Xem mẫu
- Ch-4: Biểu diễn tín hiệu dùng biến đổi Fourier
Lecture-7
4.1. Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng biến đổi Fourier
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
4.3. Biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 4.1. Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng biến đổi Fourier
4.1.1. Biến đổi Fourier
4.1.2. Điều kiện tồn tại biến đổi Fourier
4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 4.1.1. Biến đổi Fourier
Tín hiệu không tuần hoàn được xem như tín hiệu tuần hoàn có
chu kỳ dài vô hạn
Xét f(t) là tín hiệu không tuần hoàn:
và fT0(t) là tín hiệu tuần hoàn được tạo thành do sự lặp lại f(t) với
chu kỳ T0:
Ta có quan hệ giữa f(t) và fT0(t) như sau: f(t)= lim f T0 (t)
T0
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 4.1.1. Biến đổi Fourier
Biểu diễn fT0(t) dùng chuỗi Fourier
1 T0 /2
-jnω0 t 1 S
-jnω0 t 2 sinnω0S
Dn = f (t)e dt= e dt=
T0 -T0 /2 T0 T0 -S T0 nω0
T0 Dn 2sin S 2
n 0 n
T0
n 0
0 2 / T0
Gấp đôi T0:
T0 Dn 2sin S 2
n 0 n
T0
n 0
0 2 / T0
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 4.1.1. Biến đổi Fourier
Tiếp tục tăng T0 T0 Dn 2sin S 2
n 0 n
T0
n 0
0 2 / T0
Khi T0 , T0Dn hàm liên tục
T0 /2
lim T0 .Dn = lim f T0 (t)e-jnω0t dt = f(t)e-jωt dt=F(ω)
T0 T0 -T0 /2 -
Phổ của tín hiệu không tuần hoàn:
F(nω0 ) 1
D(ω)= lim [D n ] lim F(ω) lim [Δω] 0
T0 T0 T0 2 Δω 0
Phổ của tín hiệu không tuần hoàn có tính chất phân bố
Hàm mật độ phổ tín hiệu, F( ), được xem là phổ tín hiệu
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 4.1.1. Biến đổi Fourier
Tích phân Fourier
D n e jnω0t 1 ωt
f(t) lim f T0 (t)
T0
lim
T0
lim F(n ω)e jn ω
n 0
n 2
1
f(t) F(ω)e jωt dω
2π
Tóm lại ta có kết quả: f(t) F(ω)
Phương trình phân tích – Biến
F(ω)= f(t)e jωt
dt đổi Fourier thuận
1 Phương trình tổng hợp – Biến
f(t)= F(ω)e jωt dω đổi Fourier ngược
2π
Cho phép phân tích/tổng hợp tín hiệu f(t) thành/từ các thành
phần tần số, ej t
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 4.1.2. Điều kiện tồn tại biến đổi Fourier
Tín hiệu f(t) có năng lượng hữu hạn đều tồn tại F( ) hữu hạn và
năng lượng sai số bằng 0.
Điều kiện Dirichlet:
Điều kiện 1: |f(t)|dt<
T
Điều kiện 2: f(t) có hữu hạn cực đại và cực tiểu trong khoảng thời
gian hữu hạn
Điều kiện 3: f(t) có hữu hạn số gián đoạn trong khoảng thời gian
hữu hạn và gián đoạn phải có độ lớn là hữu hạn
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản
f(t)= (t):
F(ω)= δ(t)e-jωt dt= δ(t)dt=1 δ(t) 1
(t )
1
t
0 0
f(t)=e-atu(t); a>0:
(a+jω)t 1 (a+jω)t 1
F(ω)= e u(t)e
at jωt
dt= e dt= e =
0 a+jω 0
a+jω
at 1
e u(t); a>0
a+jω
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản
1
F( )
a2 2
F( ) tan 1 ( / a)
F( ) F( )
1/ a
/2
/2
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản
f(t)=u(t):
j t j t 1 j t
F( ) u (t )e dt e dt e ?
0 j 0
u (t )
1
e at u (t ) u (t ) lim e at u (t )
a 0
t
0
at j t 1 a j
F ( ) lim e u (t )e dt lim lim 2 2
a 0 a 0 a j a 0 a
a 1
F ( ) lim
a 0 a2 2
j Diện tích bằng
1
F( ) ( )
j
u (t ) ( ) 1/ j
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản
f(t) xung cổng đơn vị:
t
0 t /2
r e ct
1 t /2
/2
j t
/2
j t 1 j t ej /2
e j /2
F( ) rect ( t )e dt e dt e
/2 j /2
j
j 2sin sin
F( ) 2 2
sin c 2 rect ( t ) sin c 2
j 2
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
Tính chất tuyến tính:
f1 (t) F1 (ω); f 2 (t) F2 (ω) a1f1 (t)+a 2f 2 (t) a1F1 (ω)+a 2 F2 (ω)
Phép dịch thời gian:
f(t) F(ω)= f(t)e jωt
dt
f1 (t)=f(t t 0 ) F1 (ω)= f(t t 0 )e jωt
dt
jω( +t 0 ) jωt 0
= f( )e d =F(ω)e
j t0 Linear phase shift
f (t t0 ) F ( )e
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
Ví dụ:
/2
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
Phép dịch tần số (điều chế):
f(t) F(ω)= f(t)e jωt
dt
f1 (t)=f(t)e jω0t F1 (ω)= f(t)e jω0t e jωt
dt = f(t)e j(ω ω0 )t
dt F(ω ω0 )
jω0 t
f(t)e F(ω ω0 )
1 1
Ví dụ: f(t)cosω0 t F(ω 0) F(ω+ 0 )
2 2
1 1
f(t)sinω0 t F(ω 0) F(ω+ 0 )
j2 j2
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
Tính đối ngẫu:
f(t) F(ω)= f(t)e jωt
dt
1 1
f(t)= F(ω)e jωt dω f( t)= F(ω)e jωt
dω
2 2
1
f( ω)= F(t)e jωt
dt 2πf( ω)= F(t)e jωt
dt
2π
F(t) 2πf( ω)
Ví dụ: δ(t) 1 1 2πδ( ω)=2πδ(ω)
t ωτ π ω
rect τsinc sinc ω0 t rect
τ 2 ω0 2ω0
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
Phép tỷ lệ thời gian:
f(t) F(ω)= f(t)e jωt
dt f1 (t)=f(at) F1 (ω)= f(at)e jωt
dt
ω
1 1 ωj τ
a 0 : F1 (ω)= f(τ)e dτ = F a
a a a 1 ω
ω f(at) F
1 j τ 1 ω |a| a
a 0 : F1 (ω)= f(τ)e dτ
a = F
a a a
Phép đảo thời gian:
f(t) F(ω)= f(t)e jωt
dt f( t) F( ω)
a|t| 1 1 2a
Ví dụ: e
a j a j a2 2
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
Tích chập trong miền thời gian:
f1 (t) F1 (ω); f 2 (t) F2 (ω)
f(t)=f1 (t) f 2 (t) F(ω)= f1 (t) f 2 (t)e jωt
dt
F(ω)= f1 (τ)f 2 (t τ)dτ e jωt
dt
+
= f1 (τ) f 2 (t τ)e jωt
dt dτ f1 (τ)F2 (ω)e jωτ
dτ
- -
F2 (ω) f1 (τ)e jωτ
dτ F1 (ω)F2 (ω)
f1 (t) f 2 (t) F1 (ω)F2 (ω)
ωT
Ví dụ: rect( 2tT ) T
2 sinc 4
T2 ωT
Có: rect( 2tT ) rect( 2tT )= T2 t
T 4 sinc2 4
ωT
t
T
T
2 sinc 2 4
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
Tích chập trong miền tần số:
f1 (t) F1 (ω); f 2 (t) F2 (ω)
1
f(t)= [F1 (ω) F2 (ω)]e jωt dω
2π
1
[ F1 (τ)F2 (ω-τ)dτ]e jωt dω
2π
1
F1 (τ)[ F2 (ω-τ)e jωt dω]dτ
2π
1
F1 (τ)e jτt [ F2 (x)e jxt dx]dτ
2π
f 2 (t) F1 (τ)e jτt dτ 2πf1 (t)f 2 (t)
2πf1 (t)f 2 (t) F1 (ω) F2 (ω)
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
Đạo hàm trong miền thời gian:
f(t) F(ω) f(t) 1
2π F(ω)e jωt dω
df(t) df(t)
1
2π jωF(ω)e jωt dω jωF(ω)
dt dt
n
d f(t)
n
(jω) F(ω) n
dt
Đạo hàm trong miền tần số:
dF(ω)
f(t) F(ω)= f(t)e jωt
dt = -jtf(t)e jωt
dt
dω
dF(ω) nd n F(ω)
tf(t) j t n f(t) j
dω dωn
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
Tích phân trong miền thời gian:
t
f(t) u(t) f(τ)u(t τ)d f(τ)dτ
f(t) u(t) F(ω)[πδ(ω)+1/jω] = πF(0)δ(ω)+F(ω)/jω
t
f(τ)dτ πF(0)δ(ω)+F(ω)/jω
Ví dụ: Xác định biến đổi Fourier của các tín hiệu sau:
f1 (t) f 2 (t)
2
-1 1
t t
-1 1 -1 1
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
nguon tai.lieu . vn
