Xem mẫu
- Chương 3:
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN
TẦN SỐ LIÊN TỤC
3.1 BIẾN ĐỔI FOURIER
3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER
3.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI Z & F
3.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ
3.5 LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU
1
- 3.1 BIẾN ĐỔI FOURIER TÍN HIỆU RỜI RẠC
3.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI FOURIER:
j jn
• Biến đổi Fourirer của dãy x(n): X ( e ) x (
n
n )e
Trong đó: - tần số của tín hiệu rời rạc
j j j arg X ( e j ) /X(ej)/ - phổ biên độ
X( e ) X( e )e
argX(ej) - phổ pha
• Ký hiệu:
F
x(n) X(ej) hay X(ej) = FT{x(n)}
F 1
X(ej)
x(n) hay x(n) = FT-1{X(ej)}
2
- • Nhận thấy X(ej) tuần hoàn với chu kỳ 2, thật vậy:
j ( 2 ) j ( 2 ) n jn j
X (e ) x ( n )e
n
x ( n ) e X ( e )
n
X e j e jl d
n
x( n )e j n ejld
j l n
x( n ) e d
n
Áp dụng kết quả: Biến đổi Fourier ngược:
j ( l n ) 2 : l n 1
e d x( n ) X ( e j )e j n d
0 : l n 2
3
- Ví dụ 3.1.1: Tìm biến đổi F của các dãy:
x1 ( n) a nu ( n) : a 1 x2 (n) a nu(n 1) : a 1
1
j
X 1 (e ) n
a u ( n )e jn
ae j n
n n 0 1 ae j
X 2 (e j ) a nu ( n 1)e jn a 1e j n
n n 1
a e 1
j m
a e 1 j m
1
m 1 m0
1 1
1 1 j
1 a e 1 ae j
4
- 3.1.2 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI BIẾN ĐỔI FOURIER
jω jn jn
X (e ) x ( n)e
n
x ( n) e x ( n)
n
n
Vậy, để X() hội tụ thì điều kiện cần là: x ( n)
n
Các tín hiệu thỏa điều kiện hội tụ là tín hiệu năng lượng,
thậy vậy:
2
x(n) x(n)
2
Ex
n n
2
Nếu:
n
x ( n) Ex x ( n)
n
5
- Ví dụ 3.1.2: Xét sự tồn tại biến đổi F của các dãy:
x1 (n) 0.5n u(n); x2 (n) 2n u(n); x3 (n) u(n); x4 (n) rectN (n)
n 1 n
n
x1 (n) (0.5) u (n) (0.5)
n n 0 1 0.5
2
n n
n
x2 (n) 2 u
n
( n )
2
n 0
X2(ej) không tồn tại
x3 (n) u ( n ) u ( n) X3(ej) không tồn tại
n n n 0
N 1
x (n) rect
n
4
n
N (n) rect N (n) N
n 0
6
- 3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER
3.2.1 Tuyến tính
Nếu:
F
x1 (n) X1 (e j ) F
x2 (n) X 2 (e j )
Thì:
F
a1 x1 ( n) a 2 x2 ( n) a1 X 1 (e j ) a2 X 2 (e j )
3.2.2 Dịch theo thời gian
Nếu: F
x(n) X (e j )
Thì:
F
x(n n0 ) e-jn0 X (e j )
7
- Ví dụ 3.2.1: Tìm biến đổi F của dãy (n) và (n-2)
F j j n
x( n) ( n) X (e ) (
n
n )e 1
Áp dụng tính chất dịch theo thời gian:
F
( n 2) x ( n 2) e j 2 X ( e j ) e j 2
3.2.3 Liên hiệp phức
Nếu:
F
x(n) X (e j )
Thì:
F
x * (n) X * (e j )
8
- 3.2.4 Đảo biến số
Nếu:
F
x ( n) X ( e j )
Thì: F
x ( n) X ( e j )
Ví dụ 3.2.2: Tìm biến đổi F của dãy y(n)=2nu(-n)
Theo ví dụ 3.1.1, có kết quả:
n
1 F j 1
x ( n) u( n) X ( e ) j
2
1 (1 / 2 )e
n F j 1
y( n ) x( n ) 2 u( n ) X (e )
1 (1 / 2)e j
9
- 3.2.5 Vi phân trong miền tần số
Nếu: F
x ( n) X ( e j )
j
F dX(e )
Thì: n x( n) j
d
Ví dụ 3.2.3: Tìm biến đổi F của g(n)=nanu(n); /a/
- 3.2.6 Dịch theo tần số
Nếu: F
x ( n) X ( e j )
Thì: e j 0 n x ( n)
F
X [ e j ( - 0 ) ]
Ví dụ 3.2.4: Tìm biến đổi F của y(n)=ancos(0n)u(n); /a/
- 1
F
Y ( e j )
2
X [e j ( 0 ) ] X [e j ( 0 ) ]
j1 1 1
Y (e ) j ( 0 )
2 (1 ae ) (1 ae j ( 0 ) )
3.2.7 Tích 2 dãy
F
Nếu: x1 ( n ) X 1 ( e j ) F
x 2 ( n ) X 2 ( e j )
1
F
j ' j ( ')
Thì: x1 ( n) x 2 ( n) X
1 ( e ) X 2 [ e ]d '
2
1
X 2 (e j ' ) X 1[e j ( ') ]d '
2
12
- 3.2.8 Tổng chập 2 dãy
F
Nếu: x1 ( n ) X 1 ( e j ) x 2 ( n )
F
X 2 ( e j )
F j j
x
Thì: 1 ( n ) * x 2 ( n ) X 1 ( e ) X 2 ( e )
Ví dụ 3.2.5: Tìm y(n)=x(n)*h(n) biết x(n)=h(n)=(n+2)+(n-2)
Theo ví dụ 3.2.1, có kết quả:
X ( e j ) H ( e j ) e j 2 e j 2
Y (e j ) X (e j )H (e j ) (e j 2 e j 2 )2 e j 4 2 e j 4
y ( n ) x ( n ) * h ( n ) F 1[Y ( )]
y ( n ) ( n 4 ) 2 ( n ) ( n 4)
13
- 3.2.9 Quan hệ Parseval
Nếu: F
x1 ( n ) X 1 ( e j ) F
x 2 ( n ) X 2 ( e j )
1
Thì: *
x1 ( n) x ( n)
2 X 1 (e j ) X 2* (e j )d (*)
n 2
Biểu thức (*) còn gọi là quan hệ Parseval
Nhận xét:
Nếu: x1 ( n ) x 2 ( n ) x ( n )
Theo quan hệ Parseval, ta có:
1 2 j
2
x( n) 2 X ( e ) d
n
j j 2
Với: S xx (e ) X (e ) - gọi là phổ mật độ năng lượng
14
- 3.2.10 Tương quan các tín hiệu
Nếu: F
x1 ( n ) X 1 ( e j ) F
x 2 ( n ) X 2 ( e j )
Thì: FT rx1 x2 Rx1 x2 ( e j ) X1( e j )X 2 ( e j )
Nhận xét:
Nếu: x1 ( n ) x 2 ( n ) x ( n )
2
j j j j
Rxx ( e ) X( e )X ( e ) X( e ) S xx ( e j )
Vậy biến đổi Fourier của hàm tự tương quan sẽ bằng
phổ mật độ năng lượng, quan hệ này còn được gọi là
định lý Weiner-Khintchine
15
- TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER
x(n) X()
a1x1(n)+a2x2(n) a1X1(ej)+a2X2(ej)
x(n-n0) e-jn0 X(ej)
ej0n x(n) Xej (- 0)
nx(n) jdX(ej)/d
x(-n) X(e-j)
x*(n) X*(e-j)
1
x1(n)x2(n)
2
X 1( e j '
)X 2 e j( ' )
d'
1
x1( n )x*2 ( n ) X1( e j )X *2 ( e j )d
n 2
16
- TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER
x(n) X()
2 1 2
x( n )
X( e j
) d
n 2
rx1x2 ( n ) x1( m )x2 ( m n ) X1( e j )X 2 ( e j )
m
2
rx1x2 ( n ) Rxx ( e j
) X( e j
) S xx ( e j )
17
- 3.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI FOURIER & Z
Z
x( n ) X( z ) x( n )z n
n
X ( e j ) X ( z ) z e j
F j
x( n ) X ( e ) x( n )e j n Im(z)
n
ROC X(z)
Hay biến đổi Fourier chính là
/z/=1
biến đổi Z được lấy trên vòng /z/=1
tròn đơn vị theo biến số Re(z)
• Nếu ROC[X(z)] có chứa /z/=1
X(ej)=X(z) với z=ej
• Nếu ROC[X(z)] không chứa /z/=1
X(ej) không hội tụ
18
- Ví dụ 3.3.1: Tìm biến đổi ZT & FT của các dãy:
x1(n)=(0.5)nu(n) x2(n)=2nu(n)
1
X1( z) 1
; z 0.5
1 0.5 z
Do ROC[X1(z)] có chứa /z/=1, nên:
j 1
X 1 (e ) X 1 ( z ) z e
j
1 0.5e j
1
X 2 ( z) 1
;z 2
1 2z
Do ROC[X2(z)] không chứa /z/=1, nên X2(ej) không tồn tại
19
- 3.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TTBB RỜI RẠC
TRONG MIỀN TẦN SỐ
3.4.1 Định nghĩa đáp ứng tần số
Miền n: x(n) h(n) y(n)=x(n)*h(n)
F
Miền : X(ej) H(ej) Y(ej)=X(ej)H(ej)
h(n) F H(ej)=Y(ej)/X(ej): gọi là đáp ứng tần số
Nếu H(ej) biểu diễn dạng môdun và pha:
H ( e j ) - Đáp ứng biên độ
H( e j ) H( e j ) e j ( )
( ) - Đáp ứng pha
20
nguon tai.lieu . vn