Xem mẫu
- Ch-7: Đáp ứng tần số của hệ thống LTI và thiết kế bộ lọc tương tự
Lecture-14
7.3. Bộ lọc Butterworth
7.4. Bộ lọc Chebyshev
7.5. Các phép biến đổi tần số
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 7.2. Bộ lọc Butterworth
Trên thực tế người ta tìm được các phép biến đổi để thiết
kế bộ lọc thông cao, thông dãi, chắn dãi dựa vào bộ lọc
thông thấp Tập trung khảo sát thiết kế bộ lọc thông
thấp (xem như bộ lọc mẫu – Prototype Filter)
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 7.3. Bộ lọc Butterworth
Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp Butterworth bậc n:
1
|H(jω)|=
2n
ω
1+ ωc
Tại tần số c, đáp ứng biên độ bằng 1/(2)1/2 hoặc -3dB công
suất suy giảm ½ : gọi là tần số cắt, tần số 3dB hoặc tần số ½
công suất
Yêu cầu thiết kế:
Chỉ rỏ p
Chỉ rỏ G( p) Gp
Chỉ rỏ s
Chỉ rỏ G( s) Gs
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 7.3. Bộ lọc Butterworth
Xác định bậc n của bộ lọc và c theo các yêu cầu thiết kế:
2n
ωx
Độ lợi (dB) tại tần số x: G(ω x ) 10log10 1+ ωc
ωp 2n
Độ lợi (dB) tại tần số p: G(ωp )= 10log10 1+ ωc Gp
ωs 2n
Độ lợi (dB) tại tần số s: G(ωs ) 10log10 1+ ωc Gs
2n
p G p /10
c
10 1 2n 10 Gs /10
1
s
2n p G p /10
Gs /10
s
c
10 1 10 1
Gs /10 G p /10
log (10 1) /(10 1)
n
2 log( s / p )
p s
G p /10 c Gs /10
(10 1/ 2 n
1) (10 1)1/ 2 n
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 7.3. Bộ lọc Butterworth
Xác định hàm truyền H(s) bậc n:
Trong thiết kế, ta dùng đáp ứng chuẩn hóa ( c=1) như sau:
1
| H( j ) |
2n
1
Suy ra H(s) khi biết hàm truyền của đáp ứng chuẩn hóa:
s s/ c
H (s) H (s)
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 7.3. Bộ lọc Butterworth
Xác định hàm truyền bậc n của bộ lọc chuẩn hóa:
Xác định các poles của bộ lọc chuẩn hóa:
1
H( j )H( j ) 2n
1
s j
1
H ( s) H ( s)
1 (s / j)2n
Các poles của H(s)H(-s) phải thỏa: s 2 n ( j )2 n
j (2 k 1)
1 e 2n j (2 k n 1)
j ej /2 s e
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 7.3. Bộ lọc Butterworth
Vậy các poles của H(s)H(-s) là:
j
(2 k n 1)
2n
sk e ;k 1, 2,3,..., 2n
Im Im
j j
H(s) H(-s) H(s) H(-s)
n 1 2n 1
-1 Re -1 Re
-j -j
j
( 2 k n 1)
Kết luận: n poles của H(s): sk e 2n
;k 1, 2,3,..., n
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 7.3. Bộ lọc Butterworth
Hàm truyền H(s) có dạng:
1
H (s)
( s s1 )( s s2 )( s s3 )...( s sn )
j
(2 k n 1)
2n
sk e ;k 1, 2,3,..., n
Im
s1
Ví dụ: xét trường hợp n=4 j
s1 e j 5 /8
0.3827 j 0.9239 s2
s2 e j7 /8
0.9239 j 0.3827 Re
-1
s3 e j 9 /8
0.9239 j 0.3827 s3
s4 e j11 /8
0.3827 j 0.9239 -j
s4
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 7.3. Bộ lọc Butterworth
1
H ( s)
( s 0.3827 j 0.9239)( s 0.3827 j 0.9239)( s 0.9239 j 0.3827)(s 0.9239 j 0.3827)
1
H (s)
(s 2 0.7654s 1)( s 2 1.8478s 1)
1
H (s)
s 4 2.6131s 3 3.4142s 2 2.6131s 1
Làm tương tự ta có thể tính được cho trường hợp bậc n bất kỳ:
1 1
H ( s) n n 1
Bn ( s ) s an 1s ... a1s 1
Bn(s): Gọi là đa thức Butterworth!!!
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 7.3. Bộ lọc Butterworth
Coefficients of Butterworth Polynominal Bn(s)=sn+an-1sn-1+…+a1s+1
n a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 7.3. Bộ lọc Butterworth
Butterworth Polynominal in Factorized Form
n Bn ( s)
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 7.3. Bộ lọc Butterworth
Các bước thiết kế bộ lọc thông thấp Butterworth:
Ví dụ: Thiết kế bộ lọc thông thấp Butterworth thỏa mãn các yêu cầu
sau: Độ lợi dãi thông (0
- 7.3. Bộ lọc Butterworth
log (10 2 1) /(100.2 1)
Bước 1: n 3.701 chọn n=4
2 log 2
10
c 0.2 1/ 8
10.694
Bước 2: (10 1)
20 chọn c=11
c 2 1/ 8
11.26
(10 1)
10 8
G( p) 10 log10 1 11 1.66dB 2dB
20 8
G( s) 10 log10 1 11 20.8dB 20dB
1
Bước 3: H ( s)
(s 2 0.76536686s 1)( s 2 1.84775907 s 1)
1
Bước 4: H ( s) s 2 s s 2 s
[ 11 0.76536686 11 1][ 11 1.84775907 11 1]
14641
H ( s)
(s 2 8.41903546 s 121)( s 2 20.32534977 s 121)
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 7.4. Bộ lọc Chebyshev
Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp Chebyshev:
1
| H( j )|
2
1 Cn2 ( c )
Trong thiết kế, ta dùng đáp ứng chuẩn hóa ( c=1):
1
| H( j ) |
2
1 Cn2 ( )
Vậy khi có H(s) H(s) bằng cách:
s s/ c
H (s) H (s)
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 7.4. Bộ lọc Chebyshev
Xét đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp chuẩn hóa Chebyshev :
1
| H( j ) |
2 2
1 C ( )
n
1
Cn ( ) cos n cos ;| | 1
1
Cn ( ) cosh n cosh ;| | 1
Cn( ) là một đa thức thỏa tính chất sau:
Cn ( ) 2 Cn 1 ( ) Cn 2 ( ); n 2
2
Có: C0 ( ) 1 và C1 ( ) C2 ( ) 2 1
Một cách tương tự ta có thể tính được bảng Cn( )!!!
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 7.4. Bộ lọc Chebyshev
Chebyshev Polyminals
n Cn ( )
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 7.4. Bộ lọc Chebyshev
1
Đáp ứng biên độ bộ lọc Chebyshev: | H( j ) |
2
1 Cn2 ( )
Pass-band Pass-band
p c
Độ gợn r (Độ lơi max/Độ lơi min) trong dãi thông:
2
r 10log10 (1 ) (dB)
-r Gp (Butterworth) (dB)
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 7.4. Bộ lọc Chebyshev
Xác định và bậc(n) của bộ lọc Chebyshev thỏa yêu cầu thiết kế:
2
Xác định : r design
10log10 (1 ) r 10 r /10 1
2
Độ lợi tại tần số : G 10 log10 [1 Cn2 ( p
)]
2
Độ lợi tại tần số s: 10 log10 [1 Cn2 ( s
p
)] Gs
Gs /10 1/ 2
1 10 1
cosh n cosh s
p
10r /10 1
Gs /10 1/ 2
1 1 10 1
n cosh
cosh 1
s / p
10 r /10 1
10 Gs /10 1
cosh[ n cosh 1 ( s / p )]
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 7.4. Bộ lọc Chebyshev
Xác định hàm truyền H(s) của bộ lọc:
Người ta tính được các poles của H(s) như sau:
(2k 1) (2k 1)
sk sin sinh x j cos cosh x
2n 2n
k 1, 2, 3,..., n
Im
1 1 1 H(s) H(-s)
x sinh
n
600 600
a sinh x; b cosh x Re
600 600
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 7.4. Bộ lọc Chebyshev
Kn
H ( s)
(s s1 )( s s2 )...( s sn )
Kn Kn
H ( s)
Cn' ( s ) sn an 1s n 1 ... a1s a0
Kn được lựa chọn để bảo đảm độ lợi DC:
a0 n odd
Kn a0
2
n even
1
Để việc thiết kế được đơn giản, người ta thành lập bảng C’n(s)
hoặc giá trị của các poles với một số độ gợn r thường gặp
Tra bảng!!!
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
nguon tai.lieu . vn
