1. Trang Chủ
  2. Kĩ thuật Viễn thông
  3. Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Chương 5 - ThS. Đinh Thị Thái Mai

Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Chương 5 - ThS. Đinh Thị Thái Mai

Phần 3 bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 5: Biến đổi Z và các ứng dụng trong phân tích hệ thống thời gian rời rạc bao gồm các kiến thức: Biến đổi Z của tín hiệu thời gian rời rạc, biến đổi Z ngược, hàm truyền của hệ thống LT I thời gian rời rạc, phân tích hệ thống. CHƯƠNG 5: BIẾN ĐỔI Z VÀ CÁC ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH HỆ THỐNG THỜI GIAN RỜI RẠC. 1 ThS. Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt • Biến đổi Z của tín hiệu thời gian rời rạc. • Biến đổi

Thể loại Tài liệu miễn phí Kĩ thuật Viễn thông

Số trang 29

Ngày tạo 11/28/2019 3:04:25 PM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 0.32 M

Tên tệp

Tải Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Chương 5 - ThS. Đi... (.pdf)

Xem mẫu

  1. CHƯƠNG 5: BIẾN ĐỔI Z VÀ CÁC ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH HỆ THỐNG THỜI GIAN RỜI RẠC. 1 ThS. Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  2. • Biến đổi Z của tín hiệu thời gian rời rạc. • Biến đổi Z ngược. • Hàm truyền của hệ thống LTI thời gian rời rạc. • Phân tích hệ thống. 2 ThS. Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  3. 5.1 Biến đổi Z của tín hiệu thời gian rời rạc. • Biến đổi Z hai phía của một tín hiệu rời rạc 𝑥𝑥(𝑛𝑛) được định nghĩa như sau: ∞ 𝑋𝑋 𝑧𝑧 = Ζ 𝑥𝑥(𝑛𝑛) = � 𝑥𝑥(𝑛𝑛)𝑧𝑧 −𝑛𝑛 𝑛𝑛=−∞ trong đó, z là một biến phức → Biến đổi Z chuyển một tín hiệu thời gian rời rạc sang không gian phức (mặt phẳng z). • Biến đổi Z của 𝑥𝑥(𝑛𝑛) tồn tại nếu chuỗi biến đổi trên hội tụ. 3 ThS. Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  4. 5.1 Biến đổi Z của tín hiệu thời gian rời rạc. • Biến đổi Z một phía của một tín hiệu rời rạc 𝑥𝑥(𝑛𝑛) được định nghĩa như sau: ∞ 𝑋𝑋 𝑧𝑧 = Ζ1 𝑥𝑥(𝑛𝑛) = � 𝑥𝑥(𝑛𝑛)𝑧𝑧 −𝑛𝑛 𝑛𝑛=0 • Biến đổi Z hai phía và một phía của tín hiệu nhân quả là giống nhau. 4 ThS. Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  5. 5.1 Biến đổi Z của tín hiệu thời gian rời rạc Vùng hội tụ của biến đổi Z • Vùng hội tụ (ROC) của biến đổi Z là tập các giá trị của z sao cho chuỗi biến đổi ∑∞ 𝑛𝑛=−∞ 𝑥𝑥(𝑛𝑛)𝑧𝑧 −𝑛𝑛 hội tụ. • Tiêu chuẩn hội tụ của biến đổi Z dựa trên định lý Cauchy: lim |𝑥𝑥(𝑛𝑛)|1/𝑛𝑛 < 1 ↔ ∑∞ 𝑛𝑛=0 𝑥𝑥 𝑛𝑛 < ∞ 𝑛𝑛→∞ Lưu ý: Định lý Cauchy chỉ áp dụng cho chuỗi có dạng: ∑∞ 𝑛𝑛=0 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 … 5 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  6. 5.1 Biến đổi Z của tín hiệu thời gian rời rạc Vùng hội tụ của biến đổi Z • Tiêu chuẩn hội tụ của biến đổi Z đạt được bằng cách áp dụng định lý Cauchy: 𝑅𝑅𝑥𝑥− < 𝑧𝑧 < 𝑅𝑅𝑥𝑥+ trong đó: 𝑅𝑅𝑥𝑥− = lim |𝑥𝑥(𝑛𝑛)|1/𝑛𝑛 𝑛𝑛→∞ 𝑅𝑅𝑥𝑥+ = 1/ lim |𝑥𝑥(−𝑛𝑛)|1/𝑛𝑛 𝑛𝑛→∞ • ROC của biến đổi Z là miền được bao bởi hai đường tròn có bán kính 𝑅𝑅𝑥𝑥− và 𝑅𝑅𝑥𝑥+ tương ứng trong mặt phẳng Z. 6 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  7. 5.1 Biến đổi Z của tín hiệu thời gian rời rạc. Vùng hội tụ của biến đổi Z • ROC của biến đổi Z của một số tín hiệu đặc biệt:  Các tín hiệu có chiều dài hữu hạn: ROC là toàn bộ mặt phẳng Z trừ gốc tọa độ (𝑅𝑅𝑥𝑥− = 0, 𝑅𝑅𝑥𝑥+ = ∞).  Các tín hiệu nhân quả có chiều dài vô hạn: ROC là toàn bộ mặt phẳng phía ngoài đường tròn có bán kính 𝑅𝑅𝑥𝑥− (𝑅𝑅𝑥𝑥+ = ∞).  Tín hiệu phản nhân quả có chiều dài vô hạn: ROC là toàn bộ miền bên trong đường tròn có bán kính 𝑅𝑅𝑥𝑥+ ngoại trừ gốc tọa độ (𝑅𝑅𝑥𝑥− = 0). • ROC của biến đổi Z một phía là ROC của biến đổi Z hai phía của tín hiệu nhân quả. 7 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  8. 5.1 Biến đổi Z của tín hiệu thời gian rời rạc. Các tính chất của biến đổi Z • Tính tuyến tính: Ζ 𝛼𝛼𝑥𝑥1 𝑛𝑛 + 𝛽𝛽𝑥𝑥2 𝑛𝑛 = 𝛼𝛼 Ζ 𝑥𝑥1 𝑛𝑛 + 𝛽𝛽Ζ 𝑥𝑥2 𝑛𝑛 • Tính dịch thời: Ζ 𝑥𝑥(𝑛𝑛 − 𝑛𝑛0 ) = 𝑧𝑧 −𝑛𝑛0 𝑋𝑋(𝑧𝑧) • Co dãn trong mặt phẳng Z: 𝑍𝑍 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥(𝑛𝑛) = 𝑋𝑋 𝑎𝑎−1 𝑧𝑧 với ROC là: 𝑎𝑎 𝑅𝑅𝑥𝑥− < 𝑧𝑧 < 𝑎𝑎 𝑅𝑅𝑥𝑥+ 8 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  9. 5.1 Biến đổi Z của tín hiệu thời gian rời rạc. Các tính chất của biến đổi Z • Tính phản xạ: Ζ 𝑥𝑥(−𝑛𝑛) = 𝑋𝑋(𝑧𝑧 −1 ) 1 1 với ROC là: < 𝑧𝑧 < 𝑅𝑅𝑥𝑥+ 𝑅𝑅𝑥𝑥− • Vi phân mặt phẳng z: 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑧𝑧) Ζ 𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑛𝑛) = −𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 • Tích chập: 𝑍𝑍 𝑥𝑥1 𝑛𝑛 ∗ 𝑥𝑥2 𝑛𝑛 = 𝑋𝑋1 𝑧𝑧 𝑋𝑋2 𝑧𝑧 • Tính tương quan: 𝑍𝑍 𝑟𝑟𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 (𝑛𝑛) = 𝑋𝑋1 (𝑧𝑧)𝑋𝑋2 (𝑧𝑧 −1 ) 9 CuuDuongThanCong.com Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU https://fb.com/tailieudientucntt
  10. 5.1 Biến đổi Z của tín hiệu thời gian rời rạc. Các tính chất của biến đổi Z một phía. • Tính trễ thời gian: Ζ1 𝑥𝑥(𝑛𝑛 − 𝑘𝑘) = 𝑧𝑧 −𝑘𝑘 𝑋𝑋 1 𝑧𝑧 + ∑𝑘𝑘𝑚𝑚=1 𝑥𝑥 −𝑚𝑚 𝑧𝑧 𝑚𝑚−𝑘𝑘 (𝑘𝑘 > 0) • Tăng thời gian: 𝑘𝑘−1 Ζ1 𝑥𝑥(𝑛𝑛 + 𝑘𝑘) = 𝑧𝑧 𝑘𝑘 𝑋𝑋1 𝑧𝑧 − � 𝑥𝑥 𝑚𝑚 𝑧𝑧 −𝑚𝑚+𝑘𝑘 (𝑘𝑘 > 0) 𝑚𝑚=0 • Định lý giá trị cuối: lim 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = lim(𝑧𝑧 − 1)𝑋𝑋1 (𝑧𝑧) 𝑛𝑛→∞ 𝑧𝑧→1 nếu ROC của (𝑧𝑧 − 1)𝑋𝑋1 (𝑧𝑧) chứa đường tròn đơn vị trong mặt phẳng Z. 10 CuuDuongThanCong.com Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU https://fb.com/tailieudientucntt
  11. 5.2 Biến đổi Z ngược • Định lý tích phân Cauchy: 1 1(𝑛𝑛 = 0) ∮ 𝑧𝑧 𝑛𝑛−1 𝑑𝑑𝑑𝑑 =� 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝐶𝐶 0(𝑛𝑛 ≠ 0) trong đó, C là một đường khép kín theo chiều dương bao xung quanh tọa độ góc trong mặt phẳng Z. • Biến đổi Z ngược được tính bằng cách áp dụng định lý tích phân Cauchy: 1 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = ∮ 𝑋𝑋(𝑧𝑧)𝑧𝑧 𝑛𝑛−1 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝐶𝐶 11 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  12. 5.2 Biến đổi Z ngược Tính toán Biến đổi Z ngược Cách 1: Sử dụng lý thuyết thặng dư Cauchy (1) • Cho 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 là các điểm cực của 𝑋𝑋 𝑧𝑧 𝑧𝑧 𝑛𝑛−1 nằm bên trong đường cong khép kín C, khi đó: 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = ∑𝑘𝑘 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑋𝑋(𝑧𝑧)𝑧𝑧 𝑛𝑛−1 |𝑧𝑧=𝑧𝑧𝑝𝑝 𝑘𝑘 • Nếu điểm cực 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 là điểm cực đơn, thì thặng dư được tính như sau: 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑋𝑋(𝑧𝑧)𝑧𝑧 𝑛𝑛−1 |𝑧𝑧=𝑧𝑧𝑝𝑝 = 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 𝑋𝑋(𝑧𝑧)𝑧𝑧 𝑛𝑛−1 |𝑧𝑧=𝑧𝑧𝑝𝑝 𝑘𝑘 𝑘𝑘 12 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  13. 5.2 Biến đổi Z ngược Tính toán Biến đổi Z ngược Cách 1: Sử dụng lý thuyết thặng dư Cauchy (2) • Nếu điểm cực 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 là điểm cực đơn, thì thặng dư được tính như sau: 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑋𝑋(𝑧𝑧)𝑧𝑧 𝑛𝑛−1 |𝑧𝑧=𝑧𝑧𝑝𝑝 = 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 𝑋𝑋(𝑧𝑧)𝑧𝑧 𝑛𝑛−1 |𝑧𝑧=𝑧𝑧𝑝𝑝 𝑘𝑘 𝑘𝑘 • Nếu 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 là điểm cực bội, với số lần lặp là 𝑠𝑠𝑘𝑘 , khi đó thặng dư là: 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑋𝑋(𝑧𝑧)𝑧𝑧 𝑛𝑛−1 |𝑧𝑧=𝑧𝑧𝑝𝑝 = 𝑘𝑘 1 𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑘𝑘 −1 𝑠𝑠𝑘𝑘 𝑛𝑛−1 𝑠𝑠 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧 𝑋𝑋(𝑧𝑧)𝑧𝑧 |𝑧𝑧=𝑧𝑧𝑝𝑝 𝑠𝑠𝑘𝑘 −1 ! 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑘𝑘 −1 𝑝𝑝𝑘𝑘 𝑘𝑘 13 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  14. 5.2 Biến đổi Z ngược Tính toán Biến đổi Z ngược Cách 2: Phương pháp khai triển chuỗi lũy thừa. • Nếu 𝑋𝑋(𝑧𝑧) có thể khai triển thành chuỗi lũy thừa của 𝑧𝑧 −1 như sau: 𝑋𝑋 𝑧𝑧 = ∑+∞ 𝑛𝑛=−∞ 𝛼𝛼𝑛𝑛 𝑧𝑧 −𝑛𝑛 khi đó ta có 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝛼𝛼𝑛𝑛 . • Phương pháp: sử dụng phép chia đa thức • Lưu ý: ROC của 𝑋𝑋(𝑧𝑧) quyết định dạng của chuỗi lũy thừa. 14 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  15. 5.2 Biến đổi Z ngược Tính toán Biến đổi Z ngược Cách 3: Phương pháp khai triển đa thức hữu tỷ (1). • Không mất tính tổng quát, giả thiết 𝑋𝑋(𝑧𝑧) được biểu diễn ở dạng 𝑁𝑁(𝑧𝑧) một đa thức hữu tỷ (𝑁𝑁(𝑧𝑧) và 𝐷𝐷(𝑧𝑧) là các đa thức và 𝑁𝑁(𝑧𝑧) 𝐷𝐷(𝑧𝑧) có bậc thấp hơn bậc của 𝐷𝐷(𝑧𝑧)). • 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 là các điểm cực của X(z): 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 là các nghiệm của phương trình 𝐷𝐷 𝑧𝑧 = 0. 15 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  16. 5.2 Biến đổi Z ngược Tính toán Biến đổi Z ngược Cách 3: Phương pháp khai triển đa thức hữu tỷ (2). • Nếu 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 khác nhau, khai triển đa thức của 𝑋𝑋(𝑧𝑧) như sau: 𝐴𝐴𝑘𝑘 𝑋𝑋 𝑧𝑧 = ∑𝑘𝑘 𝑧𝑧−𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 trong đó, các hệ số 𝐴𝐴𝑘𝑘 được tính như sau: 𝐴𝐴𝑘𝑘 = 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 𝑋𝑋(𝑧𝑧)|𝑧𝑧=𝑧𝑧𝑝𝑝 𝑘𝑘 16 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  17. 5.2 Biến đổi Z ngược Tính toán Biến đổi Z ngược Cách 3: Phương pháp khai triển đa thức hữu tỷ (3). • Trong trường hợp 𝑋𝑋(𝑧𝑧) có các điểm cực bội, gọi 𝑠𝑠𝑘𝑘 là số lần lặp của điểm cực bội 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 , khi đó khai triển đa thức của 𝑋𝑋(𝑧𝑧) như sau: 𝑠𝑠𝑘𝑘 𝐴𝐴𝑘𝑘 𝑋𝑋 𝑧𝑧 = ∑𝑘𝑘 ∑𝑠𝑠=1 𝑠𝑠 𝑧𝑧−𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 trong đó, các hệ số 𝐴𝐴𝑘𝑘𝑠𝑠 được tính như sau: 𝑠𝑠𝑘𝑘 −𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑘𝑘 1 𝑑𝑑 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧𝑝𝑝𝑘𝑘 𝑋𝑋(𝑧𝑧) 𝐴𝐴𝑘𝑘𝑠𝑠 = |𝑧𝑧=𝑧𝑧𝑝𝑝 𝑠𝑠𝑘𝑘 − 𝑠𝑠 ! 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑠𝑠𝑘𝑘−𝑠𝑠 𝑘𝑘 17 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  18. 5.2 Biến đổi Z ngược Một số biến đổi Z ngược của đa thức hữu tỷ (1). 𝑧𝑧 𝛼𝛼 𝑛𝑛 𝑢𝑢(𝑛𝑛) 𝑧𝑧 > |𝛼𝛼| 𝑍𝑍 −1 = � 𝑛𝑛 𝑧𝑧 − 𝛼𝛼 −𝛼𝛼 𝑢𝑢(−𝑛𝑛 − 1) 𝑧𝑧 < |𝛼𝛼| −1 1 𝛼𝛼 𝑛𝑛−1 𝑢𝑢(𝑛𝑛 − 1) 𝑧𝑧 > |𝛼𝛼| 𝑍𝑍 =� 𝑧𝑧 − 𝛼𝛼 −𝛼𝛼 𝑛𝑛−1 𝑢𝑢(−𝑛𝑛) 𝑧𝑧 < |𝛼𝛼| 18 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  19. 5.2 Biến đổi Z ngược Một số biến đổi Z ngược của đa thức hữu tỷ (2). 𝑧𝑧 𝑍𝑍 −1 (𝑧𝑧 − 𝛼𝛼)𝑚𝑚+1 𝑛𝑛 𝑛𝑛 − 1 … (𝑛𝑛 − 𝑚𝑚 + 1) 𝑛𝑛−𝑚𝑚 𝛼𝛼 𝑢𝑢(𝑛𝑛) 𝑧𝑧 > |𝛼𝛼| = 𝑚𝑚! 𝑛𝑛 𝑛𝑛 − 1 … (𝑛𝑛 − 𝑚𝑚 + 1) 𝑛𝑛−𝑚𝑚 − 𝛼𝛼 𝑢𝑢(−𝑛𝑛 − 1) 𝑧𝑧 < |𝛼𝛼| 𝑚𝑚! Lưu ý: Sẽ dễ tính biến đổi Z ngược nếu ta khai triển 𝑋𝑋(𝑧𝑧)/𝑧𝑧 thay cho X(z) 19 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
  20. 5.2 Biến đổi Z ngược Mối quan hệ với biến đổi Fourier. • Biến đổi Fourier của một tín hiệu thời gian rời rạc 𝑥𝑥(𝑛𝑛) là biến đổi Z trên vòng tròn đơn vị của mặt phẳng Z → biến đổi Fourier của 𝑥𝑥(𝑛𝑛) tồn tại nếu ROC của biến đổi Z chứa vòng tròn đơn vị. • Ứng dụng: Tính biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược của tín hiệu thời gian rời rạc thông qua biến đổi Z và biến đổi Z ngược tương ứng. 20 Đinh Thị Thái Mai - UET - VNU CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
nguon tai.lieu . vn
Kiến trúc - Xây dựng Tự động hoá Điện - Điện tử Kĩ thuật Viễn thông Cơ khí - Chế tạo máy Năng lượng Hoá dầu Hoá học Sinh học