Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Chương 2 (Lecture 4) – Trần Quang Việt (2017)

Ch-2: Phân tích hệ thống LTI trong miền thời gian

Lecture-4
2.4. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

2.4. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân
2.4.1. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân
2.4.2. Đáp ứng xung của hệ thống
2.4.3. Đa thức đặc trưng và tính ổn định của hệ thống

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

2.4.1. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân
 Trên thực tế tồn tại rất nhiều hệ thống mô tả bởi PTVP hệ số hằng
 Ví dụ: phương trình xác định mối quan hệ của vận tốc và lực kéo

tác dụng lên xe
dv(t)
m
+Kv(t)=f(t)
Kv(t)
f(t)
dt
dv(t)
1000
+300v(t)=f(t)
Giả sử: m=1000kg; K=300N/(m/s)
dt
 Tổng quát phương trình VP mô tả cho hệ thống có dạng:
m

d n y(t)
d n-1y(t)
dy(t)
d mf(t)
d m-1f(t)
df(t)
+a n-1
+...+a1
+a 0 y(t)=b m
+b m-1 m-1 +...+b1
+b0f(t)
n
n-1
m
dt
dt
dt
dt
dt
dt

d k y(t)
ak
dt k
k=0
n

d k f(t)
bk k
dt
k=0

n

m

Q(D)y(t) P(D)f(t)

m
k

[

b k Dk ]f(t) a n =1; n m

a k D ]y(t) [
k=0

k=0

Q(D)
Signals & Systems – FEEE, HCMUT

P(D)

2.4.1. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân
 Giải phương trình để xác định đáp ứng: thường dùng phương pháp

tích phân kinh điển: tổng của 2 đáp ứng tự do & cưỡng bức
 Đáp ứng tự do: đáp ứng bởi các tác nhân nội tại bên trong hệ thống,

thường là do năng lượng tích trữ & tín hiệu vào
 Đáp ứng cưỡng bức (zero-state): đáp ứng với tín hiệu ngõ vào của

hệ thống
dv(t)
1000
+300v(t)=f(t)
dt
Với: f(t)=5000e 2t u(t)

 Ví dụ:

dv(t)
+0.3v(t)=10 3f(t)
dt

 Bước 1: xác định đáp ứng cưỡng bức vcb(t)=Ke-2t khi t>0

-2Ke

2t

0.3Ke

2t

5e

2t

K= 2.94

Signals & Systems – FEEE, HCMUT

vcb (t)= 2.94e

2t

2.4.1. Hệ thống LTI nhân quả mô tả bởi phương trình vi phân
 Bước 2: xác định đáp ứng tự do vtd(t)  giải pt thuần nhất

dv td (t)
+0.3v td (t)=0
dt
Phương trình đặc trưng: +0.3=0

v td (t)=K1e

= 0.3

0.3t

 Bước 3: xác định đáp ứng tổng

v(t)=v td (t)+vcb (t)=K1e
 Điều kiện đầu: HT LTI nhân quả

dy(0)
y(0)=
dt

...

0.3t

2.94e

2t

HT phải ở trạng thái nghỉ

dy n-1 (0)
dt n-1

0

Signals & Systems – FEEE, HCMUT