Xem mẫu
- Ch-6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biến đổi Laplace
Lecture-10
6.1. Biến đổi Laplace
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 6.1. Biến đổi Laplace
6.1.1. Biến đổi Laplace thuận
6.1.2. Biến đổi Laplace của một số tín hiệu thông dụng
6.1.3. Biến đổi Laplace một bên
6.1.4. Các tính chất của biến đổi Laplace
6.1.5. Biến đổi Laplace ngược
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 6.1.1. Biến đổi Laplace thuận
Biến đổi Fourier cho phép phân tích tín hiệu thành tổng của các
thành phần tần số phân tích hệ thống đơn giản & trực quan hơn
trong miền tần số.
Biến đổi Fourier là công cụ chủ yếu để phân tích TH & HT trong
nhiều lĩnh vực (viễn thông, xử lý ảnh, …)
Muốn áp dụng biến đổi Fourier thì tín hiệu phải suy giảm & HT
với đáp ứng xung h(t) phải ổn định.
| f(t)|dt & |h(t)|dt
Để phân tích tín hiệu tăng theo thời gian (dân số, GDP,…) và hệ
thống không ổn định dùng biến đổi Laplace (là dạng tổng quát
của biến đổi Fourier)
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 6.1.1. Biến đổi Laplace thuận
Xét tín hiệu f(t) là hàm tăng theo thời gian tạo hàm mới (t) từ
f(t) sao cho tồn tại biến đổi Fourier: (t)=f(t).e- t; R
Biến đổi Fourier của (t) như sau:
ω [ (t)] f(t)e t
e jωt
dt f(t)e (σ+jω)t
dt
Đặt s= +j : ( ) f(t)e st dt F(s)=Φ(ω)
Hay: F(s)= f(t)e st dt (Biến đổi Laplace thuận)
Ký hiệu: F(s) L[ f(t)]
f(t) σt
(t)=f(t)e
t t
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 6.1.1. Biến đổi Laplace thuận
Miền hội tụ (ROC) của biến đổi Laplace: tập hợp các biến s trong
mặt phẳng phức có =Re{s} làm cho (t) tồn tại biến đổi Fourier
Ví dụ: tìm ROC để tồn tại F(s) của các tín hiệu f(t) sau:
(a) f(t)=e at u(t); a>0 (b) f(t)=e at u( t); a>0 (c) f(t)=u(t)
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 6.1.2. Biến đổi Laplace của một số tín hiệu thông dụng
(a) f(t)=δ(t) F ( s ) 1; ROC: s-plane
-at 1
(b) f(t)=e u(t); a>0 F (s) ; ROC : Re{s} a
s a
1
(c) f(t)=-e-at u(-t); a>0 F (s) ; ROC : Re{s} a
s a
1
(d) f(t)=u(t) F (s) ; ROC : Re{s} 0
s
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 6.1.3. Biến đổi Laplace một bên
Kết quả phần trước cho ta các tín hiệu khác nhau có thể có biến đổi
Laplace giống nhau, nhưng khác ROC. Do vậy ROC phải được chỉ
rỏ khi cần xác định f(t) từ F(s). Ví dụ:
1
F (s) ; ROC : Re{s} a f (t ) e at u (t ); a 0
s a
1
F (s) ; ROC : Re{s} a f (t ) e at u ( t ); a 0
s a
Để giảm sự phức tạp trên, ta định nghĩa biến đổi Laplace 1 bên:
F(s)= st
f(t)e dt 0- để có thể dùng khi f(t) là xung đơn vị
0
0- để có thể khảo sát hệ thống có ĐKĐ ở 0-
Biến đổi Laplace 1 bên, chỉ có thể dùng để khảo sát tín hiệu & hệ
thống nhân quả. Tuy nhiên hạn chế này không ảnh hưởng nhiều
đến tín hiệu và hệ thống thực.
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 6.1.3. Biến đổi Laplace một bên
Vậy với định nghĩa biến đổi Laplace 1 bên, ta có thể xác định duy
nhất f(t) từ F(s) mà không quan tâm tới ROC. Ví dụ:
1
F (s) f (t ) e at u (t )
s a
Trong chương này ta chỉ tập trung vào dùng biến đổi Laplace 1 bên
để phân tích hệ thống LTI. Do vậy khi nói tới biến đổi Laplace, ta
ngầm định rằng đó là biến đổi Laplace một bên.
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 6.1.3. Các tính chất của biến đổi Laplace
Tính chất tuyến tính:
f1 (t ) F1 ( s)
f 2 (t ) F2 ( s)
a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1F1 (s) a2 F2 (s)
t 2t 2 1
Ex : 2e u (t ) e u (t ) ; ROC : Re{s} 1
s 1 s 2
Dịch chuyển trong miền thời gian:
st0
f (t ) F (s) f (t t0 ) F ( s )e
t 4 1 3s 5s
VD : rect u (t 3) u (t 5) e e
2 s
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 6.1.3. Các tính chất của biến đổi Laplace
Dịch chuyển trong miền tần số:
s0t
f (t ) F (s) f (t )e F ( s s0 )
s at s a
VD : cos bt u (t ) 2 2 e cos bt u (t )
s b ( s a)2 b 2
Đạo hàm trong miền thời gian:
f (t ) F (s)
d n f (t )
s n F (s) s n 1 f (0 ) sn 2
f (1) (0 ) ... f (n 1)
(0 )
dt n
(1)
(t ) 1 (t ) s (n)
(t ) sn
t 4 d 2 f (t )
f (t ) rect ?
2 dt 2
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 6.1.3. Các tính chất của biến đổi Laplace
Tích phân miền thời gian:
t F (s)
f (t ) F (s) f ( )d
0 s
0
t f ( )d F (s)
f ( )d
s s
Tỷ lệ thời gian:
1 s
f (t ) F (s) f (at ) F ;a 0
a a
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 6.1.3. Các tính chất của biến đổi Laplace
Tích chập miền thời gian:
f1 (t ) F1 ( s); f 2 (t ) F2 ( s) f1 (t ) f 2 (t ) F1 (s) F2 (s)
Tích chập miền tần số:
1
f1 (t ) F1 ( s); f 2 (t ) F2 ( s) f1 (t ) f 2 (t ) 2 j F1 ( s) F2 ( s)
Đạo hàm trong miền tần số:
f (t ) F (s)
dF ( s )
tf (t )
ds
t 1 1
e u (t ) te t u (t ) 2
s 1 s 1
2
t u (t ) ?
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 6.1.4. Biến đổi Laplace ngược
t
Tín hiệu f(t) được tổng hợp như sau: f (t ) (t ).e
1 t
f (t ) [ ( )].e 2
1
F ( s )e j t d .e t
j
f (t ) 1
2 j F ( s )e st ds (Biến đổi Laplace ngược)
j
-1
Ký hiệu: f(t) L F ( s)
Chúng ta không tập trung vào việc tính trực tiếp tích phân trên!!!
Mô tả F(s) về các hàm đơn giản mà đã có kết quả trong bảng các cặp
biến đổi Laplace. Thực tế ta quan tâm tới các hàm hữu tỷ!!!
Zero của F(s): các giá trị của s để F(s)=0
Pole của F(s): các giá trị của s để F(s)
Nếu F(s)=P(s)/Q(s) Nghiệm của P(s)=0 là các zero & nghiệm
của Q(s)=0 là các pole
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 6.1.4. Biến đổi Laplace ngược
s2 2 1 1 1
Ví dụ:
s 3 3s 2 2s s s 1 s 2 Dùng ?
-1 s2 2 -1 1 1 1 t 2t
L L 1 e e u (t )
s 3 3s 2 2s s s 1 s 2
Dùng bảng
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 6.1.4. Biến đổi Laplace ngược
Xét hàm hữu tỷ sau:
bm s m bm 1s m 1 ... b1s b0 P( s )
F ( s)
s n an 1s n 1 ... a1s a0 Q( s )
m n: improper; m
- 6.1.4. Biến đổi Laplace ngược
Khai triển các hàm proper: F ( s) P ( s) / Q( s)
Xác định zero & pole của F(s); zero & pole phải khác nhau
Giả sử các pole là: s= 1, 2, 3,…
Khai triển F(s) dùng quy luật sau:
• Các pole không lặp lại:
k1 k2 k3
F ( s) ...
(s 1 ) (s 2 ) (s 3 )
• Các pole lặp lại, giả sử 2 lặp lại r lần
k1 r 1 k2 j k3
F ( s) r j
...
(s 1 ) j 0 (s 2 ) (s 3 )
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 6.1.4. Biến đổi Laplace ngược
Phương pháp hàm tường minh xác định các hệ số:
• Nhân 2 vế với Q(s); sau đó cân bằng thu được hệ phương trình
theo các hệ số cần tìm
• Giải hệ phương trình tìm các hệ số
It’s easy to understand and perform, but it needs so much work and time!!!
s2 2 k1 k2 k3
• ví dụ:
s 3 3s 2 2s s s 1 s 2
s2 2 k1 ( s 1)( s 2) k2 s( s 2) k3 s ( s 1)
k1 k2 k3 1 k1 1
3k1 2k2 k3 0 k2 1
2k1 2 k3 1
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 6.1.4. Biến đổi Laplace ngược
Phương Heaviside xác định các hệ số:
• Các pole không lặp lại: ki (s i ) F ( s) s
i
r
ki 0 (s i ) F ( s)
s i
• Các pole lặp lại:
1 dj r
kij j
(s i ) F ( s) ;j 0
j ! ds s i
8s 10 k1 k20 k21 k22
• Ví dụ: F ( s )
( s 1)( s 2)3 ( s 1) ( s 2)3 ( s 2) 2 ( s 2)
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 6.1.4. Biến đổi Laplace ngược
Phương hổn hợp: phương pháp thường dùng
8s 10 k1 k20 k21 k22
• Ví dụ: F ( s )
( s 1)( s 2)3 ( s 1) ( s 2)3 ( s 2) 2 ( s 2)
8s 10 8s 10
k1 3
2 k20 6
s 2 s 1
s 1 s 2
sF ( s ); s : k1 k22 0 k22 2
k20 k21 k22 5 10 8k1 k20 4k22
s 0 : k1 k21
8 4 2 4 2
10 16 6 8
k21 2
2
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
- 6.1.4. Biến đổi Laplace ngược
Ví dụ: tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau:
7s - 6
(a ) F(s)=
s2 s 6
2s 2 5
(b) F(s)= 2
s 3s 2
6( s 34)
(c) F(s)=
s( s 2 10s 34)
Signals & Systems – FEEE, HCMUT
nguon tai.lieu . vn
