Xem mẫu
- TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC KIEÁN TRUÙC TP.HCM
KHOA XAÂY DÖÏNG
BOÄ MOÂN CÔ HOÏC ÖÙNG DUÏNG
BAØI GIAÛNG MOÂN HOÏC
PHÖÔNG PHAÙP PHAÀN TÖÛ HÖÕU HAÏN
(Finite Element Method)
Phaïm Vaên Maïnh
LOGO
- Giới thiệu chung về môn học
1 Phân bổ thời gian
Ø Lên lớp (lý thuyết): 20 tiết.
Ø Thực hành (bài tập): 10 tiết.
2 Điều kiện tiên quyết
Học xong môn Cơ Học Kết Cấu 2
3 Mục tiêu học phần
Ø Nắm các kiến thức cơ bản về Phương pháp Phần tử hữu hạn.
Ø Hiểu nguyên lý giải bài toán bằng phần mềm PTHH (SAP2000) dùng
để phân tích kết cấu.
4 Nhiệm vụ SV
Ø Dự lớp đầy đủ.
Ø Tìm hiểu thêm các tài liệu tham khảo.
Ø Làm bài tập, tiểu luận.
- Giới thiệu chung về môn học
5 Tài liệu học
1. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Chu Quốc Thắng
2. THỰC HÀNH PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ KẾT CẤU BẰNG SAP2000
6 Tiêu chuẩn đánh giá
Làm 2 bài tiểu luận (bài tập lớn)
7 Nội dung học
Gồm 3 chương:
Chương 1: Khái niệm chung (5t)
Chương 2: Lý thuyết chung về PTHH ( FEM) (5t)
Chương 3 Tính toán phần tử một chiều (20t)
- Chương 1: Khái niệm chung
1.1 Quan hệ ứng suất – biến dạng – chuyển vị
1.2 Hàm ẩn và số phương trình cân bằng CHVR
1.3 Nguyên lý thế năng toàn phần dừng
1.4 Mô hình
1.5 Đại số ma trận và PP khử Gaussian
1.6 Các hướng giải bài toán cơ học
- 1.1 Quan hệ ứng suất – biến dạng – chuyển vị
Xét vật thể có thể tích V, bề mặt S với mặt biên Sđ. p
V
• Chịu lực gồm lực khối g và lực mặt p
• Bị biến dạng và xuất hiện nội lực, các điểm có g
St
chuyển vị. Sñ
v Trạng thái ứng suất – biến dạng – chuyển vị tại 1 điểm được biểu diễn
bởi các vector:
ìσ = {s , s , s ,t ,t ,t }T
ï x y z xy yz zx
ï
íε = {e x , e y , e z , g xy , g yz , g zx }
T
(1.1)
ï
{ }
T
ï u = u , v , w
î
- 1.1 Quan hệ ứng suất – biến dạng – chuyển vị
v Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị: é¶ 0 0 ù
ê ¶x ú
ì ¶u ¶u ¶v ê 0 ¶ 0 ú
e =
ï x ¶x , g xy = + ê ¶y ú
¶y ¶x ê
ï ¶ ú
ï ¶v ¶w ¶v ê 0 0
¶z ú
e
í y = , g = + Þ ε = [¶ ] u (1.2) Vôùi: [ ¶ ] = ê ú
ê ¶ ¶y ¶
yz
ï ¶y ¶y ¶z ¶x
0 ú
ê ú
ï ¶w ¶u ¶w ê 0 ¶ ¶ ú
e
ï z = , g zx = + ê ¶z ¶y ú
î ¶z ¶z ¶x ê¶
0 ¶ ú
ëê ¶z ¶x ûú
v Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng theo định luật Hooke
ì 1 2 (1 +n ) é 1 -n -n 0 ù
e
ï x =
E
és
ë x - n ( s y + s )
z û
ù ; g xy =
E
t xy ê -n 1 -n
0
0
0
0 0 ú
ï ê ú
ï 1 2 (1 +n ) 1 ê -n -n 1 0 0 0 ú
íe y = ës y -n (s z + s x ) û ; g yz =
é ù t yz ; C = ê
Eê0 0 0 2 (1 + n ) 0 0 ú
ú
ï E E
ï 1 2 (1 + n ) ê0 0 0 0 2 (1 + n ) 0 ú
ïe z = éës z -n (s x + s y ) ùû ; g zx = t zx ê
0 0 0 0 0 2 (1 + n )
ú
î E E ë û
ε=Cσ (1.3) à C ma trận các hệ số đàn hồi
- 1.1 Quan hệ ứng suất – biến dạng – chuyển vị
v Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng (dạng nghịch)
é1 - n n n 0 0 0 ù
σ=Dε (1.4) ê n 1 -n n 0 0 0 ú
ê ú
ê n n 1 -n 0 0 0 ú
ê ú
ê 0 1 - 2n
vôùi: D=
E 0 0 0 0 ú
(1 + n )(1 - 2n ) êê 2 ú
ú
1 - 2n
ê 0 0 0 0 0 ú
ê 2 ú
ê 1 - 2n ú
êë 0 0 0 0 0
2 úû
Bài toán 1D
1
• Định luật Hooke: ex = sx (1.5)
E
• Định luật Hooke: s x = Ee x (1.6)
(dạng nghịch)
Trong đó: D=E
- 1.2 Hàm ẩn và số phương trình cân bằng CHVR
Đại lượng Bài toán 3-D Bài toán 2-D Bài toán 1-D
Chuyển vị {u} u, v, w u, v u
Ứng suất {s} sx, sy , sz , txy, tyz, tzx sx, sy , tyz sx
Biến dạng {e} ex, ey , ez , gxy, gyz, gzx ex, ey , gyz ex
Số hàm ẩn 15 8 3
Các phương trình cơ bản
Bài toán Bài toán Bài toán
3-D 2-D 1-D
Phương trình cân bằng nội 3 2 1
Phương trình biến dạng – chuyển vị 6 3 1
Phương trình ứng suất – biến dạng 6 3 1
Tổng số phương trình 15 8 3
- 1.3 Nguyên lý thế năng toàn phần dừng
v Thế năng toàn phần Õ của một hệ đàn hồi là:
Π= U-W (1.7) Với: U là năng lượng biến dạng của vật thể đàn
hồi tích luỹ trong quá trình biến dạng.
W là công của ngoại lực sinh ra trên các
min chuyển dời do vật thể bị biến dạng.
Nội dung: “Trong tất cả các trường chuyển vị khả dĩ động (tức thoả mãn
các điều kiện tương thích và điều kiện biên động học) thì trường chuyển vị
thực sẽ làm cho thế năng toàn phần P đạt giá trị dừng”.
Nghóa laø: d Π = 0 Û Ñieàu kieän caân baèng (1.8)
1 T 1 T
Naêng löôïng bieán daïng : U = ò
2V
ε σ dV = ò
2V
ε D ε dV (1.9)
Coâng ngoaïi löïc: W = ò uT g dV + ò uT p dS (1.10)
V St
- 1.4 Mô hình
q MH của kết cấu là hình ảnh tưởng tượng của kết cấu thực, ở đó sơ đồ
hình học, đặc điểm của vật liệu, tải trọng, điều kiện biên… đã được đơn
giản hoá bằng cách loại bỏ những yếu tố không quan trọng.
- 1.4 Mô hình
- 1.5 Đại số ma trận và PP khử Gaussian
1.5.1 Hệ phương trình đại số tuyến tính
ìa11 x1 + a12 x2 + L a1n xn = b1
ïa x + a x + L a x = b
ï 21 1 22 2 2n n 2 Thu gọn : A x = b (1.11)
í
ïLLLLLLLLLLL
ïîan1 x1 + an 2 x2 + L ann xn = bn
é a11 a12 L a1n ù ì x1 ü ì b1 ü
êa ú ïx ï ïb ï
a L a ï 2ï ï 2ï
A = [aij ] = ê 21 22 2n ú
x = {xi } = í ý ( n x 1)
b = {b } = í ý
L L L L Mï ïM ï
i
( n x n) ê ú ( n x 1)
ê ú ï
a
ë n1 n 2a L a nn û ïî xn ïþ ïîbn ïþ
1.5.2 Ma trận đơn vị
Ma trận đơn vị là ma trận vuông với các phần tử trên đường chéo chính
bằng 1
é 1 0 ... 0 ù
ê 0 1 ... 0 ú
I=ê ú Chú ý: AI = A ; Ix = x (1.12)
ê... ... ... ...ú
ê ú
ë 0 0 ... 1 û
- 1.5 Đại số ma trận và PP khử Gaussian
1.5.3 Phép cộng và phép trừ ma trận.
C = A + B trong đó: cij = aij + bij (1.13)
(m´ n) (m´ n) (m´ n)
é3 2 ù é- 8 5 ù é- 5 7 ù
ê5 - 1ú + ê - 1 - 2ú = ê 4 - 3ú
ë û ë û ë û
1.5.4 Nhân ma trận với hằng số
l A = [l aij ] (1.14)
é3 2 ù é300 200 ù
100 ê ú =ê ú
ë 5 -1û ë 500 -100 û
1.5.5 Nhân hai ma trận
A ´ B = C (1.15)
(m´ n) (n´ p) (m´ p)
é4 5ù
é2 8 5ù ê ú = é54 70ù
´
ê 3 1 4ú ê 2 5 ú ê ú
ë û ê6 4ú ë38 36û
ë û
- 1.5 Đại số ma trận và PP khử Gaussian
1.5.6 Ma trận chuyển vị
éa dù
éa b cù
A = [aij ] Þ AT = [a ji ] A =ê Þ A T = êb e ú (1.16)
(2 x 3)
ëd e f úû (3 x 2) ê ú
(m ´ n) (n ´ m) êë c f úû
1.5.7 Đạo hàm và tích phân ma trận
é x + 2 y 5 x 2 - xy ù d é da ( x ) ù
ê ú A( x ) = ê ij ú
A = ê 2+ x y ú dx ë dx û (1.17)
ê 6x x + 4 y úû
ë ò Adxdy = éë ò a dxdy ùû
ij
1.5.8 Định thức của ma trận
Cho ma trận vuông A = [aij], kích thước (n´ n). Định thức của ma trận A
được định nghĩa như sau: n
det( A) = a11 det( A11 ) - a12 det( A12 ) + L ( -1) a1n det( A1n ) = å ( -1) aij det( Aij )
n +1 i+ j
j =1
é a11 a12 L a1n ù é a22 a23 L a2 n ù
êa a22 L a2 n ú êa a33 L a3n ú
A= ê 21 ú Þ A11 = ê 32 ú (1.18)
êL L L Lú êL L L Lú
ê ú ê ú
ë an1 a n 2 L ann û ë an 2 an 3 L ann û
- 1.5 Đại số ma trận và PP khử Gaussian
1.5.9 Nghịch đảo ma trận
Cho ma trận vuông A, nếu det(A) ¹ 0, thì A có ma trận nghịch đảo
Ký hiệu là A-1. (1.19)
A-1 ´ A= A ´ A-1 = I
Nếu det(A) = 0, A là ma trận suy biến và không tồn tại ma trận nghịch đảo
1.5.10 Ma trận đường chéo
é 2 0 0ù
D = ê 0 3 0ú
ê ú
êë 0 0 5úû
1.5.11 Ma trận đối xứng
Ma trận đối xứng là một ma trận vuông có các phần tử thoả mãn điều kiện:
aij = aji hay: A = AT (1.20)
1.5.12 Giải phương trình bằng PP khử Gaussian
(1.21)
Ax=b
- 1.6 Các hướng giải bài toán CHVR
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH PHƯƠNG PHÁP SỐ
PP GIẢI PP GIẢI PP SỐ GIẢI CÁC PHƯƠNG PHÁP
CHÍNH XÁC GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHẦN TỬ
(TÍCH PHÂN) (PP BIẾN PHÂN) VI PHÂN HỮU HẠN
PP SAI PHÂN MÔ HÌNH
PP HỖN HỢP
HỮU HẠN HỖN HỢP
PP LỰC CÁC PP TÍCH MÔ HÌNH
PHÂN SỐ CÂN BẰNG
PP CHUYỂN VỊ MÔ HÌNH
TƯƠNG THÍCH
- Chương 2: LÝ THUYẾT CHUNG VỀ FEM
2.1 Khái niệm về FEM
2.2 Trình tự phân tích bài toán theo FEM
2.3 Hàm xấp xỉ - đa thức xấp xỉ - hàm nội suy
2.4 Ma trận độ cứng phần tử - véc tơ tải phần tử
2.5 Ma trận độ cứng tổng thể, véc tơ tải tổng thể
2.6 Phép chuyển trục tọa độ
2.7 Ghép nối các phần tử
2.8 Áp đặt điều kiện biên động học
- 2.1 Khái niệm về FEM
Back
q Là một phương pháp số tìm dạng gần đúng của hàm ẩn trong V.
q FEM không tìm dạng xấp xỉ trên toàn miền V mà chỉ tìm trong từng
miền con Ve (e: phần tử)
q Trong FEM, V được chia thành một số hữu hạn các Ve – phần tử.
Các phần tử được nối kết với nhau tại các điểm định trước trên
biên (nút).
q Trong phạm vi phần tử, đại lượng cần tìm được xấp xỉ trong dạng
hàm đơn giản, gọi là các hàm xấp xỉ (approximation function).
q Các hàm này được nội suy (biểu diễn) qua giá trị của hàm (có thể
cả đạo hàm) tại các điểm nút trên phần tử. Các giá trị này được
gọi là các bậc tự do của phần tử ® là ẩn số chính của bài toán.
- 2.1 Khái niệm về FEM
Ví dụ:
“Phần tử Si”
Diện tích 1 tam giác:
1
Si = R 2 sin qi
2
Xấp xỉ diện tích hình tròn Diện tích hình tròn:
N
1 2 æ 2p ö
S = å Si = R N sin ç ÷ ® p R khi N ® ¥
2
i =1 2 è N ø
N_tổng số các tam giác
KL: Đối tượng sẽ trở nên phức tạp hoặc kết quả chính xác khi số tam
giác (phần tử ) N tăng lên
- Các sai số thường gặp trong FEM
Ø Sai số mô hình: Sai số này tồn tại là do việc lý tưởng hoá bài
toán vật lý thực thành mô hình toán. Sai số này có thể giảm
bằng cách giảm thiểu các giả thiết.
Ø Sai số do rời rạc hoá. Sai số này tồn tại là do việc chuyển mô
hình toán thành mô hình phần tử hữu hạn. Sai số này có thể
giảm bằng cách chia mịn lưới phần tử.
Ø Sai số tính toán. Sai số này phát sinh do việc tính toán số của
máy tính. Thường thì sai số này rất nhỏ, tuy nhiên nó có thể rất
lớn nếu lưới phần tử được chia không hợp lý.
nguon tai.lieu . vn
