Xem mẫu
- Ch-2: Phân tích hệ thống LTI trong miền thời gian
Lecture-4
2.4. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 2.4. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân
2.4.1. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân
2.4.2. Đáp ứng xung của hệ thống
2.4.3. Đa thức đặc trưng và tính ổn định của hệ thống
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 2.4.1. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân
Trên thực tế tồn tại rất nhiều hệ thống mô tả bởi PTVP hệ số hằng
Ví dụ: phương trình xác định mối quan hệ của vận tốc và lực kéo
tác dụng lên xe
m dv(t)
Kv(t)
m +Kv(t)=f(t)
f(t) dt
dv(t)
Giả sử: m=1000kg; K=300N/(m/s) 1000 +300v(t)=f(t)
dt
Tổng quát phương trình VP mô tả cho hệ thống có dạng:
d n y(t) d n-1y(t) dy(t) d mf(t) d m-1f(t) df(t)
n
+a n-1 n-1
+...+a 1 +a 0 y(t)=b m m
+b m-1 m-1
+...+b1 +b0f(t)
dt dt dt dt dt dt
n
d k y(t) m
d k f(t) n
k
m
ak k
bk k [ a k D ]y(t) [ b k Dk ]f(t) a n =1; n m
k=0 dt k=0 dt k=0 k=0
Q(D)y(t) P(D)f(t) Q(D) P(D)
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 2.4.1. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân
Giải phương trình để xác định đáp ứng: thường dùng phương pháp
tích phân kinh điển: tổng của 2 đáp ứng tự do & cưỡng bức
Đáp ứng tự do: đáp ứng bởi các tác nhân nội tại bên trong hệ thống,
thường là do năng lượng tích trữ & tín hiệu vào
Đáp ứng cưỡng bức (zero-state): đáp ứng với tín hiệu ngõ vào của
hệ thống
dv(t) dv(t)
Ví dụ: 1000 +300v(t)=f(t) +0.3v(t)=10 3f(t)
dt dt
Với: f(t)=5000e 2t u(t)
Bước 1: xác định đáp ứng cưỡng bức vcb(t)=Ke-2t khi t>0
2t 2t 2t 2t
-2Ke 0.3Ke 5e K= 2.94 vcb (t)= 2.94e
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 2.4.1. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân
Bước 2: xác định đáp ứng tự do vtd(t) giải pt thuần nhất
dv td (t)
+0.3v td (t)=0
dt
Phương trình đặc trưng: +0.3=0 = 0.3
0.3t
v td (t)=K1e
Bước 3: xác định đáp ứng tổng
0.3t 2t
v(t)=v td (t)+vcb (t)=K1e 2.94e
Điều kiện đầu: HT LTI nhân quả HT phải ở trạng thái nghỉ
dy(0) dy n-1 (0)
y(0)= ... 0
dt dt n-1
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 2.4.1. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân
Áp dụng cho ví dụ trước ta được v(0)=0 K1 2.94 0
0.3t
K1 2.94 v(t)=2.94(e e 2t ); t>0
0.3t
v(t)=2.94(e e 2t )u(t)
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 2.4.2. Đáp ứng xung của hệ thống
a) Phương pháp tính trực tiếp
b) Phương pháp tính theo đáp ứng với u(t)
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- a) Phương pháp tính trực tiếp
Xét hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi PTVP
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- a) Phương pháp tính trực tiếp
Trình tự xác định h(t):
Xét phương trình Q(D)h a (t)= (t) khi t>0, tức t=0+ trở đi
nên ha(t) là nghiệm của phương trình thuần nhất Q(D)h a (t)=0
các hằng số trong ha(t) sẽ được xác định dùng điều kiện đầu tại t=0+.
Do hệ thống ở trạng thái nghỉ nên
dh a (0 ) dh a n 1 (0 )
h a (0 )= ... 0
dt dt n 1
n
d k h a (t)
Từ phương trình: Q(D)h a (t)= (t) ak k
= (t); a n 1
k-1 k=0 dt
d h a (t)
Kết luận: k-1
; k=1 n-1 phải là hàm liên tục tại 0, suy ra:
dt
k k 1 + k 1 k 1 +
0 d h (t) d h (0 ) d h (0 ) d h (0 )
a a a a
k
dt k 1 k 1
0 k 1
0
0 dt dt dt dt
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- a) Phương pháp tính trực tiếp
k n
d h a (t)
Lấy tích phân từ 0 tới 0 hai vế phương trình:
- + ak k
= (t)
k=0 dt
0 d n h a (t) d n-1h a (0+ )
Suy ra: an n
dt 1 n-1
1/ a n 1
0 dt dt
Vậy điều kiện đầu để xác định ha(t) là:
d n-1h a (0+ ) d k 1h a (0+ )
n-1
1; 0, k=1 n 1
dt dt k 1
Xác định h(t)=P(D)h a (t)
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- a) Phương pháp tính trực tiếp
Ví dụ: tính đáp ứng xung của HT nhân quả được mô tả bởi PTVP
(D+2)y(t)=(3D+5)f(t)
Bước 1: Xác định ha(t)
Do HT nhân quả nên ha(t)=0 khi t0: ha(t) là nghiệm của PT (D+2)h a (t)=0 h a (t)=Ke 2t
Áp dụng ĐK đầu tại 0+: h a (0+ )=K=1 h a (t)=e 2t u(t)
Bước 2: Xác định h(t)
dh a (t)
h(t)=P(D)h a (t)=3 +5h a (t)
dt
h(t)=(3D+5)e 2t u(t) 3δ(t) e 2t u(t)
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- b) Phương pháp tính theo đáp ứng với u(t)
Sơ đồ hệ thống tính đáp ứng xung theo u(t)
Ví dụ: tính đáp ứng xung của HT được mô tả bởi PTVP:
(D2 +3D+2)y(t)=Df(t)
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 2.4.3. Đa thức đặc trưng và tính ổn định của hệ thống
Đa thức đặc trưng của hệ thống: Q(λ)=λ +a n-1λ +....a1λ+a 0
n n-1
Nghiệm của Q( )=0 quyết định tính ổn định của hệ thống:
t t
0 0
Img
t Re{ }0 t
0 0
Real
LHP RHP
t t
0 0
t t
0 0
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 2.4.3. Đa thức đặc trưng và tính ổn định của hệ thống
Kết luận:
Hệ thống ổn định tiệm cận khi tất cả các nghiệm của PT đặc trưng
nằm bên trái của mặt phẳng phức
Hệ thống ổn biên khi có nghiệm đơn trên trục ảo và các nghiệm còn
lại nằm ở nữa trái của MP phức
Hệ thống không ổn định khi có nghiệm nằm ở nữa phải hoặc
nghiệm
bội trên trục ảo
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
nguon tai.lieu . vn
