- Trang Chủ
- Tự động hoá
- Bài giảng lý thuyết điều khiển tự động - Khảo sát tính ổn định của hệ thống part 4
Xem mẫu
- Phöông phaùp quyõ ñaïo nghieäm soá (QÑNS)
Ñònh nghóa
Quyõ ñaïo nghieäm soá laø taäp hôïp taát caû caùc nghieäm cuûa phöông
trình ñaëc tröng cuûa heä thoáng khi coù moät thoâng soá naøo ñoù trong heä
thay ñoåi töø 0 → ∞.
2
Thí duï: QÑNS cuûa heä thoáng coù PTÑT s + 4 s + K = 0 coù daïng
nhö hình veõ döôùi ñaây:
26 September 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 31
- Phöông phaùp quyõ ñaïo nghieäm soá (QÑNS)
Qui taéc veõ QÑNS
Muoán aùp duïng caùc qui taéc veõ quyõ ñaïo nghieäm soá, tröôùc tieân ta
phaûi bieán ñoåi töông ñöông phöông trình ñaëc tröng veà daïng:
N (s)
(1)
1+ K =0
D( s)
N (s)
G0 ( s ) = K
Ñaët:
D( s)
Goïi n laø soá cöïc cuûa G0(s) , m laø soá zero cuûa G0(s)
1 + G0 ( s ) = 0
(1) ⇔
Ñieàu kieän bieân ñoä
G0 ( s ) = 1
⇔
Ñieàu kieän pha
∠G0 ( s ) = (2l + 1)π
26 September 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 32
- Phöông phaùp quyõ ñaïo nghieäm soá (QÑNS)
Qui taéc veõ QÑNS
Qui taéc 1: Soá nhaùnh cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá = baäc cuûa phöông
trình ñaëc tính = soá cöïc cuûa G0(s) = n.
Qui taéc 2:
Khi K = 0: caùc nhaùnh cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá xuaát phaùt töø caùc
cöïc cuûa G0(s).
Khi K tieán ñeán +∞ : m nhaùnh cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá tieán ñeán
m zero cuûa G0(s), n−m nhaùnh coøn laïi tieán ñeán ∞ theo caùc tieäm
caän xaùc ñònh bôûi qui taéc 5 vaø qui taéc 6.
Qui taéc 3: Quyõ ñaïo nghieäm soá ñoái xöùng qua truïc thöïc.
Qui taéc 4: Moät ñieåm treân truïc thöïc thuoäc veà quyõ ñaïo nghieäm soá
neáu toång soá cöïc vaø zero cuûa G0(s) beân phaûi noù laø moät soá leû.
26 September 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 33
- Phöông phaùp quyõ ñaïo nghieäm soá (QÑNS)
Qui taéc veõ QÑNS (tt)
Qui taéc 5: : Goùc taïo bôûi caùc ñöôøng tieäm caän cuûa quyõ ñaïo nghieäm
soá vôùi truïc thöïc xaùc ñònh bôûi :
( 2l + 1)π
α= (l = 0,±1,±2, K)
n−m
Qui taéc 6: : Giao ñieåm giöõa caùc tieäm caän vôùi truïc thöïc laø ñieåm A
coù toïa ñoä xaùc ñònh bôûi:
n m
(pi vaø zi laø caùc cöïc
∑ pi − ∑ zi
∑ cöïc − ∑ zero = i=1 vaø caùc zero cuûa G0(s) )
i =1
OA =
n−m n−m
Qui taéc 7: : Ñieåm taùch nhaäp (neáu coù) cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá naèm
treân truïc thöïc vaø laø nghieäm cuûa phöông trình:
dK
=0
ds
26 September 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 34
- Phöông phaùp quyõ ñaïo nghieäm soá (QÑNS)
Qui taéc veõ QÑNS (tt)
Qui taéc 8: : Giao ñieåm cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá vôùi truïc aûo coù theå
xaùc ñònh baèng caùch aùp duïng tieâu chuaån Routh–Hurwitz hoaëc thay
s=jω vaøo phöông trình ñaëc tröng.
Qui taéc 9: Goùc xuaát phaùt cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá taïi cöïc phöùc pj
ñöôïc xaùc ñònh bôûi:
m n
θ j = 180 + ∑ arg( p j − zi ) − ∑ arg( p j − pi )
0
i =1 i =1
i≠ j
Daïng hình hoïc cuûa coâng thöùc treân laø:
θj = 1800 + (∑goùc töø caùc zero ñeán cöïc p j )
− (∑goùc töø caùc cöïc coøn laïi ñeán cöïc p j )
26 September 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 35
- Phöông phaùp quyõ ñaïo nghieäm soá (QÑNS)
Thí duï 1
Thí
Veõ QÑNS cuûa heä thoáng sau ñaây khi K=0→+∞.
K
G( s) =
s ( s + 2)( s + 3)
Giaûi:
Phöông trình ñaëc tröng cuûa heä thoáng:
K
1 + G(s) = 0 (1)
⇔ 1+ =0
s ( s + 2)( s + 3)
Caùc cöïc: p1 = 0 p2 = −2 p3 = −3
Caùc zero: khoâng coù
26 September 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 36
- Phöông phaùp quyõ ñaïo nghieäm soá (QÑNS)
Thí duï 1 (tt)
π
Tieäm caän: α1 = (l = 0)
3
(2l + 1)π (2l + 1)π π
α= α2 = −
= ⇒ (l = -1)
n−m 3−0 3
α3 = π (l = 1)
∑ cöïc − ∑ zero = [0 + (−2) + (−3)] − 0 = − 5
OA =
n−m 3−0 3
Ñieåm taùch nhaäp:
(1) ⇔ K = − s ( s + 2)( s + 3) = −( s 3 + 5s 2 + 6 s )
dK
⇒ = −(3s 2 + 10 s + 6)
ds
s1 = −2.549 (loaïi)
dK
Do ñoù =0 ⇔
s2 = −0.785
ds
26 September 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 37
- Phöông phaùp quyõ ñaïo nghieäm soá (QÑNS)
Thí duï 1 (tt)
Giao ñieåm cuûa QÑNS vôùi truïc aûo:
Caùch 1: Duøng tieâu chuaån Hurwitz
(1) ⇔ s 3 + 5s 2 + 6s + K = 0 (2)
Ñieàu kieän oån ñònh:
K > 0 K >0
⇔ ⇔ 0 < K < 30 ⇒ K gh = 30
a1a2 − a0 a3 > 0 5 × 6 − 1 × K > 0
Thay giaù trò Kgh = 30 vaøo phöông trình (2), giaûi phöông trình ta
ñöôïc giao ñieåm cuûa QÑNS vôùi truïc aûo
s1 = −5
3 2
s + 5s + 6s + 30 = 0 ⇔ s2 = j 6
s = − j 6
3
26 September 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 38
- Phöông phaùp quyõ ñaïo nghieäm soá (QÑNS)
Thí duï 1 (tt)
Giao ñieåm cuûa QÑNS vôùi truïc aûo:
Caùch 2:
(1) ⇔ s 3 + 5s 2 + 6s + K = 0 (2)
Thay s=jω vaøo phöông trình (2):
( jω )3 + 5( jω )2 + 6( jω ) + K = 0 ⇔ − jω − 5ω + 6 jω + K = 0
3 2
ω = 0
K = 0
− jω 3 + 6 jω = 0
⇔ ⇔
ω = ± 6
− 5ω 2 + K = 0
K = 30
26 September 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 39
- Phöông phaùp quyõ ñaïo nghieäm soá (QÑNS)
Thí duï 1 (tt)
Im s
j6
Re s
0
−3 −2
−j 6
26 September 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 40
nguon tai.lieu . vn