Xem mẫu
- CHƯƠNG 2: XÁC SUẤT VÀ
QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
1. Xác suất
2. Quá trình ngẫu nhiên
6:41 PM Chương 2 1
Xác suất
A, B là hai biến cố
Hợp của hai biến cố: ít nhất Giao của hai biến cố: hai biến
một trong hai phải xảy ra cố phải xảy ra đồng thời
Bao hàm : nếu A xảy ra thì Hiệu: A xảy ra còn B không
B phải xảy ra xảy ra
6:41 PM Chương 2 2
1
- Xác suất
A, B là hai biến cố P(A): xác suất xuất hiện biến cố A
A và B xung khắc: A và B không đồng thời xảy ra
A và B đối lập: nếu A xảy ra thì B không xảy ra và ngược lại
̅ S: biến cố chắc chắn xảy ra P(S) = 1
∪ ̅
A và B đối lập A và B xung khắc
A và B xung khắc A và B có thể không đối lập
6:41 PM Chương 2 3
Xác suất
S: thông tin có các giá trị 00, 01, 10, 11
A: thông tin có các giá trị 00, 10 A và B đối lập
B: thông tin có các giá trị 01, 11 A và B xung khắc
A: thông tin có các giá trị 00, 10
A và B không đối lập
B: thông tin có các giá trị 01 A và B xung khắc
6:41 PM Chương 2 4
2
- Xác suất
Xác suất có điều kiện:
P(A/B): xác suất xuất hiện biến cố A khi biến cố B đã xảy ra
Công thức nhân xác suất:
P(AB) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)
Nếu A, B độc lập: P(AB) = P(A)P(B)
6:41 PM Chương 2 5
Xác suất
Hàm phân phối xác suất: (hàm phân phối tích luỹ cdf – cumulative
distribution function)
X: biến ngẫu nhiên, x: số thực
F(x) = P(X x): xác suất để biến ngẫu nhiên X nhỏ hơn x
Hàm mật độ xác suất: (pdf – probability density function)
6:41 PM Chương 2 6
3
- Xác suất
Hàm của biến ngẫu nhiên:
Xét biến ngẫu nhiên X có pdf p(x), xác định pdf của biến ngẫu nhiên Y = g(X)
VD: Y = aX + b, a > 0
Đặt t = ax + b: x = - t = - 1
x= x= t=y
dx = dt/a
1
Tính lại VD trên với a < 0, Y = aX3 + b
6:41 PM Chương 2 7
Xác suất
Hàm của biến ngẫu nhiên:
Y = aX2 + b, a > 0
| |
1 1
2 2
6:41 PM Chương 2 8
4
- Xác suất
Hàm đặc trưng: Phương sai:
≡
Trung bình (kỳ vọng toán):
moment thứ n
Y = g(X):
6:41 PM Chương 2 9
Xác suất
Các phân bố xác suất thông dụng:
Phân bố nhị thức:
!
1
! !
1
1 [y]: phần nguyên của y
E[X] = np, = np(1-p)
6:41 PM Chương 2 10
5
- Xác suất
Các phân bố xác suất thông dụng:
Phân bố đều:
0 á
0
1
1 1
2 12
6:41 PM Chương 2 11
Xác suất
Các phân bố xác suất thông dụng:
Phân bố chuẩn (Gaussian):
E[X] = mX
1
2
1 1 2
erf erf : error function
2 2 2
1 2
1 erfc erfc : complementary error function
2 2
1 1 1 /
erfc : Q function
2 2 2
6:41 PM Chương 2 12
6
- Xác suất
Các phân bố xác suất thông dụng:
Phân bố chuẩn (Gaussian):
mX = 0
: dạng chuẩn tắc (trung bình = 0, phương sai = 1)
1
zero-mean, unit variance gaussian random variable
Xác định pdf của Y = aX3 + b với X là biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn tắc.
6:41 PM Chương 2 13
Xác suất
Các phân bố xác suất thông dụng:
Phân bố Chi-square (Gamma):
X là biến ngẫu nhiên phân bố Gaussian
Y = X2 là biến ngẫu nhiên phân bố Gamma
1
X có trung bình = 0 và phương sai 2
2
1
(phân bố Gamma /
1
bậc tự do n) 2 / Γ
2
Xi độc lập thống kê,
phân bố Gaussian có Γ : hàm Gamma
trung bình = 0 và 1 3 1
Γ ;Γ
phương sai 2 2 2 2
6:41 PM
Γ 1 ! ớChương 2
∈ 14
7
- Xác suất
Các phân bố xác suất thông dụng:
Phân bố Chi-square (Gamma):
(phân bố Gamma
bậc tự do n)
E[Y] = n2
2
1
X phân bố Gaussian có trung bình mX cosh
và phương sai 2 2
6:41 PM Chương 2
cosh 15
2
Xác suất
Các phân bố xác suất thông dụng:
Phân bố Chi-square (Gamma):
Xi độc lập thống kê, phân bố Gaussian có trung bình = mi
và phương sai 2
1
/
x0
2
/2
: hàm Bessel sửa đổi loại 1 bậc
!Γ 1
x0
6:41 PM Chương 2 16
8
- Xác suất
Các phân bố xác suất thông dụng:
Phân bố Rayleigh:
Y là biến ngẫu nhiên phân bố Rayleigh
X1 và X2 độc lập thống kê, phân bố Gaussian
có trung bình = 0 và phương sai 2
x0 E 2
2
1
2
1 x0 2
6:41 PM Chương 2 17
Xác suất
Các phân bố xác suất thông dụng:
Phân bố Rayleigh:
Xi độc lập thống kê, phân bố Gaussian có
trung bình = 0 và phương sai 2
/ 1 x0
2 Γ
2
n chẵn (n = 2m):
1
1 x0
! 2
6:41 PM Chương 2 18
9
- Xác suất
Xác định trung bình, phương sai của biến ngẫu nhiên Cauchy có pdf:
/
- < x <
Cho hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên Cauchy:
1
Xác định hàm đặc trưng và pdf của:
Trong đó Xi là các biến ngẫu nhiên độc lập thống kê và có phân bố Cauchy như trên
Áp dụng: E(XY) = EX.EY nếu X, Y độc lập
6:41 PM Chương 2 19
Xác suất
6:41 PM Chương 2 20
10
- Quá trình ngẫu nhiên
Quá trình ngẫu nhiên (stochastic process): biến ngẫu nhiên xác định theo
thông số t (thường là thời gian)
Ký hiệu: X(t)
Xét tập {t1, …, tn} ≡ là các biến ngẫu nhiên tạo ra từ X(t)
tập {t1+t, …, tn+t} ≡
ế , ,…,
, ,…, ớ , ấ ỳ Quá trình ngẫu nhiên dừng
6:41 PM Chương 2 21
Quá trình ngẫu nhiên
Trung bình thống kê
Hàm tự tương quan
, , ,
Nếu quá trình ngẫu nhiên là dừng:
, Φ
6:41 PM Chương 2 22
11
- Quá trình ngẫu nhiên
Hàm tự tương quan
Nếu quá trình ngẫu nhiên không dừng có: ,
Quá trình ngẫu nhiên thống kê nghĩa rộng (WSS – Wide-sense Stationary
Hàm tương quan chéo
, , ,
Nếu quá trình ngẫu nhiên là dừng:
,
6:41 PM Chương 2 23
Quá trình ngẫu nhiên
Mật độ phổ công suất (psd – power spectral density)
Φ
(f): hàm thực, chẵn
Φ Φ∗
Φ Φ
6:41 PM Chương 2 24
12
- Quá trình ngẫu nhiên
Hàm tự tương quan của quá trình ngẫu nhiên X(t) là:
1
(nhiễu trắng: white noise)
2
B B
Tín hiệu x(t) đưa qua mạch lọc có đáp ứng tần số:
Xác định tổng công suất ở ngõ ra mạch lọc:
-fc fc
1 Psd ở ngõ ra mạch lọc:
Φ
2
Φ Φ
Tổng công suất ở ngõ ra mạch lọc:
1 1
0 Φ 2
2 2
6:41 PM Chương 2 25
Quá trình ngẫu nhiên
R
Cho quá trình ngẫu nhiên nhiễu trắng X(t) là ngõ vào
của mạch như hình vẽ.
X(t) Y(t)
C
Xác định yy(f), yy() và E[Y2(t)]
Tính H(f) Φ Φ
Áp dụng:
Φ
6:41 PM Chương 2 26
13
nguon tai.lieu . vn
