Xem mẫu
- CHƯƠNG 3:
BIỂU DIỄN FOURIER CỦA TÍN
HIỆU VÀ HỆ THỐNG LTI
GV: ThS. Đinh Thị Thái Mai
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- 3.1 Hệ thống liên tục
• Tín hiệu dạng sin và hệ thống LTI
• Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục
tuần hoàn
• Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Tín hiệu dạng sin và hệ LTI
• Đáp ứng của hệ thống LTI với tín hiệu dạng sin
• Xem xét một hệ thống LTI có đáp ứng xung h(t) và
tín hiệu vào x(t)=ejωt. Đáp ứng của hệ thống được tính
như sau: ∞ ∞
y(t) h=(t) * x(t) ∫ h(τ )e=
jω(t −τ )
dτ e ∫ h(τ )=
jωt − jωτ
e dτ H (ω)e jωt
−∞ −∞
trong đó H(ω) là đáp ứng tần số:
∞
∫
− jωτ
H (ω) = h(τ )e dτ
−∞
đặc trưng cho đáp ứng của hệ thống với tần số ω của
tín hiệu vào dạng sin.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Tín hiệu dạng sin và hệ LTI
• Tín hiệu ra có cùng tần số với tần số của tín hiệu
vào dạng sin.
• Sự thay đổi về biên độ và pha của tín hiệu ra so với
tín hiệu vào được đặc trưng bởi đáp ứng tần số H(ω)
với hai thành phần sau đây:
H (ω)
= Re[H (ω)]2 + Im[H (ω)]2
được gọi là đáp ứng biên độ và
Im[H (ω)]
ϕ(ω) = a tan
Re[H (ω)]
được gọi là đáp ứng pha của hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Tín hiệu dạng sin và hệ LTI
• Khi đó ta có thể biểu diễn tín hiệu ra dưới dạng sau
đây:
= =
y(t) H (ω) e jϕ(ω)e jωt H (ω) e j[ωt +ϕ(ω)]
nghĩa là so với tín hiệu vào thì tín hiệu ra có biên độ
lớn gấp |H(ω)| lần và lệch pha đi một góc là φ(ω)
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục tuần hoàn
Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn
• Một tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ T có thể biểu diễn
được một cách chính xác bởi chuỗi Fourier dưới đây:
∞
x(t) = ∑ k
c e
k = −∞
jkωot
trong đó ω0=2π/T là tần số cơ bản của tín hiệu x(t)
• Nói cách khác, mọi tín hiệu tuần hoàn đều có thể
biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu
dạng sin phức có tần số là một số nguyên lần tần số cơ
bản
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục tuần hoàn
Điều kiện hội tụ
• Điều kiện để sai số bình phương trung bình giữa x(t)
và biểu diễn chuỗi Fourier của x(t) bằng không là x(t)
phải là tín hiệu công suất, nghĩa là:
T
1
∫ dt < ∞
2
x(t)
T0
• Điều kiện hội tụ tại mọi điểm (điều kiện Dirichlet):
• x(t) bị chặn
• Số điểm cực trị trong một chu kỳ của x(t) là hữu hạn
• Số điểm không liên tục trong một chu kỳ của x(t) là hữu hạn
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục tuần hoàn
Biểu diễn đáp ứng của hệ LTI
• Đáp ứng của một hệ LTI có đáp ứng tần số là H(ω)
với mỗi thành phần ejkω0t là H(kω0)ejkω0t → đáp ứng
của hệ thống đó với tín hiệu vào x(t) sẽ biểu diễn được
như sau: ∞
y(t) = ∑ ck H (kω0)e jkω0t
k = −∞
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục tuần hoàn
• Tính trực giao của các thành phần ejkω0t
• Hai tín hiệu f(t) và g(t) tuần hoàn cùng với chu kỳ T
được gọi là trực giao nếu điều kiện sau đây được thỏa
mãn: T
∫ (t)dt = 0
*
f (t) g
0
• Hai tín hiệu ejkω0t và ejlω0t với tần số cơ bản ω0 = 2π/T
trực giao nếu k≠l:
T
∀k ≠ l : ∫ e jkω0te− jlω0tdt =0
0
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục tuần hoàn
• Tính các hệ số của chuỗi Fourier
• Các hệ số của chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn
x(t) được tính bằng cách sử dụng tính chất trực giao
của các tín hiệu thành phần {ejkω0t } như sau:
T T ∞ ∞ T
∫ ∫ ∑ l e dt ∑ l ∫ e dt ckT
− jkω0t jlω0t − jkω0t jlω0t − jkω0t
= x(t)e dt =c e =c e
0 0 l = −∞ l = −∞ 0
T
1
→ ck =∫ x(t)e− jkω0tdt
T0
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục tuần hoàn
• Các tính chất của biểu diễn chuỗi Fourier
• Tính tuyến tính:
∞ ∞
=x(t) ∑
= jkω0t
cke , z(t)
k = −∞
∑
k = −∞
dke jkω0t
∞
→ α x(t) + β z(t=
) ∑ k k
(α c
k = −∞
+ β d )e jkω0t
• Tính dịch thời gian:
∞
x(t) = ∑ k
c e
k = −∞
jkω0t
∞
→ x(t − t0) =∑ k )e
(c e− jkω0t0 jkω0t
k = −∞
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục tuần hoàn
• Tính đạo hàm:
∞ ∞
dx(t)
x(t) ∑ cke
= jkω0t
→ = ∑ 0k
( jk ω c )e jkω0t
k = −∞ dt k = −∞
• Tính tích phân:
∞ t ∞
ck jkω0t
x(t) = ∑ce
k = −∞
k
jkω0t
→ ∫ x(τ )dτ = ∑ k = −∞ jkω0
e
−∞
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục tuần hoàn
• Công thức Parseval:
T ∞
1
∫ x(t) dt = ∑ ck
2 2
T0 k = −∞
Giá trị |ck|2 có thể coi như đại diện cho công suất của
tín hiệu thành phần ejkω0t trong tín hiệu x(t) → hàm
biểu diễn giá trị |ck|2 theo tần số ωk = kωk (k Є Z) cho
ta biết phân bố công suất của tín hiệu x(t) và được gọi
là phổ mật độ công suất của x(t).
Chú ý: phổ mật độ công suất của tín hiệu tuần hoàn là
một hàm theo tần số rời rạc
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục tuần hoàn
• Tính đối xứng: với tín hiệu tuần hoàn x(t) có biểu
diễn chuỗi Fourier
∞
x(t) = ∑ k
c e
k = −∞
jkω0t
thì phổ mật độ công suất của x(t) là một hàm chẵn,
nghĩa là: ∀k : ck =
2 2
c−k . Ngoài ra:
• Nếu x(t) là tín hiệu thực: ∀k : ck =
c−*k
• Nếu x(t) là tín hiệu thực và chẵn: ∀k : ck = c−k
• Nếu x(t) là tín hiệu thực và lẻ: ∀k : ck =
−c−k
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn
• Mở rộng biểu diễn chuỗi Fourier
• Vì ω0 →0 nên ω = kω0 là một biến liên tục, ta có thể
viết lại các biểu thức ở phần trước như sau:
∞ ∞
1 c(ω) jωt
∫ c(ω)e dω lim ∫ e dω
jωt
x(t) lim= =
ω0 →0 ω0 −∞ ω0 →0
−∞
ω0
trong đó, c(ω) là một hàm theo tần số liên tục và được
xác định như sau:
π /ω0
ω0
c (ω ) = lim ∫ x(t)e− jωt
dt
ω0 →0 2π
−π /ω0
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn
• Biến đổi Fourier
• Đặt X(ω) = 2πc(ω)/ω0, chúng ta có được công thức
của biến đổi Fourier của tín hiệu x(t):
∞
X (ω) F=
= [x(t)] ∫
−∞
x(t)e− jωtdt
• Công thức của biến đổi Fourier nghịch:
∞
1
x(t) = F [X(ω)]= ∫ X (ω)e jωtdω
−1
2π −∞
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn
• Cách biểu diễn khác của biến đổi Fourier của tín hiệu
x(t), với biến số f thay cho tần số góc ω:
∞
=
X ( f ) F=
[x(t)] ∫
−∞
x(t)e− j2π ftdt
• Công thức của biến đổi Fourier nghịch tương đương
∞
x(t) = F −1[X(f )]= ∫ X ( f )e j2π ftdf
−∞
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn
• Hàm X(ω) được gọi là phổ (Fourier) của tín hiệu x(t)
theo tần số
• Hàm biểu diễn
= X (ω) Re[ X (ω)]2 + Im[ X (ω)]2
được gọi là phổ biên độ của tín hiệu x(t) theo tần số
• Hàm
Im[ X (ω)]
ϕ(ω) = arctan
Re[ X (ω)]
được gọi là phổ pha của tín hiệu x(t) theo tần số
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn
• Điều kiện hội tụ
• Điều kiện để các biến đổi Fourier thuận và nghịch
của tín hiệu x(t) tồn tại là x(t) phải là tín hiệu năng
lượng, nghĩa là: ∞
∫ x(t) dt < ∞
2
−∞
• Điều kiện để tín hiệu khôi phục từ biến đổi Fourier
của tín hiệu x(t) hội tụ về x(t) tại mọi thời điểm, ngoại
trừ tại các điểm không liên tục (Điều kiện Dirichlet):
∞
• ∫ x(t) dt < ∞
−∞
• Số điểm cực trị của x(t) là hữu hạn
• Số điểm không liên tục của x(t) là hữu hạn
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
- Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn
• Các tính chất của biến đổi Fourier
• Tính tuyến tính:
F[α x1(t) + β x2(t)] = α X1(ω) + β X 2(ω)
• Dịch thời gian − jωt0
X (ω)e
F[x(t − t0)] =
• Dịch tần số jγ t
F[x(t)e= ] X (ω − γ )
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
nguon tai.lieu . vn
