) laø taäp con cuûa maët phaúng
phöùc z maø caùc chuoãi (5.1.1) hoäi tuï, nghóa laø
⎧ n =∞
⎫
ROC = ⎨ z ∈ C X ( z ) = ∑ x(n )z ≠ ∞ ⎬
−n
(5.2.1)
⎩ n = −∞ ⎭
Mieàn hoäi tuï laø moät khaùi nieäm quan troïng veà nhieàu
phöông dieän: noù cho bieán ñoåi ngöôïc duy nhaát cuûa bieán ñoåi
z vaø cho caùc ñaëc tính tieän lôïi cuûa tính chaát nhaân quaû vaø
oån ñònh cuûa tín hieäu hay heä thoáng.
Mieàn hoäi tuï phuï thuoäc vaøo tín hieäu x(n) caàn bieán ñoåi.
- CHÖÔNG 5: BIEÁN ÑOÅI Z
Ví duï, xeùt tín hieäu nhaân quaû sau:
x(n)=(0.5)nu(n)={1,0.5,0.52,…}
Bieán ñoåi z laø
ÔÛ ñaây, toång bò giôùi haïn vôùi n ≥ 0 vì x(n) nhaân
quaû. Duøng coâng thöùc chuoãi hình hoïc voâ haïn ñeå
tính toång voâ haïn:
∞
1
1 + x + x + x + ... = ∑ x =
2 3 n
(5.2.2)
n =0 1− x
Maø hoäi tuï vôùi |x| < 1 vaø ngöôïc laïi thì phaân kyø.
- CHÖÔNG 5: BIEÁN ÑOÅI Z
Cho x = 0.5z-1, ta coù toång
( )
∞ ∞
X ( z ) = ∑ 0.5 z
1
−1 n
=∑x = n
hoaëc
n =0 n =0 1− x
1 z
X (z ) = −1
=
1 − 0.5 z z − 0.5
Ñieàu kieän ñeå hoäi tuï chuoãi hình hoïc laø:
x = 0 .5 z − 1 < 1 ⇒ z > 0 .5
Vì theá, mieàn hoäi tuï laø taäp cuûa caùc z trong mieàn
z maø naèm ngoaøi voøng troøn baùn kính 0.5.
ROC={z∈C||z|>0.5}
- CHÖÔNG 5: BIEÁN ÑOÅI Z
Chuù yù, bieán ñoåi z coù cöïc taïi z=0.5. Toùm laïi, ta coù:
(0.5) u (n ) ⎯⎯→
n Z 1
−1
vôùi z > 0.5
1 − 0 .5 z
Bieán ñoåi z vaø ROC cuûa noù ñöôïc xaùc ñònh duy nhaát bôûi
tín hieäu thôøi gian x(n). Tuy nhieân cuõng coù theå coù hai tín
hieäu coù cuøng bieán ñoåi z nhö ví duï 5.1.3. Caùc tín hieäu nhö
theá chæ coù theå phaân bieät trong mieàn z bôûi ROC cuûa chuùng.
Ví duï xeùt tín hieäu phaûn nhaân quaû x(n)=-(0.5)nu(-n-1)
Bieán ñoåi z seõ laø:
(( 0.5) z ) ( )
−1 −1 −n ∞ m
X ( z ) = − ∑ ( 0.5 ) z =−∑ = −∑ ( 0.5 ) z
n −n −1 −1
n =−∞ n =−∞ m =1
- CHÖÔNG 5: BIEÁN ÑOÅI Z
ÔÛ ñaây chuùng ta chuyeån caùc bieán toång töø n
thaønh m=-n. Ñeå tính toång chuùng ta duøng:
∞
x
x + x + x + ... = ∑ x =
2 3 m
m =1 1− x
Maø hoäi tuï vôùi |x| < 1 vaø ngöôïc laïi thì phaân kyø.
Cho x=0.5z-1, ta coù
( )
∞ ∞ −1
X ( z ) = −∑ (0.5) z
x 0.5 z
= −∑ x = −
−1 m m
=− −1
hoaëc
m=1 m=1 1− x 1 − 0.5 z
z 1
X (z ) = =
z − 0.5 1 − 0.5z −1
Maø gioáng nhö ví duï nhaân quaû treân.
- CHÖÔNG 5: BIEÁN ÑOÅI Z
Tuy nhieân, ROC trong tröôøng hôïp naøy thì khaùc. Noù
ñöôïc xaùc ñònh töø ñieàu kieän hoäi tuï cuûa chuoãi
x = 0.5−1 z < 1 ⇒ z < 0.5
laø taäp cuûa caùc z beân trong voøng troøn baùn kính 0.5.
ROC = {z ∈ C z < 0 .5 }
- CHÖÔNG 5: BIEÁN ÑOÅI Z
Toùm laïi, chuùng ta coù bieán ñoåi z:
1
(0.5 ) u(n ) ⎯⎯→
n Z
−1
, vôùi z > 0.5
1 − 0 .5 z
1
− (0.5 ) u (− n − 1) ⎯⎯→ , vôùi z < 0.5
n Z
−1
1 − 0 .5 z
Hai tín hieäu coù cuøng bieán ñoåi z nhöng ROC thì hoaøn
toaøn khaùc nhau. Toång quaùt, chuùng ta coù caùc keát quaû sau:
1
a u (n ) ⎯⎯→
n Z
−1
, vôùi z > a
1 − az (5.2.3)
1
− a u (− n − 1) ⎯⎯→
n Z
−1
, vôùi z < a
1 − az
- CHÖÔNG 5: BIEÁN ÑOÅI Z
ÔÛ ñaây a laø soá phöùc baát kyø. ROC cuûa chuùng nhö sau:
Bieán ñoåi z (5.2.3) cuøng vôùi tính tuyeán tính vaø tính treå
coù theå xaây döïng nhieàu bieán ñoåi phöùc taïp hôn.
- CHÖÔNG 5: BIEÁN ÑOÅI Z
Ví duï 5.2.1: cho a= ±1 trong (5.2.3), chuùng ta coù bieán
ñoåi z cuûa tín hieäu böôùc nhaân quaû, phaûn nhaân quaû vaø caùc
tín hieäu böôùc khaùc:
u (n ) ⎯
1
⎯→
Z
−1
, vôùi z > 1
1− z
− u (− n − 1) ⎯
1
⎯→Z
−1
, vôùi z < 1
1− z
(− 1) u (n ) ⎯⎯→
n Z 1
−1
, vôùi z > 1
1+ z
− (− 1) u (− n − 1) ⎯
1
⎯→ , vôùi z < 1
n Z
−1
1+ z
nguon tai.lieu . vn
