Xem mẫu
- Ch-5: Lấy mẫu (Sampling)
Lecture-9
5.1. Lý thuyết lấy mẫu
5.2. Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)
5.3. Biến đổi Fourier nhanh (FFT)
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 5.1. Lý thuyết lấy mẫu
5.1.1. Lấy mẫu trong miền thời gian
5.1.2. Lấy mẫu trong miền tần số
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 5.1.1. Lấy mẫu trong miền thời gian
Có vô số tín hiệu có thể khôi phục từ các mẫu biết trước.
Nếu tín hiệu có băng tần giới hạn thì có thể khôi phục lại duy nhất
từ các mẫu biết trước nếu được lấy mẫu tuân theo ĐL lấy mẫu
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 5.1.1. Lấy mẫu trong miền thời gian
a) Lấy mẫu bằng chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu
b) Lấy mẫu bằng bộ giữ mẫu bậc không
c) Khó khăn trong việc khôi phục tín hiệu thực tế
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- a) Lấy mẫu bằng chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu
Xét tín hiệu cần lấy mẫu f(t) với băng tần hữu hạn là B Hz
Tín hiệu f(t) được lấy mẫu bằng cách nhân với chuỗi xung đơn vị
f (t)=f(t)p(t) f (t)=f(t) δ(t nTs ) f (t) f(nTs )δ(t nTs )
n n
f0(t)
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- a) Lấy mẫu bằng chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu
Phổ của tín hiệu đã được lấy mẫu
f(t) F(ω)
2π
p(t) P(ω) δ(ω nωs ); Fs =1/Ts , ωs =2πFs
Ts n
1 1
f (t) F(ω)= [F(ω) P(ω)] F(ω nωs )
2π Ts n
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- a) Lấy mẫu bằng chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu
Khôi phục tín hiệu - Định lý lấy mẫu: ĐL Nyquist, ĐL Shannon
Low-pass Filter
ωs 4πB Fs 2B; Fs =2B Nyquist rate
Tín hiệu có phổ giới hạn là B Hz có thể khôi phục chính
xác từ các mẫu của nó có được khi lấy mẫu đều đặn với
tốc độ Fs 2B mẫu/s. Nói cách khác tần số lấy mẫu nhỏ
nhất là Fs=2B Hz
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- b) Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không
Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- b) Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không
Bộ khôi phục tín hiệu cho bộ giữ mẫu bậc không
Hr (ω)=Ts H1 (ω)H2 (ω) Không thực hiện được!!!
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- b) Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không
Khôi phục gần đúng cho bộ giữ mẫu bậc 0
Low-pass Filter
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- d) Khó khăn trong việc khôi phục tín hiệu thực tế
Giả sử tín hiệu có băng tần hữu hạn
Ideal Filter
Practical Filter
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- d) Khó khăn trong việc khôi phục tín hiệu thực tế
Băng tần tín hiệu vô hạn – hiện tượng alias
Giải pháp: Anti-aliasing Filter
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- d) Khó khăn trong việc khôi phục tín hiệu thực tế
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 5.1.2. Lấy mẫu trong miền tần số
Xét tín hiệu f(t) có thời gian hữu hạn và phổ như hình vẽ
Lấy mẫu F( ) trên thang tần số với chu kỳ lấy mẫu là 0
FT0 (ω)=F(ω) δ(ω nω0 ) F(nω0 )δ(ω nω0 )
n= n=
f T0 (t)=T0f(t) δ(t nT0 );T0 =2π/ω0 f T0 (t)=T0 f(t nT0 )
n= n=
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 5.1.2. Lấy mẫu trong miền tần số
Điều kiện khôi phục lại tín hiệu gốc khi lấy mẫu phổ của tín hiệu
T0 τ ω0 2π/τ
Lấy mẫu phổ tín hiệu đã được lấy mẫu
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 5.2. Biến đổi Fourier rời rạc DFT
Mục đích: thiết lập mối quan hệ giữa các mẫu trong miền thời gian
với các mẫu trong miền tần số
1
f(t)= F(ω)e jωt dω F(ω)= f(t)e jωt
dt
2π
N0 mẫu
N0 mẫu
N0 =T0 / Ts ωs / ω0
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 5.2. Biến đổi Fourier rời rạc DFT
Biến đổi DFT thuận:
Do f(t) chỉ tồn tại từ 0 đến T0 (tương ứng với N0 mẫu):
_ N0 1 _ N0 1
f (t)= f(kTs )δ(t kTs ) F(ω)= f(kTs )e jωkTs
k=0 k=0
Mặt khác trong đoạn - s/2 đến s/2 (tương ứng với N0 mẫu):
_
F(ω) _ N0 1
jrω0kTs
F(ω) F(rω0 )=Ts F(rω0 )=Ts f(kTs )e
Ts k=0
Đặt 0= 0Ts=2 /N0; Fr=F(r 0): mẫu thứ r của F( ); fk=Tsf(kTs):
mẫu thứ k của f(t); ta có:
N0 1
Fr = f k e jrΩ0k (Biến đổi DFT thuận)
k=0
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 5.2. Biến đổi Fourier rời rạc DFT
jmΩ 0 r
Biến đổi DFT ngược: nhân DFT thuận với e sau đó lấy tổng:
N0 1 N0 1 N0 1
Fr e jm 0r = f k e jrΩ0k e jm 0r
r=0 r=0 k=0
N0 1 N0 1 N0 1
Fr e jm 0r = fk e j(m k)Ω0r
r=0 k=0 r=0
N0 1 N0 1 0; k m
jm r jm r
Fr e 0
= Fr e 0
=
r=0 r=0
N 0f k N0f m ;k m
N 1
1 0
fk = Fr e jrΩ0k (Biến đổi DFT ngược)
N 0 r=0
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT
Đưa ra bởi Turkey and Cooley năm 1965, N0 phải là lũy thừa của 2
Giảm khối lượng tính toán: N 02 N 0 log N 0
N0 1 N0 1
1 Nhân: N0
fk Fr e jr 0k Fr f k e jr 0k
N0 r 0 k 0 Cộng: N0-1
Tổng cộng cho các hệ số: N0N0 phép nhân và N0(N0-1) phép cộng
j 2 / N0 j
Đặt: WN 0 e e 0
Các biểu thức DFT được viết lại:
N0 1 N0 1
1
Fr f kWNkr0 fk FrWN 0kr
k 0
N0 r 0
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT
Chia fk thành 2 chuỗi: chẵn và lẻ theo số thứ tự:
f 0 , f 4 , f 6 ,..., f N 0 2 f1, f 3 , f5 ,..., f N 0 1
sequence g k sequence h k
Biểu thức DFT được viết lại:
N0 N0
2 1 2 1
Fr f 2kWN20kr f 2k 1WN(2k 1) r
0
k 0 k 0
Ta có: WN0 WN20
2
N0 N0
2 1 2 1
Fr f 2kW Nkr0 WNr 0 f 2k 1W Nkr0 Gr WNr 0 H r
2 2
k 0 k 0
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
nguon tai.lieu . vn
