Xem mẫu
- Chương 2:
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN
PHỨC Z
2.1 BIẾN ĐỔI Z
2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
2.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN Z
1
- 2.1 BIẾN ĐỔI Z
2.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI Z:
n
• Biến đổi Z của dãy x(n): X (z) x ( n ) z (*)
n
Trong đó Z – biến số phức
Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phía
Biến đổi Z 1 phía dãy x(n): X ( z ) x ( n ) z n (**)
n0
• Nếu x(n) nhân quả thì : (*) (**)
• Ký hiệu:
Z
x(n) X(z) hay X(z) = Z{x(n)}
X(z) Z 1 hay x(n) = Z-1{X(z)}
x(n)
2
- 2.1.2 MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC)
• Miền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence)
là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao cho
X(z) hội tụ. Im(Z)Rx+
Rx-
• Để tìm ROC của X(z) ta áp dụng Re(z)
tiêu chuẩn Cauchy 00
• Tiêu chuẩn Cauchy:
Một chuỗi có dạng: x(n) x(0) x(1) x(2)
n0
1
hội tụ nếu: lim x(n) 1
n
n
3
- Ví dụ 2.1.1: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=anu(n)
n
X( z ) x( n )z n
a u( n )z
n n n
a .z n
az 1
n n n0 n 0
Theo tiêu chuẩn Cauchy, Im(z)
X(z) sẽ hội tụ:
ROC
1
X( z ) /a/
Re(z)
1 az 1
0
n 1n
Nếu: lim az 1
1 z a
n
1
Vậy: X( z ) 1
; ROC : Z a
1 az
4
- Ví dụ 2.1.2: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=-anu(-n-1)
1
X( z ) x( n ) z n
a u( n 1 )z
n n
a n n
.z
n n n
m m
a 1 z a 1 z 1 Im(z)
m 1 m 0
Theo tiêu chuẩn Cauchy, /a/
Re(z)
X(z) sẽ hội tụ: 0
n ROC
1
X ( z ) a z 1
1
1
m 0 1 az
1n
1 n
Nếu: lim a z 1 z a
n
5
- 2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
2.2.1 Tuyến tính
Z
x1 (n) X1 ( z) : ROC R1
• Nếu:
Z
x2 (n) X 2 ( z) : ROC R 2
Z
• Thì: a1 x1 (n) a2 x2 (n) a1 X 1 ( z ) a2 X 2 ( z )
ROC chứa R1 R2
Ví dụ 2.2.1: Tìm biến đổi Z & ROC của
x(n)=anu(n) - bnu(-n-1) với /a/
- Im(z)
Theo ví dụ 2.1.1 và 2.1.2, ta có: ROC
/a/ Re(z)
n Z 1 R1 : z a
a u (n) 0
1 az 1
Im(z)
n Z 1
b u ( n 1) R2 : z b /b/
1 bz 1 0 Re(z)
ROC
Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được:
Im(z)
Z 1 1
a nu( n ) b n u( n 1 ) ROC /b/
1 az 1 1 bz 1
Re(z)
0
R R1 R2 : a z b /a/
7
- 2.2.2 Dịch theo thời gian
Z
Nếu: x( n ) X( z ) : ROC R
Z
Thì: x( n n0 ) z n X ( z ) : ROC R'
0
R trừ giá trị z=0, khi n0>0
Với: R'
R trừ giá trị z=∞, khi n0
- 2.2.3 Nhân với hàm mũ an
Z
Nếu: x( n) X ( z ) : ROC R
Z
Thì: a n x(n) X ( a 1 z ) : ROC a R
Ví dụ 2.2.3: Xét biến đổi Z & ROC của
x1(n)=u(n) và x2(n)=anu(n)
Z 1 1
x( n ) u( n ) X ( z ) u( n )z ;R : z 1
1
n 1 z
n n Z 1 1
a x( n ) a u( n ) X ( az ) 1
; R' : z a
1 az
9
- 2.2.4 Đạo hàm X(z) theo z
Z
Nếu: x(n) X ( z ) : ROC R
Z dX(z)
Thì: n x( n) z : ROC R
dz
Ví dụ 2.2.4: Tìm biến đổi Z & ROC của g(n)=nanu(n)
n Z 1
x(n) a u (n) X ( z ) 1
; ROC : z a
1 az
1
Z dX ( z ) az
g( n ) nx( n ) G( z ) z 1 2
:z a
dz (1 az )
10
- 2.2.5 Đảo biến số
Z
Nếu: x(n) X ( z ) : ROC R
Z -1
Thì: x( n) X (z ) : ROC 1 R
Ví dụ 2.2.4: Tìm biến đổi Z & ROC của y(n)=(1/a)nu(-n)
n Z 1
x( n) a u ( n) X ( z ) 1
; ROC : z a
1 az
n
y ( n) 1 a u ( n) a nu ( n) x( n)
Áp dụng tính chất đảo biến số:
1 1 1
Y(z) X (z ) ; ROC : z 1 / a
1 a z 1 1 1 az
11
- 2.2.6 Liên hiệp phức
Z
Nếu: x ( n ) X ( z ) : ROC R
Z
Thì: x * ( n) X * (z*) : ROC R
2.2.7 Tích 2 dãy
Z
x1 (n) X 1 ( z ) : ROC R 1
Nếu:
Z
x2 (n) X 2 ( z ) : ROC R 2
Z 1 z 1
Thì: x1 (n) x2 (n) X 1 ( ) X 1 d : ROC R 1 R 2
2 c
2.2.8 Định lý giá trị đầu
Nếu x(n) nhân quả thì: x(0) Lim X(z)
Z
12
- Ví dụ 2.2.6: Tìm x(0), biết X(z)=e1/z và x(n) nhân quả
Theo định lý giá trị đầu:
x(0) lim X(z) lim e1/z 1
Z Z
2.2.9 Tổng chập 2 dãy
Z
x1 ( n) X 1 ( z ) : ROC R 1
Nếu:
Z
x2 ( n) X 2 ( z ) : ROC R 2
Z
Thì: x1 (n) * x2 (n) X 1 ( z ) X 2 ( z ) :ROC có chứa R1 R2
13
- Ví dụ 2.2.7: Tìm y(n) = x(n)*h(n), biết
x(n)=(0.5)nu(n) và h(n)=-2nu(-n-1)
n Z 1
x( n ) ( 0.5 ) u( n ) X ( z ) 1
; ROC : z 0.5
1 0.5 z
n Z 1
h( n ) 2 u( n 1 ) H ( z ) 1
; ROC : z 2
1 2z
1 1
Y ( z ) X ( z )H ( z ) 1
. 1
; ROC : 0,5 z 2
( 1 0.5 z ) ( 1 2 z )
1 1 4 1
Z-1 . 1
. 1
; ROC : 0,5 z 2
3 ( 1 0.5 z ) 3 ( 1 2 z )
1 n 4 n
y (n) x( n) * h(n) (0.5) u (n) 2 u (n 1)
3 3
14
- TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
x(n) X(z) R
a1x1(n)+a2x2(n) a1X1(z)+a2X2(z) Chứa R1 R2
x(n-n0) Z-n0 X(z) R’
an x(n) X(a-1z) R
nx(n) -z dX(z)/dz R
x(-n) X(z -1) 1/R
x*(n) X*(z*) R
1 z 1
x1(n)x2(n) 2j C
X 1 ( v ) X 2 v dv R1 R2
v
x(n) nhân quả x(0)=lim X(z ->∞)
x1(n)*x2(n) X1(z)X2(z) Chứa R1 R215
- BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG
x(n) X(z) ROC
(n) 1 z
u(n) 1 /z/ >1
1
-u(-n-1) 1 z /z/ /a/
-an u(-n-1) 1 az 1 /z/ < /a/
nan u(n) az 1 /z/ > /a/
-nan u(-n-1) (1 az 1 ) 2 /z/ < /a/
cos(on)u(n) (1-z-1coso)/(1-2z-1coso+z-2) /z/ >1
sin(on)u(n) (z-1sino)/(1-2z-1coso+z-2) /z/ >116
- 2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
2.3.1 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
1 n 1
x( n ) X ( z )z dz (*)
2j C
Với C - đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong
mặt phẳng phức, nằm trong miền hội tụ của X(z), theo
chiều (+) ngược chiều kim đồng hồ
Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chất
phức tạp của phép lấy tích phân vòng
• Các phương pháp biến đổi Z ngược:
Thặng dư
Khai triển thành chuỗi luỹ thừa
Phân tích thành tổng các phân thức tối giản
17
- 2.3.2 PHƯƠNG PHÁP THẶNG DƯ
a) Khái niệm thặng dư của 1 hàm tại điểm cực:
• Thặng dư tại điểm cực Zci bội r của F(z) được định nghĩa:
1 d ( r 1)
Re sF ( z )Z Z ci
(r 1)! dz ( r 1)
F ( z )( z z ci ) r
Z Z ci
• Thặng dư tại điểm cực đơn Zci của F(z) được định nghĩa:
Re sF ( z )Z Z ci F ( z )( z zci )Z Z ci
b) Phương pháp:
• Theo lý thuyết thặng dư, biểu thức biến đổi Z ngược theo tích
phân vòng (*) được xác định bằng tổng các thặng dư tại tất cả
các điểm cực của hàm X(z)zn-1 :
18
- 1
x (n)
2j C
X ( z ) z n 1
dz Res X( z ) z n 1
Z Z ci (*)
i
Trong đó:
• Zci – các điểm cực của X(z)zn-1 nằm trong đường cong C
• Res[X(z)zn-1]z=zci - thặng dư của X(z)zn-1 tại điểm cực zci
Tổng cộng các thặng dư tại tất cả các điểm cực, ta
được x(n)
z
Ví dụ 2.3.1: Tìm biến đổi Z ngược của X ( z )
( z 2)
Thay X(z) vào (*), ta được
1 n 1 1 z n 1 n
x ( n) X ( z ) z dz z dz z
2j C ( z 2 )
Res
2j C ( z 2 )
19
- Chọn C là đường cong khép kín nằm bên ngoài vòng
tròn có bán kính là 2
n
n 1 z
• n0: X ( z ) z có 1 điểm cực đơn Zc1=2
( z 2)
Im(z)
Thặng dư tại Zc1=2: ROC
2 Re(z)
n n
z z n 0
Res ( z 2) 2
( z 2 ) Z 2 ( z 2 ) Z 2
C
n 1 1 1 Zc1=2 đơn,
• n
nguon tai.lieu . vn
